Дидактические материалы для занятий математического кружка "Математика +" 7 класс. Занятие11-13. Взвешивания, переливания, разрезания
олимпиадные задания по математике (7 класс) по теме

взвешивания, переливания, разрезания

В этом разделе объединены задачи нескольких типов. Задачи, связанные с взвешиванием монет, гирь и других предметов. Задачи на манипулирование предметами - переливания. Задачи на деление, разделение какого-либо предмета на части. В принципе, для решения многих этих задач не требуется обладания какими-либо специальными познаниями, достаточно только смекалки. Но некоторые задачи требуют знания специальных приемов и методов, которые будут также описаны.

- задачи и головоломки на деление, разделение целого предмета на части:

Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абуль-Вефа. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее построение другой фигуры в начале 20 века. Одним из основателей этого раздела был знаменитый основатель головоломок Генри Э.Дьюдени В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется их решать, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению.

Основное условие - разделить какой-либо предмет на части таким способом, чтобы число делений было минимально. Решением является количество и размер частей. При решении задач вида «Разрезания на клетчатом листе бумаги» полезно применять следующие соображения:

Площадь. Если требуется разбить фигуру на несколько равных частей, стоит сначала найти площадь разрезаемой фигуры, а потом — каждой из частей. Сходным образом, если исходную фигуру нужно разбить на несколько фигур заданного вида, стоит предварительно посчитать, сколько их должно быть. Такие же соображения могут помочь и при решении других задач на разрезание. Для иллюстрации этой идеи автор этих строк добавил в список задачу 13, которой не было среди задач, предлагавшихся на занятии.

Симметрия. Свойствам симметрии следует уделять внимание, например, в случае, когда требуется разрезать одну фигуру на части и из них собрать другую фигуру.

Задача:

Легко можно разрезать квадрат на два равных треугольника или два равных четырехугольника. А как разрезать квадрат на два равных пятиугольника или два равных шестиугольника?

Ответ

 См. рисунок.

Задача:

Разрежьте квадрат 5×5 с дыркой (см. рисунок) на две равные части двумя способами. Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, отличаются по форме или размеру от частей, полученных при другом способе (то есть их нельзя совместить наложением).

Ответ

- задачи и головоломки на переливания (пересыпания):

Условия и правила типичной задачи на переливания: все сосуды без делений; если в переливании участвовали два сосуда, то из первого сосуда можно перелить во второй или всю жидкость, находящуюся в первом сосуде (в случае, если пустой объем второго сосуда больше количества жидкости, находящейся в первом), или то количество жидкости, которое полностью заполнит второй сосуд (если пустой объем второго сосуда меньше количества жидкости в первом); переливать жидкости на "глаз" нельзя; отмерить ровно половину жидкости можно только в сосудах правильной цилиндрической формы (в задаче должно быть указано это условие).

Решением задачи будет таблица с изменением количества жидкости в сосудах после каждого переливания. Наилучшее решение - наименьшее количество таких переливаний (строк в таблице).

При решении задач этой темы необходимо учитывать следующее замечание: при переливании разрешается наливать в сосуд ровно столько жидкости, сколько в нем помещается, либо выливать всю жидкость из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается.

Задача.

Имеется 2 сосуда емкостями 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 7 л воды?

Решение

Теперь поясним подробнее, как можно получить эту таблицу.

1-й ход. Наполняем 5-литровый сосуд водой. Цифра О в строке 8 л при первом ходе означает, что 8-литровый сосуд пока пуст.

2-й ход. Из 5-литрового сосуда переливаем всю воду в 8-литровый, т. е. 5-литровый сосуд пуст.

3-й ход. 8-литровый сосуд не трогаем, а 5-литровый — наполняем.

4-й ход. Из полного 5-литрового сосуда отливаем 3 л в 8-литровый, т. е. полностью его наполняем. При этом в 5-литровом сосуде остается 2 л.

