Как сделать стандартную задачу привлекательной для ученика
методическая разработка по математике

Нестандартные задачи по теме «Тригонометрические выражения и уравнения»

Кротова В.Н.

Аннотация: В статье представлена система задач, которые могут быть использованы в классах, изучающих математику на профильном или базовом уровнях. Решение таких задач разнообразит содержание урока и окажет положительное влияние на интеллектуальное развитие учащихся.

Ключевые слова: задача, развитие, активность, творческий потенциал, учащиеся.

The non-standard problems in a theme “The trigonometrically expressions and equations”.  

Krotova V.N.

Teacher of mathematics, Municipal general educational establishment “Lyceum”.

Annotation: In the article represent system of problems which can be used in classes, studying to the mathematician on profile or basic levels. The decision of such problems diversifies the maintenance of a lesson and will render positive influence on intellectual development of pupils.  

Keywords: problems, creative potential, activity, development, pupils.

В современных школьных учебниках математики содержится недостаточное количество задач, решение которых способно активизировать творческий потенциал учащихся, вовлечь их в активную поисковую деятельность, и которые были бы доступны каждому ученику. Формулировки задач, как правило, не отличаются разнообразием: «решить уравнение (неравенство)…», «вычислить…», «доказать…» и т.п. В большинстве случаев такие формулировки являются привычными для ученика и не вызывают у него заинтересованности, чувства азарта, желания узнать что – то новое, самостоятельно поучаствовать в  творческом процессе составления задач. Все это может способствовать формированию только алгоритмической культуры мышления, но никак ни развитию творческих способностей ученика.

Вышесказанное нисколько не умаляет образовательной важности задач, представленных в учебных пособиях, а лишь подчеркивает необходимость расширения возможностей школьного курса математики для развития интуиции, логического мышления, творческих способностей учащихся за счет привлечения нестандартных задач, которые являются таковыми с методической точки зрения. В качестве таких задач можно выделить задачи с пропусками, задачи, решаемые по схеме, задачи типа «измени условие» и др., которые будут рассмотрены далее на примере изучения элементов тригонометрии.    

А. Решение задач по схеме

В процессе решения задач данного типа учащиеся должны выполнить определенные действия руководствуясь схемой, предложенной учителем или составленной одноклассниками. Ряд звеньев схемы, с целью активизации поисковой деятельности учащихся, может быть пропущен.

1. 

Учащиеся с помощью соответствующей формулы должны преобразовать исходное выражение, приравнять его к нулю и решить уравнение. Далее они самостоятельно должны выбрать числовой промежуток и выполнить на нем отбор корней. На последнем этапе учащимся необходимо, с учетом полученных результатов, составить и решить какую – либо задачу.

2.

Учащимся следует найти область значений для исходной функции, составить выражение для  и решить уравнение =1 с последующим отбором корней на промежутке . На заключительном этапе учащиеся должны подобрать такое значение (выражение) для правой части, чтобы уравнение =___ не имело решения.

3. 

Учащиеся должны преобразовать исходное выражение, добавить и вычислить значение выражения. На основе полученных результатов учащиеся должны составить и решить тригонометрическое уравнение.

4. 

Решив данное уравнение, учащиеся должны выполнить замену «0» на «2» в правой части и решить новое уравнение. После этого они должны оценить возможные изменения в решении двух уравнений при соответствующей замене.  

5. 

Решив два уравнения, и проведя отбор корней на соответствующем промежутке, учащиеся должны подобрать значение для правой части равенства   так, чтобы полученное уравнение не имело решения.  

6. 

Опираясь на результаты, полученные при решении исходного уравнения и проверке равенства при соответствующем значении , учащиеся должны составить и решить тригонометрическое уравнение, построить график функции.

Б. Задачи с пропусками

В задачах данного типа отсутствуют определенные числовые компоненты, элементы условия или требования, может отсутствовать требование задачи и т.д. Учащиеся, оперируя только лишь предложенными данными, должны составить и решить задачу.

1. Вычислите , если  

Отсутствует не только числовое значение для cos α, но и отсутствует промежуток, в котором находится α.

2. При каких значениях х числа образуют геометрическую прогрессию.

Для решения задачи, в частности использования свойств геометрической прогрессии, необходимо знать третий компонент. Например, ;

3. Найдите корень уравнения .

В требовании задачи не указано, какой корень необходимо найти, наименьший положительный, наибольший положительный и т.д. Если внести уточнения, то потребуется указать в условии и промежуток, на котором будет осуществляться отбор корней.

4. .

Можно предложить учащимся элементы требования задачи: «корень», «наименьший», «число корней». Учащиеся, проанализировав предложенные словосочетания, могут сформулировать требования задачи: «Найти число корней уравнения » или «Найти наименьший корень уравнения ». Для решения задачи потребуется определенный числовой промежуток, который они могут задать самостоятельно.

5. Найдите число корней уравнения на промежутке [-5;5].

