Открытый урок по теме "Алгоритм Евклида" 5 класс
план-конспект урока по математике (5 класс)

Признаки делимости. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное

5 класс

Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. Математика 5 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации. 2-изд., стереотип. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2018

Цель  урока: - создание условий для закрепления учащимися признаков делимости, НОД и НОК; для осознанного и уверенного использования признаков делимости при решении примеров и задач; создание возможности для вывода и первичного осознания Алгоритма Евклида для нахождения НОД двух чисел.

Задачи:

• создать условия для тренировки умения применять признаки делимости при решении примеров и задач;
• предоставить возможность выбирать способы решения заданий в зависимости от  условий;
• создать условия для тренировки умения исправлять допущенные ошибки на основе рефлексии собственной деятельности;
• формировать коммуникативную компетенцию учащихся;
• воспитывать ответственность и аккуратность.

Тип урока: комбинированный урок с использованием мультимедийных и групповых технологий.

Формы работы учащихся: фронтальная работа, работа в парах, работа в группах, самостоятельная работа.

Необходимое техническое оборудование: доска, компьютер, мультимедийный проектор, карточки с индивидуальными заданиями, листы контроля и бланки ответов. 

Технологическая карта урока (см. ниже)

Самоопределение к деятельности (мотивация)

Актуализация знаний

Локализация затруднений (этап, аналогичный постановке учебной задачи)

Построение проекта выхода из  затруднений (этап, аналогичный этапу «открытия» нового знания)

Обобщение затруднений во внешней речи (этап, аналогичный этапу первичного закрепления)

Самостоятельная работа с последующим обсуждением решения

Включение в систему знаний и повторение

Рефлексия деятельности (итог урока)

Признаки делимости. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное

Ход урока

Степень вашего успеха зависит от вашего желания действовать.

Барбара Шер, писатель

Мы продолжаем изучать материал по теме «Признаки делимости».

Что нам может помочь в работе? (Эталоны, внимательность, алгоритм выхода из затруднения.)

Чтобы работа была успешной с чего надо начать? (Надо повторить все необходимое.)

Устный счет: прочитайте высказывания. Если вы с ними согласны, выберите букву, которая стоит во втором столбике. Если не согласны, то выберите букву из третьего столбика. Из получившихся букв составьте слово. У тех, кто правильно расставит все буквы, получится название термина, часто используемого математиками.

Итак, вы готовы назвать слово, которое зашифровано на листочках? Что оно означает? (Алгори́тм (лат. al­go­rithmi — от арабского имени математика Аль-Хорезми) — набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения некоторого результата).

Выходите к доске те, у кого на обратной стороне листочка написана буква, встречающаяся в слове АЛГОРИТМ. Постройтесь по порядку у доски. Какие алгоритмы нужно повторить, чтобы продолжить наш урок? Спасибо, садитесь на место.

Если у вас возникнут затруднения, что вы будете делать? (Будем стараться преодолевать их.)

Надеюсь, что сегодня работа будет успешной, и вы сможете разрешить вопросы, которые у вас остались по этой теме, и обязательно узнаете что-то новое!

Давайте начнем с теории.

Работа в парах: (проговори соседу по парте)

1. Свойства делимости произведения.
2. Свойства делимости суммы и разности.
3. Алгоритм нахождения НОД.
4. Алгоритм нахождения НОК.

Сегодня мы познакомимся с еще одним алгоритмом нахождения НОД, который будет помогать нам быстрее считать.

Это алгоритм носит имя древнегреческого математика Евклида. У вас на парте лежат желтые листочки. Возьмите их. Прочитайте приведенные утверждения и запишите свой ответ («да» или «нет») только в столбце ДО. Эти утверждения приведены, чтобы помочь нам внимательно посмотреть презентацию (видеофрагмент на экране).

Пересмотрите ваши утверждения и укажите ваш ответ в столбце ПОСЛЕ.

Поменяли ли вы какой-либо из ваших ответов? Если да, то какой и почему?

А давайте попробуем и мы найти наибольший общий делитель с помощью алгоритма Евклида. На белых листочках записан алгоритм Евклида и задания, которые можно решить с его помощью. Задача № 1. Кто пойдет к доске?

Задача 1:

1. Найти НОД (60; 45). Ответ 15.
2. Найти НОД (126; 450). Ответ 18.
3. Найти НОД (483; 1115). Ответ 23.

Задача 2:

Маша с Мишей собирались в магазин купить тетради. Миша говорит:

- Я куплю тетрадей на 165 рублей.

- А я – на 200 рублей, - не уступает ему Маша.

- Ничего не выйдет. Посчитай.

Маша принялась делить 200 рублей на цену тетради. И правда, получился остаток 5 рублей. Чему равна цена тетради?

Ответ: 15 рублей.

Задача 3.

