Дидактические материалы для занятий математического кружка "Математика +" 7 класс. Занятие14-16. Введение в комбинаторику
план-конспект занятия по математике (7 класс) на тему

Введение в комбинаторику

"Вперёд поедешь — голову сложишь,
направо поедешь — коня потеряешь,
налево поедешь — меча лишишься" 

В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”.  Добрый молодец на перепутье. Он сталкивается с проблемой выбора дальнейшего пути движения. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Это сделать очень трудно не потому, что его нет или оно одно и поэтому его трудно найти, а приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный.

Оказывается, существует  целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, который  занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например конструктору, разрабатывающему новую модель  механизма, ученому-агроному, планирующему распределение  с/х культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав.

С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.

Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности.

С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому–химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т.п.  На практике часто приходится выбирать из некоторого множества объектов подмножества элементов, обладающих теми или иными свойствами, располагать элементы одного или нескольких множеств в определенном порядке и т. д. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют "комбинаторные задачи". Комбинаторная задача – задача, в которой идет речь о тех или иных  комбинациях объектов.

Задачи, которые приведены в этом разделе считаются наиболее трудными, но они помогут вам творить, думать необычно, оригинально, смело, видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая, любить неизвестное, новое; преодолевать трудности и идти вперед.

Задача 1: 

Вспомним   из чего состоит флаг РФ. Из трех горизонтальных полосок разного цвета (белый, синий, красный).

Оказывается, есть государства, где флаги имеют такие же цвета.

Видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой флаг. Как подсчитать, сколько таких флагов мы можем составить из трех цветных полосок?

Решение этой задачи можно записать тремя способами:

Таблица вариантов

Дерево вариантов

Правило умножения

1 полоса 3 способа

2 полоса 2 способа (т.к. одна полоса уже зафиксирована)

3 полоса 1 способ

Количество всех вариантов равно 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6  Такое произведение можно записать короче 3 ∙ 2 ∙ 1= 3! (читают «три факториал»)

Ответ: 3! = 6 способов

Мы решили задачу о флагах тремя различными способами, которые используют при решении  комбинаторных задач:

• Дерево вариантов,
• табличный,
• правило умножения.

Достоинства и недостатки каждого способа приведены ниже в таблице.

В данной задаче мы переставляли полоски местами, т.е. занимались перестановкой элементов. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок можно найти по формуле:

Pn = n!,

где n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ... n.

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Пример перестановок:

Задача 2: 

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение. Искомое число трехзначных чисел

P3 = 3! = 1  ∙  2  ∙  3 = 6.

Рассмотрим еще несколько задач с решением для лучшего усвоения материала: 

Задача 3: 

- Ребята, давайте вспомним басню И.А.Крылова «Квартет»:

Проказница мартышка,

Осел, Козел, Да косолапый мишка

Затеяли сыграть Квартет....

....А вы, друзья, как ни садитесь, все в музыканты не годитесь».

Сколько способами могут рассесться участники Квартета?

Решение: Квартет состоит из четырех участников. Число способов равно числу перестановок из 4 элементов. Р4=1∙2∙3∙4=24. Значит, существует 24 способа.

Задача 4:  Сколькими способами могут восемь человек стать в очередь к театральной кассе?

Решение задачи:

Существует 8 мест, которые должны занять 8 человек. На первое место может стать любой из 8 человек, т.е. способов занять первое место – 8. После того, как один человек стал на первое место, осталось 7 мест и 7 человек, которые могут быть на них размещены, т.е. способов занять второе место – семь. Аналогично для третьего, четвертого и т.д. места. Используя принцип умножения, получаем произведение – . Такое произведение обозначается как 8! (читается 8 факториал) и называется перестановкой P8.

Ответ: P8 = 8! = 8∙ 7∙ 6∙ 5∙ 4∙ 3∙ 2∙ 1=  40320 

Еще для успешного решения задач нам необходимо познакомиться с  комбинаторными правилами: 

Правило суммы.  

Задача 5:    Саша положил в корзину два белых гриба, а Таня – 3 подосиновика. Сколькими способами можно взять из корзины либо белый гриб, либо подосиновик?

В задаче рассматривается два множества: грибы Саши, обозначим его {а1, а2}, грибы Тани – {b1, b2, b3}. Все грибы в корзине представляют собой объединение этих двух множеств: {a1, a2, b1, b2, b3}. В полученном множестве 5 (5 = 2+3) элементов. И, значит, взять из корзины либо белый гриб, либо подосиновик можно пятью способами.

В обобщенном виде этот способ подсчета элементов в объединении пересекающихся конечных множеств называется правилом суммы и формируется следующим образом: если множество А содержит n элементов, а множество В – m элементов и множество А и В не пересекаются, то объединение множеств А и В содержит n + m элементов.

В комбинаторике, которая возникла раньше теории множеств, правило суммы формулируют иначе: если элемент a можно выбрать n способами, а элемент b – m способами, причем не один из способов выбора элемента а не совпадает со способом b, то выбор либо а, либо b можно осуществить n+m способами.

Задача 6: 

 «Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?».

При решении этой задачи сначала составляется древо всех возможных вариантов.

Ответ на поставленный вопрос в задаче можно получить, не выписывая сами числа и не строя дерево возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4·3·2 = 24. Формулируем еще одно правило:  «Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n2 способами, затем третий элемент – n3 способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1·n2·n3·…·nk».

Ответ: 24

В обобщенном виде этот способ подсчета элементов в декартовом произведении конечных множеств называется правилом произведения и формулируется следующим образом: если множество А содержит n, а множество В -  m элементов, то декартово произведение этих множеств содержит n×m элементов.

Применение правила умножения рассмотрено  на следующем примере:

Задача 7: 

«Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги (рис. 1). Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

Решение. Путь из А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит, имеется 2·3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2·3·2, т.е. 12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани.

Ответ: 12 способов.

Задача 8.  Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4, 5?

Прежде всего, выясняем, в чем отличие этой задачи от решенной ранее: в данной речь идет о таких двузначных числах, в записи которых цифры могут повторяться. В таком случае выбор цифры десятков и цифры единиц можно осуществить тремя способами каждый. Поэтому выбор двузначного числа можно выполнить согласно правилу произведения 3х3=9 способами.

Если эта задача решается методом перебора, то к шести числам 74, 75, 47, 45, 57, 54, в записи которых числа не повторяются, добавляются числа 77, 44, 55.

Задача 9. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4, 5?

В этой задаче из цифр 7, 4 и 5 образуются трехзначные числа, а не двузначные, как в задаче 1.

Так как цифры в записи этих чисел могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно выбрать тремя способами каждую. А поскольку запись трехзначного числа представляет собой упорядоченный набор из трех элементов, то согласно правилу произведения его выбор можно осуществить 27 способами, так как 3х3х3=27.

Задача 10.  Сколько натуральных чисел, меньших 1000, можно записать, используя цифры 7. 4 и 5?

Натуральные числа, меньшие 1000, могут быть однозначными, двузначными и трехзначными. Поэтому подсчитываем, сколько чисел каждого вида можно записать, используя цифры 7, 4 и 5, а затем полученные результаты складываем.

Однозначных чисел будет 3, двузначных – 9 (см. задачу 8), трехзначных – 27 (см. задачу 9) . Всего натуральных чисел, меньших 1000, будет 3+9+27=39.

Получив этот результат, можно выяснить, изменится ли он, если в задаче будет оговорено, что цифры в записи числа не повторяются. С учетом этого условия однозначных чисел будет 3, двузначных -6, трехзначных – 6, а всего натуральных чисел, меньших 1000 и записанных с помощью цифр 7. 4 и 5 без их повторения, будет 3+6+6=15.

Кроме того, можно узнать, сколько четных натуральных чисел, меньших 1000, можно записать используя цифры 7, 4 и 5.

С помощью данных цифр можно записать такие четные числа: одно однозначное число (это 4), три двузначные (так как имеется 3 способа выбора цифры десятков и один способ выбора цифры единиц) и девять трехзначных (так как имеется 3 способа выбора цифры сотен, 3 – цифры десятков и 1 – цифры единиц).

Всего четных натуральных чисел. Меньших 1000, записанных с помощью цифр 7, 4 и 5, будет 13 (1+3+9=13).

Задача 11. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и1?

Запись четырехзначного числа представляет собой упорядоченный набор (кортеж) из четырех цифр. Первую цифру – цифру тысяч – можно выбрать только одним способом, так как запись числа не может начинаться с нуля. Цифрой сотен может быть либо 0, либо 1, т.е. имеется два способа выбора. Сколько же способов выбора имеется для цифры десятков и цифры единиц. Тогда согласно правилу произведения с помощью цифр 0 и 1 можно записать 8 четырехзначных чисел, так как 1 х 2 х 2 х 2=8.

Можно проиллюстрировать полученный результат. Записав все эти числа, т.е. решив данную задачу методом перебора. Запишем сначала числа, в записи которых используются только цифра 1. Такое число только одно – 1111.

Затем записываем все числа, в записи которых используются три единицы и один нуль: 1110, 1101, 1011.

Далее записываем все числа, в записи которых используются две единицы и два нуля: 1100, 1010, 1001.

И, наконец, получаем число, в записи которого одна единица и три нуля 1000.

Задача 12. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использованы в записи только один раз?

Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру сотен можно выбрать пятью способами; выбор цифры десятков также можно осуществить пятью способами, поскольку цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести данных цифр будет уже использована для записи сотен; после выбора двух цифр (для записи сотен и десятков) выбрать цифру единиц из данных шести можно четырьмя способами. Отсюда по правилу произведения получаем, что трехзначных чисел (из данных шести цифр) можно образовать 5х5х4=100 способами.

Заметим, что не только задачу 4, но и первые три можно решать в начальной школе методом перебора, причем в задаче 2 можно уменьшить число возможных случаев, если добавить условие, что цифры в записи числа не повторяются. При этом умение применять правило произведения для подсчета числа всевозможных комбинаторных соединений позволяет учителю контролировать правильность решения этих задач.

С помощью правила произведения легко проверяются решения комбинаторных задач, предлагаемых младшим школьникам и выполненных методом перебора. Приведем несколько примеров из статьи Р. Хазанкина «Словарь племени сю – сю», опубликованной  в «Учительской газете» 21 января 1992г.

Задача 13. У марсиан 2 буквы в алфавите: А, Б. Сколько можно составить слов длины «три» из такого алфавита?

Ответ: 2 х 2 х 2=8 (слов).

Задача 14. У жителей луны в алфавите три буквы: М, Я, У. Сколько различных слов длины «три» можно составить из этих букв?

Ответ: 3х3х3=27 (слов).

Задача 15. У племени «сю – сю» в алфавите 4 буквы: М, Я, А, У.   А все слова только трехбуквенные. Сколько существует различных слов у этого племени?

Ответ: 4х4х4=64 (слова).  

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 16.

Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Задача 17.

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Задача 18.

Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использована в записи только один раз?

Задача 19.

Имеется 6 видов конвертов без марок и 3 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?

Задача 20.

Сколькими способами можно разместить на странице 5 различных заметок?

Задача 21.

Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Задача 22.

Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Задача 23.

Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Задача 23.

Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?

Задача 24

В турнире Архимеда участвуют команды из восьми человек. Сколькими способами можно в команде выбрать капитана и его заместителя?

Задача 25.

В математической карусели участвовали 12 команд. Сколькими способами можно распределить места между командами, если несколько команд не могут разделить одно место между собой?

Задача 26.

В школьной столовой 5 кранов для умывания. Каждый может быть закрыт или открыт. Сколькими способами может течь вода в столовой?

Задача 27.

Словом назовём произвольную последовательность букв. Сколько возможных слов можно составить, переставляя буквы в слове  УЧЕНИК;

Задача 28.

Сколько разных ожерелий можно сделать из

а) 11 бусинок разных цветов;

б) 3 красных и 8 синих бусинок;

в) 3 красных и 8 синих бусинок, но красные нельзя ставить рядом?

Задача 29.

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и чёрную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Задача 30.

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и чёрного короля, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

Задача 31.

Начальник транспортного цеха пригласил несколько человек на совещание. Каждый участник совещания, входя в кабинет, пожимал руки всем присутствующим. Сколько человек участвовали в совещании, если было всего 78 рукопожатий?

Задача 32.

Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра?

Задача 33.

Сколько семизначных чисел не содержат цифры 2?

Указание. Первую цифру можно выбрать 8 способами (потому что эта цифра — не 0 и не 2). Каждую следующую цифру можно выбрать 9 способами.

Задача 34.  Чайная комбинаторика.

В магазине "Все для чая'' есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Задача  35   Разноцветные елки.

а) Сколькими способами можно покрасить пять елок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски неограниченно, а каждую елку красим только в один цвет?

б) Есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами можно украсить ими пять елок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?
в) А если можно надевать несколько шариков на одну елку (и все шарики должны быть использованы)?

Задача 36.   Подбираем перчатки.

Глория больше всего любит желтый и розовый цвета. В ящике для перчаток у Глории лежат шесть пар желтых и шесть пар розовых. Они перемешаны в беспорядке. Сколько перчаток Глория должна вытащить из ящика, чтобы среди них наверняка оказалась пара одного цвета? Глории все равно, какого цвета окажется эта пара - желтого или розового.

Задача 37.   Выбираем варенье.

У вас в тёмном чулане стоят банки с вареньем трёх сортов: яблочное, сливовое и земляничное. Какое наименьшее количество банок вам надо взять, не глядя, чтобы среди них наверняка оказалось не менее девяти банок с вареньем одного сорта?

Задача 38.   Завтрак людоеда.

У людоеда в подвале томятся 25 пленников.

а) Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин?

б) А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?

Задача 39. Замки и ключи.

Перед нами 10 закрытых замков и 10 похожих ключей к ним. К каждому замку подходит только один ключ, но ключи смешались. Возьмем один из замков, назовем его первым и попробуем открыть его каждым из 10 ключей. В лучшем случае он откроется первым же ключом, а в худшем - только десятым.
Сколько нужно в худшем случае произвести проб, чтобы открыть все замки?

Задача 40  Сколько переводчиков?

На международную конференцию приехали 10 делегатов, не понимающих языка друг друга. Какое минимальное число переводчиков потребуется для обслуживания конференции при условии, что каждый переводчик знает только два языка?

Задача 41.  Цветные шары.

В ящике лежат 70 шаров: 20 красных, 20 синих, 20 желтых, остальные черные и белые. Какое наименьшее число шаров надо взять, не видя их, чтобы среди них было не меньше 10 шаров одного цвета?

Задача 42.  Две шашки.

На пустую шашечную доску надо поместить две шашки разного цвета. Сколько различных положений могут они занимать на доске?

Задача  43.  С днём рождения!

Маша на свой день рождения пригласила в гости трех лучших подруг - Дашу, Глашу и Наташу. Когда все собрались, то по случаю дня рождения Маши решили обняться - каждая пара по одному разу. Сколько получилось разных пар?

Задача 44:

В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В – 4 дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Задача 45:

В Стране Чудес есть четыре города: А, Б и В и Г. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В – 4 дороги, Из города А в город Г – две дороги, и из города Г в город В – тоже две дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Задача 46:

Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

Задача 47:

Каждую клетку квадратной таблицы 2 ? 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

Задача 48:

Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

Задача 49:

В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

Задача 50:

Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать 4 карты разных мастей и достоинств?

Задача 51:

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)?

Ответы, указания, решения:

Задача 16.

Решение: 

Число маршрутов равно числу перестановок из 7 элементов.

Р7=7!= 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7=5040

Ответ: 5040 маршрутов.

Задача 17.

Решение: 

Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. число таких перестановок равно Р3. значит, искомое число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6 равно Р4 – Р3= 4!–3!=1∙2∙3∙4 – 1∙2∙3= 24 – 6=18.

Ответ: 18 чисел.

Задача 18.

Решение: 

Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру сотен можно выбрать пятью способами; выбор можно также осуществить пятью способами, поскольку цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести цифр будет уже использована для записи сотен; после выбора двух цифр (для записи сотен и десятков) выбрать цифру единиц из данных шести можно четырьмя способами. Отсюда, по правилу произведения, получаем, что трехзначных чисел можно образовать 5·5·4 = 100 способами.

Ответ. 100 способов

Задача 19.

Решение: 

Конверт можно выбрать шестью способами, марку - тремя, с каждым из шести способов выбора конверта может совпасть любой из трех способов выбора марки. Тогда, согласно правилу умножения, имеем  способов.

Ответ. 18.

Задача 20.

Решение: 

т.к. имеются 5 заметок, и все они участвуют в выборе, то это перестановки. Применим формулу перестановок: Pn=n!, получаем, P5= 5! = 120.

Ответ: Существуют 120 способов разместить имеющиеся заметки.

Задача 21.

Решение: 

Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12 ∙ 3 = 36 вариантов переплета.

Ответ: 36 способов.

Задача 22.

Решение: 

В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя - как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z -любые цифры, а X - не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9∙104∙10 = 900 вариантов.

Ответ: 900 пятизначных чисел

Задача 23.

Решение: 

Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.

Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.

Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входит Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.

Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров, уже составлены.

Итак, мы получили 6 пар: АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ. Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.

Ответ: 6 вариантов выбора.

Задача 23.

Решение: 

Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?

Если на матч пойдут Антон и Борис, то они могут занять места двумя способами: 1-е место – Антон, 2-е – Борис, или наоборот. Аналогично Антон и Виктор, Борис и Виктор. Таким образом, мы получили 6 вариантов: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.

Ответ: 6 вариантов выбора.

Задача 24

Решение. 

Капитаном может быть любой из восьми человек, т.е. существует 8 способов выбрать капитана. Любой из оставшихся может стать заместителем капитана. Таким образом, для любого варианта выбора капитана (из 8 возможных) существует 7 способов выбрать его заместителя. Тогда всего 8×7=56 способов.

Ответ. 56 способами.

Задача 25.

Решение. 

Первое место может занять любая из 12 команд. Второе место — любая из 11 оставшихся команд, третье — любая из 10 оставшихся, …, одиннадцатое — любая из двух ещё не выбранных команд и двенадцатое — последняя оставшаяся команда. Итого, 12·11·10·…·2·1=12! способов.

Ответ. 12!

Задача 26.

Решение. 

Пронумеруем краны числами от одного до пяти. Первый кран может быть либо закрыт, либо открыт — два способа. В каждой из этих ситуаций второй кран может быть либо открыт, либо закрыт — итого имеем 2·2=4 способа. В каждой из этих четырёх ситуаций третий кран может быть либо закрыт, либо открыт, итого имеем 4·2=8 способов. И так далее. Получаем, что вода в столовой может течь 2·2·2·2·2 = 25 = 32 способами.

Ответ. 32 способами.

Задача 27.

Решение.
Всего шесть букв. Все они попарно различны. Поэтому, составляя слово из данных букв, первой мы можем поставить любую из них, второй — любую из пяти оставшихся, …, шестой — последнюю оставшуюся. Т.о. всего 6·5·4·3·2·1=6! способов.

Ответ. 6! слов

Задача 28.

а) Переформулируем условие задачи. Будем считать, что у нас есть ожерелье с одиннадцатью белыми бусинками. Нам нужно покрасить каждую бусинку в один из 11 цветов, при этом каждый цвет мы должны использовать ровно один раз.

Тогда первую бусинку мы можем покрасить в один из 11 цветов, вторую — в любой из 10 — оставшихся, …, десятую — в любой из двух оставшихся, одиннадцатую — в последний оставшийся. Т. о. всего 11! вариантов получить ожерелье. Но при этом мы не учитываем, что все варианты разбиваются на группы по 11 штук, получающихся друг из друга поворотом (а это одинаковые ожерелья). Кроме того, все ожерелья можно разбить на пары совмещающихся переворотом, причём любые два таких варианта поворотом не совмещаются, т.е. находятся в разных группах по 11 штук. Т. о. количество способов получить ожерелье равно 11!⁄(11·2).

Ответ. а) 11!/22 ожерелий; б) 10 ожерелий; в) 5 ожерелий.

Задача 29.

Решение.

Белую ладью можно поставить на любую из 64 клеток. Независимо от своего расположения она бьёт 15 полей (включая поле, на котором она стоит). Поэтому остаётся 49 полей, на которые можно поставить чёрную ладью. Таким образом, всего есть 64 · 49 = 3136 разных способов

Ответ. 3136 разных способов

Задача 30.

Решение.

Белого короля можно поставить на любое из 64 полей. Однако количество полей, которые он при этом будет бить, зависит от его расположения. Поэтому разберём три случая:

если белый король стоит в углу (углов всего 4), то он бьёт 4 поля (включая то, на котором стоит) и остаётся 60 полей, на которые можно поставить чёрного короля;

если белый король стоит на краю доски, но не в углу (таких полей 24), то он бьёт 6 полей, и для чёрного короля остаётся 58 возможных полей;

если же белый король стоит не на краю доски (таких полей 36), то он бьёт 9 полей, и для чёрного короля остаётся 55 возможных полей.

Таким образом, всего есть  4 · 60 + 24 · 58 + 36 · 55 = 3612  способов расстановки королей.

Ответ.  3612.

Задача 31.   Ответ. 13.

Задача 32.

Указание. 

Вместо того, чтобы подсчитывать количество требуемых шестизначных чисел, определите количество шестизначных чисел, у которых все цифры нечётны.

Решение. Количество шестизначных чисел, в записи которых встречаются только нечётные цифры, равно 56 = 15 625. Всего шестизначных чисел 900 000. Поэтому количество шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра, равно

900 000 – 15625 = 884 375.

Ответ. 884375.

Задача 33.

Ответ. 8 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 = 4 251 528.

Задача 34. 

Ответ: 

Выберем чашку. В комплект к ней можно выбрать любое из трех блюдец. Поэтому есть 3 разных комплекта, содержащих выбранную чашку. Поскольку чашек всего 5, то число различных комплектов равно 15 (15=5∙3).

Задача  35

 Ответ:

 а) Каждую из пяти елок можно покрасить в один из трех цветов, поэтому всего различных способов существует 3*3*3*3*3 = 35 = 243.
б) На первую елку можно надеть любой из пяти шариков, на вторую елку — любой из оставшихся четырех, и так далее; всего получаем 5*4*3*2*1 = 120 способов.
в) Каждый из шариков можно надеть на любую елку, поэтому в этом случае ответ – 55 = 3125

Задача 36.

Ответ: 

Может получится так, что Глория вытащит все 12 перчаток на левую руку. Но уже следующей перчатке обязательно найдется пара. Значит, для полной уверенности
нужно вытащить 13 перчаток.

Задача 37.

 Ответ: 

25 банок. При этом распределение по сортам будет (к примеру) таким: 8 банок - с яблочным вареньем, 8 - со сливовым и 9 - с земляничным (8+8+9=25). Двадцати четырех банок для выполнения условия уже не хватает: каждого сорта может быть только по 8 банок.

Задача 38.

Ответ: 

а) На завтрак людоед может предпочесть любого из 25 человек, на обед — любого из 24 оставшихся, а на ужин — кого-то из 23 оставшихся счастливчиков. Всего получаем 25∙24∙23 = 13800 способов.

б) Заметим, что в предыдущем пункте каждую тройку пленников мы посчитали 3∙2∙1 = 6 раз. Поскольку теперь их порядок нам неважен, то ответом будет число 13800:6 = 2300.

Задача 39.

Ответ: 

Для 1-го замка достаточно 9 проб (10-я не обязательна), для 2-го - 8, для 3-го - 7 и т.д., а для оставшегося 10-го не требуется ни одной.

Общее число проб составит 9+8+7+...+1+0 = 45.

Задача 40

Ответ: 9.

Задача 41.

Ответ: 38.

Задача 42.

Ответ: 

Первую шашку можно поместить на любое из 64 полей доски, т.е. 64 способами. После того как первая поставлена, вторую шашку можно поместить на какое-либо из прочих 63 полей. Значит к каждому из 64 положений первой шашки можно присоединить 63 положения второй шашки. Отсюда общее число различных положений двух шашек на доске:   64 ∙ 63 = 4032.

Задача  43.

Ответ: Шесть.

Задача 44:

Решение:

Ответ: 24 = 6 • 4.

Задача 45:

Решение:

Выделим два случая: путь проходит через город Б или через город Г. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных маршрутов: в первом – 24, во втором – 6. Складывая, получаем общее количество маршрутов: 30.

Задача 46:

Ответ: 6.

Задача 47:

Ответ: 24.

Задача 48:

Решение:

Цвет для верхней полоски флага можно выбрать шестью разными способами. После этого для средней полоски флага остается пять возможных цветов, а затем для нижней полоски флага – четыре различных цвета. Таким образом, флаг можно сделать 6 • 5 • 4 = 120 способами.

Задача 49:

Решение:

Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго – любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20 • 19 = 380. Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго – город В, а второй раз – наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380:2 = 190.

Задача 50:

Решение:

13 • 12 • 11 • 10

Задача 51:

Решение:

5 + 5 • 4 + 5 • 4 • 3 + 5 • 4 • 3 • 2 + 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 325

Литература и интернет - источники

1. Еженедельное учебно-методическое приложение “Математика” Изд. Пресса. Москва.1999 г
2. Л.Г. Петерсон. Математика 4 класс. Изд. Баласс. Москва.1999 г.
3. wiki.vladimir.i-edu.ru›images…4c
4. http://mmmf.msu.ru/archive/19992000/spivak67/s_combz.html