Планы-конспекты урока по математике на тему "Решение уравнений"
план-конспект урока по математике (6 класс) по теме

Урок 1. Коэффициент

Цели: ввести понятие коэффициента;

показать, как применение переместительного и сочетательного свойств умножения позволяет упрощать вид произведения, если среди множителей есть числовые и буквенные множители;

отрабатывать умение находить и вычислять коэффициенты простейших алгебраических выражений;

 приводить выражения к виду, где числовой коэффициент записывается перед буквенным множителем.

Оборудование: доска, учебник, карточки для индивидуальной работы;

Ход урока

I. Организационный момент

II. Устный счет

1. Раскройте скобки:

2. На доске даны выражения, записанные в два столбика:

— Как вы думаете, почему выражения записали в разные столбики?

— Как бы вы назвали выражения первого столбика?

— Как бы вы назвали выражения второго столбика?

— Как называют компоненты при сложении?

— Как называют компоненты при вычитании?

— Для каждого выражения предложить назвать слагаемые, уменьшаемое, вычитаемое.

—  Упростите выражения: 

3. Решение задач (устно).

а) Таня пробежала 30 м за 6 сек. С какой скоростью она бежала? (5 м/сек.)

— Как нашли скорость? (Расстояние разделили на время.)

б) Автобус прошел 90 км со скоростью 45 км/ч. Сколько времени автобус был в пути? (2 часа.)

— Как нашли время пути? (Расстояние поделили на скорость.)

в) Какое расстояние преодолеет велосипедист за 2 часа, если скорость его 15 км/ч? (30 км.)

— Как нашли расстояние? (Скорость умножили на время.)

4. На бумаге написано число 86, не производя никакой записи, увеличьте это число на 12.

5. Произведение каких дробей равно 1? (Взаимно обратных.)

III. Индивидуальная работа

1 карточка

2 карточка

IV. Сообщение темы урока

— Когда римляне завоевали греков, развитие математики надолго остановилось. На целую тысячу лет! Возродили математику арабы. Выдающийся арабский поэт-математик Омар Хайям писал когда-то:

«... Мне мудрость не чужда была земная,

Разгадки тайн ища, не ведал сна я.

За семьдесят перевалило мне,

Что ж я узнал? —

Что ничего не знаю.»

Сегодня на уроке мы с вами узнаем, что такое коэффициент и как упрощать выражения, содержащие произведение буквенных и числовых коэффициентов.

V. Изучение нового материала

1. Подготовительная работа.

Определите, положительным или отрицательным будет произведение чисел:

2. Работа над новой темой.

— Упростите выражение:

— Что поможет нам упростить данные выражения? (Переместительное и сочетательное свойства умножения.)

— Сгруппировав отдельно числовые и отдельно буквенные множители, получаем:

Решение:

— Числа —10, -30, 36, —1, 1 называют коэффициентами в полученных выражениях.

— В двух последних выражениях коэффициент, равный 1 и —1, принято опускать.

— Дайте определение коэффициента.

— Коэффициент обычно пишут перед буквенным множителем.

— Еще в 5 классе мыс вами договорились, что 1 · а = а.

В случаях, когда даны выражения, например ас, у, xz или b, коэффициентом считают 1, так как

— При умножении —1 на любое число а получается число —а: —1 · а = —а

Рассмотрим выражения: —ab, —bc, —а, —ху, —abc.

— Числовым коэффициентом таких выражений считают — 1.

VI. Закрепление изученного материала

1. Назовите коэффициент выражения:

2. № 1260 стр. 221 (у доски и в тетрадях).

— Назовите коэффициент.

(Ответ: )

3. № 1261 (а—е) стр. 221 (самостоятельно, один ученик решает на обратной стороне доски, самопроверка).

— Что такое числовой коэффициент?

— Упростите выражение.

(Ответ: )

VII. Физкультминутка

VIII. Работа над задачей

№ 1297 стр. 227 (у доски и в тетрадях).

— Прочитайте задачу.

— Что известно? Что надо узнать?

— Что означает данный масштаб? (1 см на карте равен 100 000 см, или 1000 м, или 1 км на местности.)

Составьте краткую запись.

Решение:

Пусть х (см) — расстояние на карте.

х : 3 500 000 = 1 : 100 000

х = 3 500 000 : 100 000

х = 35;             35  (см) —  расстояние на карте.

(Ответ: 35 см.)

IX. Повторение изученного материала

1. Выразите неизвестные переменные:

1) z + х = у; 2) d · е = f; 3) а : b = с; 4) n — k = m.

2. № 1266 (а, в) стр. 222 (устно).

— Ответ обоснуйте.

(Ответ: а) (-6) · (-5) · (-4) · (-3) · (-2) · (-1) = 720;

в) Среди множителей есть ноль, следовательно, произведение равно 0)

3. № 1265 стр. 222 (на доске и в тетрадях).

— Определите знак каждого из чисел.

— Какими числами являются координаты точек на горизонтальной прямой, расположенных:

а) справа от начала координат:

б) слева от начала координат?

— Как перемножаются два отрицательных числа?

— Сформулируйте правило умножения двух чисел с разными знаками.