Имеются две деревянные палки длиной 119см и 35см. Как разделить их на одинаковые части, не имея под рукой измерительных инструментов? Чему равны длины каждой такой части?

Ответ: 7см.

А если уж быть совсем точным, то в книге «Начала» алгоритм Евклида был записан именно так, как мы сейчас и сделали при решении этой задачи:

Пусть даны два отрезка длины a и b. Вычтем из большего отрезка меньший и заменим больший отрезок полученной разностью. Повторяем эту операцию, пока отрезки не станут равны. Если это произойдёт, то исходные отрезки соизмеримы, и последний полученный отрезок есть их наибольшая общая мера. Если общей меры нет, то процесс бесконечен. В таком виде алгоритм описан Евклидом и реализуется с помощью циркуля и линейки.

Физкультминутка.

Ответьте на вопросы «да» или «нет». Если ответ «да», мы встаем. Если  ответ «нет», то остаемся сидеть:

1. Простое число имеет ровно два делителя. (да)
2. Если четное число кратно девяти, то оно делится без остатка на 18. (да)
3. Простое число не может быть четным. (нет)
4. Если число кратно десяти, то оно делится и на два, и на пять. (да)
5. Разность двух нечетных чисел – число нечетное. (нет)
6. Единица – простое число. (нет)
7. Произведение двух простых чисел – всегда число составное. (да)
8. Если число кратно трем, то оно делится без остатка на девять. (нет)

А следующую задачу я нашла среди задач повышенной сложности для подготовки к олимпиадам. Но мы сейчас легко убедимся, что зная алгоритм Евклида, она очень просто решается. Кто хочет попробовать?

Задача 4.

Дима начертил в тетради прямоугольник со сторонами 232мм и 68мм и стал последовательно «отрезать» от него квадраты наибольшей величины. Узнайте, какой была сторона последнего квадрата, который «отрезал» Дима?

Ответ: 4мм.

Задача 5.

Треугольником прикрыто двузначное число, перевернутым треугольником – однозначное. Найдите эти числа.

Решение:

Разделим обе части равенства на 12.

Двузначное число должно оканчиваться на 0 или 5.

Ответ:

1. 10 и 6;
2. 15 и 9.

Задача 6.

Составьте два различных четных трехзначных числа, которые делились бы на 5 и на 9 и состояли бы из одинаковых цифр. Найдите их НОД и НОК.

Ответ:

1. 180 и 810, НОД = 90, НОК = 1620;
2. 270 и 720, НОД = 90, НОК = 2160;
3. 360 и 630, НОД = 90, НОК = 2520;
4. 450 и 540, НОД = 90, НОК = 2700.

Задача 7:

Найдите наименьшее трехзначное число, которое делится на 6. (102)

Задача 8:

Какие из чисел делятся на 15: 19 200, 767 128, 357, 23 615, 9 840, 4 431, 3 765, 433, 25 559, 10 003, 890 890? (19 200; 9 840; 3 765)

С какого признака удобнее начинать проверку, с 3 или с 5? Почему?

Задача 9:

В число  87 *350  вставь вместо звездочки цифру так, чтобы число делилось на 18. (4)

Что мы повторили? (Признаки делимости. Свойства делимости суммы и разности. Свойства делимости произведения. Алгоритмы нахождения НОД и НОК)

Что мы узнали нового? (Мы познакомились с алгоритмом Евклида.)

Что мы будем делать сейчас? (Запишем задание для домашней работы.)

С какой целью вы будете записывать домашнюю работу? (Чтобы потренироваться дома самим и выяснить, если у нас затруднения по данной теме.)

Какова была цель этого урока? (Выяснить умеем ли мы применять алгоритм Евклида, признаки делимости для решения задач.) Мы справились с этой задачей? (Да.)

Оцените свою работу, заполнив листок рефлексии.

Домашнее задание:

Задача 1:

1. Найдите НОД (90; 54);
2. Найдите НОД (969; 418).

Задача 2:

Вчера в цветочный магазин привезли 660 белых роз, 165 красных и 173 желтых. Целый день продавец магазина пытается составить наибольшее количество одинаковых букетов из красных и белых роз так, чтобы не осталось ни одной лишней. Но пока ничего не выходит. Зашедшая к ней в магазин дочка-пятиклассница быстро решила эту задачу, сообщив, сколько надо сделать букетов и какое количество каждого вида цветов в них войдет. Как рассуждала дочь Маша?

Задача 3:

Все самое важное и ценное Иван Иванович  хранит в сейфе, на котором кодовый замок, номер которого он забыл.  Код замка – семизначное число, состоящее из двоек и троек. Двоек больше, чем троек, а само число делится и на 3, и на 4. Помогите Ивану Ивановичу вспомнить код замка.

Задача 4:

Найдите наименьшее натуральное число, кратное 36, в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу.

Задача 5.

Докажите или опровергните утверждение: «Разность между трехзначным числом и суммой его цифр всегда делится на 9».