5-й ход. Из 8-литрового сосуда выливаем (например, в раковину) всю воду, т. е. он теперь пуст. А 5-литровый сосуд не трогаем.

6-й ход. Из 5-литрового сосуда наливаем имеющиеся там 2 л в 8-литровый и одновременно наполняем 5-литро¬вый сосуд.

7-й ход. Из 5-литрового сосуда переливаем всю воду в 8-литровый сосуд, в котором теперь требуемые 7 л (2 + + 5 = 7).

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Где фальшивые монеты?

На столе лежит десять пронумерованных шляп. В каждой шляпе лежит по десять золотых монет. В одной из шляп находятся фальшивые монеты. Настоящая весит 10 граммов, а поддельная только 9. В помощь даны весы со шкалой в граммах. Как определить в какой из шляп находятся фальшивые монеты, используя весы только для одного взвешивания? Весы могут взвешивать не более 750 грамм.

Задача 2. 13 монет.

Имеется 13 монет, из них ровно одна фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Требуется найти эту монету за три взвешивания. Весы - стандартные для задач этого типа: две чашечки без гирь.

Задача 3. Узнать вес хотя бы одной.

У барона Мюнхгаузена есть 8 внешне одинаковых гирек весом 1 г, 2 г, 3 г, ..., 8 г. Он помнит, какая из гирек, сколько весит, но граф Склероз ему не верит. Сможет ли барон провести одно взвешивание на чашечных весах, в результате которого будет однозначно установлен вес хотя бы одной из гирь?

Задача 4. Бракованные таблетки.

В аптеку поступило сильнодействующее лекарство - 8 упаковок по 150 таблеток. Следом пришло сообщение, что в этой партии есть несколько упаковок с бракованными таблетками - их вес на 1 мг больше нормальной дозы. Как за одно взвешивание выявить все упаковки с бракованными таблетками? Упаковки можно вскрывать.

Задача 5. Легче или тяжелее?

Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Hаходить фальшивую монету не требуется.

Задача 6. Развесить чай.

Как развесить 20 фунтов чая в 10 коробок по 2 фунта в каждой за девять развесов, имея только гири на 5 и на 9 фунтов? Используются обычные весы с двумя чашами - как у статуи Правосудия

Задача 7. Головоломка Саладина.

Эта история случилась давным-давно, еще во времена крестовых походов. Один из рыцарей был захвачен мусульманами в плен и предстал перед их предводителем - султаном Саладином, который объявил, что освободит пленника и его коня, если получит выкуп в 100 тысяч золотых монет. "О, великий Саладин, - обратился тогда к султану рыцарь, у которого за душой не было ни гроша, - ты лишаешь последней надежды. У меня на родине мудрому и находчивому пленнику дается шанс выйти на свободу. Если он решит заданную головоломку, его отпускают на все четыре стороны, если нет - сумма выкупа удваивается!"

"Да будет так, - ответил Саладин, и сам обожавший головоломки. - Слушай же. Тебе дадут двенадцать золотых монет и простые весы с двумя чашками, но без гирь. Одна из монет фальшивая, однако, неизвестно, легче она или тяжелее настоящих. Ты должен найти ее всего за три взвешивания. Hе справишься с задачей до утра - пеняй на себя!" А вы смогли бы выкрутиться?

Задача 8. Фальшивая монета.

Имеется 8 с виду одинаковых монет. Одна из них фальшивая и известно, что она легче настоящей. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету? В Вашем распоряжении только лабораторные весы, которые показывают только больше - меньше.

Задача 9. Точно в середине.

Имеется 100 серебряных монет разных размеров и 101 золотая монета также разных размеров. Если у одной монеты размер больше, чем у другой, то она и больше весит, но это верно только для монет, сделанных из одного и того же металла. Все монеты можно легко упорядочить по размерам на глаз. Отличить золото от серебра можно тоже. Как за 8 взвешиваний определить, какая монета из всех 201 штук занимает по весу ровно 101-е место? Все 201 монеты также различны по весу. Весы с двумя чашками, как обычно.

