симметрия вокруг нас
проект по математике (9 класс) на тему

СИММЕТРИЯ ВОКРУГ НАС.

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ: УЧЕНИЦА 9 «Б» КЛАССА

МОАУ СОШ №4

Г. Шимановска

СОКОЛОВА МАРИНА

РУКОВОДИТЕЛЬ: ЕФИМЕНКО СВЕТЛАНА ДМИТРИЕВНА.

20016 г.

Содержание.

Введение.

1. Понятие симметрии.

2. Виды симметрии.

3. Симметрия в узорах.

4. Симметрия в животном мире.

5. Симметрия в растительном мире.

6. Симметрия в архитектуре.

7. Загадка снежинок.

Заключение.

Список используемой литературы.

Введение.

«Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врождённое чувство, отвечал я сам себе».

                                                                                                                 Л.Н.Толстой.

Cимметрия играет важную роль не только в современной науке, но и искусстве, технике, окружающей нас жизни. Симметрией охвачено буквально всё вокруг. Существует даже такое предание.  В японском городе Никко есть самые красивые, по мнению самих японцев, ворота, построенные в период большого влияния китайского искусства. Это необычайно сложные ворота с изумительной резьбой. Но, приглядевшись, можно заметить, что в сложном и искусном рисунке на одной из колонн некоторые из его мелких деталей вырезаны вверх ногами. В остальном, рисунок полностью симметричен. Возникает вопрос: для чего это было сделано? Как говорит предание, это было сделано для того, чтобы боги не заподозрили человека в совершенстве. Ошибка  была сделана намеренно, чтобы не вызвать зависти и гнева богов, так как симметрия была божественной привилегией.

Таким образом,  можно сказать, что симметрия – синоним совершенства.

1. Понятие симметрии.

 Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно - человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до н. э.

Симметрия в науке, искусстве и природе давно стала предметом изучения. Известный математик начала 20-го века Джордж Дэвид Беркофф  из Гарвардского университета вывел математическую формулу для измерения красоты и притягательности произведений искусства. В формуле присутствуют два абстрактных понятия - сложность и упорядоченность (или симметрия).

      Слово “симметрия” греческое ( συμμετρία), оно означает “соразмерность,  пропорциональность, одинаковость в расположении частей”, неизменность при каких-либо преобразованиях.

Симметрия является одним из видов движения, преобразования, сохраняющего расстояния между точками.

    Немецкий математик Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”.

По преданию, древнегреческий  скульптор, Пифагор Регийский  придумал термин «симметрия».

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

  Пифагор Регийский (V век до н. э.) — древнегреческий скульптор периода ранней классики, его работы известны лишь благодаря  упоминаниям древних авторов.

   Пифагору Регийскому приписывают, найденную в Дельфах, знаменитую бронзовую статую «Возничий».

2. Виды симметрии.

• Одним из важнейших видов симметрии является осевая симметрия. 

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси l в точку А’, при этом отрезок АА' перпендикулярен l, называется осевой симметрией.

Возьмём лист бумаги и проведём на нём прямую. Перегнём лист по этой прямой  и в произвольном  месте проткнём его иглой. Развернув лист, мы увидим две точки, расположенные по разные стороны от  линии сгиба. Их называют симметричными относительно проведенной прямой. Если провести через них прямую, то эти точки окажутся лежащими  на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от неё (рис. 1). Сама прямая l называется осью симметрии.

           Рис. 1.

Строить точки, симметричные относительно прямой, можно  другим способом.

Пусть даны прямая l и точка М (рис. 2, а). Проведём через точку М прямую, перпендикулярную  l (рис. 2, б). Отметим на ней циркулем точку, расположенную на таком же расстоянии от прямой l, что и точка М. Получим точку К, симметричную точке М относительно прямой l (рис. 2, в).

                Рис. 2, а.     Рис. 2, б.           Рис. 2, в.

Фигура может иметь не одну ось симметрии. Например, квадрат имеет четыре оси симметрии, прямоугольник – всего две. Окружность, а также ограниченный ею круг – это «самые симметричные» фигуры на плоскости. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии. Далеко не каждая фигура имеет ось симметрии.

• Кроме осевой симметрии существует ещё и центральная симметрия. Для неё характерно наличие центра симметрии − точки О. Точка О является центром симметрии, если при повороте вокруг точки О на 180° фигура переходит сама в себя (рис. 3).

                                       О

Рис. 3  

     Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры (тела) в точку А′, симметричную ей относительно центра О, называется центральной симметрией.

