Методические указания и контрольные задания по дисциплине "Математика" для специальностей очной (заочной) формы обучения "Экономика бухучет (по отраслям)", "Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров"
методическая разработка по математике на тему

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Майкопский государственный технологический университет»

в поселке Яблоновском

Политехнический колледж

Предметная (цикловая) комиссия информационных и математических дисциплин

УТВЕРЖДАЮ:

Зам.директора по СПО

_____________ А.З. Рысьмятов

«____» ______________ 2016 г.

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «МАТЕМАТИКА»

для студентов  2 курса очной (заочной) формы обучения

 специальностей

38.02.01 «Экономика и бухучет (по отраслям)»

38.02.05«Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров»

Яблоновский 2016г.

Содержание

1. Пояснительная записка  …………………………………………………… 2
2. Примерный тематический план ……………………………………………4
3. Содержание дисциплины по математике ………………………………… 5
4. Требования к выполнению и оформлению домашней

     контрольной работы ……………………………………………………… 33

5. Варианты  заданий домашней контрольной работы …………………… 34
6. Литература ………………………………………………………………… 41

1. Пояснительная записка

Данная методическая разработка составлена для студентов специальности 080110 «Экономика и бухучет (по отраслям)» заочного и очного отделения.

        Цель настоящего методического указания – оказание помощи студенту в приобретении навыков решения практических задач, для выполнения индивидуальных домашних заданий (ИДЗ)  и домашней контрольной работы (ДКР).

        Программой «Математика» предусматривается изучение вопросов о месте и роли математики в современном мире, общности её понятий и представлений; использовании математических методов при решении прикладных задач.

        В пособии излагаются теоретические сведения из курса высшей алгебры, необходимые для выполнения заданий различного уровня сложности, которые сопровождаются подробным решением, что в значительной мере облегчает усвоение материала и выполнение работы.

        В результате изучения предмета студент должен –  

иметь представление о роли и месте математики в современном мире, общности ее понятий и представлений;

знать:

- понятие производной: сложной функции, обратных функций;

- вторая производная и производные высших порядков;

- исследование функции с помощью производной;

- теорию пределов;

- определенный и неопределенный интеграл, основные методы интегрирования.

уметь:

- находить производные различного вида и порядка;

- исследовать функции с помощью производной;

- вычислять значение предела функции в точке и на бесконечности;

- решать интегралы различного типа, использовать методы интегрирования.

        Учебным планом предусматривается проведение двух обязательных контрольных работ.

Перед выполнением заданий самостоятельной работы и при подготовке к классной (итоговой) контрольной работе, студентам рекомендуется ознакомиться с  упражнениями расположенными в приложении 2. Представленные задания различного уровня сложности и ответы к ним, окажут неоценимую помощь студентам, при самостоятельной проверке своих умений и навыков.

2. Примерный тематический план

Раздел 1. Функция. Предел функции

Тема 1.1. Предел функции в точке. Основные свойства пределов.

Тема 1.2. Предел функции на бесконечности.

Тема 1.3. Точки разрыва функций. Асимптоты.

Раздел 2. Производная

Тема 2.1. Производная. Геометрический и физический смысл.

Тема 2.2. Правила дифференцирования.

Тема 2.3. Производная обратных функций.

Тема 2.4. Производная сложной функции. Производные высших порядков.

Раздел 3. Приложения производной к исследованию функций.

Тема 3.1. Возрастание и убывание функции.

Тема 3.2. Исследование функций на экстремум.

Тема 3.3. Построение графиков функций.

Раздел 4. Интегральное исчисление

Тема 4.1. Неопределенный интеграл и его свойства

Тема 4.2. Методы интегрирования

Тема 4.3. Определенный интеграл

Тема 4.4. Приложения определенного интеграла.

3.  Содержание дисциплины

Раздел 1.  Функция.  Предел функции

Тема 1.1  Теория пределов

Студент должен

 знать:

• предел функции в точке; основные свойства пределов

уметь:

- находить предел функции в точке и на бесконечности, используя свойства пределов

иметь представление:

• о месте и роли математики в современном мире

Методические указания

        Определение предела функции. Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке Х* и пусть точка  или  .

        Число А называется пределом функции f(x), если для любого числа  существует число  такое, что для всех  , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

ПРИМЕР 1. Используя определение, доказать, что функция f(x) = 3х – 2 в точке х = 1 имеет предел, равный единице, т.е. .

Решение. Возьмем любое . Задача состоит в том, чтобы по этому  найти такое  , при котором из неравенства   следовало бы неравенство    . Преобразуя последнее неравенство, получаем , или . Отсюда видно, что если взять , то для всех ч, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Это и означает, что .

Свойства пределов

Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х0 пределы В и С. Тогда функции f(x)  g(x),  f(x) * g(x) , и f(x) / g(x) имеют в точке х0 пределы, равные соответственно ВС, В∙С, В/С, т. е. , , .

Замечание. Теорема верна также и в случае, когда х0  является одним из символов  , .

ПРИМЕР 2. а) Найти

Решение. На основании выше изложенной теоремы, имеем .

                б) Найти

Решение. Пределы числителя и знаменателя  равно нулю:    Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле  где х1 и х2 – корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на х-3. Используя следствие 4, получим

.

Вопросы для самоконтроля:

1. Дать определение предела функции в точке.
2. Перечислить основные свойства пределов.
3. Вычислить предел  

Тема 1.2  Предел функции на бесконечности

Студент должен

 знать:

       - предел функции на бесконечности.

  уметь:

  - находить предел функции на бесконечности используя свойства пределов

иметь представление:

- об основных методах вычисления пределов функции на бесконечности

Методические указания

Раскрытие неопределенностей вида  и .

1.  (а – любое число).

2.  (а – любое число).

3.  (а – любое число).

ПРИМЕР 3. Найти .

Решение. Имеем неопределенность . Непосредственно теорему применить нельзя. Необходимо, как говорят, раскрыть эту неопределенность. Для этого разложим числитель на множители и сократим на общий множитель х+2, который обращает в нуль знаменатель и числитель дроби. Получаем

Так как знаменатель теперь не равен нулю, то неопределенность  раскрыта.

Имеем

ПРИМЕР 4. 

Вопросы для самоконтроля:

1. Как раскрывается неопределенность вида ?
2. Как раскрывается неопределенность вида  ?

Тема 1.3  Точки разрыва функции. Асимптоты

Студент должен

 знать:

- виды разрывов;

- общие понятия связанные с асимптотами;

уметь:

-находить точки разрыва функций и  асимптот.

Методические указания

Определение. Если функция  при   имеет разрыв, то для выяснения характера разрыва следует найти предел функции  при  слева и справа.

В зависимости от характера поведения функции в окрестности точки разрыва различают два основных вида разрывов:

1) разрыв 1 рода – в этом случае существуют конечные пределы  и ;

2) разрыв 2 рода – в этом случае хотя бы один из пределов   и  не существует или бесконечен.

ПРИМЕР 5. Для заданной функции найти точки разрыва и исследовать их характер: .

Решение. Данная функция определена при всех значениях х, кроме х=3. Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения. Таким образом, единственной точкой разрыва служит точка х=3. Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы функции при :

          и          .

Следовательно функция  в точке х=3 имеет бесконечный разрыв, т.е. х=3 – точка разрыва второго рода.

Определение. Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее,  от начала координат.

Различают вертикальные, горизонтальные, и наклонные асимптоты.

Вертикальные асимптоты. График функции у=f(х) при  имеет вертикальную асимптоту, если  или ; при этом точка х=а есть точка разрыва второго рода. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид х = а (рис.3).

Горизонтальные асимптоты. График функции у=f(х) при   или при  имеет горизонтальную асимптоту, если  или . Может оказаться, что либо только один из этих пределов конечный, либо ни одного, тогда график имеет или одну вертикальную асимптоту, или ни одной. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y = b (рис.4).

Наклонные асимптоты. Пусть график функции у=f(х) имеет наклонную асимптоту . В этом случае справедливо равенство . Вынося х за скобки, получим . Так как , то отсюда получаем формулы для вычисления параметров k и  b:

  и  

ПРИМЕР 6.  Найти асимптоты графика функции .

Решение. Точка х = 3  - точка разрыва второго рода данной функции, причем  ; следовательно, прямая х = 3 – вертикальная асимптота.

Так как  ,  график функции наклонных асимптот не имеет.

Находим горизонтальную асимптоту:  . Таким образом, график данной функции имеет горизонтальную асимптоту   у = 1.

Вопросы для самоконтроля:

1. Когда мы можем сказать, что функция имеет разрыв первого рода?

2. Когда мы можем сказать, что функция имеет разрыв второго рода?

3. Какие типы асимптот вы знаете?

Раздел 2.  Производная

Тема 2.1  Производная.  Геометрический и физический смысл

Студент должен

 знать:

- понятие производной и дифференциала, геометрический и физический смысл

производной, правила дифференцирования

уметь:

- находить производную первого и второго порядка, производную сложной функции – используя правила дифференцирования

иметь представление:

- о методах решения прикладных задач с помощью производной

Методические указания

Приступая к выполнению контрольной работы необходимо изучить определение производной функции, правила дифференцирования. Изложим только основные понятия связанные с производной.

Определение. Производной функции у = f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции у = f(x0 + x) – f(x0) к приращению аргумента х = (х0+х)-х0, когда последнее стремится к нулю. Обозначается производная функции y’ = f’(x).

Итак, имеем

f’(x) =

Геометрический смысл

Определение. Производная функции у = f(x) при данном значении аргумента х = х1 равна угловому коэффициенту касательной  проведенной к графику этой функции в точке, абсцисса  которой равна х1:   ,  или  

ПРИМЕР 7. Дана  кривая . Найти наклон этой кривой в точке, абсцисса которой равна 6.

Решение. Найдем производную этой кривой: .

При х = 6 получим .

Физический смысл

Определение.  Средняя скорость изменения функции у для промежутка значений аргумента от х до х+ выражается отношением

Отношение  показывает, сколько единиц приращения функции приходится на единицу приращения аргумента.

Мгновенная (или истинная) скорость изменения функции при данном значении х есть предел, к которому стремится средняя скорость  при  в промежутке изменения аргумента от х до х+, т.е.

        Для линейной функции  средняя скорость  и истинная скорость  совпадают по величине и численное значение истинной скорости равно коэффициенту k.

ПРИМЕР 8. Найти среднюю скорость изменения функции у=3х2 – 6 при изменении х от х1=3 до х2=3,5.

Решение. Найдем приращение аргумента: =х2-х1= 3,5 – 3 = 0,5

Определим значения функции при х2  и  х1: У1 = 3*32 – 6 = 21,  у2 = 3*(3,5)2 – 6 = 30,75

Вычислим приращение функции: = у2-у1 = 30,75 – 21 = 9,75.

Находим среднюю скорость изменения функции: .

Основные правила дифференцирования

Если С - постоянное число, u=u(x), v=v(x)- функции, имеющие производные, тогда:

1.

2.

3.

4.

Формулы дифференцирования основных функций

(дифференцирование функции)

ПРИМЕР 9.  Найти производные функций: 1) f(x) = 5 + x3 + 3x2 + sin x + 2tg x; 2) f(x) = ;  3) f(x) = x sin x.

Решение.

1) f ‘ (x) = (5 + x3 + 3x2 + sin x + 2tg x) ‘ = (5)’ + (x3 )’+ (3x2 )’+ (sin x)’ + (2tg x)’ =  = 3x2 + 6x + cos x + 2 / cos2x

2) f ‘ (x) = ( )’=  =  =  = =

3) f ‘(x) = (x sin x)’ =  (x )’sin x + (sin x)’ x = 1*sin x + x cos x = sin x + x cos x.

ПРИМЕР 10.  Найти производную функции:

Решение. 

Вопросы для самоконтроля:

1. Определение производной функции
2. В чем заключается геометрический смысл производной?
3.  В чем заключается физический смысл производной?

Тема 2.3  Производные обратных тригонометрических функций

Студент должен

 знать:

- правила дифференцирования;

уметь:

- находить производные обратных тригонометрических функций.

Методические указания

ПРИМЕР 11. Найти производную  функции f(x) = arcsin 2x, вычислить f ‘(-1/4).

Решение.

f ' (x) =  (arcsin 2x)’=  =  =

f '(-1/4) =  =  =

ПРИМЕР 12.  Найти производную функции:

Решение.

Тема 2.4  Производная сложной функции

Студент должен

 знать:

- правила дифференцирования;

- формулы дифференцирования;

уметь:

- находить  производную сложной функции, используя правила дифференцирования

Методические указания

        Если имеется сложная функция у = f [ h(x) ], то yx' = fh' (h) * hx' (x) – производная сложной функции.

ПРИМЕР 13. Найти производные сложных функций: 1) f (x) = cos 6 (3x2 – 5);  

     2) f (x) = ln ( x - ).

Решение. 

1) Если обозначим функцию  cos (3x2 – 5) = u, то для нахождения производной используем формулу , где n=6, тогда получим

f ' (x) =  (cos6 (3x2 – 5)) ' =  6⋅ cos 5 (3x2 – 5) ⋅ (cos (3x2 – 5)) '  

 Теперь обозначим 3x2 – 5 =  t и воспользуемся формулой , получим

(cos (3x2 – 5)) '  = -sin(3x2 – 5) ⋅ (3x2 – 5) ' = -sin(3x2 – 5) ⋅ 6x, подставим в искомую производную функции:

f ' (x) = 6 ⋅ cos 5 (3x2 – 5) ⋅ (-sin(3x2 – 5)) ⋅ 6x = - 36x ⋅ cos 5 (3x2 – 5) ⋅ sin(3x2 – 5)

2) Аналогично рассмотренному примеру обозначим    x -  = u , тогда

f ' (x) =  , получим

f ' (x) = [ln ( x - )]'=  (х -)' =  ⋅ (1 – (1+x2) ')=  

= ⋅(1 – ⋅ 2x )= ⋅ =

Производные высших порядков

        Производная f ' (х) называется производной первого порядка. Производная от f ' (x) называется производной второго порядка (или второй производной) от функции f(x)  и обозначается y '' или f ' ' (x). Производная от    f ' ' (x) называется производной третьего порядка (или третьей производной) от функции f (x)  и обозначается y``` или  f ```(x) и т.д.

        Производная n – го порядка есть производная от производной  (n – 1)-го порядка, т.е. .

        Производные начиная со второго порядка называются производными высшего порядка.

ПРИМЕР 14. Найти производную второго порядка от функции y = tg x

Решение.

y ' = (tg x) ' =  

y '' = ()' =  =  =  =

Вопросы самоконтроля:

1. Как найти производную сложной функции.
2. Как найти производную второго и третьего порядка.
3. Перечислите основные формулы дифференцирования.

Раздел 3.  Приложения производной к исследованию функции

Тема 3.1  Возрастание и убывание функции

Студент должен

 знать:

- определение возрастающей и убывающей  функции.

уметь:

• находить промежутки возрастания и убывания функций

Методические указания

Определение. Функция  называется возрастающей на промежутке , если для любых х1 и х2, принадлежащих этому промежутку и таких, что x1< x2, имеет место неравенство .

Определение. Функция  называется убывающей на промежутке , если для любых х1 и х2, принадлежащих этому промежутку и таких, что x1< x2, имеет место неравенство .

        Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

        Возрастание и убывание функции   характеризуется знаком ее производной: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же , то функция убывает в этом промежутке.

ПРИМЕР 15. Найти промежутки монотонности следующей функции .

Решение. Находим производную ; имеем . Исследуем знак производной на интервалах  и  методом пробных точек. Последующие рассуждения представим в таблице.                                                        

Таким образом, данная функция в промежутке  убывает, а в промежутке  возрастает.

Вопросы самоконтроля:

1. Какая функция называется возрастающей?

2.  Какая функция называется убывающей?

3. Какие функции называются монотонными?

Тема 3.2  Исследование функций на экстремум

Студент должен

 знать:

• схему исследования функций на экстремум, с помощью первой и второй производной;
• правило нахождения точек перегиба.

уметь:

- исследовать функции на экстремум с помощью первой и второй производной;

- находить промежутки выпуклости и вогнутости.

Методические указания

Исследование функции на экстремум с помощью первой производной.

1. Найти производную .

2. Найти критические точки 1 рода функции , т.е. точки, в которых  обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак производной  в промежутках, на которые найденные критические значения точки делят область определения функции . При этом критическая точка х0 есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором , от промежутка в котором , и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой х0, знак производной не меняется, то в точке х0 функция экстремума не имеет.

4. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Исследование функции на экстремум с помощью второй производной.

1. Найти производную .

2. Найти стационарные точки данной функции , т.е. точки, в которых  обращается в нуль.

3. Найти вторую производную .

4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

ПРИМЕР 16. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию     f(x)=x3-9x2+24x-12.

Решение. Следуем пунктам правила:

1. Находим производную:

2.

3. Найдем .

4. Определим знак второй производной в критических точках. Так как  то при х=2 функция имеет максимум; так как  то при х=4 функция имеет минимум.

5. Вычислим значение функции в точках экстремума:  

Определение. График дифференцируемой функции y = f(x)  называется выпуклым на интервале (а, b), если дуга кривой на этом промежутке расположена ниже касательной, проведенной к графику функции  y = f(x)   в любой точке   (а, b).

Определение. График дифференцируемой функции y = f(x)  называется вогнутым на интервале (а, b), если дуга кривой на этом промежутке расположена выше касательной, проведенной к графику функции  y = f(x)   в любой точке   (а, b).

Кривая выпукла (вогнута) в некотором промежутке, если она выпукла (вогнута) во всех точках этого промежутка.

Промежутки выпуклости и вогнутости кривой можно находить с помощью производной.

Определение. Если вторая производная функции y = f(x)  в данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке.

Как уже отмечалось, иногда кривая в одной своей части выпукла, а в другой вогнута; так, например, часть синусоиды  выпукла выше оси Ох и вогнута ниже оси Ох, причем точка А служит границей между ними. Эта точка носит название точки перегиба.

 у

                                            А                                                        х

   0                                                            

Определение. Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой.

Правила исследования функции на выпуклость, вогнутость

 и точки перегиба

1. Найти вторую производную функции f”(x).
2. Найти точки, в которых вторая производная f”(x) = 0  или не существует.
3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и вогнутости, и наличии точек перегиба.
4. Найти значения функции в точках перегиба.

ПРИМЕР 17. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции  

у = х (х – 1)3. 

Решение.  1.  Найдем первую, а затем и вторую производную данной функции

  y” = 12 (x – 1) (x – 1/2).

2. Найдем критические точки  y” = 0  при  х1 = 1/2  и  х2 = 1.

3. Разбиваем область определения функции на промежутки критическими точками и исследуем знак второй производной :

y”                                   +                               _                               +

                                                      1/2                                      1

y” > 0 на интервалах  , следовательно, на этих интервалах функция вогнута;  y” < 0  на интервале  (1/2,  1), следовательно, функция на нем выпукла,  а  х1 = 1/2  и  х2 = 1  есть точки перегиба.

4.Значения функции в очках перегиба  f(1/2) = - 1/16 ,  f(1) = 0 .

Вопросы самоконтроля:

1. Как исследовать функцию на экстремум с помощью первой производной?

2. Как исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной?

Тема 3.3  Исследование функции с помощью производной

Студент должен

 знать:

• схему исследования для построения графиков функций

уметь:

- исследовать функции различного типа и строить их графики

Методические указания

        Изучение заданной функции и построение её графика целесообразно проводить в следующем порядке:

1) найти область определения функции;

2) найти точки пересечения графика функции с осями координат;

3) найти асимптоты;

4) найти точки возможного экстремума;

5) найти критические точки;

6) с помощью вспомогательного рисунка исследовать знак первой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки экстремума и точки перегиба;

7) построить график, учитывая исследование, проведенное в п. 1)-6).

ПРИМЕР 18. Построить по изложенной выше схеме график функции f(x) =

Решение.

1) областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме х = 1(в этом случае знаменатель обращается в нуль).

2) так как уравнение х2 + 1 = 0 не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пересекает ось Оу в точке (0; -1).

3) выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем поведении функции вблизи точки разрыва х = 1. Так как у  при х при , то прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика функции.

Если х то ; следовательно, горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее из существования пределов

вытекает, что при х график функции имеет наклонную асимптоту у=х+1.

4) для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:

Решая уравнение х2 – 2х -1 = 0, получаем две точки возможного экстремума:   х1 =  1 -  и х2 = 1+.

5) для нахождения критических точек вычислим вторую производную:

 = .

Так как  f ``(x) в нуль не обращается, то критических точек нет.

6) Строим вспомогательный рисунок и исследуем знак первой и второй производной. Точки возможного экстремума, подлежащие рассмотрению:        х1 =  1 -  и х2 = 1+, - разделяют область существования функции на интервалы: (,1 -  ), (1 -  , 1 +  ) и (1 + ,+ ).

В каждом из этих интервалов производная сохраняет знак: в первом – плюс, во втором – минус, в третьем – плюс. Получаем, что функция на : (,1 -  ) и (1 + ,+ ) возрастает, а на (1 -  , 1 +  ) – убывает. Точки экстремума: максимум  при х = 1 -  , причем f(1 -  ) = 2 - 2; минимум при  х =1 +, причем  f(1 +  ) = 2 + 2. На  график направлен выпуклостью вверх, а на  - вниз.

7) по полученным данным строим эскиз графика

ПРИМЕР 19. Построить график функции  

Решение. 1) Область определения . Функция непрерывна во всей области определения.

2) Если х = 0, то у = 4, т.е. график функции пересекает ось ординат в точке (0, 4).

3) Асимптот график функции не имеет (проверьте самостоятельно).

4) Находим интервалы монотонности, для этого найдем производную функции   , приравняем ее к нулю.

 - это критические точки функции. Область определения функции разделим на промежутки критическими точками и исследуем каждый промежуток:

  - функция возрастает;

 - функция убывает;

 - функция возрастает

        +                                        -                                +

                                     -2                                      2                                

Исследуем функцию на экстремум. Из п.4 видно, что при х = -2 функция имеет максимум:  

у(-2) = (-2)3 – 12 (-2) + 4 = 20, а при х = 2 – минимум: у(2) =  23 – 12 * 2 + 4 = - 12.

5) Находим  Определим знаки второй производной слева и справа от точки х = 0:  y”(-1) = -6 < 0;

y”(1) = 6 > 0. Следовательно,  в промежутке  кривая выпукла, а в промежутке  - вогнута. При х =0 имеем точку перегиба; ее ордината у = 0 – 12 * 0 + 4 = 4 (рис. 14).

                -                                                +

                                           0                                        

6) Построим график функции

                                             у

                                В(-2; 20)

                                                С(0; 4)

                                                                                        х

                                                          А(2; -12)

Вопросы самоконтроля:

1. Какая функция называется возрастающей (убывающей)

2.Перечислите основные пункты исследования и построения графика функции.

Раздел 4.  Интегрирование

Тема 4.1  Неопределенный интеграл и его свойства

Студент должен

 знать:

- понятие неопределенного интеграла, свойства, основные методы интегрирования

уметь:

• решать интегралы различного типа

Методические указания

Определение. Если функция F(х) – первообразная для функции f(х), то множество функций F(x)+C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается символом

при этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, а переменная х – переменной интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла.

Таблица основных интегралов

ПРИМЕР 20. Найти следующие интегралы а)

Решение. Используя свойства и  формулы интегрирования, получим

Проверка: d(2x3+C)=6x2dx. Получили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден правильно.

б)

Решение. Используя свойства 30 и 40 и формулы таблицы интегралов, имеем . Постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную

 (С1+С2+С3=С).

Вопросы самоконтроля:

1. Дать определение неопределенного интеграла.
2. Что называется первообразной функции?
3. Перечислите основные свойства интегралов.

Тема 4.2  Методы интегрирования

Студент должен

 знать:

• основные методы интегрирования

уметь:

• применять методы интегрирования при решении задач

Методические указания

4.2.1  Непосредственное интегрирование

ПРИМЕР 21. Вычислить интеграл

Решение. Применив свойства 4 и 5, имеем

=

Далее, используя формулы таблицы основных интегралов, находим каждый интеграл полученной алгебраической суммы:

Таким образом,  имеем

=

4.2.2  Метод подстановки

ПРИМЕР  22. Вычислить интеграл

Решение. Интеграл не табличный. Применим подстановку t = 3x, тогда . Подставив в интеграл получаем:

 - табличный интеграл. Применяя формулу  таблицы основных интегралов, находим  . Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем  

4.2.3  Интегрирование по частям: Используем формулу

ПРИМЕР 23. Найти следующие интегралы:

а)

Решение. Положим u=x, dv=sinxdx; тогда du=dx,  т.е. v=-cosx. Используя формулу (11.14), получим .

б)

Решение. Положим u=lnx, ; тогда    По формуле (11.14) получим

Вопросы и задания для самопроверки:

1. Объяснить в чем заключается метод замены переменной.
2. Напишите формулу интегрирования по частям.
3. Вычислите интеграл

Тема 4.3  Определенный интеграл

Студент должен

 знать:

-  понятие определённого интеграла, формула Ньютона – Лейбница

уметь:

- решать интегралы различного типа

Методические указания

Определение.  Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке  называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю.

Для вычисления определенного интеграла служит формула Ньютона – Лейбница, где определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

 - формула Ньютона – Лейбница

ПРИМЕР 24. Вычислить интегралы  

а)  

Решение. Так как одной из первообразных для функции f(x) = sin x  является функция F(x) = -cos x, то применяя формулу Ньютона – Лейбница, получаем

=

б) .

Решение. По формуле Ньютона – Лейбница получаем. .

в)

Решение. Воспользуемся методом подстановки

Вопросы и задания для самоконтроля:

1. Дайте определение определенного интеграла.
2. Как выглядит формула Ньютона – Лейбница.
3. Вычислить интеграл

Тема 4.4  Приложения определенного интеграла.

Студент должен

 знать:

• геометрические приложения определенного интеграла

уметь:

• находить площади фигур, используя понятие определенного интеграла

Методические указания

Определение. Если криволинейная трапеция, ограничена кривой , осью Ох и прямыми х = а  и х = b, лежит под осью Ох, то формула для нахождения площади плоской фигуры

Рассмотрим геометрический смысл интеграла на конкретном примере.

ПРИМЕР 25.  

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

у = -6х, у = 0 и х = 4.

Решение. Фигура расположена под осью Ох, следовательно ее площадь находим по формуле:

  Рис. 1

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: y=-x2+4 и y=0.

Решение. Выполним построение фигуры рисунок 2. Искомая площадь заключена между параболой y=-x2+4 и осью Оx. Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая y=0, найдем x=. Так как данная фигура симметрична относительно оси Оy, то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси Oy, и полученный результат удвоим:

                x=-2                                x=2

                                                                x

y=-x2+4

Рис.2

Вопросы и задания для самоконтроля:

1. Запишите формулу нахождения площади плоской фигуры
2. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у = х2, у = 0,  х = 2, х=3.

4. Требования к выполнению и оформлению домашней контрольной работы по математике

Контрольная работа оформляется в тонкой тетради чернилами любого цвета (кроме красного). Для замечаний рецензента оставляются поля. На обложке тетради указываются: фамилия, имя, отчество студента, его учебный шифр (серия и номер зачетной книжки), домашний адрес, а также наименование дисциплины и номер контрольной работы (см. приложение 1)

Решения задач следует располагать в порядке следования номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач и записывая исходные условия.

 Приступая к выполнению контрольной работы, необходимо изучить теоретический материал и ознакомиться с решением типовых задач. Решения задач контрольной работы следует оформлять аккуратно, подробно объясняя ход решения, записывать используемые формулы. В конце работы необходимо привести список использованной литературы, указать дату выполнения работы и поставить свою подпись.

 После получения проверенной работы необходимо исправить в ней отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. Работа над ошибками, как правило, делается в той же тетради, что и контрольная работа.

5.  Варианты заданий домашней контрольной работы  

Выбор задач для контрольной работы осуществляется в соответствии с вариантом, номер которого совпадает с последней цифрой учебного шрифта студента.

Варианты заданий

В задачах 1 – 10 найти производные следующих функций

В задачах 11-20 найдите производную сложной функции

В задачах 21-30 исследовать и поострить график функции

В задачах 31-40 вычислить пределы следующих функций

В задачах 41-50 вычислить неопределенный интеграл

В задачах 51-60 вычислить определенный интеграл

6. Литература

1. Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике – М. :Высшая школа, 2010г.
2. В.С. Шипачев. Задачи по математике – М. : Высшая школа, 2011г.
3. П.Е. Данко  и  др. Высшая математика в упражнения и задачах. Часть 1, 2 – М.: Высшая школа, 2011г.