Задача 10. Задача Второй Мировой.

Еще известная задача такого уровня: (Возможно это легенда, но очень уж красивая).

Во времена Второй Мировой Войны, английские ученые подбросили немецким ученым, чтобы они не решали военные проблемы, а решали головоломки, следующую логическую задачу.

Кладоискатели нашли клад и записку, в которой было написано: В этих 20 мешках с золотыми монетами есть один мешок с фальшивыми монетами. Известно, что фальшивая монета в два раза тяжелее настоящей.

Задача:

Как при помощи одного взвешивания определить в каком мешке находятся фальшивые монеты?

Примечание.

Взвешиванием называется тот момент, когда весы, типа коромысла, станут горизонтально, показывая, что на правой стороне весов и на левой стороне одинаковый вес.

И еще: англичане приделали приписку к задаче, что они потратили 10 тысяч человеко-часов для решения этой задачи.

Задача 11. Бальзам.

Три человека купили сосуд, полностью заполненный 24 унциями бальзама. Позже они приобрели три пустых сосуда объемом 5, 11 и 13 унций. Как они могли бы поделить бальзам на равные части используя эти четыре сосуда? Постарайтсь решить задачу за наименьшее количество переливаний.

Задача 12. Банка сока.

Имеются трёхлитровая банка сока и две пустые банки: одна - литровая, другая - двухлитровая. Как разлить сок так, чтобы во всех трёх банках было по одному литру?

Задача 13. Ямайский ром.

В одном порту моряк пришел в лавку с пустым бочонком на пять галлонов и попросил лавочника налить туда четыре галлона отборного ямайского рома. К несчастью, единственным сосудом для измерения был старый оловянный кувшин на три галлона. Как лавочник сумел точно отмерить четыре галлона с помощью этих двух емкостей?

Задача 14. Фальшивая гирька.

Имеются 6 гирь весом 1, 2, 3, 4, 5 и 6 г. На них нанесена соответствующая маркировка. Однако есть основания считать, что при маркировке гирь допущена одна ошибка. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах, на которых можно сравнить веса любых групп гирь, определить, верна ли имеющаяся на гирях маркировка?

Задача 15. Точные весы.

Имеется 9 одинаковых монет, одна из которых фальшивая и по этой причине легче остальных. Мы располагаем двумя весами без гирь, позволяющими сравнивать по весу любые группы монет. Однако одни из имеющихся весов являются грубыми, на них нельзя отличить фальшивую монету от настоящей. Их точность не позволяет уловить разницу в весе. Зато другие весы точные. Но какие весы грубые, а какие точные - неизвестно. Как в этой ситуации с помощью трех взвешиваний определить фальшивую монету?

Задача 16. Находчивый студент.

К продавцу, студенту-математику, подрабатывающему летом торговлей у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости, трехлитровая и пятилитровая, и он не может выполнить их просьбу. Приятели предлагают 100 долларов, если продавец сможет выполнить их заказ, причем выдать им порции продавец должен одновременно. После некоторого размышления, продавец сумел это сделать. Каким образом? Заметим, что при переливаниях квас не теряется и что полные емкости позволяют точно отмерять объемы 3 и 5 литров.

Задача 17. Алюминиевые шарики.

Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина - алюминиевые, весом 10 г каждый, а вторая половина - дюралевые, весом 9.9 г каждый. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы количество шариков в кучках было одинаковым, а массы - разными. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?

Задача 18. Сортировка по весу.

Пять различных по весу предметов требуется расположить в порядке убывания их веса. Пользоваться можно только простейшими весами без гирь, которые позволяют лишь установить, какой из двух сравниваемых по весу предметов тяжелее.

