Текстовые задачи в курсе средней школы
статья по математике на тему

Текстовые задачи в курсе средней школы

Текстовые задачи - один из основных разделов школьного курса математики, прежде всего потому, что это единственная тема школьного курса, иллюстрирующая приложение математических методов.В связи с внедрением в школы экзамена в новой форме роль текстовых задач возрастает, так как в нем присутствует достаточно большое количество текстовых задач, которые встречаются как в первой, так и во второй части.

Так же текстовые задачи имеют большую роль не только в математическом образовании, но и в общем психологическом и личностном развитии учащихся. Ведь полноценное достижение целей математического образования возможно лишь с помощью решения системы учебных задач. Решение текстовых задач развивает восприятие, так как ученику необходимо выбрать из текста, только те данные, которые необходимы для решения. В процессе понимания ребенок вычленяет главные и второстепенные моменты, что облегчает запоминание материала. Формирование у школьников математического мышления способствует не только успешному обучению математике, но и успешному обучению другим предметам.К числу математических качеств мышления относятся: гибкость, оригинальность, глубина, целенаправленность, широта, рациональность, активность, критичность, четкость и лаконичность речи, и записи. Так же  математические задачи отражают различные стороны жизни, несут много полезной информации, поэтому их решение является одним из звеньев в системе воспитания вообще, патриотического, нравственного и трудового в частности.

Текстовые задачи, обычно решаемые в школьном курсе математики, представляют собой словесные модели задач, в которых учащемуся необходимо найти значения некоторой неизвестной величины (или нескольких величин). Нахождение этого значения возможно потому, что оно однозначно определяется другими известными и неизвестными величинами и их взаимными связями с неизвестной величиной. В задаче имеются все данные для решения, но неизвестны операции, которые должны к нему привести. Основная трудность заключается в определении пути решения. При этом сложность структуры, её индивидуальность нередко скрывает математическую общность многих задач и вынуждает каждый раз строить особое рассуждение, подходящие к данному случаю.

В истории использования задач в обучении математике можно выделить следующие этапы:

1) изучение математики с целью обучения решению задач;

2) обучение математике, сопровождаемое решением задач;

3) обучение математике через решение задач.

С изменением роли и места задач в обучении обновляются и сами задачи. Если ранее требование задачи выражалось словами: «найти», «построить»; «вычислить», «доказать», то теперь - «объяснить», «выбрать из различных способов решения оптимальный», «выделить все эвристики, используемые при решении задачи», «исследовать», «спрогнозировать различные способы решения» и т. д.

Использование в обучении математике задач означает, что они могут иметь такие дидактические цели:

· обоснование полезности и необходимости изучения того или иного теоретического материала;

· подготовку к введению новых понятий;

· ознакомление с конкретными методами абстрактной теории;

· выявление некоторых свойств известных математических объектов;

· установление связей изученной теории с новой;

· подготовку к доказательству сложных предложений;

· ознакомление с новым методом решения задач;

· сравнение эффективности различных методов решения одной и той же задачи.

В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать (т. е. разделить на группы по выбранному основанию):

· по числу действий, которые необходимо выполнить для решения задачи;

· по соответствию числа данных и искомых;

· по фабуле задачи;

· по способам решения и др.

Положив в основание классификации число действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи. Задачу, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие, называют простой. Задачу, для решения которой нужно выполнить два или большее число действий, называют составной

Выбрав в качестве основания классификации соответствие числа данных и искомых задачи, выделяют задачи определенные, задачи с альтернативным условием, неопределенные и переопределенные задачи. Чаще всего в задачах число условий (зависимостей между величинами) соответствует числу данных и искомых. Но встречаются задачи, в которых этого соответствия нет.

Определенные задачи -- это задачи, в которых условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа.

Задачи с альтернативным условием -- это задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы.

Неопределенные задачи -- задачи, в которых условий недостаточно для получения однозначного ответа.

Переопределенные задачи -- задачи, имеющие условия, которые не используются при их решении выбранным способом. Такие условия называют лишними. Следует иметь в виду, что при решении задачи другим способом лишними могут оказаться уже другие условия. Если в переопределенной задаче лишние условия не противоречат остальным условиям, то она имеет решение.

Положив в основание классификации фабулу задачи, чаще всего выделяют такие группы текстовых задач: «на движение», «на работу», «на смеси и сплавы», «на смешение и концентрацию», «на проценты», «на части», «на время», «на покупку и продажу» и т.п. Классифицировать задачи, исходя из фабулы условия, очень сложно, так как тематика условий задач бывает порой очень разнообразной.

Этапы обучения и методы решения текстовых задач

Процесс обучения решению математических текстовых задач в общеобразовательной школе можно условно разбить на следующие этапы:

1) Пропедевтический этап 1-4 классы

2) Эмпирический этап 5-6 классы

3) Систематический этап 7-9 классы

4) Творческий этап 10-11 классы.

