Статья: "Об использовании таблицы Д.Пойа при обучении решению задач по математике"
статья по математике на тему

Об использовании таблицы Д.Пойа при обучении решению задач

Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательным, и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы.

                                                                        Д.Пойа «Как решить задачу»

Воспитание творческой активности учащихся в процессе изучения математики является одной из актуальных целей школьного преподавания. Правильно поставленное упражнение для учащихся  — основное средство для достижения указанной цели. 

В данной статье рассматривается вопрос использования общей методики обучения решению задач по математике, опираясь на теорию, предложенную известным американским математиком Д. Пойа, и опубликованную им в книге «Как решать задачу» («How to Solve It»).

Рассмотрим основные положения этой методики и возможные направления ее применения.

Итак, учащимся предлагаются задачи, соразмерные с их знаниями, и своими наводящими вопросами учитель будет помогать им решать эти задачи. Таким образом, он сможет привить ученикам вкус к самостоятельному мышлению и развить необходимые для этого способности. Ответы на вопросы «Как можно придумать такое решение?», «Каким образом я сам мог бы придумать или открыть подобные вещи?» формируют у учащихся желание осознать пути и средства, приводящие к решению задачи.

Автор пришел к мысли, что стоит собрать и сгруппировать типичные вопросы и советы, полезные при разборе задач с учащимися. Такие вопросы и советы были тщательно отобраны и помещены в таблицу. Они полезны не только при совместной работе, но, также и тем, кто решает задачу самостоятельно. За внешней формой совета скрывается действие, подсказанное этим советом. Таким образом, в таблице неявным образом перечисляются типичные мыслительные процессы, приносящие пользу при решении задач. Эти процессы перечислены в том порядке, в каком они чаще всего встречаются.

Помогать ученику — одна из обязанностей учителя. Ученик должен приобрести как можно больше опыта самостоятельной работы, но если он оставлен наедине с задачей без помощи или если эта помощь недостаточна,— это не принесет ему никакой пользы. Помощь учителя не должна быть чрезмерна. Ученику должна остаться определенная доля работы.

Учитель должен увидеть причину затруднений, постараться понять, что происходит в голове ученика, и задать вопрос или указать шаг, до которого учащийся мог бы додуматься самостоятельно.

Стараясь оказать ученику помощь, учителю приходится вновь и вновь задавать одни и те же вопросы и указывать одни и те же шаги. 

Один и тот же вопрос можно задать, меняя его форму: что требуется? Что вы должны искать? Что вы хотите найти? Цель этих вопросов — сосредоточить внимание ученика на неизвестном. Иногда тот же эффект можно получить при помощи совета: рассмотрите неизвестное!

Общность — характерная черта вопросов и советов, содержащихся в таблице. В чем состоит условие? Что неизвестно? Что дано? Общность этих вопросов заключается в том, что мы можем задавать их решая всевозможные задачи. Их применение не ограничивается конкретным содержанием задачи. Она может быть алгебраической или геометрической, математической или нематематической, теоретической или практической; вопросы сохраняют смысл и могут помочь нам решить ее.

Все вопросы и советы таблицы естественны, просты, очевидны; в них воплощен обычный здравый смысл, но воплощение это носит общий характер.

Есть две цели, которые учитель может иметь в виду, обращаясь к ученикам с вопросом или советом, взятым из таблицы: первая — помочь ученику решить именно данную задачу; вторая — так развить способности ученика, чтобы в будущем он смог решать задачи самостоятельно. Будучи выведенными из простого здравого смысла, вопросы  часто возникают естественным образом; они могут сами собой прийти в голову ученику. Будучи общими, они оказывают ненавязчивую помощь; они просто дают общее направление, оставляя учащемуся обширное поле деятельности.

Ученик может настолько  хорошо усвоить некоторые вопросы таблицы, что он в конце концов окажется в состоянии задавать себе нужный вопрос в нужный момент, причем соответствующий мыслительный процесс будет происходить в его сознании естественным и эффективным образом.

Д.Пойа дает наставление и учителю, стремящемуся развить способности учеников к решению задач. Он должен пробудить в учащихся интерес к этим задачам и обеспечить им широкие возможности для подражания и приобретения опыта. Если учитель хочет, чтобы мыслительные процессы, соответствующие вопросам и советам таблицы, стали для учеников чем-то привычным, он должен обращаться к ним с этими вопросами и советами как можно чаще, не теряя, однако, естественности.

Д.Пойа предлагает следующую последовательность действий и вопросов в решении задачи:

ПОНИМАНИЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ

I Нужно ясно понять задачу.

Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие?

Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво?

Сделайте чертеж. Введите подходящие обозначения.

Разделите условие на части. Постарайтесь записать их.

СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА РЕШЕНИЯ

II Нужно найти связь между данными и неизвестным. Если не удается сразу обнаружить эту связь, возможно, полезно будет рассмотреть вспомогательные задачи. В конечном счете, необходимо прийти к плану решения. 

Не встречалась ли вам раньше эта задача? Хотя бы в несколько другой форме?

Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Не знаете ли теоремы, которая могла бы оказаться полезной?

Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным.

Вот задача, родственная с данной и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею? Нельзя ли применить ее результат? Нельзя ли использовать метод ее решения? Не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей?

Нельзя ли иначе сформулировать задачу? Еще иначе? Вернитесь к определениям. Если не удается решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную. Нельзя ли придумать более доступную сходную задачу? Более общую? Более частную? Аналогичную задачу? Нельзя ли решить часть задачи? Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть: насколько определенным окажется тогда неизвестное; как оно сможет меняться? Нельзя ли извлечь что-либо полезное из данных? Нельзя ли придумать другие данные, из которых можно было бы определить неизвестное? Нельзя ли изменить неизвестное, или данные, или, если необходимо, и то и другое так, чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу?

Все ли данные вами использованы? Все ли условие? Приняты ли вами во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?

ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПЛАНА

III Нужно осуществить план решения.

Осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен? Сумеете ли доказать, что он правилен?

ВЗГЛЯД НАЗАД

(изучение полученного решения)

IV Нужно изучить найденное решение.

Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения?

Нельзя ли получить тот же результат иначе? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда?

Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения?

КАК ИСКАТЬ РЕШЕНИЕ?

(Сокращенный вариант таблицы)