Как следует действовать, чтобы решить задачу оптимальным образом, то есть так, чтобы число взвешиваний было минимальным? Сколько взвешиваний придется при этом произвести?

Задача 19. Элементарное переливание.

Винодел обычно продает свое вино по 30 и по 50 литров и использует для этого кувшины только такого размера. Один из покупателей захотел купить 10 литров. Как винодел отмерил ему 10 литров пользуясь своими кувшинами?

Задача 20. Задача Пуассона.

Как из полного сосуда ёмкостью в 12 л отлить половину, пользуясь двумя пустыми сосудами ёмкостью в 8 и 5 л?

Задача 21. Где фальшивые монеты?-2

Есть 10 мешков по 10000 монет каждый. Несколько целиком забиты монетами на 1г. легче настоящих, в остальных монеты настоящие. Есть еще один мешок с настоящими монетами. За одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашах определите все мешки с фальшивыми монетами.

Задача 22. Взвесить слона.

Сможете ли вы повторить действия, которые предпринял в одной древней легенде восточный мудрец? Попробуйте. Вот условие.

Когда за доброе дело правитель страны решил наградить умного человека, тот пожелал взять столько золота, сколько весит слон. Но как же взвесить слона? В те времена не было таких весов. Что бы в подобной ситуации смогли придумать вы?

Задача 23. Очередная задача на переливание.

Имеются шестилитровая банка сока и две пустые банки: трех- и четырехлитровая. Как налить 1 литр сока в трехлитровую банку?

Задача 24. Материя.

Эта задачка хоть и совсем не про взвешивания, но принцип ее решения такой же, как и у других задач данного раздела. Итак.

Как от куска материи в 2/3 метра отрезать полметра без помощи каких-либо измерительных приборов?

Задача 25. 80 монет.

Имеется 80 монет, одна из которых фальшивая, причем она легче других. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно найти фальшивую монету?

Задача 26. Поделить квас.

Двое должны разделить поровну 8 ведер кваса, находящегося в восьмиведерном бочонке. Но у них есть только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой - 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

Задача 27. Делёж.

Имеются три бочонка вместимостью 6 вёдер, 3 ведра и 7 вёдер. В первом и третьем содержится соответственно 4 и 6 ведёр кваса. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, разделить квас поровну.

Задача28:

Разделите квадрат 4×4 на две равные части четырьмя различными способами так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток.

Задача 29:

Флаг – 1. Разрежьте флаг с 6 полосами на две части так, что бы из них можно было сложить флаг с 8 полосами.

Задача 30:

Флаг – 2. Разрежьте флаг А на четыре части так, чтобы из них можно было сложить флаг Б.

Задача 31:

Разрежьте фигуру на 4 равные части.

Задача 32:

Из двух — один. Разрежьте квадрат с дыркой двумя прямыми на 4 части так, чтобы из них и еще одного обычного квадрата 5×5 можно было сложить новый квадрат.

Задача 33:

Три фигуры. Для каждой из изображенных на рисунке фигур придумайте способ разрезать ее на две части, из которых можно сложить квадрат

Задача 34:

Мальтийский крест – 1. Разрежьте «мальтийский крест» (см. рисунок) на 6 частей так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Задача 35:

Из трех — один. Дано три квадрата: 2×2, 6×6 и 9×9. Разрежьте самый большой квадрат на три части так, чтобы из полученных пяти фигур можно было сложить один квадрат.

Задача 36: 

 «Лесенка». Превратите «лесенку» в квадрат, разрезав ее на три части.

Задача 37:

В бидоне находится 12л молока. Как, имея в своем распоряжении два пустых сосуда емкостью 8л и 5л, отлить из бидона ровно 6л молока?

Задача 38:

Среди трех одинаковых по размеру монет одна фальшивая (легче остальных, равных по массе). Какое наименьшее количество взвешиваний на весах без гирь необходимо для того, чтобы выявить фальшивую монету?