· Пропедевтический этап.

На пропедевтическом этапе к концу 3, 4-го класса ученики должны иметь представление:

- об отличительных признаках текстовой математической задачи;

- о различных способах оформления краткой записи задачи;

- о различных способах оформления решения задачи;

- о рациональном и нерациональном способах решения задачи;

- об алгебраическом методе решении задачи;

- о возможности классификации задач по сходству их математического смысла.

Знать:

- составляющие элементы задач - условие, вопрос, данные, искомое.

Уметь:

- определить является ли текст задачей;

- выделить элементы задачи;

- дополнить текст недостающими элементами, превратив его в задачу;

- установить соответствие задач, данных в разной формулировке, заменить сложную формулировку более простой;

- проанализировать текст задачи, начиная с вопроса, установить количество действий, необходимых для её решения, порядок действий и сами действия;

- записать решение задачи по действиям с вопросами или пояснениями, а также сложным выражением.

· Эмпирический этап

Решение текстовых задач традиционно является одним из основных видов учебной деятельности в 5-6 классах. На этом этапе у школьников развиваются логическое мышление, элементарные навыки абстрагирования, математическое моделирование.

К концу 6 класса ученики должны уметь решать следующие задачи, предусмотренные программой:

- задачи, требующие понимания смысла отношений «больше на …(в…)», «меньше на…(в…)», а также задачи на известные учащимся зависимости между величинами (скоростью, временем и расстоянием; ценой, количеством и стоимостью товара и другие),

- задачи, решаемые алгебраическим методом,

- задачи с использованием метода пропорций,

- три вида задач на проценты: находить несколько процентов от какой-либо величины; находить число, если известно несколько его процентов; находить, сколько процентов одно число составляет от другого.

· Систематический этап

К концу 9 класса ученики должны уметь решать следующие задачи, предусмотренные программой:

- задачи «на части, смеси, проценты»;

- задачи на движение:

• задачи на встречное движение двух тел;

• задачи на движение двух тел в одном направлении (движение начинается одновременно из разных пунктов, движение начинается в разное время из одного пункта);

• задачи на движение двух тел в противоположных направлениях;

• задачи на движение по реке.

- задачи, связанных с различными процессами (работа, наполнение бассейнов и другие), с использованием арифметического метода, алгебраического метода, а так же некоторых специальных методов, например геометрического.

· Творческий этап

Творческая деятельность ученика зависит от наличия трех компонентов мышления:

1) Высокий уровень сформированности элементарных мыслительных операций: анализа и синтеза, сравнения и аналогии, классификации и д.р.;

2) Высокий уровень активности и неординарности мышления, которые проявляются в различных вариантах решений и в выдвижении нестандартных идей;

3) Высокий уровень организованности и целенаправленности мышления, которые проявляются в умении выделить существенное в явлениях и сознании собственных способов мышления.

Задача учителя сводится к формированию указанных составляющих мышления. Инструментом должны быть занимательные задачи: задачи - головоломки, на соображение и догадку, нестандартные задачи.

Основу занимательности на уроках должны составлять задания, непосредственно связанные с программным материалом.

Методы решения тестовых задач в  школе:

· Арифметический метод

Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.

Решение любой задачи - процесс сложной умственной деятельности. Чтобы овладеть им, надо знать основные этапы решения задачи и некоторые приёмы их выполнения.

Деятельность по решению задачи арифметическим методом включает следующие основные этапы (по Колягину Ю. М.):

1. Анализ задачи;

2. Поиск плана решения задачи;

3. Осуществление плана решения задачи;

4. Проверка решения задачи.

В реальном процессе решения задачи названные этапы не имеют чётких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Рассмотрим далее каждый из этих этапов.

Анализ задачи

Основное назначение этого этапа - понять в целом ситуацию, описанную в задаче; выделить условия и требования; назвать известные и искомые объекты; выделить все отношения (зависимости) между ними.

Известно несколько приёмов, которые можно использовать при анализе задачи.

Разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования можно, если поставить специальные вопросы и ответить на них:

- О чём задача?

- Что требуется найти в задаче?

- Что обозначают те или иные слова в тексте задачи?

- Что в задаче неизвестно?

- Что является искомым?

Поиск и составление плана решения задачи

Назначение этого этапа: наметить последовательность действий. План решения задачи - это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать всё сначала. При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и так далее. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке.

Осуществление плана решения задач

Назначение данного этапа - найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Для текстовых задач решаемых арифметическим методом, используются следующие приёмы:

- запись по действиям (с пояснениями, без пояснения, с вопросами);

- запись в виде выражения.

Проверка решения задачи

Назначение данного этапа - установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Арифметический метод решения задач может быть общим методом. Он представляет более или менее полную совокупность приёмов рассуждения, каждый из которых применим для конкретного типа задач.

