Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме
Пособие " Я сам!?" предназначено для учителей и учащихся выпускных экзаменов, с целью их подготовки к экзамену по математике.Пособие состоит из 3 частей: 1 часть содержит опорную карты по теме. 2 часть - карту контроля , 3 часть включает тесты по теме.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
panchenko_g.k.-_posobie_dlya_ege.doc | 916 КБ |
Предварительный просмотр:
Тематические тренировочные задания «Я сам!?»
Добрый день читатель этой книги!
Данное пособие предназначено для учащихся выпускных классов с целью подготовки к вступительному экзамену по математике. Пособие состоит из 3 частей.
1 часть содержит опорную карту по теме, по которой вы можете повторить материал по данной теме.
2 часть – это карта – контроль, предназначена для систематизации повторенного вами материала, здесь вы самостоятельно вписываете формулы, определения в графу «Главное по теме». Рядом в графе «Умения и навыки» написано, что необходимо знать по данной теме. Выстави себе оценки, а если вы в классе закрепляли эту тему, то учитель может оценить ваши знания.
3 часть предназначена для контроля. Это тест по данной теме, он составлен по 3 уровням.
1-й уровень (уровень А) (состоит в достижении обязательного уровня математической подготовки, определенного стандартом математического образования).
2-й уровень (уровень В) (несколько усложнен по сравнению с уровнем 1). Он не только способствует достижению обязательного уровня математической подготовки, но и создает условия для овладения алгебраическими знаниями и умениями на более высоком уровне.
3-й уровень (уровень С) (дает возможность достаточно интенсивно овладевать основными знаниями и умениями и научиться применять их в разнообразных усложненных ситуациях). Здесь задания, требующие не только свободного владения приобретенными знаниями и умениями, но и творческого подхода, проявления смекалки и сообразительности.
Пособие предназначено и для учителей школ. Выбор форм и методов организации повторения зависит от контингента учащихся и уровня знаний по данному предмету. Нет идеальных детей, нет универсальных методик. Сегодня у учителя есть возможность заниматься творческой деятельностью, быть автором учебных программ, новых педагогических технологий, представлять свой опыт. Одним из главных его профессиональных умений, вне всякого сомнения, является умение осуществлять рефлексию хода и результатов своей обучающей деятельности. Это умение имеет широчайшую сферу применения – от анализа отдельного учебного занятия, до глубокого стратегического анализа всей своей деятельности и профессионально значимых качеств. Мне хотелось бы поделиться опытом своей работы по подготовке учащихся к сдаче экзамена в формате ЕГЭ.
Уже со II полугодия мы начинаем тематическое повторение по всем разделам алгебры:
- Выражения и преобразования.
- Модуль числа. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль
- Методы решения уравнений
- Методы решения неравенств
- Арифметические и геометрически прогрессии.
- Функции и их графики.
- Показательные уравнения и неравенства
- Логарифмические уравнения и неравенства.
- Производная.
- Тригонометрические преобразования.
- Тригонометрические уравнения и неравенства.
- Решение текстовых задач.
- Планиметрия.
- Стереометрия.
Начинаем повторение с опорной карты, далее каждому выдается индивидуальная карта-контроль по данной теме, которая позволяет каждому ученику выделять главное по теме, сравнивать свои умения и навыки с теми, которые необходимы для полного освоения знаний, оценивать себя и сравнивать свою оценку с оценкой учителя. И, наконец, тест по теме. Такое повторение, дает возможность работать каждому ученику в своем ритме. Считаю, что это позволит выстраивать индивидуальную образовательную траекторию для каждого учащегося, создавать и поддерживать у учащихся положительную мотивацию учения.
Выражения и преобразования.
