МБОУ «Чокурдахская средняя общеобразовательная школа имени А.Г. Чикачёва»

Пособие для подготовки к ГВЭ по математике 

                                                                          Автор: Кочкина Е. Н.,

учитель математики.

п. Чокурдах. 2019г.

Предисловие

Пособие предназначено для подготовки к государственной итоговой аттестации в формате ГВЭ учащихся 7-9-х классов по математике.

Часть 1 состоит из 10 тем, каждая из которой соответствует проверяемым элементам математической подготовки учащихся 9 класса. В каждую из тем включен необходимый теоретический материал, формулы, алгоритмы, правила (теория) и образцы решений заданий (практика).

Дополняет пособие решение нескольких образцов вариантов и краткий справочник формул.

Краткие методические рекомендации по использованию пособия:

Например, по теме «Задание 1»,  открываем тему, изучаем или повторяем правила, определения, алгоритмы, вспоминаем формулы (теория), разбираем предложенные решения заданий (практика).

Изучив предложенные элементы теории и образцы решения желательно решать типичные задания из открытого банка ГВЭ и Комплекса материалов для ОГЭ.

Можно повторять и решать в приведённом в содержании порядке, можно выбрать любую тему, повторить, закрепить и проверить ваши знания.

Таким образом, пользователь найдет в пособие одновременно правила, формулы, алгоритмы, различные приемы и способы решения тех или иных заданий. После этих тренировок можно будет смело приступить к различным тестам  в целом.

Учитель может использовать это  пособие в процессе обучения, на занятиях элективных курсов, при повторении.

С введением  ГВЭ для учащихся 9 класса в форме тестов  данное пособие будет как нельзя актуально, можно применять с 7 класса при повторении, обобщении, расширении знаний.

Желаю удачи! Приму к сведению любые замечания, советы, пожелания.

Задание 1. Числа и вычисления.

Теория

Полезно вспомнить:

1.1.Действия с д.д.

Для того чтобы сложить или вычесть д.д. нужно: записать их “в столбик” так, чтобы запятая оказалась под запятой; Выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания, на запятую; Поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Для того, чтобы перемножить д.д. надо:. перемножить их  как натуральные числа; В полученном произведении отделить запятой справа столько десятичных знаков, сколько их после запятой в обоих множителях.

Чтобы разделить д.д  на д.д. необходимо: перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько  цифр, сколько их после запятой в делителе; Выполнить деление на натуральное число.

1.2.Действия с рациональными дробями

Основное свойство дроби: ,

1.      2.

3.  .      4.

5.       6.  

1.3.Действия с рациональными числами:

1. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно поставить знак «-» и сложить их модули.

На-р:

2.Чтобы сложить два числа с разными знаками: надо из большего модуля вычесть  меньший и поставить знак того модуля, который больше:

Н-Р:   -15 +8 = -(15 – 8) = - 7

3. При делении и умножении:

1. Произведение (частное) двух чисел с одинаковыми знаками есть число положительное.

2. Произведение (частное) двух чисел с разными знаками есть число отрицательное.

Н-р: 6 х (-4) = -24;       -12 : (-6) = 2

4. При возведении в степень:

;  ; ;  

;

Практика

Задание 1. 1 Практика:

1.  

2.  

3       

4.

5.

Задание 1. 2 .практика:

1.12  - 9 = 3 = 2

2. 

3.

4. 

5.

Задание 1.3  Практика:

1. 

2. 

3. 

4. 

5.

Полезно запомнить:

;     ;  

Задание 2. Уравнения, неравенства и их системы

Теория:

Линейные :  Уравнение вида ax = b, где x – переменная, a и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Свойства при решении уравнений:

1.Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя его знак на противоположный.

2.Умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

Действия:    

1. Раскрываем скобки

2. Переносим слагаемые – меняем знак

3. Делим на коэффициент при переменной

4.  Записываем ответ

5. При необходимости – делаем проверку.

Квадратное уравнение имеет вид ах2+bх+с=0, где а – старший коэффициент, b – средний, с – свободный коэффициент.

Неполные уравнения

Неполным квадратным уравнением называется уравнение вида

1) Если , то уравнение имеет вид , решается разложением на множители – вынесением общего множителя за скобки и всегда имеет два корня, один из которых равен нулю.

