Урок математики "Траектория успеха: случайные события и их вероятности"
план-конспект урока по математике

МАРШРУТНЫЙ ЛИСТ

Случайные события и их вероятности

«Теория  вероятностей  есть  в  сущности  не  что  иное, как здравый смысл, сведенный к исчислению»  Лаплас

Законы жизни очевидны,
Хотя порой невероятны.
Мир так устроен: время мчится.
Уходят годы безвозвратно…
И, кажется, что ход событий
Никто не в силах изменить.
Но между «истиной» и «ложью»
Вступает грозно «может быть!»
Следя за хаосом случайностей,
Закономерность извлечём,
Благодаря чему в реальности
Кого-то, может быть, спасём.
Предупредим от неудачи и
Спрогнозируем успех.
И счастье сделаем возможным,
Ведь шанс, он должен быть у всех!

       Везде можно обнаружить случайности. Будь то лотерея или прогноз погоды. Однако при проведении многочисленных экспериментов можно убедиться, что случай тоже имеет свои законы. Их изучает специальный раздел математики – Теория вероятностей.

          Приятного познания Вам!

     Учитель: Здравствуйте, дорогие друзья! Меня зовут Наталья Николаевна. Думаю, что в процессе урока мы со всеми познакомимся. Работать будем сегодня в МАРШРУТНЫХ ЛИСТАХ. Итак, начнем.

          Учитель: А как вы думаете, о чем мы сегодня будем говорить?

(ответы учеников: о вероятности какого-либо события)

Учитель: Если в геометрии базовыми понятиями являются точка и прямая, то в теории вероятностей – это случайные события. 

Случайные события.

В жизни под событием понимают любое явление, которое происходит или не происходит. Событиями являются и результаты испытаний (опытов), наблюдений и измерений. Все события можно подразделить на невозможные, достоверные и случайные.

Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может. В любом испытании всегда наступает только один исход. В испытании с детерминированным исходом всегда наступает заранее известный исход. В испытании со случайными исходами наступает один из всех возможных исходов.

Пример невозможных событий:

1. вода в реке закипела при температуре +11оС;
2. за ответ у доски учащемуся в журнал поставили 11 баллов (приведите свои примеры)

Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно произойдёт.

Пример, достоверными являются события:

1. после четверга наступила пятница;
2. за ответ у доски учащемуся в журнал поставят менее 6 баллов. (приведите свои примеры)

Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти или если результатами испытания могут быть разные исходы, которые нельзя заранее однозначно предсказать, то такие исходы называют случайными.

Пример, случайными являются следующие события:

1. выпадение “орла” или “решки”,
2. за ответ у доски учащемуся в журнал поставят 5 баллов. (приведите свои примеры).

Человеку всё чаще приходится взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные.

МАРШРУТНЫЙ ЛИСТ (Слайд 1.)

Слайд 2-4.

Начало урока

Слайд 5. 

Тема урока: ________________________________________________________________________

Слайд 6. 

События __________________________________________________________________________

Задание 1.  Каждому событию поставьте в соответствие номер высказывания:

Учитель: В старинных русских сказках добрый молодец часто стоит перед выбором: “Налево…, вперед…, или направо…?”. И каждое направление ставит его перед выбором. Современный человек постоянно сталкивается с такой же проблемой выбора пути, вариантов, рисков. Давайте обсудим, можно ли спрогнозировать и достичь желаемого результата? И является ли данный выбор справедливым для всех?

     Слайд 8. (картина «Витязь на распутье» Васнецов)  

Учитель: Чем больше у случайного события шансов произойти, тем оно более вероятно и тем правее его следует расположить на вероятностной шкале; чем меньше шансов – тем левее. Если два события, на наш взгляд, имеют равные шансы, будем располагать их в одном и том же месте шкалы друг над другом.

