Методические указания к практическим занятиям по учебной дисциплине «ЕН.01 Элементы высшей математики» Специальность 09.02.06 «Сетевое и системное администрирование»
методическая разработка по математике на тему
Методические указания к практическим работам по дисциплине «ЕН.01 Элементы высшей математики» предназначены для студентов специальности 09.02.06 «Сетевое и системное администрирование».
Цель методических указаний: оказание помощи студентам в выполнении практических работ по дисциплине «ЕН.01 Элементы высшей математики». Настоящие методические указания содержат практические работы, которые позволят студентам закрепить теорию по наиболее сложным разделам курса, и направлены на формирование профессиональных компетенций.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 649.64 КБ |
Предварительный просмотр:
Департамент образования ЯНАО
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Ямало-Ненецкого автономного округа
«Ямальский многопрофильный колледж»
СЕРИЯ
«Для студентов и преподавателей»
Методические указания
к практическим занятиям по учебной дисциплине
«ЕН.01 Элементы высшей математики»
Специальность 09.02.06 «Сетевое и системное администрирование»
Салехард, 2017
Методические указания к практическим работам по дисциплине «ЕН.01 Элементы высшей математики» предназначены для студентов специальности 09.02.06 «Сетевое и системное администрирование».
Цель методических указаний: оказание помощи студентам в выполнении практических работ по дисциплине «ЕН.01 Элементы высшей математики». Настоящие методические указания содержат практические работы, которые позволят студентам закрепить теорию по наиболее сложным разделам курса, и направлены на формирование профессиональных компетенций.
Составитель: Атавова Р.Ш., преподаватель ГБПОУ ЯНАО «ЯМК»
СОДЕРЖАНИЕ
| 4 |
| 5 |
| 6 |
| 7 |
| 9 |
| 12 |
| 15 |
| 15 |
| 18 |
| 23 |
| 25 |
| 28 |
| 30 |
| 36 |
| 38 |
| 39 |
| 43 |
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Методические указания к практическим работам по дисциплине «ЕН.01 Элементы высшей математики» предназначены для студентов специальности 09.02.06 Сетевое и системное администрирование.
Цель методических указаний: оказание помощи студентам в выполнении практических работ по дисциплине «ЕН.01 Элементы высшей математики».
1.2. Место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы: ЕН.00. Математический и общий естественнонаучный цикл, обязательная часть ОПОП.
1.3. Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины:
В результате освоения дисциплины студент должен уметь:
- выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений,
- определять предел последовательности, предел функции,
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления,
- использовать методы дифференцирования и интегрирования для решения практических задач,
- решать дифференциальные уравнения,
- пользоваться понятиями теории комплексных чисел.
В результате освоения дисциплины студент должен знать:
- основные численные методы решения прикладных задач,
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии,
- основы дифференциального и интегрального исчисления,
- основы теории комплексных чисел.
1.4. Рекомендуемое количество часов на освоение программы дисциплины:
максимальной учебной нагрузки студента 72 часа, в том числе:
обязательной аудиторной учебной нагрузки студента 72 часа;
из них практических работ 28 часов.
Правила выполнения практических работ:
- Студент должен выполнить практическую работу самостоятельно или в группе, если это предусмотрено заданием.
- Каждый студент, после выполнения работы, должен предоставить отчёт о проделанной работе с анализом полученных результатов и выводом по работе в рабочей тетради.
- Содержание отчёта указано в описании практической работы.
- Таблицы и рисунки следует выполнять с помощью чертёжных инструментов (линейки, циркуля и т.д.) карандашом с соблюдением ЕСКД.
- Если студент не выполнил практическую работу или часть работы, то он может выполнить работу или оставшуюся часть во внеурочное время, согласованное преподавателем.
- Оценку по практической работе студент получает, с учётом срока выполнения работы, если:
- работа выполнена правильно и в полном объёме;
- сделан анализ проделанной работы и выводы по результатам работы;
- студент может пояснить выполнение любого этапа работы;
- отчёт выполнен в соответствии с требованиями к выполнению работы.
- Зачёт по практическим работам студент получает при условии выполнения всех предусмотренных программой работ, после сдачи отчетов по работам при удовлетворительных оценках за опросы и контрольные вопросы во время практических занятий.
ТЕМАТИКА ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
Наименование разделов и тем | Содержание практических работ | Объём часов |
1 | 2 | 3 |
Тема 1. Теория пределов | Практическое занятие №1 Предел последовательности, предел функции. | 2 |
Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной | Практическое занятие №2 Полное исследование функции. Построение графиков | 2 |
Тема 3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной | Практическое занятие №3 Вычисление определенных интегралов. Применение определенных интегралов. | 2 |
Практическое занятие №4 Методы дифференциального и интегрального исчисления. | 2 | |
Тема 4. Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных | Практическое занятие №5 Производные высших порядков и дифференциалы высших порядков | 2 |
Тема 5. Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных | Практическое занятие №6 Методы дифференцирования и интегрирования для решения практических задач. | 2 |
Тема 6. Теория рядов | Практическое занятие №7 Комплексные числа. | 2 |
Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения | Практическое занятие №8 Решение дифференциальных уравнений. | 2 |
Практическое занятие №9 Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка. | 2 | |
Тема 8. Матрицы и определители | Практическое занятие №10 Операции над матрицами и системы линейных уравнений. | 2 |
Тема 9. Матрицы и определители | Практическое занятие №11 Правило решения произвольной системы линейных уравнений. | 2 |
Практическое занятие №12 Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. | 2 | |
Тема 10. Векторы и действия с ними | Практическое занятие №13 Приложения скалярного, смешанного, векторного произведения векторов. | 2 |
Тема 11. Аналитическая геометрия на плоскости | Практическое занятие №14 Уравнение окружности, эллипса, гиперболы и параболы на плоскости. | 2 |
Всего: | 28 |
Практическое занятие №1
ТЕМА: Предел последовательности, предел функции.
Цель работы: развитие умений и навыков по вычислению пределов элементарных функций.
- Основной теоретический материал
Основные теоремы о пределах
Пусть f(x) и ϕ(x) – функции, для которых существуют пределы при x→ (x→∞):
Сформулируем основные теоремы о пределах:
- Функция не может иметь более одного предела.
- Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.
- Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
- Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, т.е.
,
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения. Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда х→∞, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены.
Пример 1: Вычислить предел
Решение: Сначала мы смотрим на числитель и находим х в старшей степени. Старшая степень в числителе равна двум. Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим х в старшей степени. Старшая степень знаменателя равна двум. Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке. Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.
=
= (Разделим числитель и знаменатель на х2) =
=
=
=
. Ответ:
.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения. Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.
Пример 2: Решить предел:
Решение: Сначала попробуем подставить -1 в дробь:. В данном случае получена так называемая неопределенность
. Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида
, то для её раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.
Итак, решаем наш предел =
Разложим числитель на множители:
2х2 – 3х – 5 = 0
D = (– 3)2 – 4·2· (– 5) = 9+40=49 (Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка)
=
= 7
x1 = =
= – 1. х2 =
=
=
2х2 – 3х – 5 =2 (х + 1) (х– ) = (х + 1) (х– 5)
=
=
(2x – 5) = – 2 – 5 = – 7. Ответ: – 7.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Пример 3: Найти предел
Решение: Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела. Это первое, что нужно выполнять для любого предела.
=
=
=
. Получена неопределенность вида
, которую нужно устранять. Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности
используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. Вспоминаем формулу разности квадратов: (а – b) (а + b) = а2 – b2. Умножаем числитель на сопряженное выражение:
=
=
=
= =
=
=
=
=
=
. Ответ: -
- Решение типовых заданий:
Пример 1. Вычислить предел .
Решение. .
Пример 2. Вычислить предел
Решение. = 1+1+1=3.
Пример 3. Вычислить предел
Решение.=
.
- Задания: Вычислите предел
1 вариант | 2 вариант | 3 вариант |
- Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Название работы;
2. Цель работы;
3. Задание;
4. Результаты выполнения задания.
- Контрольные вопросы
- Дайте определение предела переменной величины. Перечислите свойства пределов.
- Дайте определение предела функции в точке.
- Сформулируйте и запишите первый и второй замечательные пределы.
- Литература
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
- Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.
Практическое занятие №2
ТЕМА: Полное исследование функции. Построение графиков.
Цель работы: Проверить на практике знание понятия производной функции, понимание геометрического смысла производной, умение применять их для решения задач, умение находить производные функций, умение находить промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы, промежутки выпуклости, точки перегиба, асимптоты функции, применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме.
- Основной теоретический материал
При построении графиков функций с помощью производных полезно придерживаться такого плана:
1°. Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются.
2°. Выясняют, не является ли функция четной или нечетной; проверяют ее на периодичность.
3°. Определяют точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.
4°. Находят критические точки функции.
5°. Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции.
6°. Определяют промежутки вогнутости и выпуклости кривой и находят точки перегиба.