           Геометрическая фигура (или тело) называется симметричной относительно центра C (рис.4), если для каждой точки A этой фигуры может быть найдена точка E этой же фигуры, так что отрезок AE проходит через центр C и делится в этой точке пополам (AC = CE). Точка C называется центром симметрии.

                                  Рис. 4

          К центрально−симметричным фигурам относятся прежде всего, окружность, эллипс. Планеты вращаются по траекториям, представляющим собой эллипс, в центре которого расположено Солнце. Центр симметрии имеет и прямоугольник (квадрат, как частный случай): это точка пересечения его диагоналей.

• Если на плоскости говорят об осевой симметрии − симметрии относительно прямой, то в пространстве говорят о зеркальной симметрии − симметрии относительно плоскости. С этой симметрией мы встречаемся, каждое утро, глядя на себя в зеркало.

На плоскости  бесконечные число осей симметрии имел круг. В пространстве сходным свойством обладает шар. Он симметричен относительно любой плоскости, рассекающей его по большой окружности.

• В курсе геометрии рассматривается ещё один вид симметрии – переносная симметрия.

В результате переносной симметрии фигура (или её часть) совмещается сама с собой при переносе её вдоль прямой l на расстояние a (рис. 5.).

Рис. 5

        Простейшим примером фигуры, обладающей такой симметрией, является разлиновка  школьной тетради.

3. Симметрия в узорах.

Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте образует узор, называемый бордюром.

Бордюры – это симметричные узоры на ленте.

Для каждой эпохи, каждого народа характерны свои особенности размещения узоров на бордюрах. В бордюрах Древнего Египта часто встречаются листья и цветы лотоса (рис.6).

           Рис. 6        

Для мусульманского Востока характерно сочетание геометрических и растительных мотивов. Для русского бордюра характерны как растительные и геометрические формы, так и изображения птиц, зверей и фантастических животных. Наиболее часто использовались так называемые плетенки – переплетения лент, ремней, стеблей цветов (рис. 7).

 Рис.7

Встречается симметрия и в орнаментах.

Орнамент -  симметричный рисунок  плоскости. Рисунки на обоях, тканях, узоры на гобеленах – все это примеры орнаментов.

Примером орнамента является гравюра К. Эшера «Ящерицы», «Всадники». 

(рис. 8).

                                    Рис. 8.

Своеобразными орнаментами являются паркеты. В строительном деле паркеты – это настил пола из твердых пород дерева, обработанного в виде дощечек разных форм.

 Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет назад.

4. Симметрия в животном мире.

На явление симметрии в живой природе обратили внимание в Древней Греции ученики Пифагора в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 веке появлялись отдельные работы по этой теме. А в 1961 году как результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика.

Двусторонняя симметрия обычна у творений природы. А симметрия в строении тела животных и человека настолько привычна, что исключения из этого правила, удивляли учёных на протяжении многих столетий.

Даже сегодня, когда животный мир нашей планеты относительно хорошо изучен, примеры асимметрии очень редки. У брюхоногих моллюсков одна почка, одна жабра, одна половая железа.

Еще меньше примеров асимметрии внешнего строения животных. Наибольшей известностью пользуются раковины моллюсков. У одних особей они закручены по часовой, у других против часовой стрелки.

Двусторонняя симметрия возникла на определенной стадии развития обитателей Земли. Первые живые организмы, зародившиеся где-то в Мировом океане, обладали шаровидной симметрией. Такая форма оказывается наиболее удобна для равномерного извлечения всеми частями тела кислорода и растворенных в воде питательных веществ.

Конечно, симметрия тела человека и животных далеко не абсолютна. Некоторые органы (печень, селезенка, сердце) не обладают симметрией, да к тому же и расположены асимметрично.

5. Симметрия в растительном мире.

Центральная симметрия наиболее характерна для цветов и плодов растений. Это можно заметить, посмотрев на ягоды клубники, малины, вишни, клюквы.
          Центральную симметрию можно наблюдать на изображении следующих цветов: одуванчика, мать-и-мачехи, кувшинки, сердцевины ромашки, а иногда центральной симметрией обладает и изображение всего цветка ромашки. Сердцевина ромашки  представляет собой окружность, и поэтому центрально симметрична, так как окружность имеет центр симметрии. Весь же цветок обладает центральной симметрией только в случае четного количества лепестков, иначе он обладает только осевой.

6. Симметрия в архитектуре.