Задача 39:

 Имеется 61 монета, внешне неразличимые, из них 60 настоящих, одинаковой массы, одна фальшивая, тяжелее настоящих. Можно ли найти фальшивую монету с помощью четырех взвешиваний на весах без гирь?

Задача 40:

Имеется 5 монет, среди которых одна фальшивая (неизвестно, легче она или тяжелее настоящей). Масса настоящей монеты 5 г. Как при помощи двух взвешиваний на весах можно выявить фальшивую монету, имея в своем распоряжении одну гирю массой 5 г?

Подсказки, ответы, решения к задачам:

Задача 1. 

Ответ: Легко! Из первой шляпы берем 1 монету, из второй - 2, из третьей - 3 и т.д. Все это взвешиваем и отнимаем результат от идеального веса (в нашем случае 55*10=550 грамм). Получившееся число будет совпадать с номером шляпы с фальшивыми монетами.

Задача 2. 

Ответ/решение: 

Отложим в сторону тринадцатую монету, а остальные обозначим следующим образом: FAKE MIND CLOT

Теперь взвешиваем одну четверку против другой по такой схеме:

3 монеты принимают участие в трех взвешиваниях

3 - только в одном

6 - в двух.

Например: FANO - KECT, AKNC - FMDL, FKIL - ADOT

Например, если результаты взвешивания будут такими: слева легче, равно, слева тяжелее, значит фальшивой будет монета, обозначенная буквой O. Причем, фальшивая монета будет легче настоящих.

А что если фальшивой окажется все-таки отложенная нами, тринадцатая монета? Все очень просто: в этом случае при всех трёх взвешиваниях весы будут сбалансированы. К сожалению, в этом случае нам не узнать легче или тяжелее тринадцатая монета, но в условии такого требования и не было.

Задача 3. Узнать вес хотя бы одной.

Ответ: Да. 7+8 = 1+2+3+4+5, остается 6.

Задача 4. Бракованные таблетки.

Ответ:

Следует учинить непересекающиеся подмножества таблеток от разных упаковок: взять из первой упаковки одну таблетку, из второй - две, из третьей - четыре, из четвёртой - восемь, из пятой - 16, из шестой - 32, из седьмой - 64, из восьмой - 128. Всё это взвесить. Вычесть из полученного веса идеальный вес (идеальный вес каждой таблетки известен из документации, но можно обойтись и без него - подумайте как). Полученный излишек веса (он уже нормализован за счёт единичного излишка веса каждой таблетки) перевести в двоичный вид (ведь мы сформировали подмножества по двоичному закону). В этом числе номера разрядов, равные единице, и будут показывать номера бракованных упаковок.

Задача 5. Легче или тяжелее?

Ответ: 

Взвешиваешь 50 и 50 монет:

1) Равенство:

Беpем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там

1.1 Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее

1.2 Левая кучка легче => фальшивая монета легче

2) Hеpавенство:

Беpем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет.

2.1 Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче

2.2 Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее

Задача 6. Развесить чай.

Ответ: 

1) Hа одну чашу весов положить гирю в 5 фунтов, на другую гирю в 9 фунтов. Затем уравновесить весы, насыпав 4 фунта чая в чашу с гирей на 5 фунтов.

2) Убрать гири с чаш весов, оставить 4 фунта в одной чаше и уравновесить весы, насыпав во вторую еще 4 фунта.

3) Еще раз отвесить 4 фунта.

4) И еще раз 4 фунта. Таким образом, после четырех взвешиваний в остатке будет тоже 4 фунта.

5-9) Разделить 4 фунта пополам, уравновешивая чаши весов.

Задача 7. Головоломка Саладина.