Здание 2. Расположите на шкале вероятностей следующие события:

       0_________________________0,5____________________________1

                                       С        A         G                               B                                                               H              

                                       F                                                       D

                                                                                                 E

А. – В следующем году первый снег в Копенгагене выпадет в воскресенье;

В. – На улице Санкт–Петербурга я встречу бурого медведя;

C. – При бросании кубика выпадет 7;

D. – При бросании кубика выпадет четное число;

Е. – При бросании кубика выпадет нечетное число;

F. – В следующем году в Москве не будет зимы;

G. – При бросании кубика выпадет 6;

Н. – При бросании кубика выпадет число очков меньше 7.

Учитель: Классическое определение вероятности. Вероятностью Р(А) появления события А называется число, равное отношению m к n, где m – число всех благоприятных случаев, n – число всех исходов испытания .

Задание 3. Заполните таблицу:

Задание 4. Тест «Компетентность = успех! »

1. Теннисистки Каролин Возняцки и Елена Дементьева играют между собой одну партию. Шансы у каждой на победу и ничью одинаковые. Какова вероятность того, что победит Возняцки?

⬜  1/6

⬜  1/2

⬜  0,2

⬜  1/3

2. В мешках лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Тогда вероятность того, что из мешка вынули 4 шара и они все синие, равна…            

             ⬜  4/10

⬜  1/3

⬜  0

⬜  1/2

3. В мешках лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Тогда вероятность того, что из мешка вынули 1 шар и он оказался красным, равна…            

⬜  1/3

⬜  2/5

⬜  0,2

⬜  3/10

 4. В мешках лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Тогда вероятность того, что из мешка вынули 4 шара и они все разного цвета, равна…            

⬜  1/10

⬜  1

⬜  0,1

⬜  0

5. Из карточек с буквами русского алфавита произвольно достаётся одна карточка. Какова вероятность того, что на карточке будет изображена гласная буква?

⬜  10/33

⬜  1

⬜  1/4

⬜  1/2

6. В мешках лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Тогда вероятность того, что из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета, равна…

             ⬜  1/2

⬜  4/9

⬜  1/3

⬜  1

7. Из слова СОБЫТИЕ случайным способом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?

⬜  5/12

⬜  1

⬜  5/13

⬜  3/7

8. В непрозрачном пакете лежат 12 конфет «Мишка на Севере» и 8 конфет «Мишка косолапый». Какова вероятность того, что вынутая наугад конфета окажется «Мишкой на Севере»?

⬜  5/20

⬜  1

⬜  3/5

⬜  3/7

9. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается нулем.

             ⬜  7/10

⬜  3/10

⬜  9/10

⬜  1/10

10. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 80 выступлений - по одному от каждой страны. В первый день 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя Дании состоится в третий день конкурса?

            ⬜  20/80

⬜  3/80

⬜  30/80

⬜  3/20

5. Физкультминутка 

- Нарисуйте левой рукой в воздухе квадрат столько раз, сколько единиц в сегодняшнем числе.

- Нарисуйте правой рукой в воздухе прямоугольник столько раз, какой сегодня по счету день недели.

- Нарисуйте глазами треугольник столько раз, сколько раз вы услышите стук по столу.

- Нарисуйте глазами звезду столько раз, сколько десятков в сегодняшнем числе.

Вопрос № 1 
Какое из данных событий является достоверным? 
Событие состоит в следующем:

            ⬜  в следующую пятницу будет солнечная погода

⬜  в следующую пятницу пойдёт снег

⬜  в следующую пятницу пойдёт дождь

            ⬜  пятница наступит после четверга 

Вопрос № 2 
Три господина, придя в ресторан, сдали в гардероб свои шляпы. Расходились они по домам последними, и притом в полной темноте, поэтому разобрали свои шляпы наугад. Какое из данных событий является невозможным? Событие состоит в следующем:

            ⬜  каждый надел свою шляпу

⬜  все надели чужие шляпы

⬜  двое надели чужие шляпы, а один - свою

            ⬜  двое надели свои шляпы, а один - чужую

Вопрос № 3 
Петя задумал натуральное число. Какое из данных событий является достоверным? 
Событие состоит в следующем:

            ⬜  задумано четное число

⬜  задумано нечетное число

⬜  задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным

            ⬜  задумано число, являющееся четным или нечетным

Вопрос № 4 
Саша задумал чётное число. Какое из данных событий является случайным? 
Событие состоит в следующем:

            ⬜  число делится на 5

⬜  число делится на 3

⬜  число делится на 1

            ⬜  число не делится на 2

Вопрос № 5 
Катя сложила два натуральных числа, каждое из которых меньше 10. Какое из данных событий является невозможным? Событие состоит в следующем:

            ⬜  сумма - натуральное число, меньше 20

⬜  сумма - натуральное число, меньше или равно 16

⬜  сумма - натуральное число, больше 17

            ⬜  сумма - десятичная дробь

Парадокс Симпсона

Слайд 10. (Парадокс Симпсона)

Учитель: А теперь я хотела познакомить вас с удивительным парадоксом Симпсона, который является примером того, как гипотеза может подтверждаться двумя независимыми исследованиями и опровергаться совместными результатами.

1 стол:  в синей шляпе 5 цветных, 6 белых фишек, в желтой шляпе 3 цветных, 4 белых фишек.

2 стол:  в синей шляпе 6 цветных, 3 белых фишек, в желтой шляпе 9 цветных, 5 белых фишек.

3 стол:  в синей шляпе 11цветных,  9 белых фишек,  в желтой шляпе 12 цветных, 9 белых фишек.

Вы подходите к столу А с намереньем вытянуть цветную фишку. Из какой шляпы вам следует её извлечь: из синей или из желтой?

В синей шляпе 5 из 11 фишек цветные, поэтому вероятность извлечь цветную фишку из синей шляпы равна 5/11, это больше, чем 3/7 - вероятность извлечь цветную фишку из желтой шляпы, ясно, что, выбрав синюю шляпу, вы имеете больше шансов вытащить цветную фишку. Предположим теперь, что фишки из двух синих шляп А и В сложены в одну синюю шляпу («С»). Если вы захотите извлечь цветную фишку, то скорее всего, выберете синюю шляпу.

Самое удивительное, что ваш выбор неверен! Почему? Это и будет вашим домашним заданием: Объясните, почему Симпсон пришёл к неверному ответу.

(ответ: Теперь в синей шляпе из 20 фишек 11 цветных, поэтому вероятность извлечь цветную фишку 11 /20, в то время как из желтой шляпы вероятность извлечь цветную фишку 12\21, что больше 11\20)

Учитель: Итак, сегодня мы с вами познакомились с формулой классического определения вероятности и умело применили ее к решению задач.

Я думаю, что вы уже поняли, что математика это оружие, с помощью которого человек познаёт и покоряет себе окружающий мир. А мы сегодня сделали маленький шаг к познанию математической мысли. Благодарю за урок и желаю вам преодолеть в жизни любые трудности.

Слайд 11. Спасибо за урок!

РЕФЛЕКСИЯ

Выберите в МАРШРУТНОМ ЛИСТЕ задачи, которые на сегодняшнем уроке показались вам: легкими, интересными и трудными, а которые можно было бы исключить из маршрута урока, считая их абсурдными и бесполезными.

Раздаточный материал (открытка с домашним заданием).

Слайд 12. «Ведь ты человек ты сильный и смелый…»

Число, положение и комбинация - три  взаимно  пересекающиеся, но  различные  сферы  

мысли, к  которым  можно  отнести  все  математические  идеи.

Английский  математик Джеймс Джозеф  Сильвестр

Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать

ни   одной   возможности   сделать   его  более  занимательным.

                                           Б. Паскаль

         Число, положение и комбинация -

три  взаимно  пересекающиеся,

но  различные  сферы  мысли,

к  которым  можно  отнести

         все  математические  идеи.

     Английский  математик         

Джеймс Джозеф  Сильвестр 
(1814-1897)