Архитектура – удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и удивительным образом гармонизированы наука, техника, искусство.

    Архитектурный облик здания архитектор создает с помощью строительного материала, образ же его созидается творческим мышлением. Одним из художественных средств, которые он использует, является композиция здания. От неё в первую очередь зависит впечатление, которое оставляет архитектурное сооружение. И здесь очень важна симметрия.

7. Загадка снежинок. 

Снегом называют  твёрдые осадки в виде кристаллов (снежинок).

Существует большое разнообразие форм снежинок. Самые простые из них: иглы, столбики и пластинки. Но встречаются и более сложные формы снежинок: игольчатые звезды; пластинчатые звезды; ежи, состоящие из нескольких столбиков; столбики с пластинками и звездами на концах.

Размеры снежинок сильно отличаются. Наибольшие линейные размеры обычно имеют игольчатые звезды (их радиус достигает 4-5 мм). Снежинки часто соединяются между собой и выпадают в виде хлопьев. Размеры хлопьев могут достигать очень большой величины, наблюдались хлопья радиусом до 15-20 см.

Форма снежинок отражает внутреннюю упорядоченность молекул воды, когда они находятся в твёрдом состоянии - в виде льда или снега. Снежинки растут так: соединяясь между собой, молекулы воды стремятся максимизировать силы взаимного притяжения и минимизировать силы отталкивания, так как энергия системы при кристаллизации уменьшается. При высокой  температуре кристаллы неоднократно вертикально передвигаются в атмосфере, частично тая и кристаллизуясь заново. Из-за этого нарушается регулярность кристаллов,  образуются смешанные формы.  

Белый цвет объясняется наличием в снежинке воздуха. Снежинки состоят на 95 % из воздуха.

Самая крупная когда-либо встречавшаяся снежинка имела диаметр 12 см. Обычно же снежинки имеют около 5 мм в диаметре при массе 0,004 г.

Но красота любой снежинки не долговечна, упав на тёплую поверхность, она практически мгновенно тает.

Лишь фотография позволяет сохранять память об этих шедеврах природы.

 Фото Фото  Патрисии  Рамусен.

Глядя на фото, можно увидеть, что снежинки тоже обладают симметрией.

Астроном Иоганн Кеплер в 161 году издал научный трактат «О шестиугольных снежинках», в котором подверг чудеса природы рассмотрению со стороны жёсткой геометрии.

В 1635 году формой снежинок заинтересовался французский философ, математик Рене Декарт, написавший этюд, включённый им впоследствии в «Опыт о метеорах» или просто «Метеоры».

В 1885 году, после множества проб и ошибок, американский фермер Уилсон получил первую удачную фотографию снежинки под микроскопом. Он занимался этим почти 50 лет, cделав более 5000 уникальных снимков. На основе его работ было доказано, что не существует ни одной пары абсолютно одинаковых снежинок.

Сейчас учёные выделяют семь основных видов кристаллов: пластинки, звёздчатые кристаллы, столбцы (или колонны), иглы, пространственные дендриты, столбцы с наконечником и неправильные формы. К ним добавились ещё три вида обледеневших осадков: мелкая снежная крупка, ледяная крупка и град.

Мифы и предания о снеге.

«В области, лежащей ещё дальше к северу от земли скифов, - писал Геродот - как передают, нельзя ничего видеть, и туда невозможно проникнуть из-за летающих перьев. И действительно, земля и воздух там полны перьев, а это-то и мешает зрению».

В южнославянском фольклоре широко известна легенда о снеге, который белизной и рыхлостью напоминал смолотое зерно, в нём видели падающую с неба муку. Этот мотив отразился во многих старинных легендах, а также в поверье, записанном в области Велеса в Македонии «Почему не падает с неба мука». В них рассказывается о том, что мука перестала падать с неба как снег, потому что одна женщина вытерла нечистоты ребенка куском теста.      

Заключение.

1. В любом растении можно найти какую-то его часть, обладающую осевой или центральной симметрией.
2. Принципы симметрии являются основополагающими для любого архитектора, хотя асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоническую композицию симметричных элементов.
3. Симметрию живого существа определяет направление его движения. Для живых существ, для которых ведущим направлением является направление движения “вперед”, наиболее характерна осевая симметрия. Так как в этом направлении животные устремляются за пищей и в этом же спасаются от преследователей. А нарушение симметрии привело бы к торможению одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое.
4. Центральная симметрия чаще встречается в форме животных, обитающих под водой.