Квадратный корень. Определение: , а не существует Тождества: (|, , где в
Сравнения: если а>в≥0, то
Если а>1, то а>, Если 0 <а<1, то 0. Вынесение из под корня: , где в≥0 Внесение под корень: а ( . Иррациональность в знаменателе:;
| Корень n –ой степени. . Свойства: 1) 2) 3) 4) 5) 6)7)а 8) Примеры:
Иррациональность в знаменателе: Сравнения: и и , значит > |
!!! Вычислить: , пусть =а, заметим, что а<0 так как первый корень меньше второго корня. Возведем обе части в квадрат, получим а=4, а=, так как а<0, то = -2 Ответ: -2 | Свойства степеней. 1) а 2) а 3)(а 4)(ав) 5) 6) а |
Многочлены. 1) а=(а-в)(а+в) 2) (а+в) 3) (а-в) 4)(а-в) 5) (а+в) 6)а 7) а | Разложить на множители ах- разложение квадратного трехчлена 2аа+3)+в(а+3)=(а+3)(2а+в)- способ группировки. |
Индивидуальная карта-контроль
По теме «Выражения и преобразования»
Тема | Главное по теме | Умения и навыки | Оценка | |
Моя | Учителя | |||
Числа | Уметь преобразовывать числа в стандартный вид. Выполнять действия с числами. | |||
Степень числа | Знать свойства степени и выполнять преобразования. | |||
Квадратный корень | Знать свойства квадратных корней и выполнять преобразования | |||
Корень п-ой степени | Знать свойства корней п –ой степени и выполнять преобразования | |||
Одночлены и многочлены | Уметь выполнять преобразование с одночленами и многочленами | |||
Формулы сокращенного умножения | Знать формулы сокращенного умножения и уметь их применять при решении задач | |||
Разложение на множители | ||||
ИТОГОВАЯ ОЦЕНКА |
Индивидуальная карта-контроль
По теме «Выражения»
Тема | Главное по теме | Умения и навыки | Оценка | |
Моя | Учителя | |||
Алгебраические выражения | Уметь выполнять преобразования ,используя формулы сокращенного умножения | |||
Степенные выражения | Уметь выполнять преобразования, используя свойства степени. | |||
Дробно – иррациональные выражения | Уметь выполнять преобразования, используя свойства корня. | |||
Логарифмические выражения | Уметь выполнять преобразования, используя свойства логарифмов. | |||
Тригонометрические выражения | Уметь выполнять преобразования, используя тригонометрические форулы | |||
ИТОГОВАЯ ОЦЕНКА |
Тест: «Выражения и преобразования»
А-1. Вычислить: (17- А-2. Вычислить: А-3 Вычислить: (6 -4( А-4. Вычислить: А-5. Упростить:(а А-5. Упростить: , при х=16, у=25 Уровень В. В-1. Упростить: В-2. Упростить: В-3. Упростить: В-4. Упростить: УровеньС С-1. Найти х? С-2. найти х? | А-1. Вычислить: (5+17 А-2. Вычислить: А-3. Вычислить (3+2( А-4. Вычислить: А-5. Упростить: (в А-5. Упростить: , при х=16, у=25 Уровень В. В-1. Упростить: В-2. Упростить: В-3. Упростить: В-4. Упростить УровеньС С-1. Найти х? С-2. найти х? |
Ответы:
А-1 | А-2 | А-3 | А-4 | А-5 | А-6 | В-1 | В-2 | В-3 | В-4 | С-1 | С-2 | |
1 вариант | 3 | 1 | 1 | 144 | 13/6 | 5 | -2 | -2 | 2 | 5 | 2 | 25 |
2 вариант | 2 | 9 | 1 | 36 | 13/4 | 4 | 1 | 3 | -1 | 1 | 3 | 9 |
Модуль числа.
Абсолютной величиной ( модулем) числах называется неотрицательное число определяемое соотношением =. |5│=5, |-5|=5 Основные свойства модуля: Для любых действительных х и у: |x| > 0. |-x| = |x|. |x2| = x2. -|x| < x < |x|. |x·y| = |x|·|y|. |x/y| = |x|/|y|, y 0.