Алгебраический метод

Алгебраический метод обеспечивает общий подход, общий принцип в анализе и решении задач (всех или по крайней мере достаточно широкого круга). Его отличие от арифметического метода прежде всего состоит в введении неизвестной величины и её специального обозначения.

Итак, при алгебраическом методе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения. В зависимости от выбора неизвестного (неизвестных), для обозначения буквой (буквами), от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических способах решения этой задачи.

Составление уравнения отличается от арифметического метода не только введением буквенных обозначений неизвестной величины, но и установление зависимостей между величинами задачи. Эти зависимости представлены здесь не в виде цепочки формул, каждое звено которой связано с выполнением предшествующих действий и все звенья которой объединяются лишь в конце, а сразу в виде уравнения, в котором фиксируются все существенные связи между известными и чаще неизвестными величинами. Это возможно благодаря особой функции «X», позволяющей замещать неизвестную величину особым символом и оперировать с ним.

При алгебраическом методе решения задачи важно не вычисление конкретных значений величин, а выявление и выражение основных зависимостей между явными и неявными значениями величин, входящих в условие задачи.

При алгебраическом методе решения текстовой задачи выполняются следующие этапы:

1. Разработка математической модели;

Математической моделью задачи, является, как правило, уравнение или система уравнений.

2. Поиск алгоритма решения;

Алгоритм решения, как правило, известен.

3. Вычисление и исследование.

Графический метод решения текстовых задач.

 Большинство алгебраических задач можно решить с помощью разных графиков, схем, диаграмм. Геометрический метод решения задач базируется на основных понятиях планиметрии (точка, отрезок, длина, площадь, треугольник, прямоугольник и другие), а также свойствах плоских фигур и графиков элементарных функций. Математическая модель в этом случае представляет собой либо диаграмму, либо график.

Решение задач геометрическим методом осуществляется двумя приёмами: конструктивным (чисто графическим) и вычислительным (графико - вычислительным). В каждом из них используется различные способы решения задач.

При решении задач конструктивным приёмом диаграмма или график вычерчиваются как можно более точно непосредственно по значениям величин, входящих в условие задачи. Построения делаются циркулем, линейкой, треугольником или на миллиметровой бумаге или бумаге «в клетку» в определённом масштабе. Ответ обычно получается приближённый, но приемлемый для практических целей. Он находится при помощи измерений длин отрезков или других элементов чертежа, а зачастую просто «считывается» с чертежа.

Нестандартные способы решения текстовых задач

В нестандартных способах решения обычных «стандартных» задач и задач олимпиадной и конкурсной тематики, специальные приемы их решения: переформулировка задачи, использование «лишних» неизвестных, делимости и диофантовых уравнений, решение задач в общем виде (когда все или некоторые значения величин в условии обозначены буквой).

Сложности при решении текстовых задач

• составление математической модели
• составление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые вводят учащиеся
• нахождение соответствия между различными величинами, применительно к которым формулируется вопрос задачи
• решение уравнений, системы уравнений или неравенств

1.Составление математической модели

-непонимание физических, химических, экономических терминов, законов, зависимости

-непонимание связи между расстоянием, скоростью и временем при равномерном движении или между работой, производительностью труда и временем и т.п.

-затруднения в определении скорости сближения объектов при движении навстречу, в одном направлении или при движении по окружности

2. Составление уравнений и неравенств, связывающих

данные величины и переменные, которые вводят учащиеся

-неправильный выбор величин, относительно которых составляется уравнение

-усложнение процесса составления уравнения из-за неправильного выбора величин

3. Нахождение соответствия между различными

величинами, применительно к которым 

-формулируется вопрос задачи невозможность нахождения значения переменных, которые в уравнениях присутствуют и не являются необходимыми

-большое количество неизвестных, нахождение значения которых не являются необходимыми

4. Решение уравнений, системы уравнений или неравенств

-невозможность решения уравнения, неравенства или их системы

-решение уравнения, неравенства или их системы нерациональным способом

Заключение

• Для того, чтобы научиться решать задачи, надо приобрести опыт их решения путем многократного повторения операций, действий, составляющих предмет изучения.
• Редкие ученики самостоятельно приобретают такой опыт. Долг учителя - помочь учащимся приобрести опыт решения задач, научить их решать задачи.
• Помощь учителя не должна быть чрезмерной, но и не быть слишком малой.
• Навыки решения текстовых задач формируются на основе осмысленных знаний и умений.
• Для формирования навыков нужна тщательно продуманная система упражнений и задач «от простого к сложному».
• Знания учащихся по математике должны совершенствоваться с решением каждой новой задачи.
• Следует добиваться, чтобы осознанные умения и навыки ученики получали при наименьших затратах времени.
• Следует учитывать индивидуальные особенности  и возможности учащихся.