2) Если , то уравнение имеет вид , решается только тогда, когда у коэффициентов а и с разные знаки. Оно решается разложением на множители по формуле разности квадратов.

Полные уравнения

 ;

Если , то  - два корня.

Если , то   - один корень.

Если , то корней нет.

Алгоритм решения:

1.Записать коэффициенты:  а,  b,  с. 2.Вычислить дискриминант

3.Применить формулу корней квадратного уравнения.

4.Записать ответ.

Практика

1. Реши уравнение:  3(7y-2) –( 7y-8) = 30;    

Решение: 3(7y-2) –( 7y-8) = 30;    21y – 6 -7y + 8 = 30

21y – 7y = 30 + 6 -8;    14y = 28;   y = 2   Ответ:  у=2

2. Решить уравнение .

Решение. Вынесем за скобки :  - произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю.

или Ответ: 0; -3

3. Решите уравнение: .

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители

или Ответ: 1,5 ; -1,5

3. Решите уравнение .

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители

;    

или .   Ответ:

4. Решите уравнение .

Решение. Решений нет, так как это сумма квадратов,  а не разность. Ответ: нет решения.

5. Реши уравнение : ,

Решение. .

;  .    Ответ: ; .

6.Решите уравнение .

Решение: ;   Ответ: 2, -1,5.

Задание 3 Алгебраические выражения.

Теория:

Полезно помнить:

1.Распределительное свойство умножения:  a(b+c) =  ab+ac. 

Например: 2(х+6)=2х +12

2. Правило умножения одночлена на скобку: a(a+b)= a2+ab,

например: 2a2(b2-a3)=2a2b2-2a5

3.Правило умножения многочлена на многочлен. 

Например:2x2-(x-3)(2x+3) = 2x2-(2x2 + 3x - 6x - 9) = 2x2- 2x2 -3x + 6x +9 = 3x+9

4. ФСУ:  1) (a+b)2=a2+2ab+b2

например: (x+9)2=x2+2∙x∙9+92=x2+18x+81

                 2) (a-b)2=a2-2ab+b2

Например:  (2x-3y)2= (2x)2-2∙2x∙3y+(3y)2=4x2-12xy+9y2

                  3. (a+b)(a-b) = a2-b2,

 Например:1) (a-2)(a+2) = a2-22 = a2-4

2) (3x-7y)(7y+3x) = (3x-7y)(3x+7y)=9x2-49y2

5.Действия с рациональными дробями

Основное свойство дроби: , (сокращение дробей)

1.    ;    2 .  

3.    .      4.    

6.Примеры упрощения дробей:

1.

2.

Практика:

1. Упростите выражение    и найдите его значение при  .

В ответ запишите полученное число.
Решение: Упростим выражение:

 При ,  (4 -2) : (2*4) = 2: 8 = 0,25   Ответ: 0,25. 

2. Упростите выражение и найдите его значение при а=2.

Решение:    ;

при а=2;  10*2:(3*2-2)=20:4=5     Ответ:5

3.Упростите выражение , найдите его значение при  . В ответ запишите полученное число.

Решение. при  ;    Ответ: 0.

4. Упростите выражение  и найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.

Решение.   При a=−2, значение полученного выражения равно −2:2 = −1. Ответ: -1

5. Найдите значение выражения    при  .

Решение.  При , значение полученного выражения равно 16.   Ответ: 16.

6. Найдите значение выражения    при  .

Решение.  Найдем значение выражения при ;    Ответ:-60

7. Упростите выражение    и найдите его значение при  . Решение. Упростим выражение:; При  , значение полученного выражения равно 7,5 : 5 = 1,5. Ответ: 1,5.

8. Упростите выражение    и найдите его значение при  .

Решение. Упростим выражение:

 При  ;       Ответ: 2.

Задание 4. Графики функций.

Теория:

Линейная функция

Линейная функция – это функция вида y = kx + b, где х – переменная, k и b некоторые числа

Графиком линейной функции  служит прямая  

1)Прямая пропорциональность –  это функция вида y = kx, где х – переменная, k≠0 График прямой пропорциональности – прямая, проходящая через начало координат

2).Если k=0, то y = b – прямая, параллельная оси x

График квадратичной функции

Функция вида , где , b, c — числа; x — независимая переменная, называется квадратичной функцией. Графиком является парабола

1.    а) О.О.Ф.   б) О.З.Ф.