-=|1-|-=-1-=-1 | Уравнения. При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяются чаще всего следующие методы: 1) раскрытие модуля по определению; 2) возведение обеих частей уравнения в квадрат; 3) метод разбиения на промежутки. Алгоритм решения уравнения. Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо: Освободиться от знака модуля, используя его определение; Найти критические точки, то есть значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;
1) |х-5|=3. х-5≥0 х≥5 х=8 Х-5=3 х=8
Х-5<0 х<5 Х-5=-3 х=2 х=2 Ответ: 2;8 2) |х+6| - |х-1|=9. | -6 1 a) х<-6, то –х+6+х-1=9 , 0х=4, нет решения. б) -6≤х<1, то х+6+х-1=9, х=2, в) х≥1 ,то х+6-х+1=9, 0х=2, нет решения Ответ: х=2 | Неравенста. Алгоритм решения неравенств. │х│≥ а ,то 1) |х-4|≥8, то Ответ: х
Если: │х│≤ а , то -а ≤ х≤а 2) |х+7|≤3, -3 ≤ Х+7≤3, -10≤ Х≤-4. Ответ: х 3) |х-2| - |х-4|<5. 2 4 а) х<2, то –(х-2)+(х-4) <5, 0х<7, тогда х- любое, но мы задали х<2, значит х б) 2≤х<4, то х-2+х-4<5, х<5,5, так как задана область 2≤х<4, то х в) х≥4, то х-2-х+4<5, 0х<3, х- любое, но задана область х≥4, значит х Ответ: х
|
Тест по теме «Модуль»
А-1. Найдите произведение корней уравнения: |х-3|=4 А-2. Укажите меньший корень уравнения: |х|=5 А-3 Укажите корни уравнения: |х+4|= - 3х В-1 Найдите наибольший целый корень: |х|=|5-2х| В-2. Найдите наибольший целый корень |х-2|-|5+х|=3 В-3. Найдите значения выражения: В-4 Построить график функции: У= С-1. Решите уравнение: cosх+0,5|cosх|sinх=0 С-2. Решите уравнение: (logloglog= C-3. Найти значение выражения. | А-1. Найдите произведение корней уравнения: |х+1|=5 А-2. Укажите меньший корень уравнения: |х|=0 А-3 Укажите корни уравнения: |х+4|= 2х В-1 Найдите наибольший целый корень: 2|х+1|=|3-х| В-2. Найдите наибольший целый корень |5-х|+|х-1|=10 В-3. Найдите значения выражения В-4 Построить график функции: У= С-1. Решите уравнение: cosх-0,5|cosх|sinх=0 С-2. Решите уравнение: (( C-3. Найти значение выражения |
Ответы:
А-1 | А-2 | А-3 | В-1 | В-2 | В-3 | С-1 | С-2 | С-3 | |
1 вариант | 2 | 2 | 2 | 5 | -3 | 24 | (-1) | -13 | |
2 вариант | 3 | 2 | 2 | -5 | -2 | -2 | ; | Ln 4 | 12 |
Алгебраические уравнения
1. Уравнение вида ах+в=0, где а и в –некоторые постоянные, называется линейным уравнением. Если а=0;в0, то уравнение не имеет решений; Если а=0 и в=0, то любое значение х – есть решение; Если а0, то х=-- один корень. 2х-3=0; 2х=3;х=1,5 2.Квадратные уравнения: ах+вх+с=0. если Д=0, то уравнение имеет один корень: х= -. если Д<0, то корней нет. Если Д>0, то х 2х+5х-1=0;Д=25-42(-1)=33; х Не полные квадратные уравнения: А) х+5х=0; х(х+5)=0; х = 0 или х = - 5. В) 6х-8=0; 6х= 8; х= Формулы Виета х+рх+g=0, если х- корни уравнения, то | Иррациональные уравнения. Если в уравнении неизвестная величина содержится под знаком радикала, то такое уравнение называется иррациональным А) .Возведем обе части в квадрат: х+2= х, решим квадратное уравнение.х=2;х=-1. выполним проверку: при х=2, ,верно при х=-1, , ложно. Ответ: х=2 В) =р, где р>0 тогда р+р-2=0; р=1 и р=-2. Следовательно р=1, тогда =1; х=1.Ответ:1 Г) ; , возведем обе части в квадрат и обозначив =а, получим: а+а-12=0, которое имеет корни а==3 и а=-4. тогда=3; х=30. И =-4; х=-64. Ответ:30;-64 | Дробно – рациональные уравнения 1. ( *10), 2(х-4)-5(х+1)=30; 2х-8-5х-1=30; -3х=21; х=-7 2. ; ОДЗ: х+1 х х(х-2)-(х+1)(х+2)=(х+1)(х-2); х=0, х= -4 3.; ; ; (х+4)=0, а (х+1)(х+5) Ответ: х= -4