(Ответ: а) а > 0, b < 0, ab < 0; б) а < 0, b < 0, ab > 0; в) а > 0, b > 0, ab > 0; г) а < 0, b > 0, ab < 0)

X. Самостоятельная работа

Запишите только ответ.

Вариант I

Раскройте скобки:

Вариант II

Раскройте скобки:

XI. Подведение итогов урока

— Что называют числовым коэффициентом?

— Чему равен коэффициент выражения —a, a, ab, —ab?

Домашнее задание

№ 1275 (а-д), 1276 (а, б) стр. 223, № 1277 (а), 1278 стр. 224.

Урок 2. Коэффициент

Цели: отрабатывать умение использовать понятие коэффициента для упрощения выражений;

развивать умение самостоятельно работать, вычислительные навыки;

воспитывать умение оценивать свой труд.

Оборудование: доска, учебник, карточки для индивидуальной работы;

Ход урока

I. Организационный момент

II. Устный счет

1. Назовите коэффициент выражения: 

2. Решите уравнения: 

3. Упростите выражение: 

4. Во время прогулки по лесу мы через каждые 10 м встречали надсечки на деревьях. Какой путь мы прошли от первой надсечки до последней, если насчитали всего 20 надсечек? (Прошли 19 · 10 = 190 м.)

5. В доме 100 квартир. Сколько раз на табличках с номерами квартир встречается цифра 9? (20.)

III. Индивидуальная работа

1 карточка

2 карточка

IV. Сообщение темы урока

— Среди этого набора букв спряталось слово, которое поможет нам сформулировать тему сегодняшнего урока.

валордлэшшдмсьидкоэффициентшлрвджрдждозошавмдрзошсддмждыо

V. Закрепление изученного материала

1. № 1261 (ж—м) стр. 221 (самостоятельно, устная проверка).

— Что называют числовым коэффициентом выражения?

— Упростите выражение.

— Назовите числовой коэффициент.

 (Ответы: )

2. № 1263 стр. 222 (один ученик решает на обратной стороне доски, взаимопроверка).

 (Ответы:  )

VI. Физкультминутка

VII. Работа над задачей

№ 1303 стр. 227 (с подробным комментированием).

— Прочитайте задачу.

— Расскажите, что такое граф.

Решение: Из условия 5) и 3) следует, что Марина говорит по-испански.

Из условия 1) следует, что Марина играет на гитаре.

Из условия 2) следует, что Лариса играет на пианино и говорит по-немецки. Из 5) следует, что Жанна говорит по-французски и играет на виолончели.

Для Кати остался один вариант: она говорит по-английски и играет на скрипке.

VIII. Повторение изученного материала

1. № 1266 (б, г) стр. 222 (устно).

 (Ответ: б) среди множителей есть ноль, следовательно, произведение равно 0; г) —4 · (—5) · 4 · 5 = 400.)

2. Раскройте скобки (на доске и в тетрадях с подробным комментированием): 

3. № 1269 стр. 223 (самостоятельно).

— Какое правило раскрытия скобок нужно применить в данном случае?

— Чему равна сумма противоположных чисел?

Решение: 

IX. Самостоятельная работа (10 мин)

Вариант I

1. Упростите выражение и подчеркните коэффициент:  

2. Решите уравнение: 

Вариант II

1. Упростите выражение и подчеркните коэффициент: 

2. Решите уравнение: 

X. Подведение итогов урока

— Как можно упростить произведение, в котором несколько буквенных и числовых множителей?

— Чему равен коэффициент выражения —ах, ах, abc, —abc?

Домашнее задание

№ 1275 (е-к), 1276 (в, г) стр. 223, № 1277 (б), 1279 стр. 224.

Урок 3. Подобные слагаемые

Цели: ввести понятие подобных слагаемых; объяснить, что значит «привести подобные слагаемые»;

развивать логическое мышление, интерес к математике.

При выполнении преобразований выражений:

1. Выяснить, почему данные слагаемые будут подобными (не будут подобными).

2. Определить, каковы буквенные множители у этих слагаемых.

3. Определить коэффициенты.

4. Сформулировать правило приведения подобных слагаемых.

5. Привести подобные слагаемые.

Оборудование: доска, учебник,

Правило приведения подобных слагаемых: чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на буквенные множители.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Устный счет

1. Раскройте скобки:

2. Упростите выражение: —15 · a · 2 · d; 3 · n · m · (—4);

3. В 9 вагонах разместите 45 коров так, чтобы в каждом вагоне было разное их количество. (Используется интересный математический факт: сумма всех однозначных чисел равна 45.)

4. Исправьте ошибку, переставив одну  спичку.

1) VI - IV = IX

Ответ:  (V + IV = IX);

2) X + X — I

Ответ:  (X — IX = I);

3) VII - III = IX

Ответ: (VII + II = IX);

4) III - II – IV

Ответ: (III + I = IV);

5) XV - VII = XXI

Ответ: (XV + VI = XXI).

III. Сообщение темы урока

— Прочитайте анаграмму: пбднеыоо сааымеелг.

 Правильно, подобные слагаемые. Сегодня на уроке мы выясним, что это такое, и научимся приводить подобные слагаемые.

