Проект по теме «Методика организации проектной деятельности в процессе изучения комбинаторики и теории вероятностей».
проект по математике на тему

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

Учреждение высшего профессионального образования

«Поволжский государственный университет сервиса» (ПВГУС)

Тема: «Методика организации проектной деятельности в процессе изучения комбинаторики и теории вероятностей».

                                                                                                  Проверила работу:

                                                                                                  Марина Савельевна Спирина

                                                                                                    Выполнила работу:

                                                                                                    Е.Ф. Вдовина,

                                                                                                    Учитель математики

                                                                                                    МБУ «Лицея №76»

                                                        г.о. Тольятти

Вопрос о модернизации школьного математического образования в отечественной школе был поставлен в начале 60-х годов выдающимися математиками Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоровым. Обращаясь к широкому кругу читателей - математиков, педагогов и методистов, - Б.В. Гнеденко писал: "Сейчас крайне назрела потребность введения в школьное обучение элементов теории вероятностей: В этом нуждаются и методологическое воспитание школьников, и последующая практическая деятельность их, и межпредметные связи". В связи с реформой школьного математического образования, проводимой в 60-е годы, появился целый ряд работ ученых методистов, которые ставили своей целью разработать методику преподавания теории вероятностей как отдельной темы школьного курса математики. Однако в 70-х годах из обязательных программ были исключены даже самые начальные сведения по теории вероятностей в силу неподготовленности школы к их восприятию. Реформой 80-х годов элементы теории вероятностей и математической статистики были включены в программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного.

Несмотря на то, что идея введения стохастической линии в школьный курс математики разрабатывается уже почти 40 лет и встречает практически полную поддержку в среде математиков и педагогов-практиков, в практику нашей школы теория вероятностей и математическая статистика введена лишь номинально. Основными причинами такого положения дел является не традиционность, новизна этого материала для самой математики, отсутствие прочных методических традиций преподавания его школьникам, неподготовленность части учителей к изложению материала в духе прикладной, а не чистой математики. Но самое главное - социально-экономическое состояние общества, при котором умение грамотно анализировать имеющуюся информацию, делать научно обоснованные прогнозы, предвидеть последствия принимаемых решений, - а все это призвана формировать вероятностно-статистическая линия курса математики, - осталось невостребованным.

В настоящее время принципиально изменилась ситуация в обществе, и это позволяет предположить, что формируемые вероятностным материалом умения и знания окажутся необходимыми широкому кругу людей и станут наравне с компьютерной грамотностью неотъемлемой составляющей общекультурной подготовки современного человека.

В настоящее время возвращение этих тем в отечественные учебники математики обусловлено тем, что без минимальной вероятностно-статистической грамотности учащимся трудно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на её основе обоснованные решения. В нашей жизни нам повсеместно приходится сталкиваться со случайными явлениями. Кроме того, концепция открытого общества, процессы европейской и мировой интеграции неразрывно связаны с взаимным сближением стран и народов, в том числе в сфере образования. Россия, имея одну из самых мощных и признанных в мире традиций школьного математического образования до недавнего времени оставалась одной из немногих стран с развитой системой образования, где вероятностно-статистические знания практически всегда оставались за пределами школьного обучения. С наступлением 21 века мы окончательно убедились в неотвратимости пришествия в среднюю школу стохастики, изучающей случайные явления.

Подход к преподаванию элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в школе предполагает естественнонаучное изложение. Наибольшую ценность представляют вводимые понятия, сложившаяся система взглядов, ее связь с окружающим миром. Таким образом, статистика и теория вероятностей, будучи частью школьной математики, не нагружены большим числом алгебраических преобразований, но наполнены простым материалом, очень важным с точки зрения формирования мировоззрения школьника. Этот же материал должен способствовать повышению интереса учащихся к математике.