в) нули функции:  

г) Монотонность функции

        , если         , если  

д) ось симметрии — ось ординат

Обратная пропорциональность

График функции  называется гиперболой. На рисунке изображен график функции   для k<0 (во II и IV четверти). Если k>0 (в I и III четверти).

Функция вида

Графиком  функции  является верхняя ветвь параболы, направленной вправо

1.2.

Практика:

1.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики:

Фор мулы:

Ответ:

Решение: на рис.А - гипербола , значит ее формула  ; на рис.Б -парабола, значит ее формула - ; график В – прямая, у которой угловой коэффициент  < 0, значит ее формула у= -2х+4.  Ответ: 142.

2. График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке? 

 1)  2)  3)  4)

Решение. Ветви изображённой на рисунке гиперболы лежат во II и IV четверти, её график растянут вдоль оси ординат в два раза. Этим условиям соответствует вариант 1. Графику соответствует вариант под номером 1.Ответ: 1

3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

 1)   2)    3)    4) 

 Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке

Решение. Определим вид графика каждой из функций. 1)     уравнение прямой.2)     уравнение гиперболы.3)     уравнение параболы, ветви которой направлены вверх.4)  уравнение верхней ветви параболы, направленной вправо. Тем самым найдено соответствие: A — 4, B — 3, C — 1    Ответ: 431

Задание 5. .Уравнения, неравенства и их системы.

Теория

Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное неравенство другим, но равносильным данному.

1.Если какое-либо слагаемое неравенства с переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство равносильное данному.

2.Если обе части неравенства с переменной умножить или разделить на одно и тоже положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство равносильное данному.

3.Если обе части неравенства с переменной умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число, заменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство равносильное данному. Алгоритм: Чтобы решить неравенство, надо:

1. Упростить обе части.

2.Если необходимо перенести все известные в правую часть, а неизвестные в левую часть, надо поменять знак.

3. Привести подобные в обеих частях.

4.Если при нахождении неизвестного надо делить на  положительное число, то знак неравенства не меняется.

5. Если при нахождении неизвестного надо делить на  отрицательное число, то знак неравенства  меняется.

6. Изобразить ответ на оси.  7. Записать ответ в виде промежутка

При решении систем неравенств надо учесть, что:

1) Если при решении неравенств оба ответа получились в сторону «больше» , то общий ответ системы будет больше большего ответа.

2) Если при решении неравенств оба ответа получились в сторону «меньше» , то общий ответ системы будет меньше меньшего ответа.

3) Если при решении неравенств оба ответа получились в разные стороны с общей частью , то эта общая часть и будет решением системы

4) Если при решении неравенств оба ответа получились в разные стороны без общей части , то у этой системы решений нет

Практика

1. Решите неравенство    и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.
1) 2) 3) 4) 
Решение: Решим неравенство:;

-5х+ 7х>1-18 +15;   2х> -2;  х>-1;  Решение неравенства изображено на рис. 4.       Ответ: 4

 2.Решить неравенство: .

Решение.  ;

                  .               Ответ: .

3. Решите неравенство    и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.

1) 2) 3) 4) 

Решение. Решим неравенство:

  4х -6х>_  -2 -5 Решение неравенства изображено на рис. 1. Ответ:1.

4.  Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?

   1) 2) 3)  4) 

Решение. Решим каждое из неравенств.1)   — решений нет.

2)  3)   верно для всех 

4)  На рисунке изображено решение четвёртого неравенства. Ответ: 4.

4. Решите неравенство: .  Решение.1) Решим неравенство методом интервалов. (ОДЗ: х+2 не равно 0, т.е. х не равен -2)     Найдем нули функций, стоящих в числителе: х – 3=0; х=3; и в знаменателе х+2=0; х= -2; -2 не входит в решение

2) Отметим на числовой прямой точки: , . Две точки разобьют прямую на 3 промежутка

Определим знак дроби на каждом промежутке и выберем те из них, где дробь отрицательна. Ответ:  

5. Решим систему:                 

Ответ: .

Задание 6. Треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы.

Теория

Равносторонний треугольник -треугольник, у которого все стороны равны.   Все углы равны 600.

Равнобедренный треугольник треугольник, у которого две стороны равны.