IV. Изучение нового материала

1. Подготовительная работа.

— Вспомните распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Запишите его в буквенном виде.

(а + b) · с = ас + bс; (а — b) · с = ас — bс.

2. Работа над новой темой.

1) Замену выражений (а + b) · с и (а — b) · с выражениями ас + bс и  

ас — bс или выражений с · (а + b) и с · (а — b) выражениями са + са и са — cb также называют раскрытием скобок.

— Раскройте скобки в выражении:

а) —2 · (а + b — с);                                                

б) 6 · (—а — b + d);

в) (—а —b —с) · (—4);                                            

г) (2а + 3b — 4с) · 5.

— На основании какого свойства умножения мы можем выполнить данное преобразование?

2) Упростите выражение 5а + 2а — 12а.

— Посмотрите на слагаемые.

— Что у них общего? (Одинаковые буквенные множители.)

—  Чем отличаются? (Коэффициентами.)

— Упростим 5а + 2а — 12а = а · (5 + 2 — 12) = —5а.

— Чем мы воспользовались при упрощении выражения? (Распределительным свойством умножения.)

—  Что записали в скобках? (Сумму коэффициентов всех слагаемых.)

— В выражении 5а + 2а —12 а все слагаемые имеют одинаковую буквенную часть и отличаются друг от друга только коэффициентами. Такие слагаемые называются подобными.

Подобный — похожий на что, схожий с чем, близкий, подходящий, одного вида, образа, свойств или качеств (из толкового словаря В. И. Даля).

—  Дайте определение подобных слагаемых.

Определение. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми.

— Чем могут отличаться подобные слагаемые? (Только коэффициентами.)

— Приведите примеры подобных слагаемых.

— Как вы думаете, что значит привести подобные слагаемые?

— Чтобы сложить (или привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

— Учебник, стр. 225, прочитай текст под рубрикой «Говори правильно».

— Выполните приведение подобных слагаемых:

а) —3а + 6а — 9а;

б) 7ab — 3ab + 2аb;

в) —8с + 3с + 8с;

г) —k + 4k — 7k.

— Прочитайте разными способами выражения.

Решение:

а) В данной сумме все слагаемые подобны, так как у них одинаковая буквенная часть а.

Коэффициенты равны: —3, 6 и —9.

Сложим коэффициенты: —3 + 6 — 9 = —6.

Получаем: —3а + 6а — 9а = —6.

V. Закрепление изученного материала

1. № 1281 (а—г) стр. 225 (на доске и в тетрадях).

— Являются ли данные слагаемые подобными? Почему?

(Ответ: а) 8а — 8b + 8с; б) —5m + 5n + 5k; в) ab — am + аn; г) —6аb + 3ас — 4а.)

2. № 1282 стр. 225 (у доски работают 3 ученика, остальные — в тетрадях, самопроверка).

— Назовите общие слагаемые.

— Подчеркните их.

— Вынесите за скобки.

— Найдите значение выражения.

Решение:

— Вспомните, как можно устно умножать двузначные числа на 11:

1) раздвигаем цифры 2 и 4;

2) между ними ставим их сумму.

2 (2 + 4) 4, получаем число 264.

Если сумма двух цифр равна 10 или больше, то цифру, стоящую в разряде сотен, увеличиваем на 1.

Например: 79 · 11 = 7(7 + 9)9 = 869, это 7(7 + 9)9 выполняется устно.

3. № 1283 (а—д) стр. 225 (с подробным комментированием у доски).

(Обратить внимание учащихся, что удобнее сначала сложить отдельно положительные и отрицательные коэффициенты, потом найти их сумму.)

— Для г): что интересного заметили? (Здесь две пары слагаемых, у которых коэффициенты отличаются только знаками.)

— На основании какого свойства сложения можно упростить данное выражение? (Сумма противоположных чисел равна нулю.)

— Еще говорят, что данные подобные слагаемые взаимно уничтожаются. Поэтому их можно зачеркнуть.

(Ответ: а) —5х; б) —9а; в) 26р; г) 0; д) —0,3а.)

VI. Самостоятельная работа

(Взаимопроверка)

Вариант I

1. Вычислить: —5,37 + 9,29 + 4,37.

2. Упростить выражение:

a) 8b + 12b - 21b + b;                  

б) 10а - а - b + 7b;

в) х + у – х - у + 4;                      

г) -15с - 15а + 8а + 4с.

Вариант II

1. Вычислить: —6,38 + 4,83 + 3,38.

2. Упростить выражение:

а) 7m + 16m — 24m + m;            

б) 25n — n — m + 12m;

в) а + b  — b — а — 7;                  

г)  —21х - 23у + 17х + 26у.

VII. Физкультминутка

VIII. Работа над задачей

№ 1296 стр. 227 (самостоятельно, устная проверка).

— Что такое масштаб?

— Прочитайте задачу.

— Составьте краткую запись.

— Решите самостоятельно.

Пусть х — во сколько раз уменьшили расстояние на местности, чтобы его изобразить на карте.

8,8 : 44 000 000 = 1 : х

х = 1 · 44 000 000 : 8,8

х = 50 000 000; 50 000 000 — длина отрезка на карте.

