Методические указания для учителей математики
методическая разработка по алгебре по теме

Методические рекомендации учителю математики

  по разделам  математического анализа,

содержащимся в задачах ЕГЭ.

1. Пределы. Производная и дифференциальная функции одной переменной.
2. Формула Тейлора, формула Маклорена. Экстремум функции.
3. Дифференцирование функции многих переменных.
4. Применение производной в экономике.
5. Неопределённый и определённый интеграл.
6. Применение интеграла в экономике.
7. Числовые, функциональные ряды.
8. Степенные ряды. Радиус сходимости ряда. Ряд Тейлора.
9. Дифференциальные уравнения.

1. Производная и дифференциальная функции одной переменной.

Определение: Пусть функция  определена в окрестности точки x.

Производной от функции  называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

где  – приращение аргумента в точке х,

      – приращение функции в точке х.

Процесс вычисления производной называется дифференцированием функции.

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке х, т.е. .

Производная есть скорость изменения функции в точке х.

Таблица основных производных

1. ;
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 

10.  (arcsin x)’ =
11.  (arccos x)’ =
12.  (arctg x)’ =
13.  (arcctg x)’ =
14.  (sh x)’ =
15.  (ch x)’ =
16.  (th x)’ =
17.  (cth x)’ =

Основные правила дифференцирования

Пусть  – дифференцируемые функции, С – вещественная константа.

Дифференцирование сложной функции

Если  - дифференцируемые функции, то композиция функций  – дифференцируема в точке x.

 – правило дифференцирования сложной функции.

Производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной функции по промежуточной переменной и производной промежуточного аргумента по независимой переменной.

Рассмотрим примеры.

Вычислить производные функции:

1)

2)

3)

4)

5)

Логарифмическая производная

Пусть  на множестве Х,  – дифференцируемая функция.

Найдём производную логарифма этой функции:

Выразим отсюда

Формулу (I) удобно применять для дифференцирования показательно-степенной функции и функций, содержащих радикалы.

Найдём с помощью формулы (I) производную показательно-степенной функции:

.

Запишем

Найдём производную

.

Подставим найденную производную  в формулу (I). Вычислим производную самой функции

.

Рассмотрим пример:

Вычислить производную функции .

1. Запишем :
2. Найдём производную : .
3. Подставим  в формулу для вычисления производной :

.

Дифференцирование неявных функций

Пусть дана функция  , неявно заданная с помощью уравнения  Левая часть этого уравнения  является дифференцируемой функцией. Продифференцируем левую часть уравнения , считая  независимой переменной, а  – дифференцируемой функцией.

Затем выразим  из полученного уравнения.

Пример:

Найти , если  – неявно задана с помощью уравнения:

.

Продифференцируем левую часть равенства, помня, что  – независимая переменная,  – дифференцируемая функция:

.

Слагаемые, содержащие , оставим в левой части равенства. Остальные слагаемые в правую часть:

Сократим на 3 левую и правую часть равенства:

Разделим левую и правую часть равенства на Выразим искомую производную

.

Дифференцирование параметрически заданных функций

Пусть функция  задана параметрически с помощью двух функций:

  ,

где t – параметр .

Производная функции равна:

Пример:

Найти , если  задана параметрически:

,          

Производные высших порядков

Пусть  – дифференцируемые функции в некоторой точке.

Определение: Производной второго порядка функции  называется производная от её производной.

Вторая производная обозначается так:  .

Если  – закон прямолинейного движения точки, то вторая производная по времени  есть ускорение этого движения.

Аналогично определяется производная третьего порядка.  – есть производная от производной второго порядка:

Производной n-ого порядка от функции  называется производная от производной (n – 1)-ого порядка:

Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием функции.

Если функция задана параметрически , то производная … вычисляются по формулам:

и т.д.

Пример: Найти .

,

,

Дифференциалы первого и высших порядков

Определение: Дифференциалом первого порядка функции  называется главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента .

Правило вычисления дифференциала первого порядка

Чтобы найти дифференциал первого порядка, нужно первую производную функции по переменной x умножить на дифференциал этой переменной.

Это правило остаётся справедливым и в случае, когда х – есть дифференцируемая функция некоторого аргумента. В этом состоит свойство инвариантности формы дифференциала первого порядка.

Основные свойства дифференциала

Дифференциал функции может применяться для приближённых вычислений.

 Определение: Если  – дважды дифференцируемая функция, то дифференциалом второго порядка функции  называется дифференциал от дифференциала первого порядка:

Определение: Если  – n раз дифференцируемая функция, то дифференциалом n-ого порядка называется дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка: .