7°. Используя результаты исследования, соединяют полученные точки плавной кривой. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.
Этот план исследования функции и построения ее графика является примерным, его не всегда надо придерживаться пунктуально: можно менять порядок пунктов, некоторые совсем опускать, если они не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с большими трудностями, то это можно не делать; если выражение для второй производной окажется очень сложным, то можно ограничиться построением графика на основании результатов исследования первой производной; если функция - четная, то ее график симметричен относительно оси Оу, поэтому достаточно построить график для положительных значений аргумента, принадлежащих области определения функции, и т. п.
- Решение типовых заданий:
Пример 1: Исследовать функции и построить их графики: f(x) = x2 + 2x– 3.
Решение.
1°. Функция определена на интервале (– ∞; ∞). Точек разрыва нет.
2°. Имеем f(–х) = (–х)2 + 2(–х) – 3 = х2 – 2х – 3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (–х)≠ f (х) и f (–х) ≠ –f (х).
3°. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Если у=0, то х2+2х–3=0, Решая квадратное уравнение найдем корни: х1 =–3, х2= 1. Значит, кривая пересекает ось абсцисс в точках (–3; 0) и (1;0). Если х=0, то из равенства у=х2+2х–3 следует у= –3, т. е. кривая пересекает ось ординат в точке (0; –3).
4°. Найдем критические точки функции. Имеем у'=2х+2; 2х+2=0; 2(х+1)=0; х=–1.
5°. Область определения функции разделится на промежутки (–∞,–1) и (–1,∞). Знаки производной f'(х) в каждом промежутке можно найти непосредственной подстановкой точки из рассматриваемого промежутка. Так, f'(–2)=–2<0, f'(2)=2>0. Следовательно, в промежутке
(–∞,–1) функция убывает, а в промежутке (–1,∞)-возрастает. При х=–1 функция имеет минимум, равный f(–1)=fmin =(–l)2+2(–l) –3=l–2–3= –4.
Составим таблицу:
х | (–∞;–1) | –1 | (–1, ∞) |
f′ (х) | - | 0 | + |
f(х) | fmin =-4 |
6°. Находим f"(х) = 2, т.е. f"(х)>0. Следовательно, кривая вогнута на всей области определения и не имеет точек перегиба.
7°. Построим все найденные точки в прямоугольной системе координат и соединим их плавной линией.
Пример 2. у=х3–12х + 4.
Решение:
1°. Функция определена на интервале (–∞;∞). Функция непрерывна во всей области определения.
2°. Имеем f(–х)=(–х)3+12(–х)+ 4=–х3–12х+4. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f(–х)≠ f(х) и f (–х) ≠ –f (х).
3° . Если х= 0, то у= 4, т. е. график функции пересекает ось ординат в точке (0, 4).
4°. Имеем у'=0, у'=3х2 –12, 3х2–12=0, 3(х+2)(х–2)=0; х1=-2, х2=–2 - критические точки функции.
5°. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Её область определения разделится на промежутки (–∞;–2), (–2; 2), (2; ∞).
Составим таблицу:
х | (–∞, -2) | –2 | (–2, 2) | 2 | (2, ∞) |
у′ | + | 0 | – | 0 | + |
у | уmax=20 | уmin=–12 |
6°. Находим у"=(3х2 - 12)' = 6x; 6x=0; x=0. Определим знаки второй производной слева и справа от точки х=0: у''х=-1=- 6<0; y"х=1=6>0. Следовательно, в промежутке (-∞,0) кривая выпукла, а в промежутке (0, ∞) - вогнута. При х=0 имеем точку перегиба; ее ордината у=0-12∙0 + 4 = 4.
Составим таблицу:
х | (-∞; 0) | 0 | (0; ∞) |
у" | – | 0 | + |
у | Выпукла | Точка перегиба (0; 4) | Вогнута |
7°. Кривая изображена на рисунке.
Пример 3. у = х4 –
х2.
Решение.
1°. Область определения функции - интервал (–∞,∞). Точек разрыва нет.
2°. Здесь f(–x)=f(x), так как х входит только в четных степенях. Следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси Оу.
3°. Чтобы определить точки пересечения графика с осью ординат, полагаем х = 0, тогда у = 0. Значит, кривая пересекает ось Оу в точке (0; 0).
Чтобы определить точки пересечения графика с осью абсцисс, полагаем у=0:
х4 –
х2 =0; х4–6х2=0; x2(x2–6)=0. Отсюда х2=0, x1,2=0, т.е. две точки пересечения слились в одну точку касания; кривая в точке (0; 0) касается оси Ох. Далее, имеем х2–6=0, т.е. х3,4=
≈±2,45. Итак, в начале координат О(0; 0) кривая пересекает ось Оу и касается оси Ох, а в точках А (–2,45; 0) и В (2,45; 0) пересекает ось Ох.
4°. Найдем критические точки функции:
y'=x3–3x; x3–3x=0; х(х2–3)=0; х1=0; х2,3=± ≈±1,7. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы (–∞;
), (
, 0), (0,
), (
, ∞).
5°. Исследуем критические точки с помощью второй производной.
Находим у" = 3х2 – 3. При х = 0 получим у"х=0=–3, т.е. уmax=0, и, значит, О(0; 0) - точка максимума. Далее при х= имеем
= 6, т.е. ymin=
(
)4–
(
)2= –2,25. Таким образом, D (
; –2,25) - точка минимума, а вследствие симметрии минимум достигается также в точке С(-
; -2,25). Составим таблицу:
х | (–∞;– | – | (– | 0 | (0; | ( | |
у' | – | 0 | + | 0 | – | 0 | + |
у | ymin =–2,25 | уmax=0 | ymin =–2,25 |
6°. Имеем у"=3(x2–1) = 0, 3(х–1)(х+1) = 0, х1,2=±1. Точки х=–1 и х=1 разбивают область определения функции на интервалы (–∞,–1), (–1,1) и (1,∞). В интервалах (–∞,–1) и (1,∞) имеем у">0, т.е. здесь кривая вогнута, а в интервале (–1,1) имеем у"<0, т. е. здесь она выпукла. При х= –1 и х= 1 получаем точки перегиба Е и F, ординаты которых одинаковы: у(–1) = у(1)= –1,25.
Составим таблицу:
х | (–∞,–1) | –1 | (-1; 1) | 1 | (1; ∞) |
у" | + | 0 | – | 0 | + |
у | Вогнута | Точка перегиба (–1; –1,25) | Выпукла | Точка перегиба (1; 1,25) | Вогнута |
7°. График изображен на рисунке.
- Задания: Исследовать функцию:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Название работы;
2. Цель работы;
3. Задание;
4. Результаты выполнения задания.
- Контрольные вопросы
- Дайте определение функции и приведите примеры функциональной зависимости.
- Что называется областью определения и областью значения функции?
- Какие существуют способы задания функции? Дайте определение возрастающей и убывающей функции. Приведите примеры
- Литература
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
- Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.
Практическое занятие №3
ТЕМА: Вычисление определённых интегралов. Применение определенных интегралов.
Цель работы: проверить на практике знание понятия неопределённого и определённого интегралов, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять неопределённый интеграл методом введения новой переменной и интегрирования по частям.
- Основной теоретический материал
Пусть f(x) - функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных для f(x) называется неопределённым интегралом от f(x) и обозначается ∫f(x)dx. Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции f(x) называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию. Функция f(x), записанная после знака интеграла (или, как часто говорят, под знаком интеграла), называется подынтегральной функцией.
Согласно доказанным выше теоремам о виде первообразных, неопределённый интеграл от функции f(x) состоит из функций вида F(х)+С, где F(х)- какая-либо фиксированная первообразная для f(x), а С- величина, постоянная на каждом из непересекающихся интервалов, на которых задана функция f(x). Поэтому можно написать такую формулу: ∫f(x)dx= F(х)+С.
Итак, для того чтобы доказать равенство ∫f(x)dx= F(х)+С, достаточно проверить, что F(х)- первообразная для f(x), то есть что F′(х)= f(x).
Таблица интегралов
1. | 9. | ||
2. | 10. | ||
3. |
| 11. | |
4. | 12. | ||
5. | 13. | ||
6. | 14. | ||
7. | 15. | ||
8. | 16. |
Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем:
- Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
- Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
- Находят дифференциалы старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
- Производят замену под интегралом.
- Находят полученный интеграл.
- В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.
Результат полезно проверить дифференцированием. Формула замены переменной:, где х=φ(t), причём должна существовать обратная функция t = φ′(x).
- Решение типовых заданий:
Пример 1. .
Решение: Применим подстановки: t = x², dt = 2xdx и воспользуемся формулой замены переменной: =
.
Пример 2. .
Решение: Сделаем замену переменной: x² = t. Тогда . Следовательно,
.
Интегрирование по частям. Формулу интегрирования по частям:
, полезно применять в случае, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение двух функций, одна из которых является многочленом, или если подынтегральная функция не имеет табличной первообразной (логарифм, обратные тригонометрические функции и т.п.).
Решение: Полагаем u = ln x, dv = dx. Тогда . Используя формулу интегрирования по частям, находим:
.
Кроме того, интегрирование по частям применяется для получения уравнений, из которых можно найти искомую первообразную. Такие возможности возникают, когда подынтегральное выражение содержит произведение множителей вида sin kx или cos kx и enx, и в некоторых других случаях.
Пример 4. I =.
Тогда 2I = ex (sin x – cos x), или I=
- Задания: Вычислите интегралы:
1 вариант | 2 вариант | 3 вариант |
- Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Название работы;
2. Цель работы;
3. Задание;
4. Результаты выполнения задания.
- Контрольные вопросы
- Что называется неопределённым интегралом?
- Напишите основные формулы интегрирования.
- Как проверить результат интегрирования?
- Литература
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
- Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.
Практическое занятие №4
ТЕМА: Методы дифференциального и интегрального исчисления.
Цель работы: развитие умений и навыков по вычислению пределов.
- Основной теоретический материал
Для вычисления определенных интегралов от непрерывных функций с конечными пределами необходимо, пользуясь известными методами интегрирования, получить первообразную от интегрируемой функции и, применяя формулу Ньютона-Лейбница , найти разность значений первообразной при подстановке вместо переменной верхнего и нижнего пределов интегрирования.
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение: Воспользуемся формулой замены переменной в определенном интеграле:и применим подстановку
= t, т.е. x= t². Определим новый промежуток интегрирования: х = 4 при t = 2; х = 9 при t = 3. Следовательно,
=
= 2
= 2
2ln2.
- Задания: Вычислите определённый интеграл
- Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Название работы;
2. Цель работы;
3. Задание;
4. Результаты выполнения задания.
- Контрольные вопросы
- Что называется определённым интегралом?
- Напишите основные формулы интегрирования.
- Как проверить результат интегрирования?
- Литература
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
- Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.
Практическое занятие №5
ТЕМА: Производные высших порядков и дифференциалы высших порядков.
Цель работы: Проверить на практике знание понятия производной функции, умение находить производные элементарных функций, сложных функций, обратных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования, понятием сложная и обратная функция.
- Основной теоретический материал
Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение, при ∆х стремящемся к нулю.
Правила дифференцирования
- (f + g) ' = f ' + g '
- (f − g) ' = f ' − g '
- (f · g) ' = f' ·g + g'·f
Формулы дифференцирования
Основные элементарные функции | Сложные функции |
|
|
- Решение типовых заданий:
Пример 1. Найти значение производной функции у = sin (4x – ) в точке х0 =
Решение: Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:
у′ = (sin (4x – ))′ = (4x –
)′·cos(4x –
) = 4 cos(4x –
)
у′ () = 4 cos(4·
–
) = 4 cos
= 4·
= 2
. Ответ: 2
Пример 2. y = x3 – 3x2 + 5x + 2. Найти значение производной функции при y '(–1).
Решение: Найдем производную данной функции: y ' = 3x2 – 6x+ 5. Следовательно, y'(–1) = 14. Ответ:14
Пример 3. Найти производную данной функции y = ln x · cos x.
Решение: Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования:
y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙cos x – ln x · sin x.
Пример 4. Найти производную данной функции y = .
Решение: Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования:
y′ = =
- Задания:
- Найдите производные функций:
- Найдите значения производных функций f '(2); g'(1); h'(0), если f(х)=;
g(х)=; h(х) =.
- Найдите значения производных функций f '(2); g'(1); h'(0), если
f(х) = ; g(х) =; h(х) = .
- Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Название работы;
2. Цель работы;
3. Задание;
4. Результаты выполнения задания.
- Контрольные вопросы
- Дайте определение производной функции.
- Выпишите в таблицу основные правила и формулы дифференцирования.
- Каков геометрический смысл производной?
- Литература
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
- Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.
Практическое занятие №6
ТЕМА: Методы дифференцирования и интегрирования для решения практических задач.
Цель: рассмотреть методы дифференцирования и интегрирования для решения практических задач.
- Основной теоретический материал:
Вспоминаем общую запись двойного интеграла: . Снова посмотрим на общую запись двойного интеграла и заметим, что в нём притаилась функция двух переменных f(x;y). А когда речь заходит о функции двух переменных, то речь идёт о частных производных второго порядка.
В большинстве практических задач требуется формально вычислить двойной интеграл, но, помимо этого, он обладает отличным геометрическим смыслом – с помощью двойного интеграла помимо площади можно вычислить еще и объём.
Пример 1: Вычислить двойной интеграл,
: у=
, у=x. Изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл вторым способом.
Решение: Изобразим область интегрирования D на чертеже: Выполнение чертежа – необходимый начальный этап решения. Чертёж крайне важно выполнить правильно и точно.
Выберем следующий порядок обхода:
х≤у≤
0≤у≤1
Таким образом: =
=
.
Обратите внимание на следующее действие: в данном случае можно вынести «икс» из внутреннего интеграла во внешний интеграл. Почему? Во внутреннем интеграле интегрирование проводится по «игрек», следовательно, «икс» считается константой. А любую константу можно вынести за знак интеграла, что благополучно и сделано.
С интегралами настоятельно рекомендуется разбираться по пунктам:
1) Используя формулу Ньютона-Лейбница, найдём внутренний интеграл и вместо «игрека» подставляем функции:
2) Результат, полученный в первом пункте, подставим во внешний интеграл , при этом ни в коем случае не забываем про «икс», который там уже находится:
.
Выполняем вторую часть задания: изменим порядок обхода области и вычислим двойной интеграл вторым способом.
Перейдём к обратным функциям: у =→ x= у2; у =x→ x=у.
Второй способ обхода области:
Таким образом: =
. Вот здесь уже «икс» является «родным» для внутреннего интеграла, поэтому его нельзя вынести во внешний интеграл.
1) Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислим внутренний интеграл и вместо «икса» подставляются функции:
2) Результат, полученный в первом пункте, подставим во внешний интеграл и проведём окончательные вычисления:
Ответ:
Двойной интеграл как объем тела. Рассмотрим основной геометрический смысл двойного интеграла. Предполагаем, что функция z = f(x;y) существует в каждой точке (x;y) плоской области D и задаёт некоторую поверхность трехмерного пространства. Для определенности считаем, что f(x;y)>0, то есть поверхность располагается над плоскостью XOY.
Согласно общей концепции интегрирования, произведение (высота×длина×ширина) равно бесконечно малому объёму dV элементарного кусочка тела. Двойной же интеграл объединяет эти бесконечно малые значения dV по всей области D, в результате чего мы получаем суммарный (интегральный) объём всего цилиндрического бруса
.
Пример 2: Вычислить двойной интеграл, , D: y = x; xy=1, y=2.
Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:
Согласно первому способу обхода, область придется разделить на две части, при этом необходимо будет вычислить следующие интегралы:
Перейдем к обратным функциям: y=x, следовательно x=y; y=, следовательно x=
Порядок обхода области:
≤ x≤ y
1≤ y≤2
Таким образом:
1) Найдём внутренний интеграл:.
2) Результат предыдущего пункта подставим во внешний интеграл, при этом не забываем про , который там уже находится:
.
Ответ:.
Пример 3: Вычислить двойной интеграл, D:
=3,
=0;
=0.
Решение: Сначала рассмотрим свойства линейности кратного интеграла:
. Решение, как обычно, начинаем с построения области интегрирования:
В данном примере, как легко заметить, не имеет особого значения порядок интегрирования, поэтому выберем первый, более привычный вариант обхода области:
0≤ y ≤ 3 – x
0≤ x ≤3
Таким образом:
1) Сначала берём внутренний интеграл: =
2) Берём оставшийся внешний интеграл:
=
=
= .
Ответ:
Пример 4: Вычислить двойной интеграл по области , D:
=1,
=х2;
=0
Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:
Выберем следующий порядок обхода области:
0≤ y ≤ x2
0≤ x ≤1
Таким образом: =
1)
= =
.
2) =
.
Перейдём к обратной функции y = x2, x=и изменим порядок обхода области:
≤ x ≤ 1
0≤ y ≤1
Таким образом:
1) Вычислим внутренний интеграл:
2)
Ответ:
Пример 5: Вычислить двойной интеграл по области: , D:
=0,
=
;
=x.
Решение: Выполним чертёж:
После выполнения чертежа нужно выяснить, какой порядок обхода области выгоднее применить.
Рассмотрим первый способ обхода:
x ≤ y ≤
0≤ x ≤
Тогда:.
Есть еще и второй способ обхода области:
0≤ x ≤ y
0≤ y ≤
Следовательно:
1) По формуле Ньютона-Лейбница разберемся с внутренним интегралом:
2) Полученный результат перемещаем во внешний интеграл, не забывая, что там уже есть
и константа 4:
= =
Ответ:.
- Задания:
- Вычислить двойной интеграл:
, D: y= - x3; y=1; x=0.