|
Тест: Решение уравнений
Решить уравнение А-1 cos= - 1) +6 2) +2 3)-+6 4)+2 Укажите число целых корней уравнения А-2 1)3 2)5 3)7 4)1 Уровень B Найдите корень (или сумму корней) B-1 4= 64 B-2 6x+ Уровень А Найдите промежуток, которому принадлежит корень уравнения А-3 1) 2) 3) 4) Укажите наименьший положительный корень уравнения А-4 1) 2) 3) 4) Найдите все решения уравнения А-5 1) 2) 3) 4) Укажите промежуток, которому принадлежит корень А-6 1) 2) 3) 4)
Уровень B Сколько корней имеет уравнение B-3 Найти сумму корней B-4 | Решить уравнение А-1 sin=- 1) 2)3) 4) Укажите число целых корней уравнения А-2 лежащих на промежутке 1)7 2)9 3)11 4)3 Уровень B Найдите корень (или сумму корней) B-1 B-2 3x- Уровень А Найдите промежуток, которому принадлежит корень уравнения А-3 1) 2) 3) 4) Укажите наименьший положительный корень уравнения А-4 1) 2) 3) 4) Найдите все решения уравнения А-5 1) 2) 3) 4) Укажите промежуток, которому принадлежит корень А-6 1) 2) 3) 4) Уровень B Сколько корней имеет уравнение B-3 Найти сумму корней B-4 |
Ответы:
А-1 | А-2 | В-1 | В-2 | А-3 | А-4 | А-5 | А-6 | В-3 | В-4 | |
1 вариант | 1 | 1 | 12 | 1 | 1 | 4 | 2 | 4 | 4 | -2 6/7 |
2 вариант | 2 | 2 | 4 | 2 | 3 | 2 | 4 | 3 | 4 | 12 |
Решение уравнений высших степеней.
Метод Горнера: х3-6х2+15х-14=0: Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые числа, которые могут быть корнями уравнения, являются делителями свободного члена: + _1, + _2,+ _7, +_14. Используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения.
(х-2)(х2-4х+7)=0 2)х3-х2-8х+12=0 ответ:2;3 3)х4-2х3-8х2+13х-24=0 4)х5-7х3-12х2+6х+36=0 5)4х4-7х2-5х-1=0 6)2х3-х-5х2+1=0 Если уравнение имеет рациональный корень а/в, то а является делителем свободного коэффициента 1, а в является делителем старшего коэффициента 2, поэтому среди всех рациональных чисел корнями могут быть только числа +_1, +_1/2 Используя схему Горнера, найдем рациональные корни уравнения.
Ответ:1/2 | Симметричные уравнения Уравнения вида ах,у которого коэффициенты членов, равноудаленных от начала и конца, равны называются симметричными или возвратными. Симметричные уравнения имеют свойство: если число х есть решение, то и , также будет его решением, ни один корень симметричного уравнения не может быть равным 0. Симметричные уравнения могут быть четной так и нечетной степени. ах (:х) ах=0 а(х+)+в( х+)+с=0, пусть х+=t, тогда х+=t-2.Получим уравнение: а(t-2)+вt+c=0, решаем относительно t. Симметричные уравнения нечетной степени имеют корень: х = -1 2х, делим многочлен2хна х+1.Получим 2х+3х+2=0(:х), 2х=0, пусть х+=t, тогда х+=t-2.Получим уравнение: 2(t-2)+3t-16=0, t=-4 t=2,5 Ответ: х = -1, х =-2, х =0,5, х =2 | Решение уравнения методом выделения полного квадрата. Выделим полный квадрат: х+4х-7 = х+4х+4 - 4-7=(х+2)-11 решим уравнение методом выделения полного квадрата. х+(=8, х+2х+(-2х=8, (х+)-=8 (-=8, пусть=а, а-2а-8=0;а=4, а= -2 =4, х- 4х+4=0, х=2 = -2, х+2х -2=0, х = -1 Ответ: х=2, х = -1
|
Уравнения.
Решите уравнения методом введения новой переменной.
- (x+3)
- 4)
- 100-20=0
- log x-2
- 2 cosx-9cosx-5=0
- 3cosx-sin2x-sinx=0
- x
- (2x-1)
- 12)
- 2log
- 8sin
- 3sin
- 5+5=0
Решите уравнения вида P(x)*Q(x)=0
1) (4х-5)
2)
3)
4)
Решите уравнения, использовав свойства функции (метод «оценки»)
1) cosx= x
2)
3) log
4) sin x= x
5)
6)
Неравенства
Линейные неравенства. А) 3х≥ -6; х≥ -2( !! знак не меняется) Б)-5х< -10; х>2 ( !! знак меняется, при делении на отрицательное число) В) 0х< 2; х – любое. Г) 0х>8; нет решения. Квадратные неравенства.
Д=0,то Д<0,то Д>0,то Все значения х, х – любое х<х, х > х Кроме х =
Д=0,то Д<0,то Д>0,то Нет решения Нет решения х<х<х Метол интервалов 1. х >9; х-9 >0; Ответ: х 2. (х-4)(х+5)≤0; Ответ:х 3. Ответ: х | Иррациональные неравенства а<0, то нет решений а=0, то х=0 а>0, то х а<0, то х а=0, тох=0 а>0, то х Показательные неравенства а>а при а>1, функция возрастает. F(х) >G(х) при 0<а <1, функция убываетF(х). Логарифмические неравенства logF(х)> g(х), при а>1,F(х)>0,g(х)>0, то F(х)>а при <0а<1, F(х)>0,g(х)>0, то F(х)<а Неравенства с обратными тригонометрическими функциями 1. arcos х< -5, решений нет, так как 0. ≤arcosх≤ 2. arcos х< , х 3. arcos х>1, х 4. arcos х<, х 5. arcos х< , х 6. arcos х≤0, х | Тригонометрические неравенства Sin х≤, х cos х<, х tgх≤ , х |
Индивидуальная карта-контроль
По теме «Неравенства»
Тема | Главное по теме | Умения и навыки | Оценка | |
Моя | Учителя | |||
Неравенства | Знать свойства неравенств и уметь их применять. Изображать на координатной прямой множества решений простейших неравенств | |||
Линейные неравенства | Уметь решать простейшие неравенства | |||
Квадратные неравенства | Знать метод интервалов и уметь его применять при решении неравенств | |||
Иррациональные неравенства | Уметь решать неравенства, используя понятие корня и его свойства | |||
Показательные неравенства | .Иметь представление о показательном неравенстве. 2. Уметь решать неравенства | |||
Логарифмические неравенства | Уметь решать неравенства, используя свойства логарифмической функции | |||
Неравенства смешанного типа | Используя свойства функций, применяя комбинирование нескольких алгоритмов, уметь решать неравенства | |||
ИТОГОВАЯ ОЦЕНКА |
Параметры
Параметр - математический объект, количественно и качественно характеризующий задачу и влияющий как на процесс, так и на результат ее решения. В рамках условия конкретной алгебраической задачи параметр можно рассматривать в качестве: 1) фиксированного, но неизвестного числа; 2) независимой переменной (или функции); 3) алгебраического выражения. Главная особенность параметра заключается в его неопределенности. Степень неопределенности зависит от условия конкретной задачи. Решить задачу с параметром - значит указать ее решение для каждого значения параметра из заданного множества, называемого областью изменения параметра. Решить уравнение с параметром – значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения. 1. При каких значениях параметра a уравнение (a - 1)x + 2x + a - 1 = 0 имеет ровно один корень? Решение. При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a, 4- (а-1)(а-1)=0 откуда a = 0 или a = 2. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a = {0; 1; 2}. | 2. При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения x-2ax+a- a = 0 больше чем 12? Решение. Дискриминант уравнения x-2ax+a2-a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a ≥ 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и x1·x2 = a2-a. Отсюда x12+x22 = (x1+x2)2-2x1·x2 = 2a2+2a. Решениями неравенства 2a2+2a > 12, удовлетворяющими условию a≥ 0, являются числа a > 2. Ответ: a > 2. 3. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решения? Решение. Построим графики функций
Ответ: | 4. При каких значениях параметра а система уравнений не имеет решения? Решение. Ответ: 5. |x-8|=m. Решим данное уравнение двумя способами. Решение уравнения с помощью определения модуля. 1) Если m<0, то уравнение не имеет корней. 2) Если m=0, то уравнение примет вид: x-8 = 0; x=8 3) Если m>0, то x-8=m x-8=-m x=m+8 x=8-m Способ возведения в квадрат. |x-8|=m 1)Если m≠0, то (x-8)²=m² x²-16x+64-m²=0 a=1 b=-16 c=64-m² x1/2 =8±√64-1*(64-m²) x1/2 =8±√m² x1/2 =8±|m| x1=8-|m| x2 =8+|m| 2)Если m=0, уравнение примет вид: |x-8| = 0; (x-8)² = 0² x²-16x+64 = 0 x1/2 = (16±√256-256)/2 x1/2 = (16±0)/2 x=8 Ответ. x=8-m, x=8, x=8+m. |
Решение уравнений и неравенств с параметрами
Карточка № 1
- Для каждого значения параметра а решить: а2х = а (х +2) – 2
- (а + 1)х2 – (а – 1)х – 2а = 0
- Для каждого значения параметра решить уравнение и указать число корней
Карточка № 2
- Для каждого значения параметра а решить: 2(а – 2х) = ах + 3
- ах2 + 2(а +1) х + 2а = 0
- Для каждого значения параметра решить уравнение и указать число корней:
Карточка № 3
- Для каждого значения параметра а решить: (а2 – 4) х = а + 2
- х2 +
- Для каждого значения параметра решить уравнение и указать число корней:
Карточка № 4
- Для каждого значения параметра а решить: (а2 – 6а + 5)х = а-1
- ах2 – (а + 1) х + а2 +а = 0
- Для каждого значения параметра решить уравнение и указать число корней:
Карточка № 5
- Найти все значения параметра, при которых уравнение имеет единственное решение:
- Для каждого значения параметра решить: х2 + ах + 1 > 0
- При каких значениях параметра уравнение имеет решение? x + 2k
Карточка № 6
- Найти все значения параметра, при которых уравнение имеет единственное решение:
- Для каждого значения параметра решить неравенство: х2 + 2х + а > 0
- При каких значениях параметры уравнение имеет решение?
Карточка № 7
- Найти все значения параметра, при которых уравнение имеет единственное решение:
- Для каждого значения параметра решить ах2 + (а +1)х +1 > 0
- При каких значениях параметры уравнение имеет решение?
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Учебное пособие для подготовки к ОГЭ по математике (для учащихся очно-заочной формы обучения)
Учебное пособие в помощь учащимся для подготовки к ОГЭ по математике задания №2 и 3 из модуля "Алгебра". Задачи 2 и 3 - это просто задачи на действия с радикалами (в просторечии с корнями) и сревнение...
Страницы пособия для подготовки к ЕГЭ по математике базового уровня, с опорой на справочный материал.
В статье приведены страницы моего пособия для подготовки к ЕГЭ по математике базового уровня, с опорой на справочный материал.Пособие предназначено для подготовки к государственной итоговой аттес...
Пособие по подготовке к ЕГЭ по математике от преподавателей ФОКСФОРД
В книге показан алгоритм работы над заданиями ЕГЭ по математике....
Дидактическое пособие для подготовки к ВПР по математике (6 класс)
Тесты для подготовки к ВПР по математике 6 класс (10 вариантов)...
Пособие для подготовки к ГВЭ по математике
Работая над проблемой подготовки детей с ОВЗ к экзамену в формате ГВЭ, не склонных к математике, слабоуспевающих, я пришла к выводу, что если не помочь учащимся найти точку опоры при подготовке,...
Пособие для подготовки к ОГЭ по математике (9 класс)
Программа курса позволяет осуществить подготовку к государственной итоговой аттестации по математике в 9 классе. Изучая курс, учащиеся познакомятся со всеми типами заданий, со всеми идеями и методами ...
Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике профильного уровня. Задание № 14. Стереометрические задачи.
Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике профильного уровня предназначено для подготовки к решению задания № 14....