Правило вычисления дифференциалов высших порядков    

Если x – независимая переменная, то дифференциал n-ого порядка равен произведению n-ой производной функции  на дифференциал аргумента x в n-й степени:

Это правило несправедливо, если х – есть дифференцируемая функция, т.е. дифференциалы второго, третьего и т.д. порядков не обладают свойством инвариантности формы. В этом случае используется общее определение дифференциала n-ого порядка: т.к.

Примеры:

1. Вычислить дифференциалы первого, второго, третьего порядков функции

2. Вычислить приближённое значение

Воспользуемся приближённым равенством

Рассмотрим функцию

Пусть ,

Применяем формулу

Получим:.

3. Сравнить приращение и дифференциал функции

Находим:

2. Формула Тейлора. Формула Маклорена. Разложение основных элементарных функций.

Функция  раз дифференцируемая в некотором интервале, содержащем точку , может быть представлена в виде суммы многочлена -й степени и остаточно члена .

 ,

где  – остаточный член формулы Тейлора (в форме Лагранжа).

где .

При  получается формула Маклорена:

,

где  – остаточный член формулы Тейлора.

Проведём разложение некоторых функций по формуле Маклорена:

1. , ;
2. ,

;

3. ,

;

, .

Пример: Представить функцию  в виде многочлена пятой степени относительно двучлена  по формуле Тейлора .

Решение: Вычислим значение функции  и её производных до пятого порядка включительно при :

,

,

,

.

Следовательно, по формуле Тейлора получим:

,

где остаточный член формулы Тейлора равен:

, где .

4. Применение производной в экономике

Законы теории производства и потребления, спроса и предложения являются прямыми следствиями теории математического анализа.

Теорема Ферма: Если дифференцируемая на промежутке X функция  достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке  этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. .

Геометрический смысл теоремы Ферма: в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка X, касательная к графику функции параллельна оси абцисс.

Рассмотрим экономическую интерпретацю теоремы Ферма.

Один из базовых законов теории производства звучит так: оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода.

То есть уровень выпуска  является оптимальным для производителя, если , где MS - предельные издержки, а MD - предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за . Тогда , т.е. прибыль равна разности между доходом и издержками. Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальная, т.е. такое значение выпуска , при котором функция  имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке . Но , поэтому , т.е. .

Другое важное понятие теории производства - это уровень наиболее экономического производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек.

Один из наиболее знаменитых экономических законов - закон убывающей доходности - звучит следующим образом: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает.

Иными словами, величина  , где  - приращение ресурса, а  - приращение выпуска продукции, уменьшится при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности формируется так: функция , выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

Рассмотрим примеры двух предельных показаний в микроэкономике.

1. Первый из них связан с зависимостью собестоимости C произведенной продукции от ее объема Q: . Так называемая предельная собестоимость характеризует собестоимость  прироста продукции :

Обычно в приложениях под предельной собестоимостью понимают величину .

Пример.

Пусть зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции выражается формулой  денежных единиц.

1) Найдем средние издержки на единицу продукции.

Средние издержки при объеме продукции  денежных единиц:

 денежных единиц

2) Предельные издержки .

При  получим  денежных единиц.

Таким образом, при средних издержках на производство единицы продукции в 33,25 денежных единиц дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции составят 19,75 денежных единици и не превысят средних издержек.

2. В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса.

Пусть  - функция спроса от цены товара P.

Эластичность спроса показывает, на сколько процентов изменится спрос при изменении цены товара на 1%.

Эластичность .

Аналогичное понятие можно ввести и для функции предложения .

Функция спроса  - убывающая, а функция предложения  - возрастающая, значит, эластичность предложения .

Различают три вида спроса в зависимости от величины :

а) если , то спрос считается эластичным;

б) если , то спрос нейтрален;

в) если , то спрос неэластичный.

Пример. Пусть фунция спроса описывается формулой , где  и  - известные величины. Найти, при каких значениях цены P спрос будет эластичным.

Решение: Используем формулу для вычисления эластичности спроса.

;

;

.

Для того, чтобы спрос был эластичным, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

, т.е. , откуда .

Следовательно,  .

Пример. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса.

Решение. Выручка I равна произведению цены товара P на величину спроса D: .

Найдем производную этой функции: .

Проанализируем все варианты эластичности спроса:

1) ; .

Таким образом, при эластичном спросе повышение цены P ведет к снижению выручки. Напротив, снижение цены P увеличивает выручку выручки.

2) .

Тогда , т.е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку.

3) .

Тогда , т.е. при неэластичном спросе повышение цены P на товар приводит к росту выручки.

Понятие эластичности распространяется и на другие области экономики.

Пример. Пусть зависимость между собестоимостью продукции C и объемом Q ее производства выражается формулой: . Найти эластичность собестоимости при выпуске продукции  денежных единиц.

Решение. Эластичность собестоимости:

;

;

,

При объеме производства  денежных единиц искомая эластичность составит около , т.е. при данном объеме выпуска продукции увеличение объема на 1% приведет к снижению собестоимости приблизительно на 0,32%.

Пример. Найти максимум прибыли, если доход и издержки определяются следующими формулами:

,

.

Решение. Прибыль  равна разности между доходом и издержками:

Приравнивая производную функции прибыли к нулю, получаем уравнение:

Корни этого уравнения , .

Сравнивая значения прибыли  и , получим, что максимальная прибыль достигается при.

.

5. Неопределённый интеграл

Определение 1. Пусть функция  определена на некотором конечном или бесконечном промежутке E, т.е. на отрезке, интервале или полуинтервале числовой оси. Функция , определенная на E, называется первообразной функции  на E, если  для каждого E.

Если  – первообразная функция функции  на промежутке E, то функция , где  – некоторая постоянная, также является первообразной функции  на E.

E.

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции , определенных на некотором промежутке E, называется неопределенным интегралом от функции  на промежутке E и обозначается .

.

Всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределенные интегралы, есть равенство между множествами.

Основные свойства неопределенного интеграла

;

;

;

.

Таблица основных неопределенных интегралов

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Интегрирование заменой переменной.

Интегрирование по частям

Замена переменной – один из самых эффективных приемов интегрирования. Он базируется на следующем утверждении.

Пусть функция  определена и дифференцируема на множестве X, представляющем собой либо интервал, либо открытую полупрямую, либо бесконечную прямую, и пусть T обозначает множество всех значений этой функции.

Пусть далее для функции  существует на множестве T первообразная функции , т.е.

.

Тогда всюду на множестве {x} для функции  существует первообразная функция, равная , т.е.

.

Частный случай.  если .

Например: . Здесь делаем простейшую подстановку: .

.

Этот интеграл вычисляется посредством замены .

К числу весьма эффективных методов интегрирования относится метод интегрирования по частям. В его основе лежит следующее утверждение.

Пусть каждая из функций  и  дифференцируема на множестве X и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции , причем справедлива формула

. (I)

Эта формула сводит вопрос о вычислении интеграла  к вычислению интеграла . В ряде конкретных случаев это легко осуществимо. Вычисление интеграла  посредством применения (I) называют интегрированием по частям.

Методом интегрирования по частям можно найти такие интегралы:

1. , , , , , , где  – многочлены степени n; эти интегралы находятся путем n-кратного применения формулы (I), причем в качестве u(x) всякий раз следует брать .
2. , , , ,…

Обозначая любой из интегралов этой группы через I и проводя двукратное интегрирование по частям, мы получим для I уравнения 1-го порядка, откуда определяется .

Вычислим интеграл . Он не входит ни в одну из упомянутых групп. Тем не менее, применяя формулу (I) и полагая в ней , , получим du=dx, v=-ctg x,

.

Аналогично вычисляется интеграл .

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Интегралы вида

 ,       (1)

где , после выделения полного квадрата в квадратном трехчлене сводятся к табличному интегралу ,если .

Интегралы виды

       (2)

после выделения в числителе производной  квадратного трехчлена можно представить в виде суммы двух интегралов, один из которых сводится к интегралу вида , а другой есть интеграл вида (1).

Интегралы вида

 (k = 1,2)       (3)

сводятся к рассмотренным интегралам с помощью подстановки  .

 Интегралы вида

       (4)

после выделения полного квадрата  применения линейной подстановки сводятся к интегралам, которые можно найти, применив формулу интегрирования по частям.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти интеграл  .

Этот интеграл относится к интегралам вида (3) и с помощью подстановки  сводится к интегралу вида (1). Действительно, полагая , находим  и получаем

.

Пример 2. Найти интеграл .

Имеем интеграл вида (4). Выделив полный квадрат в подкоренном выражении  и применив подстановку , от данного интеграла перейдем к другому интегралу:

,

.

Полагая в равенстве  , и умножая его на , находим полный интеграл:

.

Интегрирование рациональных функций

Функция, заданная в виде отношения двух многочленов

       (1)

называется рациональной функцией (или рациональной дробью). В формуле (1) многочлены имеют действительные коэффициенты.

Если , рациональная дробь (1) называется правильной, в противном случае - неправильной.

Любая правильная рациональная дробь может быть разложена на сумму конечного числа простейших рациональных дробей. Различают четыре типа таких дробей:

1) ; 2) ; 3) ; 4) , где - действительные числа, k является натуральным числом, квадратный трехчлен  не имеет действительных корней .

Если рациональная дробь (1) является правильной и знаменатель  представлен в виде

,       (2)

то ее разложение на простейшие дроби производится по формуле

 , где , , , ,  - действительные постоянные, которые подлежат определению, . Для нахождения этих постоянных обе части равенства умножают на , вследствие чего получают равенство двух многочленов. Затем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в разных частях равенства, получают систему линейных алгебраических уравнений относительно m неизвестных постоянных , , , ,  , которая всегда имеет единственное решение. Этот метод называется методом неопределенных коэффициентов. Часто он комбинируется с методом частных значений.

Рассмотрим интегралы от простейших рациональных дробей:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

.

Для вычисления  используем реккурентную формулу

, .

Таким образом, чтобы проинтегрировать любую рациональную дробь, надо уметь интегрировать простейшие рациональные дроби.

Пример 3. Найти интеграл .

 ,

.       (*)

Для нахождения неизвестных постоянных целесообразно применить одновременно способ частных значений и метод неопределенных коэффициентов. Подставляя в обе части равенства (*) поочередно значения  и , находим: , . Чтобы найти постоянные  и , достаточно приравнять коэффициенты в обеих частях равенства (*) при  и , учтя при этом значения  и .

.

Интегрирование выражений, содержащих иррациональности

Интегралы вида

       (1)

рационализируются подстановкой  , k - общий знаменатель дробей  . Тогда  ,  и интеграл (1) приводится к виду

 ,       (2)

где  , ,  .

Подынтегральное выражение в (2) является рациональной функцией согласно известной теореме: если  - рациональная функция от двух аргументов x и y, а , ,  - три произвольные рациональные функции от одной переменной t, то выражение  представляет собой рациональную функцию от одной переменной.

Интегралы

 ,  ,        (3)

с помощью тригонометрических подстановок  ,  ,  сводятся к интегралам от выражений вида . С помощью таких же подстановок могут быть найдены интегралы вида  после предварительного выделения полного квадрата в квадратном трехчлене.

Интегралы от дифференциального бинома, т.е. интегралы вида

,       (4)

где m, n, , рационализируются, если одно из чисел p,  или  является целым. Если p - целое, то интеграл (4) является частным случаем интеграла (1).

В первом случае применяется подстановка , где l - общий знаменатель чисел m и n; во втором и третьем случаях - соответственно подстановки  и , где s - знаменатель числа p.

Пример 4. Найти интеграл  .

Используем подстановка , тогда , , , . Получим

Интегрирование выражений, рационально зависящих от тригонометрических функций

Интегралы вида , где R - рациональная функция, аргументами которой являются  и , в общем случае приводятся к интегралам от рациональных функций с аргументом t с помощью универсальной подстановки . При этом  ,  , , .

Универсальная подстановка часто ведет к слишком громоздким выкладкам, поэтому ее следует применять лишь в тех случаях, когда невозможно найти более легкий способ нахождения интеграла.

Если подыинтегральная функция обладает одним из следующих свойств: ; ; , то для нахождения интеграла  целесообразно использовать одну из подстановок , ,  соответственно.

Здесь мы основываемся на утверждении: каково бы ни было рациональное выражение , его всегда можно представить в виде суммы трех выражений:

.

Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака u, второе меняет знак при изменении знака v, а третье сохраняет значение при одновременном изменении знака u и v.

Выражение  разбиваем на три слагаемых, составляющих утверждение.

Пример 5. Найти интеграл .

.

Пример 6. Найти интеграл .

Применим универсальную подстановку , тогда , , . Получим

.

6. Применение интеграла в экономике

Вообще говоря, в экономических задачах переменные меняются дискретно. Для использования определенного интеграла нужно составить некоторую идеализированную модель, предполагающую непрерывное изменение зависимых переменных (функций) и независимых переменных (аргументы).

Рассмотрим пример.

Найти дневную выработку P за рабочий день продолжительностью восемь часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле:

,

где t - время в часах, - размерность производительности (объем продукции в час), - размерность времени (час).

Эта формула реально отражает процесс работы: производительность сначала растет, достигая максимума в середине рабочего дня при  часов, а затем падает.