- Вычислить двойной интеграл
, D:
=
2,
=0;
=0.
- Вычислить двойной интеграл по области
, D:
1,
=
;
=
.
- Вычислить двойной интеграл по области
, D:
0,
=
;
=
.
- Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Название работы;
2. Цель работы;
3. Задание;
4. Результаты выполнения задания.
- Контрольные вопросы
- Что такое интегральные кривые? Как они расположены относительно друг друга?
- Как из семейства интегральных кривых выделить одну из них?
- Литература
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
- Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.
Практическое занятие №7
ТЕМА: Комплексные числа.
Цель работы: развитие умений и навыков по выполнению арифметических операций над комплексными числами.
- Основной теоретический материал
Допустим, что существует такое число, квадрат которого = –1. Обозначим это число буквой i, тогда можно записать i2 = – 1.
Число i называется мнимой единицей, если i = .
Введение мнимой единицы позволяет нам извлекать квадратные корни из отрицательных чисел:
=
=
·
= 6 i.
=
=
·
=
i.
Степени мнимой единицы.
i;
i2 = – 1;
i3 = i2 · i = – 1 · i = – i;
i4 = i3 · i = - i · i = i2 = - (-1) = 1;
i5 = i4 · i = 1 · i = -i;
i6 = i5 · i = -i · i = i2 = -1;
i7= i6 · i = - 1 · i = -i;
i8= i7 · i = - i · i = - i2 = 1.
Значения степеней числа i повторяются с периодом равным 4. Таким образом:
- Если показатель степени числа i делится на 4, то значение степени равно 1;
- Если при делении показателя на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i.
- Если при делении показателя на 4 в остатке получается 2, то значение степени равно - 1.
- Если при делении показателя на 4 в остатке получается 3, то значение степени равно - i.
Пример 1:
Найти: а) i28 = [28 = 7·4] = 1. б) i33 =[33 = 8·4 +1] = i. в) i135 =[135= 33·4 +3] = - i.
Числа вида а + bi, где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными числами.
а + bi – алгебраическая форма комплексного числа.
Число а – действительная часть комплексного числа;
bi – мнимая часть комплексного числа;
b– коэффициент при мнимой части.
Два комплексных числа а + bi и с + di считаются равными тогда и только тогда, когда в отдельности, равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице,
т.е. а+bi = с+di, если а=с и b=d.
Пример 2: Найти х и у:
а) 3у + 5х i = 15 – 7 i.
Решение: Согласно условию равенства комплексных чисел имеем:
3у = 15; 5х = - 7. Отсюда х= – ; у = 5.
б) (2х+3у) + (х – у) i = 7+6 i.
Решение: Из условия равенства комплексных чисел следует
Умножим второе уравнение на 3:
Сложив первое и второе уравнения получим 5х = 25, т.е. х = 5.
Подставим это значение во второе уравнение: 5 – у = 6, откуда у = – 1.
Итак, получаем ответ: х=5; у= –1.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.
Пример3: Даны комплексные числа z1= 2+3i, z2=5 - 7i. Найти z1+ z2; z1- z2; z1·z2.
Решение:
z1+ z2 = (2+3i)+(5 - 7i) = 2+3i + 5 - 7i = (2+5)+(3i - 7i) = 7 – 4i.
z1- z2= (2+3i) – (5 - 7i) = 2+3i – 5 + 7i = (2–5)+(3i + 7i) = –3+10i.
z1·z2 = (2+3i)·(5–7i) = 10–14i+15i–21i2=10 – 14i + 15i + 21(здесь учтено, что i2= –1) = (10+21) + (–14i+15i)= 31+ i.
При выполнении умножения можно использовать формулы сокращенного умножения: (a±b)2=a2±2ab+b2; (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3.
Пример 4: Выполнить действие: а) (2+3i)2; б)(5 - 7i)2; в) (5+3i)3.
Решение: а) (2+3i)2=4+2·2·3i+9i2=4+12i–9 = –5+12i.
б)(3 – 5i)2= 9–2·3·5i+25i2=9–30i–25 = –16–30i.
в) (5+3i)3=125+3·25·3i+3·5·9i2+27i3=–5+12i=(тк i2=–1, а i3=–i)=125+225i–135–27i =
= –10+198i.
Рассмотрим теперь применение формулы (a + b)(a-b) = a2-b2.
Пример 5: Выполнить действия: а) (5+3i)·(5 – 3i); б) (2 – 3i)·(2+3i); в) (1+i)·(1 – i).
Решение: а) (5+3i)·(5 – 3i)= 52 –(3i)2= 25 – 9i2=25+9=34.
б) (2 – 5i)·(2+5i)= 22 –(5i)2= 4 – 25i2= 4+25=29.
в) (1+i)·(1 – i) = 12 – i2= 1+1=2.
Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
Рассмотрим деление двух комплексных чисел. Чтобы выполнить деление, произведём дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряжённое делителю.
Пример 6: Выполнить деление: а) ; б)
Решение: а) =
=
=
=
+
i.
б) =
=
=
=
–
i.
Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.
Пример 7: Решить уравнение: а) х2–6х+13=0; б) 9х2+12х+29=0.
Решение: а) х2–6х+13=0.
Найдём дискриминант по формуле: D = b2 –4ас.
Так как а = 1, b = –6, с = 13, то D = ( –6)2 – 41
13=36–52= –16;
=
=
= 4i. Корни уравнения находим по формулам х1=
; х2=
:
х1= =
= 3–2i; х2=
=
= 3+2i.
б) 9х2+12х+29=0. Здесь, а=9, b=12, с=29.
Следовательно, D=b2–4ас=122–41
29=144–1044=–900.
=
=
=30i.
х1= =
=
=
;
х2= =
=
=
.
- Задания: Выполнить действия над комплексными числами
1 вариант | 2 вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Название работы;
2. Цель работы;
3. Задание;
4. Результаты выполнения задания.
- Контрольные вопросы
- Дайте определение комплексному числу.
- Как вычисляют степени мнимой единицы?.
- Какие комплексные числа называются сопряжёнными?
- Литература
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
- Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.
Практическое занятие №8
ТЕМА: Дифференциальные уравнения первого порядка с разделёнными переменными.
Цель работы: развитие умений и навыков по вычислению дифференциальных уравнений первого порядка с разделёнными переменными.
- Основной теоретический материал
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные искомой функции или её дифференциалы. Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Эта функция называется решением дифференциального уравнения.
Уравнение вида f(x)dx+φ(y)dy=0,где f(x) и φ(у) - данные функции, называется уравнением с разделенными переменными. (2).
Это уравнение можно переписать в виде f(x)dx=– φ(y)dy и рассматривать как равенство двух дифференциалов. Каждая часть уравнения с разделенными переменными представляет собой произведение некоторого выражения, зависящего от одной переменной, на дифференциал этой переменной.
Например, xdx+ydy=0, 2ydy=3x2dx, ds=(3t2–2)dt, 2ydy=(1–3x2)dx, exdx=уdy, - уравнения с разделенными переменными. Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.
- Решение типовых заданий:
Пример 1: Решить уравнение х dx+ у dy = 0.
Решение. Здесь переменные разделены. Интегрируя, получим ∫xdx+∫ydy=C;
=С; х2+у2=2С. Так как С произвольно, то можно обозначить 2С через С2, учитывая, что левая часть последнего равенства положительна. Тогда это равенство примет вид х2+у2=С2. Это и есть общее решение, или как говорят, общий интеграл данного дифференциального уравнения. С геометрической точки зрения мы получили семейство (совокупность) концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом, равным С (сравните полученное уравнение с известным уравнением окружности вида х2+у2=R2).
Пример 2: Решить уравнение 2ydy =3х2 dх.
Решение. Здесь φ(х)=2у, f(х)=3х2. Интегрируя обе части уравнения, имеем ∫2уdy=∫3x2dx, у2=х3+С. Получили общее решение дифференциального уравнения. Это решение можно записать в явной форме: у=.
Пример 3: Найти частное решение дифференциального уравнения dy = (х2–1)dx, если у= 4 при х = 1.
Решение. Имеем ∫dy=∫(х2–1)dx; у=; 4=
, откуда С=
. Итак, получаем ответ: у =
.
Пример 4: Решить уравнение
Решение. Здесь переменные разделены. Интегрируя, имеем
∫; ln(у+1)=ln(х–1)+С
Произвольную постоянную С можно обозначить через lnС; тогда ln(у+1)=ln(х–1)+lnС. Представив в правой части равенства сумму логарифмов в виде логарифма произведения, получим ln(у+1)=ln(х–1)С, откуда (у+1)=С(х–1). Это и есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.
Уравнение вида f(x)F(y)dx+φ(x)Ф(у)dy=0, где f(x), F(y), φ(х), Ф(у) - заданные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными. (3)
Например, x(y2–1)dx+y(x2+1)dy=0, 1+у–ху'=0, 2dx–3dy+xdx+y2dy=0, 1+у'+у+ху'=0 являются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.
Уравнение (3) можно привести к виду (2), если разделить все его члены на произведение φ(x)Ф(у).
Пример 5: Решить уравнение х(у2–1)dx+у(х2+1)dy=0.
Решение. Разделив все члены уравнения на (х2+1)(у2-1), получим = 0. Теперь переменные разделены; интегрируя, находим
=C1;
ln(х2+1)+
ln(у2–1)=
С. Здесь произвольная постоянная С1 заменена на
С (поскольку любое положительное или отрицательное число может быть представлено как натуральный логарифм другого, положительного числа |С|). Сокращая все члены равенства на 1/2, получим ln(х2+1)(у2–1)=
С, откуда (х2+1)(у–1)=С. Это и есть общий интеграл или общее решение данного дифференциального уравнения.
Пример 6: Найти все решения дифференциального уравнения у'= ху2.
Решение. Очевидно, что у=0 является решением данного уравнения. Пусть теперь у≠0. Тогда = x dx и, следовательно
+С. Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид у =
, где С - произвольная постоянная. Заметим, что решение не получается из общего решения ни при каком значении постоянной С.
Пример 7: Проинтегрировать дифференциальное уравнение (1+x2)dy–2xydx=0.
Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на произведение у(1+х2), получим уравнение с разделенными переменными: =0. Интегрируя это уравнение, находим
ln|у|– ln(1+х2)=|С| или
=
|С| откуда получаем общее решение у=С(1+х2).
На основании решенных примеров очевиден алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
1. Выражают производную функции через дифференциалы dx и dy.
2. Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку.
3. Разделяют переменные.
4. Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.
5. Если заданы начальные условия, то находят частное решение.
В зависимости от вида уравнения некоторые пункты алгоритма решения могут быть опущены.
Пример 8: Найти общее решение уравнения 1+у'+у+ху'=0.
Решение. 1. Заменим у' на : 1 +
+ у + х
= 0
2. Умножим все члены равенства на dx: dx+dy+ydx+xdy=0. Сгруппируем все члены, содержащие dy и dx, и запишем полученные выражения в разных частях равенства: (1+x)dy= -(1+y)dx.
3. Разделим обе части равенства на выражение (1+х) (1+у):
4. Интегрируя обе части равенства, имеем
; ln|1+у|=
; 1+у=
; у=
–1.
Пример 9: Найти частное решение уравнения 2уdx=(1+х)dy, если у=4 при х=1.
Решение. Разделяем переменные: . Интегрируя, получим
; 2
(1+х)=
у+С или 2
(1+х)=
у+
С. (1+х)2=С∙у- общий интеграл данного дифференциального уравнения. Найдем теперь частное решение данного уравнения по заданным начальным условиям. Полагая в общем решении х=1, у=4 имеем 22=4С, С=1.
Следовательно у= (1+х)2.
Пример 10: Найти частное решение дифференциального уравнения у'=2+у, если у=3 при х=0.
Решение. Заменим у' на , а затем умножим на dx, получим dy=2dx+уdх, т.е. dy=(2+у)dх. Разделим обе части уравнения на 2+у и проинтегрируем:
=dx;
=∫dx; ln(2+у)=х+lnС. Выразим х через логарифм: х= ln ех.
Тогда получим: ln (2+у)= ln ех + ln С. Потенцируя, получим: 2+у = Сех, у= Сех – 2. Это общее решение данного уравнения. Чтобы найти частное решение, подставим в общее решение х=0 и у=3.
Получим: 3= С∙е0 – 2; е0 = 1; С=5. Итак, у=5 ех – 2.
- Задания: Решить уравнения:
- xdy + 2ydx = 0.
- x2dy = y2dx.
- у' =х.
- у'+2х2у'+2ху –2х=0.
- Найти частное решение уравнения (1+y2)dx=xydy, если у =1 при х=2.
- Найти частное решение уравнения (1+x3)dy=3x2ydx, если у=2 при х=0.
- Проинтегрировать дифференциальное уравнение (1+х2)dy–2xydx=0. Найти частное решение, удовлетворяющее условию у=4 при х = –1.
- Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Название работы;
2. Цель работы;
3. Задание;
4. Результаты выполнения задания.
- Контрольные вопросы
- Дайте определение производной функции.
- Выпишите в таблицу основные правила и формулы дифференцирования.
- Каков геометрический смысл производной?
- Литература
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
- Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.
Практическое занятие №9.
ТЕМА: Решение дифференциальных уравнений второго порядка.
Цель работы: развитие умений и навыков по вычислению дифференциальных уравнений второго порядка.
- Основной теоретический материал
Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго порядка, называется дифференциальным уравнением.
Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно у′′, имеет вид у′′=f(х,у,у′). Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида у′′= f(х). Такое уравнение решается двукратным интегрированием: dy′=f(х)dx, откуда у′=∫f(х)dx. Проинтегрировав эту функцию, получим какую-то новую функцию от f(х), которую обозначим через F(х).
Таким образом у′=F(х)+С1; = F(х)+С1; dy=(F(х)+С1)dx.
Интегрируем ещё раз у=∫(F(х)+С1)dx==∫(F(х)+С1∫dx или у=Ф(х)+С1х+С2. Итак, получили общее решение уравнения, содержащее две произвольные постоянные С1 и С2.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y′′+py′+qy=f(x), где p и q–постоянные величины, а f(x)–непрерывная функция x. Если правая часть уравнения равна нулю, т.е. y′′+py′+qy=0, то оно называется однородным уравнением.
Для практического использования алгоритм решения таких уравнений удобно оформить в виде таблицы:
Дифференциальное уравнение | y′′ + py′ + qy = 0 | ||
Характеристическое уравнение | k2 + pk + q = 0 | ||
Дискриминант D = p2 – 4q | D > 0 | D = 0 | D < 0 |
Корни характеристического уравнения | k1 ≠ k2 | k1 = k2 | k1 = a + bi k2 = a - bi |
Множества решений |
- Решение типовых заданий
Пример 1: Найти общее решение уравнения у′′=4х.
Решение: =4х; dy′=4х dx; у′=4∫х dx=2х2+ С1;
=2х2+ С1; dy=(2х2+ С1) dx;
у=∫(2х2+ С1) dx=2∫х2dx+С1∫dx=+ С1х+С2.
Пример 2: Найти общее решение уравнения у′′= sin 2x .
Решение: Умножим обе части уравнения на dx и затем проинтегрируем: dy′=sin 2xdx; ∫dy′=∫sin 2xdx; у′=cos2x+С1. Обе части последнего уравнения умножим на dx и проинтегрируем: dy=
cos2xdx+С1dx; ∫dy=
∫cos2xdx+С1∫dx+С2.
Итак, у=dy= sin2xdx+С1х+С2- общее решение уравнения.
Пример 3: Решить уравнение y′′ + 2y′ – 8y = 0.
Решение. Составим характеристическое уравнение k2 + 2k - 8 = 0.
D = p2 – 4q = 22 -4(-8) = 4 + 32 = 36 > 0.
Следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Определим их: k1 = –4, k2 = 2. Находим частные решения данного дифференциального уравнения: .
Общее решение данного уравнения имеет вид:
.
- Задания: Найти общее решение дифференциального уравнения:
1 вариант | 2 вариант |
у′′=0 | у′′=5 |
у′′=х | у′′=х3 |
y'' + y' – 6y = 0 | y'' – 6y + 9 = 0 |
y'' – 2y' – 8y = 0 | y''– 8y + 16 = 0 |
y'' – 4y' + 13y = 0. | y'' – 3y' + 2y = 0 |
y'' + 4y = 0. | y'' + 6y = 0 |
- Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Название работы;
2. Цель работы;
3. Задание;
4. Результаты выполнения задания.
- Контрольные вопросы
- Приведите примеры дифференциальных уравнений.
- Какая функция называется решением дифференциального уравнения?
- Как решается уравнение с разделёнными и с разделяющими переменными?
- Литература
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
- Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.
Практическое занятие №10
ТЕМА: Операции над матрицами системы линейных уравнений.
Цель работы: развитие умений и навыков по выполнению действий с матрицами.
- Основной теоретический материал
Матрицей размером m×n называется совокупность m·и n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.
Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В. В общем виде матрицу размером m×n записывают так
А=
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.
Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.
Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной.
Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.
Матрица, у которой всего одна строка А=(
…
), называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,
0=(0 0 … 0), 0=
Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E.
E=
Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.
Суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу
А+В= +
=
Сложение матриц на примере матриц
+
=
- матрицы складываются поэлементно (складываем числа на одинаковых местах)
!!! Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковый размер (т.е. одинаковое число строк и столбцов)
Пример 1: Найти сумму матриц:
+
=
.
+
- нельзя, т.к. размеры матриц различны.
+
=
.
+
=
.
Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны aij = bij. Так если A= и B=
, то A=B, если a11=b11, a12=b12, a21=b21 и a22=b22.
Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером).
A= B=
Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.
Транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.
Пример 2: Найти матрицу транспонированную данной.
- A=
,
- B=
,
.
Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу
k·А = = k·
=
Пример 3:
-
=
.
- Найти 4A – B, если А =
,В =
.
4A= 4 · =
4A–B = –
=
.
Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй).
Произведением матрицы A на матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:
·
=
- Чтобы найти элемент первой строки и первого столбца с11, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (а11 и а12) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (b11 и b21) и полученные результаты сложить, т.е. с11 = а11 · b11 + а12 · b21
- Чтобы найти элемент первой строки и второго столбца с12, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (а11 и а12) умножить на соответствующий элемент второго столбца матрицы В (b12 и b22) и полученные результаты сложить, т.е. с12 = а11 · b12 + а12 · b22
- Аналогично находятся элементы с21 и с22.
Пример 4:
- Пусть А=
и В=
С=А·В. Найти элементы c12, c23 и c21 матрицы C.
с12 = 0 – 2 + 3 = 1; с23 = 0 + 0 + 1 = 1; с21 = 0 – 3 + 1 = – 2.
- Найти произведение AB, если А=
и В =
.
с11= 3×1 +1×2 + 1×1 = 6 с21= 2×1 + 1×2 + 2×1 = 6 с31= 1× 1 + 2×2 + 3×1 = 8
с12= 3×1 + 1×(-1) + 1×0 = 2 с22=2×1 + 1×(-1) + 2×0 = 1 с32=2×(-1) + 1×1 + 2×1 = 1
с13= 3×(-1) + 1×1 + 1×1 = -1 с23= 2×(-1) + 1×1 + 2×1 = 1 с23= 1×(-1) + 2×1 + 3×1 =4
С=
!!! Матрицы не перестановочны друг с другом, т.е.A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.
Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов:
А=.
Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом:a11a22–a12a21. Определитель обозначается символом D или |А|или det A.
Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.
Примеры 5: Вычислить определители второго порядка.
- D =
= 2·(–4) – 5·3 = – 8– 15 = –23
- D =
= 0·1– (–3) · 2 = 0+6=6
- Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и А=
, В=
.
D =+
=
,
= 0.
Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:
.
Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.
Пример 6: Вычислить определитель третьего порядка.
- D=
=2
–3
+(–4)
=
= 2·(0·1–(–2)·2) – 3(1·1– (–2)·(–2)) –4 (1·2–0·(–1))=8+3–8=3
- D =
=3·
–2·
+4·
=3·(12–0) –2(4– 3) +1· (0–6) =
=3·12–2·1+1·(–6) =36 – 2 – 6 =28
Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.
Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.
Пример 7: Найти определитель 3-го порядка:
=3·
– 2·
+1·
=3·(12 – 0)–2·(4 – 3)+1·(0 – 6)=36–2–6=28.
Как запомнить формулу для определителя третьего порядка:
- а11 умножается на определитель матрицы 2×2, которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с а11,
- а21 умножается на определитель матрицы 2×2, которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с а12,
- а31 умножается на определитель матрицы 2×2, которая получается из матрицы A вычёркиванием строки и столбца с а31,
- Знаки в формуле чередуются «+», «-», «+».
Минором Мij элемента аij определителя D называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.
Например, М12 соответствующий элементу а12 получается если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец.
Пример 8: Записать все миноры определителя D =
М11==7·2–(–1)·4=18, М12=
=3·2–(–1)·5=11, М13=
=3·4–7·5=–23,
М21= = 2·2 – 0·4 = 4, М22=
= –1·2 – 0·5 = – 2, М23=
=–1·4 – 2·5 = – 14,
М31==2·(–1)–0·7=–2, М32=
=–1·(–1) – 0·3=1, М23=
=–1·4–2·3= –10.
Алгебраическим дополнением элемента аij определителя D называется минор Мij этого элемента, взятый со знаком (– 1) i+j. Обозначается Аij, таким образом Аij =(–1) i+j ·Мij
Пример 9: Найти алгебраические дополнения элементов а13, а21, а31
А13= (–1) 1+3 = 2·5 – 3·3 = 4, А21= (–1) 2+1
= – (– 1·5 – 3·3) = 14,
А31= (–1) 3+1 = 2·(– 3) – 3·0 = – 6
Обратной А–1 по отношению к матрице A называется такая матрица, для которой выполняется равенство A·A-1 = A-1·A = E. (Е – единичная матрица).
Матрица, которая имеет обратную называется обратимой или не особенной. Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу A-1 необходимо и достаточно, чтобы она была бы невырожденной, т.е. det A ≠ 0.
Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:
- Находят определитель матрицы А
- Находят алгебраические дополнения всех элементов матрицы А и записывают новую матрицу
- Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспонируют)
- Умножают полученную матрицу на
Пример 10: Найти обратную матрицу для А= и выполнить проверку.
- Вычисляем D =
= 4
– 1
+ 4
= 20 ≠ 0. следовательно, обратная матрица существует.
- Найдем присоединенную матрицу A*. Для этого вычислим все миноры второго порядка матрицы A и алгебраические дополнения:
А11=(–1) 1+1 = 7, А21=(–1) 2+1
= – 1, А31=(–1) 3+1
= – 5,
А12=(–1) 1+2 = – 12, А22=(–1) 2+2
= 16, А32=(–1) 3+2
= 0,
А13=(–1) 1+3 = 1, А23=(–1) 2+3
= –3, А33=(–1) 3+3
= 5.
- Составим новую матрицу A*=
и транспонируем
AТ=
- Найдем по формуле обратную матрицу:
A-1 = =
Проверка A·A-1 =·
=
= Е.
с11=4×+1×
+4×
=1
с21= 3× + 2×
+ 3×
= 0
с31=1×+1×
+5×
=0
с12=4×+1×
+4×
=0
с22=3×+2×
+3×
=1
с32=1×+1×
+5×
=0
с13= 4× + 1×
+ 4×
= 0
с23= 3× + 2×
+ 3×
= 0
с23= 1× + 1×
+ 5×
= 1
- Задания: Найдите обратную матрицу:
- Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Название работы;
2. Цель работы;
3. Задание;
4. Результаты выполнения задания.
- Контрольные вопросы
- Что называется матрицей?
- Что называется определителем матрицы?
- Каков порядок вычисления обратной матрицы?
- Литература
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
- Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.
Практическое занятие №11
ТЕМА: Правило решения произвольной системы линейных уравнений.
Цель работы: развитие умений и навыков по вычислению систем линейных уравнений с тремя неизвестными.
- Основной теоретический материал.
Простейшие матричные уравнения и их решение. Пусть дана система уравнений
Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:
А = .
Свободные члены и неизвестные запишем в виде матриц-столбцов
В = , X =
.
Тогда матричным уравнением называется уравнение вида А·Х = В.
План решения матричных уравнений:
- Найти обратную матрицу А–1
- Найти произведение обратной матрицы А–1 на столбец свободных членов В,
т.е. А–1·В
- Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.
- Решение типовых заданий:
Пример 1: Решить матричное уравнение .
Составим матричное уравнение А·Х = В: А = , X =
, В =
- Найдем обратную матрицу А–1
Вычислим определитель
D==3
– (–1)
+0
= 3·(4+1)+1·(– 8–2) =5 ≠0
Запишем все алгебраические дополнения:
А11=(–1) 1+1 = 5, А21=(–1) 2+1
= 4, А31=(–1) 3+1
= – 1,
А12=(–1) 1+2 = 10, А22=(–1) 2+2
= 12, А32=(–1) 3+2
= – 3,
А13=(–1) 1+3 = 0, А23=(–1) 2+3
= 1, А33=(–1)3+3
=5.
Запишем новую матрицу и транспонируем:
А* = , АТ=
Запишем обратную матрицу: A-1 = =
- Х =
·
=
=
- Итак,
, т.е. х1=2, х2=1, х3=3.
- Задания:
- Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Название работы;
2. Цель работы;
3. Задание;
4. Результаты выполнения задания.
- Контрольные вопросы
- Как записать простейшее матричное уравнение?
- Запишите формулы Крамера.
- Как решить матричное уравнение?
- Литература
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
- Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.
Практическое занятие №12
ТЕМА: Решение СЛУ методом Гаусса.
Цель работы: развитие умений и навыков по решению СЛУ методом Гаусса.
- Основной теоретический материал
Теорема: Система п уравнений с п неизвестными, определитель которой ≠ 0, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:
.
Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу А, а из свободных членов – матрицу-столбец В, т.е.
А = , В =
.
Если в определителе системы заменить столбцы коэффициентов при неизвестных на столбец свободных членов, то получим:
Dх = , Dу =
, Dz =
Тогда для решения системы запишется так:
X= , У =
, Z =
.
- Решение типовых заданий:
Пример 1: Решить систему уравнений
Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных А = и из свободных членов В =
.
Вычислим определитель системы
D = = 3
– 2
+ 1
=25 ≠0
Вычислим определители при неизвестных:
Dх = = 3
– 2
+ 1
=25
Dу = = 3
– 3
+ 1
= – 25
Dz = = 3
– 2
+ 3
= 50
Найдем значения X= =
= 1, У =
=
= – 1, Z =
=
= 2
Ответ: (1; –1; 2)
- Задания:
- Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Название работы;
2. Цель работы;
3. Задание;
4. Результаты выполнения задания.
- Контрольные вопросы
- Сформулируйте теорему Крамера?
- Опишите метод Гаусса.
- Литература
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
- Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.
Практическое занятие №13
ТЕМА: Приложения скалярного, смешанного, векторного произведения векторов.
Цель работы: развитие умений и навыков по применению скалярного, смешанного, векторного произведения векторов.
- Основной теоретический материал
Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец. В данном случае началом отрезка является точка А, концом отрезка – точка В. Сам вектор обозначен через или
.
Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор, и это уже совершенно другой вектор. Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором
. У такого вектора конец и начало совпадают.
!!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.
Способы записи векторов:
1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:,
,
… и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.
2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:,
,
… В частности, наш вектор
можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой
.
Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка AB. Длина нулевого вектора
равна нулю. Длина вектора обозначается знаком модуля:
,
.
Действия с векторами в координатах
1. Как найти вектор по двум точкам?
Если даны две точки плоскости A(x1; y1) и B(x2; y2), то вектор имеет следующие координаты:
= (x2 – x1; y2 – y1).
Если даны две точки пространства A(x1; y1; z1) и B (x2; y2; z2), то вектор имеет следующие координаты:
= (x2 – x1; y2 – y1; z2 –z1).
То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.
Пример 1: Даны две точки плоскости A(2; 1) и B (–2; 3). Найти координаты вектора
Решение: по соответствующей формуле: = (–2–2; 3–1) = (–4;2).
Ответ: (–4;2).
Пример 2:
а) Даны точки A(–4; 5) и B (1; –3) . Найти векторы и
.
б) Даны точки A(2; 0), B (–7; 1) и C(4;1). Найти векторы ,
и
.
в) Даны точки F(–2; –1;0) и E(0; –1; –2). Найти векторы и
.
г) Даны точки A1(10; 5;–4), A2(–8;6; 3), A3(1;1; –1), A4(0;0; 1). Найти векторы ,
,
..
2. Как найти длину отрезка?
Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.
Если даны две точки плоскости А (х1; у1) и В (х2; у2), то длину отрезка АВ можно вычислить по формуле .
Если даны две точки пространства А (х1; у1; z1) и В (х2; у2; z2), то длину отрезка АВ можно вычислить по формуле
Пример 3: Даны точки A(–3; 5) и B (1; –3). Найти длину отрезка АВ.
Решение: по соответствующей формуле:=
=
.
Ответ:.
Пример 4: Даны точки A(2;3;–1) и B(–5;3;0). Найти длину отрезка АВ.
3. Как найти длину вектора?
Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле
=
.
Если дан вектор пространства , , то его длина вычисляется по формуле
=
.
Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью теоремы Пифагора.
Пример 5: Даны точки A(–3; 5) и B (1; –3). Найти длину вектора
Решение: Сначала найдём вектор:
. По формуле
=
вычислим длину вектора:
Ответ:
4. Действия с векторами в координатах
В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда заданы координаты векторов:
1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости и
. Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты:
=(
).
Если даны векторы ,
то их суммой является вектор
=(
).
2) Правило умножения вектора на число. Для того чтобы вектор умножить на число µ, необходимо каждую координату данного вектора умножить на число µ: µ
.
Для пространственного вектора , правило такое же:
.
Пример 6: Даны векторы (1; –2) и
(2;3). Найти 2
,
+
и
.
Решение:
2=2(1; –2)= (2; –4)
+
=(1; –2)+ (2;3) =(1 + 2;–2+ 3)= (3;1)
=(1; –2) – (2;3) =(1 – 2;–2– 3)= (–1; –5)
Ответ: 2= (2; –4),
+
= (3;1),
= (–1; –5)
Пример 7: Даны векторы (0;4;–7) и
(7;–9;1). Найти
и
+
.
Решение: 3(0;4;–7) – 2(7;–9;1)= (0;12;–21) –(14; –18; 2)= (–14; 30; –23).
+
= – (0;4;–7)+4(7;–9;1)= (0;–4; 7)+ (28;–36;4)=(28;–40;11)
Ответ: ,
+
=(28;–40;11)
5. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов и
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
=
Пример 8: Найти скалярное произведение векторов и
, если
,
,
Решение: Используем формулу
=
=2
5
= 10
= 10
.
Ответ:
Пример 9: Найти скалярное произведение векторов =
и
=
, если известно, что
,
=8,
.
Решение: Сначала проясним ситуацию с вектором =
. Сумма векторов
и
представляет собой вполне определенный вектор, который и обозначен через
. Итак, по условию требуется найти скалярное произведение
. По идее, нужно применить рабочую формулу
=
, но беда в том, что нам неизвестны длины векторов
и угол между ними. Зато в условии даны аналогичные параметры для векторов
, поэтому мы пойдём другим путём:
= (
) · (
) =
+
+
=
=
=
+
= – 2· (4
)2 + 3· (4
) ·8
– 82 = –64 + 96
–64 = –32.
Пример 10: Найти длину вектора =
, если
,
=2,
.
Решение будет следующим:
=
=
=
=
=
= =
=
=
.
Ответ: .
6. Угол между векторами
Рассмотрим нашу формулу =
. По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части:
.
В чём смысл данной формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.
Скалярное произведение – это число. Длины векторов
– числа. Значит, дробь
тоже является некоторым числом Х. А если известен косинус угла:
=
Х, то с помощью обратной функции легко найти и сам угол:
=
arccos Х.
Пример 11: Найти угол между векторами и
, если известно, что
,
=
,
=8.
Решение: Используем формулу:
=
=
=
=
.
Итак, если , то:
= arccos
=
Значения обратных тригонометрических функций можно находить по тригонометрической таблице.
Ответ: = arccos
=
= 450.
- Задания
а) Даны точки A(0;2;5) и B(–4;7;15). Найти длину вектора .
б) Даны векторы ,
. Найти их длины.
в) Даны векторы (1;–2);
(2;0) и
. Найти 3
и –2(
2
)+4
.
г) Найти , если
, а угол между векторами равен1350.
д) Найти скалярное произведение векторов = =
и
=
, если известно, что
,
=4,
.
е) Найти длину вектора =
, если
,
=10,
.
ж) Даны ,
=4 – длины векторов
,
и угол между ними
. Найти угол между векторами
=
,
=
.
- Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Название работы;
2. Цель работы;
3. Задание;
4. Результаты выполнения задания.
- Контрольные вопросы
- Что называется вектором?
- Что называется скалярным произведением векторов?
- Как найти длину вектора?
- Литература
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
- Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.
Практическое занятие №14
ТЕМА: Уравнение окружности, эллипса, гиперболы и параболы на плоскости.
Цель работы: развитие умений и навыков по решению.
- Основной теоретический материал
Представителями линий второго порядка являются окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Канонический вид уравнения - это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет.
Классификация линий второго порядка:
1. Окружность и её уравнение
Каноническое уравнение окружности с центром О(a;b) и радиусом R имеет вид:
(х–a)2+(у–b)2= R2.
Пример 1: Составить уравнение окружности с центром О(3; –2) и R=5.
Решение: Подставим a =3, b = –2 и R=5 в каноническое уравнение окружности
(х –3)2+(у +2)2= 52,
Используя формулу сокращённого умножения (a±b)2= a2±2ab+ b2 получим:
х2–6х+9+у2+4у+4=25,
х2–6х+у2+4у+9+4–25=0,
х2+у2– 6х +4у –12=0 – каноническое уравнение окружности.
Пример 2: Построить окружность х2+у2+ 6х –4у –3=0.
Решение: Для построения окружности нужно найти центр О(a;b) и радиус R, а так же привести к каноническому уравнению. Для этого:
1) Сгруппируем выражения содержащие одинаковые аргументы: (х2+6х) +(у2 –4у) =3,
2) Дополним до полного квадрата обе части уравнения: (х2+6х+9) +(у2 –4у+4) =3+9+4, т.е. (х+3)2+(у –2)2 = 16.
Из этого уравнения видно, что a = –3, b =+2 и R=4
2. Эллипс и её уравнение
Эллипс – это множество всех точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух данных точек F1F2, называемых фокусами эллипса, – есть величина постоянная, численно равная длине большой оси этого эллипса: 2а. При этом расстояния между фокусами меньше данного значения:<2а.
- Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
, (a>b).
- Эксцентриситет эллипса - это отношение расстояния между фокусами к длине большой оси:
или
, где a,b и c связаны между собой соотношением: c2= a2–b2 (при a>b) или c2= b2–a2 (при b>a);
причем 0≤ <1.
- Фокусы F1 и F2 – заданные точки с координатами: F1 (–c;0) и F2(c;0), если a>b;
F1 (0; –c) и F2(0; c), если b>a.
- Фокусное расстояние:
= 2c.
- Большая ось:
= 2а.
- Малая ось:
= 2b.
Пример 3: Построить эллипс, заданный уравнением
Решение: Сначала приведём уравнение к каноническому виду:
Одно из преимуществ канонического уравнения заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках А1(а;0), А2(–а;0), В1(0; b), В2(0;–b).
Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению.
В данном случае: А1(4;0), А2(–4;0), В1(0; ), В2(0;–
)
Пример 4: Найти координаты F1 и F2, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением 2х2+у2=32.
Решение: 1) Приведем уравнение к каноническому виду: ,
. Следовательно: a2=16, a=4; b2=32, b=
=
. Так как b>a,
то c2= b2–a2 =32–16=16, c=4.
- Итак: F1(0;4), F2(0; –4).
- Большая ось:
= 2а =2·4=8.
- Малая ось:
= 2b= 2·
=
.
- Эксцентриситет
=
≈0,705.
Пример 5: Составить каноническое уравнение эллипса, у которого малая ось 2b=6, а расстояние между фокусами =8.
Решение: Так как 2b=6, то b=3; =2c, следовательно c=4; a2= c2+b2=16+9=25, a=5.
Каноническое уравнение имеет вид: .
3. Гипербола и её уравнение
Гипербола – это множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называется фокусами) есть величина постоянная.
- Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
или
где a, b и c связаны между собой равенством c2= a2+ b2.
- Фокусы F1 и F2 – заданные точки с координатами: F1 (–c;0) и F2(c;0), если a>b, F1 (0; –c) и F2(0; c), если b>a.
- Фокусное расстояние:
= 2c.
- Действительная ось:
= 2а.
- Мнимая ось:
= 2b.
- Эксцентриситет:
или
- У гиперболы две симметричные ветви.
- У гиперболы две асимптоты: у=
.
Как построить гиперболу?
- Прежде всего, находим асимптоты – это прямые у=
и у=
- Теперь находим две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках А1(а;0), А2(–а;0). Выводится элементарно: если у=0,то каноническое уравнение превращается в
, откуда и следует, что х2 = а2→х = а, х = –а
- Ищем дополнительные точки. Обычно хватает двух-трёх. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-й координатной четверти.
Пример 6: Построить гиперболу, заданную уравнением 5х2 – 4у2 = 20.
Решение: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду ,
,
,
Находим асимптоты: у = и у =
Находим две вершины гиперболы А1(2;0), А2(–2;0).
Ищем дополнительные точки: ,
у2 = (х2 –4),
у = ,
С1: х =3, у = =
=
=2,5
С2: х =4, у = =
≈ 3,87
Пример 7: Найти координаты фокусов, длины осей, эксцентриситет и уравнение асимптот гиперболы, заданного уравнением 16х2 – 25у2 = 400.
Решение: Приведём к каноническому виду ,
,
. Следовательно, а =5, b =4, c2= a2+ b2 = 25+16 = 41, c =
, a>b
- F1(
; 0), F2(–
; 0)
- Действительная ось:
= 2а = 10.
- Мнимая ось:
= 2b = 8.
- Эксцентриситет:
- Уравнение асимптоты: у=
.
Пример 8: Составить каноническое уравнение гиперболы с фокусом на оси абсцисс, если известно, что эксцентриситет равен 1,5, а фокусное расстояние равно 6.
Решение: = 6, следовательно, 2c = 6, c = 3;
следовательно,
=
= 2.
Зная и c, найдём b2 = c2 – a2 = 9– 4 = 5.
Каноническое уравнение имеет вид: .
4. Парабола и её уравнение
Парабола – это множество точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (называемой фокусом) и данной прямой (называемой директрисой d).
Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс, имеет вид:
у2 =2рх или у2= –2рх.
Эти 2 случая представлены в следующей таблице:
Положение фокуса | На положительной полуоси Ох | На отрицательной полуоси Ох |
Координаты фокуса | F( | F( |
Уравнение директрисы | у = | у = |
Уравнение параболы | у2 =2рх | у2= –2рх |
Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси ординат, имеет вид:
х2 =2ру или х2= –2ру.
Эти 2 случая представлены в следующей таблице:
Положение фокуса | На положительной полуоси Оу | На отрицательной полуоси Оу |
Координаты фокуса | F(0; | F(0; |
Уравнение директрисы | у = | у = |
Уравнение параболы | х2 =2ру | х2= –2ру |
Пример 9: Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением у2 = 8х.
Решение: Каноническое уравнение у2 =2рх, следовательно 2р = 8, р = 4. F = = 2, следовательно F(2;0) – фокус параболы. Уравнение директрисы d: х =
= – 2.
Пример 10: Найти каноническое уравнение параболы и уравнение её директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты
(0; – 3).
Решение: Согласно условию фокус параболы расположен на отрицательной полуоси Оу, следовательно, х2= –2ру.
Так как = –3, то р=6, 2р=12.
Уравнение параболы: х2= –12ру.
Уравнение директрисы у = =
=3 или у – 3=0.
Пример 11: Составить уравнении параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной оси Ох и проходящей через точку А(–3; – 6).
Решение: Уравнение параболы: у2= –2рх, (– 6)2 = –2р·(–3), 36 = 6р, р = 6; у2= –12х.
- Задания:
- Составить уравнение окружности с центром О(–2; –5) и R=
; О(–5; 0) и R=3.
- Построить окружность: а) х2+у2– 10х –6у –2=0; б) х2+у2–10х+9=0; в) х2+у2+8х+7=0.
- Найти координаты фокусов, длины осей, фокусное расстояние и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением: а)16х2+25у2=400; б)
.
- Составить уравнение эллипса, координаты фокусов которого F1(–4;0), F2(7;0), а эксцентриситет
= 0,28.
- Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси координат, эксцентриситет
= 0,6 и малая ось равна 10.
- Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты (
; 0) и (–
; 0), а большая ось равна 4
.
- Найти координаты фокусов, длины осей, фокусное расстояние, эксцентриситет и уравнение асимптот гиперболы, заданного уравнением: 7х2 – 9у2 = 63.
- Составить каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси ординат, если действительная ось равна 4
, а эксцентриситет равен
.
- Составить каноническое уравнение гиперболы, если действительная ось равна 10, а уравнения асимптот имеют вид у=
- Эксцентриситет гиперболы с фокусами на оси ординат равен 1,4. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что 2b = 10.
- Найти каноническое уравнение параболы и уравнение директрисы, если фокус параболы точка А(–2; 0).
- Парабола задана уравнение х2= –32у. Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы.
- Парабола с вершиной в начале координат симметрична оси Оу и проходит через точку А(–5; 2). Составить каноническое уравнение параболы.
- Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением у2= 24х.
- Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1. Название работы;
2. Цель работы;
3. Задание;
4. Результаты выполнения задания.
- Контрольные вопросы
- Запишите каноническое уравнение эллипса.
- Запишите каноническое уравнение гиперболы.
- Запишите каноническое уравнение параболы.
- Литература
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2014.
- Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования. М.: Академия, 2012.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
ГАПОУ СО « Вольский технологический колледж» Комплект контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. «Элементы высшей математики» основной образовательной программы (ОПОП) по специальности 240111 Производство тугоплавких неметаллических и
Контрольно-оценочные средства (КОС) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины ЕН.01. МатематикаКОС включает контрольные м...
![](/sites/default/files/pictures/2015/09/06/picture-662993-1441566500.jpg)
Комплект контрольно - измерительных материалов по учебной дисциплине ЕН.01 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Комплект контрольно- измерительных материалов предназначен для контроля и оценки образовательных достижений студентов специальности 230401 "Информационные системы (по отраслям)", освоившие прогр...
![](/sites/default/files/pictures/2020/12/17/picture-786219-1608226231.jpg)
Рабочая программа учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики (СПО)
Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе Федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС) по специальности среднего профессионального образования (СПО): 38.02.07 Банковс...
![](/sites/default/files/pictures/2017/03/15/picture-903550-1489604808.jpg)
Методическая разработка практического занятия по учебной дисциплине ОУД.07. Информатика "Осуществление поиска информации или информационного объекта в тексте, в файловых структурах, в базах данных, в сети Интернет".
Методическая разработка открытого урокаТема 2.2.3. Поиск информации с использованием компьютера.Осуществление поиска информации или информационного объекта в тексте, в файловых структурах, в базах дан...
Рабочая программа учебной дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики
Рабочая программа учебной дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики для специальности 09.02.03 Программирование в компьютерных системах...
![](/sites/default/files/pictures/2020/01/15/picture-1207120-1579099383.jpg)
Программа учебной дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики
Рабочая программа учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики базовой подготовки по специальности 09.02.07 «Информационные системы и программирование», укрупнённой группы специальностей 09.0...
Фонд оценочных средств по учебной дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики для специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование
Фонд оценочных средств по учебной дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики разработан на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специальности 09.02.07 Информационн...