Ответ:

Эта задача была блестяще разобрана К. Л. Стонгом в майском номере журнала Scientific American за 1955 год. Одно из ее решений (а их довольно много) связано с троичной системой. Сначала запишите все числа от 1 до 12 в троичной системе. Замените в каждом числе цифру 2 на 0, а 0 на 2 и запишите рядом результат. У вас получится три столбца чисел:

1    001    221

2    002    220

3    010    212

4    011    211

5    012    210

6    020    202

7    021    201

8    022    200

9    100    122

10  101    121

11  102    120

12  110    112

Внимательно изучив эти числа, вы обнаружите все числа, в которых встречаются сочетания 01, 12, 20. Каждой из двенадцати монет поставим в соответствие одно из этих чисел.

При первом взвешивании на левую чашу весов кладем четыре монеты, обозначенные числами, которые начинаются с 0, а на правую чашу весов кладем те четыре монеты, которым соответствуют числа, начинающиеся с 2. Если монеты уравновесят друг друга, вы можете утверждать, что число, которое отвечает фальшивой монете, начинается с 1. Если перевесит левая чашка, то искомое число начинается с 0, а если правая - то с 2.

Взвешивая монеты второй раз, их надо распределять в зависимости от средней цифры. Если в центре стоит 0, монета кладется на левую чашу, если 2 - на правую. Вторая цифра числа, обозначающего фальшивую монету, определяется точно так же, как определялась его первая цифра при первом взвешивании.
Производя последнее взвешивание, вы кладете налево те монеты, которые обозначены числами, оканчивающимися на 0, а монеты, соответствующие числам, имеющим на конце 2, вы кладете на правую чащу весов. Таким образом вы узнаете последнюю цифру нужного вам числа.

Задача 8. Фальшивая монета.

Ответ: 

Делим монеты на две равные кучки. Из каждой кучки берем по 3 монеты, кладем на весы и взвешиваем. Если вес одинаковый, то взвешиваем оставшиеся 1и 1 монеты и выявляем фальшивую (более легкую). Если же одна группа из трех монет легче другой, значит там есть фальшивая монета. Оставляем более легкую группу из трех монет и кладем на весы 1и 1 и действуем по предыдущему алгоритму: если вес одинаков, значит, фальшива третья, а если нет, то та, которая легче.

Задача 9. Точно в середине.

Ответ / решение: 

Раскладываем в два ряда все монеты в порядке возрастания размера: золотые отдельно, серебряные отдельно. Пусть  первая  по счету в каждом ряду монета самая большая (и тяжелая).

Среднюю по весy монетy можно найти, последовательно взвешивая сpединные монеты каждой из оставшихся линеек.

1) взвешиваем 51-ю золотyю монетy и 50-ю сеpебpянyю. Если пеpвая тяжелее, то искомая монета находится где-то сpеди 52-101 золотой и 1-50 сеpебpяной. Если легче, то искомая монета находится где-то сpеди 1-51 золотой и 51-100 сеpебpяной. То есть, 51+50 монет. Остальные можно отложить.
      2) взвешиваем опять сpединные монеты. Так как число ваpиантов pастет в геометpической пpогpессии, бyдy pассматpивать только итоги;) Из 51+50 монет выбиpаем сpавниваем 25 и 26 монеты. Остается 26+25 монет.

3) Взвешиваем 13 и 13 монеты. Остается 13+13 или 13+12. Далее бyдy pассматpивать только слyчай 13+13, 13+12 аналогично.

4) Взвешиваем 7 и 7. Остается 7+7.

5) Взвешиваем 4 и 3. Остается 4+3.

6) Здесь могy поподpобнее, так как монет осталось мало.  Пyсть остались золотые монеты 1234 и сеpебpяные ABC (все в поpядке возpастания). Взвешиваем 2 и B. Если 2>B, то сpедняя монета какая-то из 34AB, если нет, то из 12C. Рассмотpим  пеpвый слyчай.

7) Взвешиваем 3 и A.

8а) если 3

8б) если 3>A, то взвешиваем 4 и A. Какая больше, та и искомая.