(Ответ: масштаб 1 : 50 000 000.)

IX. Повторение изученного материала

X. Подведение итогов урока

— Какие слагаемые называют подобными?

— Чем могут отличаться друг от друга подобные слагаемые?

Домашнее задание

Учебник, стр. 225 (прочитать текст под рубрикой «Говори правильно») Само задание можно не переписывать, записать в тетрадь только ответы. № 1304 (а, б), 1305 (а, б), 1306 (а-г), 1307 (a-в) стр. 228, № 1311 стр. 229.

Урок 4. Подобные слагаемые

Цели: отрабатывать умение приводить подобные слагаемые, решать уравнения, задачи с помощью уравнений;

развивать внимание и память.

Оборудование: доска, учебник;

Ход урока

I. Организационный момент

II. Устный счет

1. Раскройте скобки: 

2. Приведите подобные слагаемые: 

3. Скорость катера 32 км/ч. Успеет ли он за 15 мин проплыть 9 км?

4. При каких значениях аи b верно равенство: 

5. Посмотрите на число и запомните: 13579111315.

Число убирается. Учащиеся должны по памяти воспроизвести число. Так как число большое, то должны увидеть какую-то закономерность.

 (Ответ: закономерность состоит в следующем: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Достаточно понять, что перед нами нечетные числа.)

III. Сообщение темы урока

— Сегодня мы продолжим преобразовывать выражения, где нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

IV. Закрепление изученного материала

1. № 1281 (д-з) стр. 225 (самостоятельно, устная проверка).

— На чем основано раскрытие скобок? (На распределительном свойстве умножения.)

— Как записываются буквенные множители, если их два и более? (В алфавитном порядке.)

Решение: 

2. № 1282 (г—е) стр. 225 (один ученик решает на обратной стороне доски, остальные — в тетрадях, самопроверка).

— Запишите распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания в буквенном виде.

Решение: 

3. № 1283 (е—и) стр. 225 (у доски на обратной стороне и в тетрадях).

(Ответ:  )

V. Работа над задачей

№ 1288 стр. 226 (с подробным комментарием).

— Прочитайте задачу.

— Сделаем краткую запись в виде таблицы.

— Какие слова нужны для составления краткой записи?

— Что известно про картофель?

— Что надо узнать про картофель?

— Что известно про капусту?

— Что надо узнать про капусту?

— Что мы не внесли в краткую запись?

—  Что надо узнать?

Пусть х (м.) — привезли капусты; х — натуральное число. 

1) Зная, что всего привезли 162 кг картофеля и капусты, составим и решим уравнение:

20(х + 3) + 14х = 162

20х + 60 + 14х = 162

34х = 162 - 60

34х = 102

Х = 102:34

х = 3;  

3  (м.) —  привезли   капусты.

2) 3 + 3 = 6 (м.) - картофеля.

(Ответ: 3 мешка капусты и 6 мешков картофеля.)

VI. Физкультминутка

VII. Повторение изученного материала

№ 1292 стр. 226 (устно с подробным разбором).

— Чем интересно это задание?

— Найдите сумму первой пары слагаемых. (—2)

—  Второй? Третьей? (Тоже —2.)

— Как вы думаете, а остальных пар чему будет равна сумма?

(Тоже —2.)

—  Как найти значение выражения? (Надо узнать, сколько пар чисел с суммой —2.)

—  Сколько пар? (25.)

—  Чему равно значение? (—2 · 25 = —50.)

VIII. Самостоятельная работа (10-15 мин)

Вариант I

1. Упростите выражение: 

2. Приведите подобные слагаемые:

3. Упростите выражение:

4. Найдите значение выражения 2(5х — 4у) — 3(4х — у),

если х = -5, у = 0,8.

Вариант II

1. Упростите выражение: 

2. Приведите подобные слагаемые:

3. Упростите выражение:

4. Найдите значение выражения 5(4а — 3b) — 2(5а — 3b),

если а = —0,3, b = 0,7.

IX. Подведение итогов урока

— На основании какого свойства умножения выполняют приведение подобных слагаемых?

— Будут ли подобными ab и ас, abc и cba, —fc и fc, 5а и 5с? Почему?

Домашнее задание

№ 1304 (в, г), 1305 (в, г), 1306 (д—з), 1307 (г—е) стр. 228,

№ 1309 стр. 229.

Урок  5. Подобные слагаемые

Цели: отрабатывать умения решать задачи с помощью уравнений, уравнения;

обобщение и закрепление знаний по теме «Раскрытие скобок. Подобные слагаемые»;

Ход урока

I. Организационный момент

II. Устный счет

1. Раскройте скобки: 

2. При каких значениях а верно неравенство: 

3. Решите уравнения:

1) (y - 7)(у + 2) = 0;                

2) (х + 10)(х - 1) = 0;

3) (с - 6)(с - 9) = 0;                  

4) (b + 3)(с + 4) = 0.

4. Часы со стрелками отстают на 6 мин каждый день. Через сколько дней они будут показывать опять верное время?