Рекомендации: Произведение трех множителей. Первый множитель – наибольшее простое число первого десятка. Второй множитель – под знаком квадратного корня содержится разность квадратов (можно определить из данного промежутка). Третий множитель – если понизить степень, то получится выражение:  

6. Заполните пропуски в решении:

а)

б)

В. Задачи типа «Измени условие»

Важно сформировать у учащихся понимание того, что с момента получения ответа к задаче ее решение не должно заканчиваться. Оно может быть продолжено за счет изменения ее содержания: добавления или исключения элементов условия или требования задачи; видоизменения условия и т.п.

1. Докажите тождество:  Какие изменения могут произойти с левой частью тождества, если ?

2. Докажите тождество:  Каким образом можно преобразовать левую часть тождества, для того, чтобы в правой части получить  ?

3. Используя элементы , составьте отношение, равное . Если к числителю полученной дроби добавить , а к знаменателю , то как это повлияет на результат?

4. Решите уравнение: - каким образом можно изменить уравнение, чтобы оно имело решение – проверьте свои предположения – составьте и решите аналогичные уравнения.

5. Решите уравнение:  разными способами. Какие логические выводы решения можно использовать при решении уравнения, полученного из данного путем замены «1» на параметр а?

6. Найдите как можно больше способов решения уравнения . Обобщите полученные результаты. Какие изменения произойдут в решении, если выполнить замену ?

7. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

 Какие изменения произойдут с корнями уравнения, если внести уточнения: а) х>0, б) х<0.

8. . Подберите значения a, b, c, d так чтобы  продемонстрировать все особенности решения простейших тригонометрических уравнений. Если заменить синус на косинус (тангенс), то …?

9. Решите уравнение: Какие изменения произойдут в решении исходного уравнения, после замены: а) ; б) ? Составьте тригонометрические уравнения, решением которых является: а) множество действительных чисел; б) любые значения

Г. Составление задач учащимися

Привлекая учащихся к составлению задач, можно оказать положительное влияние на развитие не только их творческих способностей, но и на развитие положительной мотивации к изучению математики, так как учащиеся перестают воспринимать себя исключительно в роли обучаемых. Они осознают, что работают на более высоком уровне, что требует от них более ответственного отношения к выполняемой деятельности.

Составлять задачи учащиеся могут на основе предложенных учителем элементов, могут видоизменять исходные задачи, могут составлять задачи, удовлетворяющие определенным требованиям и т.д.

1. Из совокупности элементов составьте тождества:

2. Докажите тождество:  Определите закономерность. Составьте задачи на вычисление значений тригонометрических выражений с применением найденной закономерности.

3. Вычислите:   Определите закономерность. Какие изменения произойдут, если косинус заменить на синус? Составьте задачи на доказательство тождеств (решение уравнений) с применением найденной закономерности. Какие ошибки можно допустить при решении составленных уравнений? Приведите примеры.

4. . Используя функцию , составьте задачи, связанные: а) с исследованием функции; б) с решением уравнений.

5. Составьте верные равенства из элементов:

6. Решите уравнение  Составьте тригонометрические уравнения, у которых будет точно такой же ответ. Добавьте к исходному уравнению требования, чтобы в процессе их выполнения получилось квадратное уравнение.

7. Используя данные компоненты, составьте тригонометрические уравнения разных типов

Составьте уравнение, которое не имеет решений. Составьте уравнение, решив которое, вы запишите «бесконечное множество решений» (один и тот же элемент можно использовать несколько раз).

8. Постройте график функции Перечислите как можно больше свойств функции. Составьте уравнения, содержащие выражение   , в процессе решения которых будут продемонстрированы различные способы решения тригонометрических уравнений.

9.  . Какие значения может принимать параметр а? Ответ объясните. Подставьте вместо а такие значения, чтобы один из корней равнялся: а)  б) в) (.

Д. Задачи с обманом

В качестве возможного средства для формирования у учащихся более сознательного отношения к усвоению учебного материала могут быть использованы задачи с обманом. Как правило, учащимся предлагается решение, в котором преднамеренно допущена ошибка. Помимо этого можно предложить им проанализировать содержание задачи и высказать мнение о возможных ошибках с последующей их демонстрацией.  

1. Составьте схему решения уравнения  Какие ошибки можно допустить в решении данного уравнения? Приведите примеры. Какие изменения произойдут в решении, если:

2. Проанализируйте решение уравнений, при необходимости исправьте ошибки и продолжите решение:

А)

Б)

Выполним замену:

В)

Найдем О.Д.З.

Решим уравнение:

Необходимо отметить, что привлечение учащихся к составлению решений с обманом окажет более эффективное воздействие на качество усвоения учебного материала.

Использование на уроках математики перечисленных типов задач, позволит разнообразить урок, привлечь внимание учащихся к изучаемому материалу, повысить уровень их активности и оказать положительное влияние на развитие интеллектуальных способностей и личностных качеств учащихся.