Задача 10. Задача Второй Мировой.

Ответ / решение: 

Итак, берем из первого мешка 2 монеты, из второго - 4, из третьего - 6 и т.д. Эту кучу монет бросаем на одну чашу весов, после чего уравновешиваем весы, насыпая на вторую чашу монеты из какого-нибудь одного, например первого мешка.

Если бы все монеты были настоящими, то чаша 1 весила бы 420 у.е. Но там-то у нас 2*х фальшивых монет, поэтому она весит 420+2*х у.е.

Предположим, что мешок 1, которым мы уравновешивали весы, содержит настоящие монеты, тогда количество монет, истраченных на равновесие, будет где-то между 422 и 460. Нам остаётся только найти х: х = (кол-во понадобившихся монет - 420)/2

Если же мешок, монетами из которого мы уравновешиваем весы, оказался фальшивым, то равновесие будет достигнуто где-то на между 211 и 230 монетами. Естественно мы тогда поймём, что что-то здесь не так

Задача 11. Бальзам.

Ответ. 

Сосуды могут содержать 24, 13, 11, и 5 унций соответственно:

Их начальное состояние 24, 0, 0, 0;

1 - 8, 0, 11, 5;

2 - 8, 11, 0, 5;

3 - 8, 13, 3, 0;

4 - 8, 8, 3, 5;

5 - 8, 8, 8, 0.

Задача 12. Банка сока.

Ответ: 

Можно разлить сок так:

1) наполнить литровую банку,

2) вылить её содержимое в двухлитровую банку,

3) наполнить литровую банку из трёхлитровой банки.

Теперь во всех банках будет по одному литру сока. Однако можно разлить сок и так:

1) наполнить двухлитровую банку,

2) наполнить из неё литровую банку.

Теперь во всех банках будет по одному литру сока.

Задача 13. Ямайский ром.

Ответ: 

Вот что сделал лавочник:

1) наполнил кувшин на три галлона и вылил из него ром в бочонок на пять галлонов;

2) снова наполнил кувшин на три галлона и вылил ром в бочонок до тех пор, пока тот не наполнится целиком;

3) в кувшине на три галлона остался один галлон; потом вылил ром из бочонка на пять галлонов обратно в большую бочку с ромом, а один галлон рома из кувшина вылил в бочонок моряка;

4) снова наполнил ромом кувшин на три галлона и вылил его содержимое в бочонок; теперь в бочонке - четыре галлона рома.

Задача 14. Фальшивая гирька.

Ответ:

На одну чашу весов кладем гири, маркированные 1, 2 и 3 г., а на другую - 6 г. Равновесие означает, что ошибка в маркировке возможна лишь внутри групп 1-2-3 и 4-5. При втором взвешивании на одну чашу кладем гири 3 и 5 г., на другую - 6 и 1 г. Если первая чаша перевесила, то ошибки а маркировке нет.

Задача 15. Точные весы.

Ответ:

Положим на весы №1 по четыре монеты на каждую чашку. Если одна группа монет перевесила, то остальное понятно - эти весы точные, и мы знаем 4 монеты, среди которых одна фальшивая. Пусть весы оказались в равновесии. Обозначим через А девятую монету и добавим к ней монеты В и С - по одной из каждой четверки. Оставшиеся две тройки монет положим на чаши весов №2. Худший вариант - вновь равновесие. Тогда на весах №2 сравниваем монеты В и С. В случае равновесия фальшивой будет монета А.

Задача 16. Находчивый студент.

Ответ: 

Предложенная сумма существенно превышает стоимость кваса в бочке, и последнюю можно использовать как дополнительную емкость, слив квас бесплатно зрителям в их личные емкости. Возможный порядок действий:
а) отмеряем 7 литров следующим образом: (0,5)-(3,2)-(0,2)-(2,0)-(2,5). В этой записи первая цифра - количество кваса в трехлитровой емкости, вторая - в пятилитровой;
б) опоражниваем бочку, сливая из нее остатки кваса, и заливаем в нее отмеренные 7 литров; действуем по схеме (третье число - количество кваса в бочке): (0,0,7)-(3,0,4)-(0,3,4)-(3,3,1)-(1,5,1)-(1,0,1)-(1,1,0).