5. Два числа и их произведение оканчиваются одной и той же цифрой. Какова эта цифра, если сумма трех таких цифр больше 15? (6.)

III. Индивидуальная работа (для более подготовленных учащихся)

Задание можно не переписывать.

1 карточка

2 карточка

IV. Сообщение темы урока

— Сегодня мы будем готовиться к контрольной работе.

V. Закрепление изученного материала

1. № 1282 (ж—и) стр. 225 (один ученик решает на обратной стороне доски, остальные — в тетрадях, взаимопроверка).

Решение: 

2. № 1284 (е—к) стр. 225 (самостоятельно, взаимопроверка).

—  Сколько групп подобных слагаемых в первом выражении? (3.)

Решение: 

VI. Работа над задачей

№ 1289 стр. 226 (у доски и в тетрадях).

—  Прочитайте задачу.

—  Что известно? Что надо узнать?

—  Сделайте краткую запись в виде таблицы.

—  Какие слова нужны для составления краткой записи? 

Пусть х (км/ч) - скорость туриста пешком; х — натуральное число. 

1) Зная, что весь путь 62 км:

3х + 4(х + 5) = 62

3х + 4х + 20 = 62

7х = 62 - 20

7х = 42

х = 42 : 7

х = 6;       6 (км/ч) — скорость туриста пешком.

2) 6 + 5 = 11 (км/ч) — скорость туриста на велосипеде.

(Ответ: 6 км/ч и 11 км/ч.)

VII. Физкультминутка

VIII. Повторение изученного материала

1. На чем основано раскрытие скобок?

— Найдите значение выражения: 

Решение: 

2. № 1294 (в, г) стр. 227 (устно).

— Расскажите, как удобнее найти значение выражения.

Решение:

IX. Самостоятельная работа (10 мин)

Вариант I

1. Решите уравнение: 

2. Турист проехал на поезде и на теплоходе 605 км. Средняя скорость поезда 60 км/ч, а теплохода 25 км/ч. Сколько времени турист ехал на поезде и сколько на теплоходе, если известно, что на теплоходе он ехал на 3 ч меньше, чем на поезде?

3. Найдите значение выражения 5k — (3k — 8р), если k + 4р = 17.

Вариант II

1. Решите уравнение:

а) 0,7х — 0,4х — 0,98х = 12,73;

2. Велосипедист ехал по шоссе со скоростью 14 км/ч, а по грунтовой дороге — 8 км/ч. Всего он проехал 11,6 км. Сколько времени он ехал по шоссе и сколько по грунтовой дороге, если но грунтовой дороге он ехал на 0,2 ч меньше, чем по шоссе?

3. Найдите значение выражения -2m - (6n - 5m), если m - 2n = - 12.

X. Подведение итогов урока

— Какие слагаемые называют подобными?

— Приведите примеры подобных слагаемых.

Домашнее задание

№ 1304 (д, е), 1305 (д, е), 1306 (и—м), 1307 (ж, з) стр. 228, № 1310 стр. 229.



Урок 6. Решение уравнений

Цели: вести понятие корня уравнения;

ознакомить со свойствами уравнений и новым способом решения уравнений, с решением задач нового типа;

отрабатывать умение решать уравнения; развивать грамотную математическую речь.

Ход урока

I. Организационный момент;

II. Устный счет

1. Раскройте скобки:
2. Решите уравнения: 

3. Найдите значение выражений: 

— Запишите ответы в порядке возрастания.

-29, -7, -6, 3, 19. (Титло.)

— Прочитайте получившееся слово.

— Как вы думаете, что оно обозначает?

В Древней Руси числа обозначали буквами с особым знаком, который писали над буквой. Этот знак назывался ТИТЛО.

4. Который теперь час, если оставшаяся часть суток в 2 раза меньше предыдущей?

5. Квадраты двух последовательных натуральных чисел отличаются лишь перестановкой последних двух цифр. Найдите эти числа. (13 и 14. 132 = 169, 142 = 196.)

III. Индивидуальная работа

1 карточка

Упростить выражение: 

2 карточка

Упростить выражение: 

IV. Сообщение темы урока

 «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». (А. Эйнштейн).

— Сегодня мы будем решать уравнения, используя их свойства.

V. Изучение нового материала

1. Подготовительная работа.

— Какое равенство называют уравнением? (Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.)

— Что значит решить уравнение? (Это значит найти все его корни или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня.)

Решите уравнение, применив сначала распределительное свойство умножения:

1 способ

5 · (х - 3) = 20

5х - 15 = 20

5х = 20 + 15

5х = 35

х = 35 : 5

х = 7

— Как по-другому можно решить уравнение? (По правилу отыскания неизвестных компонентов.)

2 способ

5 · (х - 3) = 20

— Что неизвестно в уравнении? (2 множитель.)

— Как найти неизвестный множитель? (Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.)

х - 3 = 20 : 5

х - 3 = 4

— Что неизвестно? (Уменьшаемое.)

— Как найти неизвестное уменьшаемое? (Надо к разности прибавить вычитаемое.)

х = 4 + 3

х = 7

2. Работа над новой темой.

а) Корнем уравнения называют то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

— Проверим, является ли число 7 корнем уравнений х — 3 = 4 и 5 · (х — 3) = 20.

Так как 7 — 3 = 4 и 5 · (7 — 3) = 20, то 7 — корень уравнения.

— Сравните два уравнения: 5 · (х - 3) = 20 и х - 3 = 4.

— Как из первого уравнения получить второе? (Второе уравнение можно получить, разделив обе части первого уравнения на 5 или умножив на 1/5.)

— Мы с вами убедились, что корнем этих двух уравнений будет одно и то же число.

— Поэтому корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

б) Решите уравнения: х + 8 = —15, (х = —23); х — 3 = -20, (х = —17); 37 — х = —5, (х — 42).

— Эти уравнения решались с использованием зависимостей между компонентами и результатами математических действий. Но изучение отрицательных чисел дает возможность решить эти уравнения иначе.

— Вспомним, чему равна сумма противоположных чисел. (0.)

— Как можно получить в левой части уравнения только слагаемое с х? (Прибавить или отнять числа, противоположные числам в левой части уравнения.)

Рассмотрим эти уравнения: 

— Слагаемые без переменной перешли из левой части уравнения в правую с противоположным знаком. Возьмем другие уравнения: 6х = 3х + 9.

— Нужно получить такое уравнение, чтобы слагаемые с х были только слева.

— Как вы думаете, что для этого надо сделать? (Для этого надо к обеим частям уравнения прибавить (-3х).)

— Имеем:

6х - 3х = 3х + 9 - 3х,

6х - 3х = 9,

3х = 9

х = 3

Или надо перенести слагаемое 3х из правой части уравнения в левую с противоположным знаком.

3х - 19 = 4х - 10, получаем:

3х - 4х = -10 + 19,

-х = 9

х = -9

— Какой же можно сделать вывод? (Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.)

— Принято при решении уравнений переносить слагаемые так, чтобы в левой части уравнения были неизвестные числа, а в правой — известные числа.

3. Работа с учебником.

—  Учебник, стр. 231. Прочитайте текст под рубрикой «Говори правильно».

— Склоняется ли название букв в математике? (Склонять название букв в математике не принято.)

Например: х = 3, «икс» равен трем; k = 4, «ка» равно четырем, у = —5, «игрек» равен минус пяти.

— При чтении уравнений помните, что названия букв х, у, z — мужского рода, а названия остальных латинских букв — среднего рода.

VI. Закрепление изученного материала

1. № 1314 стр. 231 (на доске и в тетради).

— Какое свойство уравнений мы применили?

—  Прочитайте уравнения.

Решение:

а) 8х + 5,9 = 7х + 20

8х = 7х + 20 - 5,9

б) 6х - 8 = -5х - 1,6

6х = -5х - 1,6 + 8

2. № 1317 (а, б) стр. 231 (на доске и в тетрадях).

— Для чего мы умножаем обе части уравнения на одно и то же число? (Чтобы избавиться от дробных чисел.)

Решение:

а) Какой наименьший общий знаменатель у дробей 7/9 и 2/3? (9.)

— Умножим обе части уравнения на 9.

б) Какой наименьший общий знаменатель у дробей 1/2, 1/4 и 2/3? (12.)

— На какое число надо умножить обе части уравнения? (На 12.) 

 (Ответ: х = 18, у — 60.)

3 . № 1320 (а) стр. 232 (на доске и в тетрадях).

1 способ

— Как называются числа в пропорции?

— Сформулируйте основное свойство пропорции. 

2 способ

— Решим это уравнение другим способом: с помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же число. 

 (Ответ: х = 17.)

— Сравните эти два способа решения.

— На ваш взгляд, какой способ удобнее?

VII. Самостоятельная работа

Вариант I

Решите уравнения: 

Вариант II

Решите уравнения: 

VIII. Физкультминутка

IX. Повторение изученного материала

1. Вынесите общий множитель за скобку. 

2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. 

X. Подведение итогов урока

— Какое равенство называют уравнением?

— Что значит решить уравнение?

— Объясните, что такое корень уравнения.

— Как проверить, верно ли решено уравнение?

Домашнее задание

Рассмотреть примеры 2 и 3 в учебнике на стр. 229—230. Выучить формулировки свойств уравнений.

№ 1342 (а—в) стр. 234, № 1350, 1351 стр. 235.

Урок 7. Решение уравнений

Цели: ввести понятие линейного уравнения;

 продолжить отрабатывать умение решать уравнения с помощью свойств уравнений;

отрабатывать умение решать задачи алгебраическим способом.

Ход урока

I. Организационный момент

«Алгебра дает общую “отмычку”, которой открываются любые задачные “замки”, тогда как арифметика подбирает к каждой задаче свой “ключ”» (И. К. Андронов).

II. Сообщение темы урока

— Сегодня на уроке мы продолжим решать уравнения с использованием свойств уравнений, задачи алгебраическим способом, узнаем, что такое алгебра, что она изучает.

III. Устный счет

1. Раскройте скобки: 

2. Выразите неизвестные переменные k, с, n, а:

3. Выразите неизвестные: 

4. Решите уравнения: 

5. На берегу собрались тридцатилетние и пятидесятилетние черепахи. Всего 15. Число тридцатилетних черепах составляет половину числа пятидесятилетних. Сколько каких?

IV. Индивидуальная работа

1 карточка

Решите уравнения:

2 карточка

Решите уравнения:

V. Изучение нового материала

1. Решите уравнения:

1) 2х + 4 = х + 6; 2) 3х — 6 = 2х — 4.

— Запишите с помощью букв в общем виде, какое уравнение получилось в результате упрощений.

2. Работа с учебником.

— Рассмотрите пример 4 в учебнике на стр. 230.

— Прочитайте в учебнике определение линейных уравнений.

— Приведите примеры линейных уравнений. (Записать несколько уравнений на доске и решить их).

VI. Работа над задачей

1. № 1321 стр. 232 (с подробным разбором на доске и в тетрадях).

— Прочитайте задачу.

— Что известно о первом бидоне? О втором?

— Какие изменения можно произвести с молоком в этих бидонах?

— В результате переливаний сколько молока станет в каждом бидоне?

— Что надо узнать? Главные вопросы обведите в краткой записи в кружок.

— Решать эту задачу будем с помощью уравнения.

— Как называется такой способ решения? (Алгебраический.) 

Решение:

1) Пусть х л - молока было во втором бидоне,

3х (л) — молока было в первом бидоне,

3х — 20 (л) — молока останется в первом бидоне,

х + 20 (л) — молока станет во втором бидоне.

Известно, что молока в бидонах стане поровну. Составим уравнение:

3х - 20 = х + 20

3х - х = 20 + 20

2х = 40

х = 20

20 (л) - молока было во втором бидоне.

2) 20 · 3 = 60 (л) — молока было в первом бидоне.

(Ответ: 20 л; 60 л.)

2. Однажды в цирке произошла вот такая история. Послушайте, как это было.

Клоун попросил фокусника решить задачу.

«За три дня в магазине было продано 720 кг яблок». Но не успел клоун произнести еще хоть одну фразу из задачи, как фокусник уже составил к этой задаче уравнение и решил ее. Фокусник составил уравнение: х + 2х + 3х = 720. И ответил на вопрос задачи:

240 кг — продали во второй день и 360 кг — продали в третий день.

(Решение задачи записано на обратной стороне доски.)

Клоун очень удивился, что фокусник, не дослушав его, правильно составил уравнение и правильно решил задачу. От такого удивления клоун даже забыл условие задачи.

— Ребята! Кто поможет клоуну восстановить задачу? (Выслушать 2—3 учеников.)

Задача. За три дня в магазине было продано 720 кг яблок. Во второй день продали в 2 раза больше яблок, чем в первый день, а в третий день в 3 раза больше яблок, чем в первый день. Сколько килограммов яблок продали во второй и третий дни?

— Возможны ли другие варианты уравнений? (Да.)

Например, х + 6х + 11х = 720; х + х + 2 х = 720; х + 25х + 10х = 360 и т. д.

VII. Физкультминутка

VIII. Закрепление изученного материала

1. № 1316 (в, г) стр. 231 (с подробным комментированием на доске и в тетрадях).

— На каком свойстве уравнений основано ваше решение?

Решение: 

 (Ответ: m = —8; n = 0.)

2. № 1317 (в, г) стр. 231 (с подробным комментированием на доске и в тетрадях).

в) — Назовите наименьший общий знаменатель дробей 1/2 и 1/6.

— На какое число надо умножить обе части уравнения? (На 6.)

— Изменятся ли корни данного уравнения? (Нет.)

—  Почему? (По свойству уравнения.)

Решение:

г) — Как называются данные дроби: 0,2; 2,3; 0,7; 3,2? (Десятичные.)

—  Чему равен их знаменатель? (10.)

— Следовательно, на какое число надо умножить обе части уравнения? (На 10)

 (Ответы: в) х = 15; г) х = 11.)

— Можно ли решать данные уравнения, не умножая их на одно и то же число? (Да.)

— Для чего же мы умножаем обе части уравнения на одно и то же число? (Для упрощения вычислений.)

IX. Самостоятельная работа

Вариант I

Решить уравнение: 

Вариант II

Решить уравнение: 

X. Повторение изученного материала

1. № 1333 стр. 233 (самостоятельно, записать только ответы, устная проверка).

— Какие слагаемые называются подобными?

— Что значит привести подобные слагаемые?

 (Ответы:  )

2. № 1336 стр. 233 (устно).

— К какому виду относится задача? (Задана на нахождение числа по его дроби.)

— Что надо узнать в задаче? (Чтобы определить, за какое время уборочная машина уберет свекловичное поле, надо найти число по данному значению его дроби.)

— Как найти число по его дроби? (Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.)

Решение:

Пусть 1 — все поле.

а) 5% = 0,05; 1 : 0,05 = 20 ч;

б) 1 : 1/6 = 6 ч;

в) 1: 0,4 = 2,5 ч.

(Ответ: а) 20 ч; б) 6 ч; в) 2,5 ч.)

XI. Подведение итогов урока

— Какие уравнения называют линейными?

— Приведите примеры линейных уравнений.

— Обе части уравнения разделили на число, не равное 0. Изменились ли корни данного уравнения?

Домашнее задание

Прочитать исторический материал в учебнике на стр. 235—236. № 1342 (г—е) стр. 234, N° 1346, 1348 (а) стр. 235.

Задание по желанию. Подготовить выступление на 2-3 мин об ученых-математиках, основоположниках алгебры.

Урок 8. Решение уравнений

Цели: отрабатывать умение решать уравнения, текстовые задачи с помощью уравнений;

повторить теоретический материал по теме «Решение уравнений».

Ход урока

I. Организационный момент

— Сегодня на уроке каждое задание мы будем самостоятельно оценивать по пятибалльной шкале. Оценку выставляйте на полях.

II. Цифровой диктант

(1 - да, 0 - нет.)

1. Уравнение — это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

2. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо к сумме прибавить известное слагаемое.

3. Решить уравнение - значит найти все его корни (или убедиться, что корней нет).

4. Корень уравнения 0 х = 2 равен 0.

5. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

6. Корнем уравнения называется значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.

7. 120 больше 60 на 2.

8. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение умножить на известный множитель.

9. Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

10. Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, не изменив при этом его знак.

(Ответ: 1; 0; 1; 0; 1; 1; 0; 0; 1; 0.)

 III. Индивидуальная работа

1 карточка

Решить уравнения:

1. —8х = —24;

2. 50х = —5;

3. 3х + 7 = 0;

4. 7х — 4 = х — 16;

5. 3х — (5 — х) = 11

2 карточка

Решить уравнения:

1. —6х = —24;

2. 25х = —10;

3. 2х + 9 = 0;

4. 6х — 9 = х + 5;

5. 7х — (8 — х) = 16

IV. Сообщение темы урока

— Сегодня на уроке мы продолжим решать уравнения и задачи с помощью уравнений.

V. Работа над задачей

№ 1322 стр. 232 (с подробным комментированием у доски и в тетрадях).

—  Прочитайте задачу. Самостоятельно составьте краткую запись.

— О каких отрезках идет речь в задаче?

— Что известно про отрезки AB, CD?

— Какие изменения можно произвести над отрезками?

— Что получится после изменений?

— Назовите главный вопрос задачи.

— Решать эту задачу будем с помощью уравнения.

— Как называется такой способ решения? (Алгебраический.)

Решение:

Пусть х см — длина отрезка CD до изменений. 

Зная, что после изменений получатся равные отрезки, составим уравнение:

х + 2 + 10 = 3х;

-2х = -12;

х = 6;               6 см — отрезок CD.

6 + 2 = 8 (см) - отрезок АВ.

— У кого составлено другое уравнение? Почему? (За х принимали длину отрезка АВ.)

Пусть х см — длина отрезка АВ.

х + 10 = 3 (х - 2)

(Ответ: 8 см.)

VI. Физкультминутка

VII. Закрепление изученного материала

1.№ 1316 (д, е) стр. 231 (на обратной стороне на доске и в тетрадях).

Решение: 

(Ответ: у = 2; z = 1.)

2. Составьте уравнения по таблице и решите их. 

Получаем: 

— Каким способом можно решить это уравнение? (Умножим обе части уравнения на 4.)

х + 17 = 80; х = 63;

— Как можно записать по-другому это уравнение? (72 : (х — 3) = 8.)

— Каким способом можно решить это уравнение? (Это уравнение решим с использованием зависимостей между компонентами и результатами математических действий.)

— Как называются числа при делении?

—  Что неизвестно? (Делитель.)

—  Как найти делитель? (Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.)

х — 3 = 72 : 8;

х — 3 = 9;

х = 12

(Ответ: 1) х = 63 ; 2) х = 12.)

VIII. Повторение изученного материала

1. № 1334 стр. 233 (самостоятельно записать только ответы, устная проверка).

—  Что значит упростить выражение? (Раскрыть скобки, применив распределительное свойство умножения, привести подобные слагаемые.)

(Ответ: х — 1; 7n — 2.)

2. № 1335 стр. 233 (устно).

— Как найти процентное отношение?

— Как перевести десятичную дробь в проценты?

(Ответ: )

IX. Самостоятельная работа (10—15 мин)

Вариант I

1. Решите уравнение: 

2. На первую машину положили груза в три раза меньше, чем на вторую. Если на первую машину добавить  т, а со второй снять  т, то груза на машинах будет поровну. Сколько тонн груза было на каждой машине?

3. Сумма двух натуральных чисел 474. Одно из них оканчивается цифрой 1. Если эту цифру зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

Вариант II

1. Решите уравнение: 

2. В первом вагоне в  раза больше груза, чем во втором. Если из первого вагона взять  т, а во второй добавить  т, то груза в вагонах будет поровну. Сколько тонн груза было в каждом вагоне?

3. Сумма двух натуральных чисел 596. Одно из них оканчивается цифрой 2. Если эту цифру зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

X. Подведение итогов урока

— Назовите свойства уравнений, которые используются при их решении.

— Прочитайте уравнение: 7х — 5 = —2х +15.

Домашнее задание

№ 1342 (ж-и), 1343 стр. 234, № 1348 (б) стр. 235.