• Углы, при основании треугольника, равны
• Высота, проведенная из вершины, является биссектрисой и медианой..  

В прямоугольном  треугольнике один угол –прямой, равен 90 градуса

Произвольный треугольник: АВ; ВС; АС –стороны; сумма углов равна 180 градусам.  

<3-внешний; Внешний угол треугольника равен сумме двух других не смежных с ним.

<1+<2= <3

Параллелограмм – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями, а расстояние между ними – высотой.  и  – смежные стороны, – угол между ними, и  – диагонали, – угол между диагоналями, Прямоугольник. Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы также прямые. Такой параллелограмм называется прямоугольником  . 

Ромб-параллелограмм, все стороны которого равны.

• Диагональ ромба является его осью симметрии. Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали являются биссектрисами углов. Трапеция - это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны.  В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны

Практика:

1. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 40°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение. Пусть меньший угол равен  тогда больший угол равен Т.к. сумма односторонних углов равна 180°, имеем:  Ответ: 70

2. Найдите угол ABC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.

Решение. Т.К. в треугольнике сумма всех углов равна 180°, угол ADС равен 180° − 30° − 80° = 70°. В равнобедренной трапеции углы BCD и CDA — односторонние, значит, угол ABC равен 110°.

 Ответ: 110.

3.Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение. Углы А и В — односторонние, поэтому угол А равен 180° − 50° − 65° = 65°.  Ответ: 65.

4.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение. Углы ACB и ABC равны, т. к. находятся при основании равнобедренного треугольника; пусть один из них равен x. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, имеем: ∠ABC = 180° − x − x. Угол BCA смежен с углом 123°, значит, равен 180° − 123° = 57°. Следовательно, x = 57°, откуда ∠ABC = 180° − 2·57° = 66°.  Ответ: 66.

5.В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите .

Решение. В равностороннем треугольнике ABC  все углы равны 60°. Биссектрисы CN и AM делят углы пополам, поэтому  =  =  Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому Вертикальные углы равны, следовательно,   Ответ: 120.

Задание 7.  Окружность, круг и их элементы.

Теория

     AP=AQ; Углы в окружности: 

 часть всей окружности

Свойства углов и дуг:

Полезно помнить: 

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

Свойства касательных и секущих

Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие -дополнительные полупрямые. Сумма смежных углов равна 180 градусам.

Вертикальные углы-углы,  образованные при пересечении двух прямых.

Вертикальные углы равны. 

(<1+ <2 = 180*)

Практика:

1. Величина центрального угла    равна 110°. Найдите величину вписанного угла  . Ответ дайте в градусах. Решение. Угол AOB смежный с углом AOD, таким образом,  Центральный угол AOB и вписанный угол ACB опираются на одну дугу. Таким образом,           Ответ: 35 

2. Найдите  , если градусные меры дуг    и    равны 152° и 80° соответственно.

Решение. Так как вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается, имеем , а . В треугольнике ABC ,   Ответ: 64.

3. Найдите  , если известно, что градусная мера дуги    равна 124°, а градусная мера дуги    равна 180°.

Решение.

Так как вся окружность составляет 360°, то градусная мера дуги . Угол KOM является центральным. Так как центральный угол равен дуге , на которую он опирается, то .

 4. Найдите величину (в градусах) вписанного угла  , опирающегося на хорду  , равную радиусу окружности.

Решение.

Проведем радиусы OA и OB. Так как по условию задачи хорда AB равна радиусу, то треугольник AOB — равносторонний. Угол AOB — центральный и равен  Угол ACB — вписанный и опирается на ту же дугу, что и угол AOB. Таким образом, Ответ: 30.

5. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Решение. Рассмотрим треугольники COD и AOB: они равны по двум сторонам и углу между ними. Эти  треугольники равнобедренные; значит, можно сделать вывод, что угол OCD и OAB равны. Ответ: 30. 
6. Найдите , если градусные меры дуг  и  равны 150° и 68° соответственно.

Решение. Так как вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается, имеем , а . В треугольнике EFD, . Ответ: 71.

Задание 8. Анализ геометрических высказываний.   

Теория

В геометрии есть определения, понятия, теоремы, аксиомы, без знания которых невозможно дальнейшее изучение любой темы.

Полезно повторить:

1. Аксиомы 7 класса.

2. Основные теоремы 7-9 классов.

3. Свойства основных геометрических фигур

Практика:

1. Какие из следующих утверждений верны?

 1) Любые два прямоугольных треугольника подобны.

2) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

3) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.

4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.  Решение. Проверим каждое из утверждений.  1) «Любые два прямоугольных треугольника подобны.» — неверно, так как нет второго равного угла. 2) «Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.» — верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 3) «Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.» — неверно, по теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих сторон. 4) «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.» — верно, по теореме косинусов. Ответ: 24

2.Укажите номера верных утверждений.

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

4) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Решение. Проверим каждое из утверждений. 1) «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой» — верно, это аксиома планиметрии. 2) «Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует» — неверно: для того, чтобы существовал треугольник, сумма любых его двух сторон должна быть больше третьей стороны. 3) «Если в ромбе хотя бы 2 угла равны 90°, то такой ромб — квадрат» — верно, в этом случае противоположный угол тоже будет равен 90°, а значит и два других (равных) угла будут равны по 90°. 4) «Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.» — неверно, центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности, лежит на его стороне. Ответ: 13.

3.  Какие из следующих утверждений верны?

 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.

2) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.

3) Через любую точку проходит более одной прямой.

4) Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.

 Решение. Проверим каждое из утверждений.

1) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.» — верно, так как если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

2) «Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.» — неверно, две прямые имеют не более одной общей точки.

3) «Через любую точку проходит более одной прямой.» — верно, через одну точку проходит множество пересекающихся в этой точке прямых.

4) «Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.» — неверно, любые три прямые, которые не совпадают, если и имеют общую точку, то только одну.  Ответ: 13.

4. Какие из следующих утверждений верны?

 1) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.

2) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.

3) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

4) Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.

 Решение.  Проверим каждое из утверждений.

1) «Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.» — неверно, площадь многоугольника равна произведению половине периметра на радиус вписанной окружности.

2) «Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.» — верно, площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

3) «Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.» — верно, площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту.

4) «Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.» — верно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.      Ответ: 23

Задание 9. . Простейшие текстовые задачи.

Теория.   Задачи на проценты.

1.Процентом называется одна сотая часть величины . целое составляет 100%. 

Например: ; ; .

2.Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.Например, 125% = 125:100 = 1,25%

3.Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо ее умножить на 100. Например: 0,971 = 0,971•100 = 97,1%

4.Нахождение процента от числа: чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь.

Например: а)13% от 50; 1);  2); ответ: 6,5    

б) 20% от 45 кг;  (кг);   в) 118% от х ;   

5.Нахождение числа по его проценту: чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь. Например, 8% длины всего отрезка составляет 2,4 см, то длина всего отрезка равна    2,4:0,08=240:8=30 (см)

6.Нахождение процентного отношения чисел: чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100. Например, 2 г. соли в растворе массой 50 г. составляет    

Чтобы записать текст с помощью уравнений:

-Обозначить неизвестную величину переменной

-Выразить через нее другие величины;

-Составить уравнение и решить его.

- При необходимости сделать проверку; -Оформить ответ.

Практика:

1. Городской бюджет составляет 45 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
Решение.  Расходы составили  руб.

 Ответ: 5625000. 

2.Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?

Решение. Стоимость поездки   руб.

 Ответ: 1980.

3.Альбом, который стоил 120 рублей, продаётся с 25%-ой скидкой. При покупке 5 таких альбомов покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

Решение. Стоимость одного альбома равна 120 − 0,25 · 120 = 90 руб. Поэтому стоимость пяти альбомов равна 450 руб. Значит, сдача с 500 рублей составит 50 рублей. Ответ: 50.

4.Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых. Вкладчик положил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

Решение. Через год вкладчик получит 20 % дохода, что составит

  руб. Т.е., через год на счете будет:  руб.

Ответ: 960.

5. Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 680 р. Сколько стоил товар до распродажи?

Решение. Новая цена составляет 80 % от старой цены. Поэтому она составляла 680 : 0,8 = 850 руб. Ответ: 850.

6. На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 120 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:5. Сколько голосов получил победитель?

Решение. Пусть x голосов приходится на одну часть, тогда  приходится на второго кандидата, а  — на первого. Зная, что в голосовании участвовало 120 человек.  составим уравнение:  , значит победитель получил:  голосов.   Ответ: 75.

7. Какая сумма (в рублях) будет проставлена в кассовом чеке, если стоимость товара 520 р., и покупатель оплачивает его по дисконтной карте с 5%-ной скидкой? Решение. Рассчитаем скидку, которую получает покупатель оплачивая товар по дисконтной карте с 5%-ной скидкой:  руб. Таким образом, итоговая цена со скидкой равна:  руб. Ответ: 494.

8. Цена на электрический чайник была повышена на 22% и составила 1830 рублей. Сколько рублей стоил товар до повышения цены?

Решение: Пусть чайник стоил х (руб.), тогда после повышения он будет стоить 1,22х, составим уравнение:                           1,22х =1830; х= 1830:1,22; х=1500 ; Ответ: 1500

9. Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

Решение: Во время распродажи шампунь станет стоить 160-0,25∙160=120 рублей. Разделим 1000 на 120; 1000:120= (остаток 40); Значит, можно будет купить 8 флаконов шампуня.   Ответ: 8

Задание 10. Статистика, вероятности.

Теория

Полезно помнить: Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей. Методы теории вероятностей применяются во многих областях знаний

1.Элементарные события (элементарные исходы) опыта – простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт. Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1. 

2. Нахождение вероятности событий.

Исходы в этом опыте считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы. Исходы, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события.

3.Определение: отношение числа благоприятных исходов N (A) события A к числу всех равновозможных исходов N этого события называется вероятностью события A.

P (A)=N(A)/N

4. Алгоритм нахождения вероятности события

Для нахождения вероятности случайного события A при проведении  некоторого испытания следует:

1.найти число N всех равновозможных исходов данного испытания;

2.найти количество N(A) тех благоприятных исходов испытания, в

 которых наступает событие А;

3.найти отношение N(A)/N; это и есть вероятность события A

Например: 1. В коробке лежат 10 красных, 7 желтых и 3 синих шара. Какова вероятность, что взятый наугад шар окажется желтым?

Решение. Равновозможные исходы- (10+7+3)=20.  Благоприятные исходы- 7. P(A)= 7/20=0,35

Практика:

1.На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение: Андрей выучил 60-3 = 57 вопросов. Поэтому вероятность того, что на экзамене ему попадется выученный билет вопрос         Ответ: 0,95

2. Максим с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе тридцать кабинок, из них 11 – синие, 7 – зеленые, остальные – оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке.

Решение: на колесе обозрения 30 -11- 7 =12 оранжевых кабинок. Тогда вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке равна

    Ответ: 0,4.

3.В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение. Элементарное событие – спортсменка, выступающая первой. Поэтому N=20. Чтобы найти число элементарных событий, благоприятствующих событию А={первой выступает спортсменка из Китая}, нужно подсчитать число спортсменок из Китая: N(A)=20-(8+7)=5. Все элементарные события равновозможны по условию задачи, поэтому  P(A)=5:20 =0,25      Ответ: 0,25

4.В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение. Элементарный исход – случайно выбранный для контроля насос. Поэтому N=1000.

Событию А={насос не подтекает} благоприятствуют 1000-5=995 исходов. Поэтому N(A)=995.

Тогда P(A)=    Ответ:0,995.

5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадает ровно один раз.

Решение. Орел обозначим одной буквой О. Решку – буквой Р. В описанном эксперименте могут быть следующие элементарные сходы: ОО, ОР, РО и РР.

Значит, N=4. Событию А={выпал ровно один орел} благоприятствуют элементарные события: ОР и РО. Поэтому N(A)=2.  Тогда .     Ответ: 0,5.

6.  Вика включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по четырнадцати канатам из тридцати пяти показывают рекламу. Найдите вероятность того, что Вика попадет на канал, где реклама не идет.

Решение: реклама не идет по 35-14=21 каналам. Тогда вероятность того, что Вика попадет на канал, где реклама не идет, равна          Ответ: 0,6

Содержание:

Задание 1.Числа и вычисления

Задание 2. Уравнения, неравенства и их системы

Задание 3. Числа, вычисления и алгебраические выражения

Задание 4. Графики функций

Задание 5. Уравнения, неравенства и их системы

Задание 6. Треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы

Задание 7. Окружность, круг и их элементы

Задание 8. Анализ геометрических высказываний

Задание 9. Простейшие текстовые задачи

Задание 10. Статистика, вероятности