Задача 17. Алюминиевые шарики.

Ответ: 

Два. Делим на кучи (1) 666, (2) 666, (3) 666 и (4) 2.

Взвешиваем (1)-(2), (2)-(3). Если в обоих случаях равенство, то оставшиеся 2 шарика разные.

Задача 18. Сортировка по весу.

Ответ / решение:

Первым взвешиванием сравним любые 2 из 5 данных предметов. Пусть A - более легкий, а B - более тяжелый предмет. Тогда результат первого взвешивания запишем в виде A

Затем сравним два других предмета и обозначим более легкий D а более тяжелый - E: D

Пятый предмет обозначим C.

Третьим взвешиванием сравним предметы B и E. Обе возникающие здесь возможности приводят к аналогичным рассуждениям, поэтому мы ограничимся рассмотрением случая B

Четвертым взвешиванием сравним пятый предмет C с предметом B. Необходимо различать два случая:

а) B

б) C

В первом случае (B

A

Сравним (для этого понадобится пятое взвешивание) предметы C и E. Здесь также необходимо различать два возможных случая: E

Если A

В случае A

Во втором случае (C

A

Сравним предметы A и C (пятое взвешивание). В обоих возможных случаях (A

Поскольку мы исчерпали все возможные случаи, то доказательство на этом заканчивается.

Задача 19. Элементарное переливание.

Ответ: 

Сначала он наполнил 30-литровый кувшин и вылил его содержимое в 50-литровый. Потом опять наполнил 30-литровый и долил до полного заполнения в 50-литровый. В результате у него в кувшине останется 10 литров.

Задача 20. Задача Пуассона.

Ответ: 

Сначала наливаете 8 литров в 8л., потом из 8л. наливаете полный 5л., в результате получается, что в 12л. - 4 литра, в 8л - 3литра, а в 5л. - 5 литров.
Переливаете из 5л. в 12л. всю воду (или что там за жидкость), а из 8л. переливаете все 3 литра в 5л. В результате 9 литров в 12л, 0 литров в 8л., и 3 литра в 5л.

Переливаете из 12л. 8 литров в пустой 8л.,и в 12 л. остается 1 литр.
Из 8л. доливаете в 5л., пока 5л. не станет полным, (в 5л. было 3л., след. долили мы еще 2литра из 8л.) Тогда в 8л. как раз остается 6л.

Задача 21. Где фальшивые монеты?-2

Ответ: 

Т.к. задача является небольшим обобщением вот этой задачи , то и решение получается тоже небольшой модификацией:

из каждого мешка надо брать не 1, 2 и так далее монет, а, например, по степеням двойки,

т.е. из первого мешка взяли 1 монету, из второго - 2, из третьего - 4, ... , из десятого - 29 = 512 монет.

В итоге, взвесив отобранные монеты и узнав разницу в весе, полученное число раскладываем по степеням двойки (фактически переводим в двоичную систему счисления).

Например, если разница в граммах составила 65 = 64 + 1 = 1∙20 + 0∙21 + 0∙22 + 0∙23 + 0∙24 + 0∙25 + 1∙26 + 0∙27 + 0∙28 + 0∙29.

Т.е. фальшивые монеты были в первом и седьмом мешках.

Задача 22. Взвесить слона.

Ответ: 

Мудрец сделал так: он поместил слона в лодку, затем отметил по борту уровень воды. Когда слона вывели из лодки, осталось только поместить туда золото.

Задача 23. Очередная задача на переливание.

Ответ: 

Приведем одно из возможных решений в виде таблицы: