Призраки делимости
материал по математике (6 класс)

Призраки делимости

Для создания атмосферы задания были написаны на фигурках привидений и развешаны на доске.

Сегодня мы с вами отправляемся в очень опасное путешествие. С собой я могу взять только тех, у кого железные нервы, тех, кто ничего не боится. Посмотрите на дорожный указатель: на нем белым по черному написано: «Здесь живут Призраки Делимости». Признаться, даже я чувствую себя не слишком уютно. Конечно, никаких привидений нет, это все знают. Но знают ли об этом сами призраки?  Но отступать уже поздно! Нужно собраться с духом и смело войти в дом.

Итак, мы очутились в большом просторном холле. Вокруг зеркала, картины, свечи в старинных подсвечниках... Здесь до того красиво, что мы даже забыли о своих страхах. Вдруг что-то незримое пролетело у самого моего уха, и рядом послышался тихий вздох. Мы замерли. Вздох повторился. К нему присоединился второй, третий. И вот уже весь холл наполнился скорбными вздохами, похожими на призрачный хор:

Мы призраки, мы призраки,

Пропавших чисел души,

Услышьте наши признаки,

Раскройте ваши уши!

По признакам, по признакам

Вы числа разгадайте,

И призракам, и призракам

Вернуться к жизни дайте!

Так вот оно что! Сомнений нет – мы попали в Дом Потерянных Чисел. И, похоже, просто так нас отсюда не выпустят. Каждый, вступивший в этот Заколдованный дом, должен восстановить хотя бы одно из чисел.

Перед нами появился первый призрак. На нем было написано такое задание: «Найдите наибольшее нечетное двузначное число, которое делится на 5 и на 3». 

Не успели мы произнести ответ вслух, как в воздухе раздался звонкий смех, потом кто-то крикнул «Спасибо!» - и все стихло, а к нам уже спешило новое привидение.

«Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении и на 3, и на 5, и на 7 дает остаток 1».

Ура! Вот и второе число расколдовано! А третье привидение не заставило себя ждать: «Восстановите трехзначное число, каждая цифра которого вдвое больше предыдущей, и все эти цифры четные».

Следующее задание было примерно той же сложности. Наверное, призраки еще не до конца были уверены в наших силах, и рисковать не захотели. Избранное ими четырехзначное число с такими приметами: крайние его цифры одинаковы и меньше средних, которые тоже одинаковы. Сумма всех цифр числа равна восьми.

Теперь призраки припасли для нас задачку похитрее. «Назовите натуральное число, результат сложения которого с 1000 окажется больше результата умножения его на 1000».

И ещё одно задание: расставить цифры 0, 1, 2, 3 в таком порядке, чтобы получившееся число делилось на 2, 3, 4, 5, 6 и 10.

Новое привидение было очень грустным: оно боялось, что мы не сможем его разгадать. Но мы все-таки попробуем: «Если из этого числа вычесть семь, то оно поделится на 7, если вычесть восемь, то оно поделится на 8, а если вычесть 9 – то на 9. Что же это за число»

Да, задачка так задачка… Но для умных людей безвыходных положений не бывает! Зря, что ли, мы учили свойства делимости?

Напоследок призраки оставили задачку посложнее. Они предложили восстановить шестизначное число с такими приметами:

1) оно четное,

2) все цифры в нем разные и среди них нет нуля,

3) сумма цифр, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на местах нечетных, и равна 14,

4) последние три цифры – последовательно возрастающие,

5) первая цифра – 6.

Ура! Все числа разгаданы, и двери Дома с привидениями снова открыты. Но можем ли мы уйти без домашнего задания?

 Домашнее задание:

№1 (1 балл). Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении и на 3, и на 4, и на 5 дает остаток 2.

№2 (2 балла). К числу 23 слева и справа приписали по цифре и получили число, которое делится на 45. Что за число получилось?

№3 (3 балла). Если пятизначное число умножить на 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Какое это число?

Решения и ответы:

№1. Это число – 75.

№2. Сначала найдем такое число, которое делится и на 3, и на 5, и на 7 без остатка. Это число 105. А какое же число при делении на 3, на 5 и на 7 даст остаток 1? Конечно, на 1 большее, то есть 106.

№3. Начнем с первой, наименьшей цифры числа. Что это могла быть за цифра? 2, 4, 6 или 8. Начав с двойки, получим число 248. Теперь посмотрим, можно ли получить таким образом другое число, удовлетворяющее всем условиям? Начнем его с цифры 4 и увидим, что построить нужное число невозможно, поскольку третья его цифра – это уже не цифра, а число 16 (4, 8, 16). Значит, искомое число – 248.

№4. Начнём с самого последнего признака. Сумма всех цифр числа – 8. И так как крайние и средние цифры одинаковы, значит сумма двух первых и двух вторых равна половине от восьми, то есть четырем. А так как первая цифра меньше второй, а с нуля число начинаться не должно, значит первая цифра – 1, а вторая, естественно, 3. И все число – 1331.

№5. Это число 1.

№6. Возможно два варианта решения. Нужное число должно делиться на 10, значит, 0 стоит на последнем месте. При этом число автоматически делится и на 2, и на 5. Как бы мы не расставляли цифры в числе, оно обязательно поделится на 3, т.к. сумма данных нам цифр делится на 3. Число также поделится и на 6, т.к. оно делится на 2 и на 3. Вспомнив признак делимости на 4, определим, что предпоследней цифрой должна быть 2. Итак, возможные варианты: 1320 и 3120.

№7. Это число 504. Оно делится без остатка на 7, 8 и 9.

№8. Для начала определимся с последней цифрой этого числа. Так как число чётное, то это может быть цифра 2, 4 или 8. Цифры 0 и 6 не подходят по условиям (2) и (5). Прибавим к этому условие (4) и увидим, что последней цифрой может быть только 4. Итак, у нас получилось число 6**234. Вторую и третью цифру поможет условие (3). Искомое число 685234.

Домашнее задание:

№1. Это число 62. Рассуждаем аналогично №2 из классной работы.

№2. Число делится на 45, если оно делится и на 5, и на 9. По признаку делимости последней цифрой этого число могут быть только 5 и 0. Используя признак делимости на 9, получаем два варианта ответа: 8235 и 4230.

№3. Это число 10989.