Анализ данных, основы теории вероятностей, описательной и математической статистики в той или иной форме присутствуют как самостоятельные темы и содержательные линии в курсах школьной математики Франции, Великобритании, Японии, США, да практически всех развитых странах мира. И в нашей стране сегодня происходит неизбежный процесс вхождения стохастики как равноправной составляющей в обязательное школьное математическое образование. С 2011/2012 учебного года учебный материал по изучению вероятностно-статистической линии должен быть обязательно включен в программы по математике. На старшей ступени общего образования содержание и объем изучаемого материала зависит от выбора базового или профильного уровня изучения математики.

Актуальность задач:

Комбинаторика представляет собой своеобразный раздел математики, нужный для успешного решения вопросов алгебры и других математических дисциплин. Однако наибольшее применение этого раздела находит себе место в теории вероятностей, науке, изучающей законы массовых явлений, каждое из которых в отдельности определяется условиями, не поддающимися учёту, и которые называются «случайными». Теория вероятностей давно уже приобрела столь большое значение, что много раз поднимался вопрос о включении её элементов в курс математики средней школы.  

Изучение комбинаторики и элементов теории вероятностей сейчас наиболее актуально, так как задачи по данной теме включены в ОГЭ за 9 класс и ЕГЭ за 11 класс. Современный учитель математики пока делает ещё неуверенные шаги по пути теории вероятностей.

Методологические основы:

Основной упор делается не на изложение теоретического материала (он для большей части учащихся очень труден для понимания и усвоения), а на формирование навыков решения комбинаторных задач простейшего уровня и развитие логического мышления. Предполагается, что «правдоподобные рассуждения» и аналогии являются достаточно убедительными и будут легче восприняты. Основной методический прием заключается в использовании задач для выяснения математической сути в рассматриваемых ситуациях.

Чтобы обеспечить наибольшую эффективность работы, необходимо:

1. обеспечить большую сознательность вывода каждой формулы;
2. подчеркнуть, что перестановки, размещения, сочетания не исчерпывают собой все виды соединений, а только являются простейшими и важнейшими из них;

3) давать наряду с задачами-примерами на применение выведенных формул и задачи в собственном смысле слова, требующие самостоятельного размышления.

Цели и задачи курса:

     1) доступность вероятностной линии для детей 7-9 классов

    2) формирование специального типа мышления — комбинаторного;

3) формирование у учащихся видов деятельности, связанных с перебором и подсчетом числа конфигураций элементов, удовлетворяющих определенным условиям;

4) повышение интеллекта учащихся;

5) привитие профессионального интереса к занятиям комбинаторики как науки;

6) расширение кругозора учащихся;

7) углублённое изучение школьного курса математики.

 Учащиеся должны знать:

• чем занимается комбинаторика и теория вероятностей;
• чем обусловлено появление комбинаторики и теории вероятностей;
• понимать алгоритмы решения;
• выводить формулу для подсчёта числа размещений, перестановок и сочетаний.

Уметь:

             -  решать простейшие задачи с помощью формул классической комбинаторики;

• решать простейшие задачи на классическое и геометрическое определения вероятности.

Компетенции при изучении курса.

Познавательные.

- Умение самостоятельно и мотивированно организовывать свою познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата).

- Участие в организации и проведении учебно-исследовательской работы. Самостоятельное создание алгоритмов познавательной деятельности для решения задач творческого и поискового характера.

Информационные.

- Поиск нужной информации по заданной теме в источниках различного типа.

- Извлечение необходимой информации из текстов, таблиц, графиков.

- Отделение основной информации от второстепенной.

- Развернутое обоснование суждения, приведение обоснования (доказательства), примеров.

Коммуникативные.

- Владение навыками организации и участия в коллективной деятельности; восприятие иных мнений, объективное определение своего вклада в общий результат.

- Оценивание своего поведения в группе, выполнение требований в совместной практической деятельности.

- Умение отстаивать свою точку зрения.

- Развитие готовности к сотрудничеству.

Формы и методы контроля:

Контрольные задания предназначаются для выявления:

• знания учащимися определений и формул;
•  умения делать выводы, находить нужное решение;
• умения работать со справочной литературой;
• умения решать нестандартные задачи.

Ожидаемые результаты:

• находить количество вариантов выбора некоторого количества элементов из заданной совокупности, если выбор осуществляется с возвращением или без возвращения, если результаты выбора зависят от порядка извлечения элементов или не зависят;
• определять количество способов разбиения совокупности разных или одинаковых элементов на заданное число групп;
• использовать простейшие комбинаторные схемы для вычисления вероятностей событий в классической модели;
• применять основные комбинаторные идеи для моделирования реальных процессов и явлений.

Заключение.

Таким образом, на рубеже третьего тысячелетия становится очевидной универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук развиваются на вероятностно-статистической базе.

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов, и даже сводки погоды в газетах сообщают о том, что «завтра ожидается дождь с вероятностью 40%», оставляя нас в полной растерянности: брать ли зонтик?

И ребенок в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями, ведь игра и азарт составляют существенную часть его жизни. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех, представлением о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов становления и развития личности.

Подготовку человека к таким проблемам во всем мире осуществляет школьный курс математики. Принципиальные решения о включении комбинаторики и вероятностно-статистического материала как равноправной составляющей обязательного школьного математического образования приняты ныне и в нашей стране. Все перспективные государственные образовательные документы последних лет содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики 5-9 классов наравне с такими привычными линиями, как «Числа», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрические фигуры». Продолжение изучения этой линии предполагается в старших классах.

Оценивание результата:

Отметка «5» ставится, если:

• задание выполнено полностью;
• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов или ошибок;
• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

• задание выполнено полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
• допущена одна ошибка или два - три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

• допущены более одной ошибки или более двух - трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

1.Сколькими способами можно угостить 8 подружек восьмью конфетами различного сорта, если каждой дать по одной?

Решение

Р8 = 8! =8 * 7 * 6 *5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 56 * 30 *24 = 40320 способов.

2.Учащиеся 5 класса изучают 11 предметов. Сколькими способами можно составить для них расписание на один учебный день так, чтобы предметы не повторялись и было 5 уроков?

Решение

А115 = 11!/ (11-5)! =11*10*9* 8 *7  = 55440 способов.

3. Из 15 задач по математике надо выбрать для решения только 7 задач.   Сколькими способами это можно сделать?

Решение

С157 = 15! / 8! *7! = 9*10*11*12*13*14*15/2*3*4*5*6*7* =6435 вариантов.

4. В классе из 30 учеников выбирает президента, старосту и двух членов учебной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

При выборе президента и старосты  работает формула размещений из 30 по 2, т.е. А302 = 30!/28! =30 * 29 = 870, далее идут сочетания    

С282 = 28! / 26! * 2! = 28*27 /2 = 378 вариантов, используя правило умножения, получим 870*378 = 328860 вариантов всего.

5. Из 25 вопросов к экзамену по математике Арина 12 вопросов выучила, 5 вопросов совсем не открывала, а в остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене будет 3 вопроса.   а) Сколько существует вариантов билетов?

          б) Сколько из них тех, в которых Арина знает все вопросы?

          в) Сколько из них тех, в которых есть вопрос всех трех типов?

                  г) Сколько билетов, которых Арина совсем не знает?

Решение

С253 = 25! / 22! *3! = 25*24*23/6 = 2300 вариантов билетов.

С123 = 12! /9! * 3! = 12*11*10 / 6 =220 вариантов.

С121 * С51 * С81 = 12 * 5 * 8 = 480.

2300 – 220 = 2080.

Теория вероятностей

1. К зачету по алгебре нужно подготовить 15 заданий: 2 задачи (через уравнение), 9 уравнений и 4 задачи (арифметическим способом). Произвольным образом нужно вытянуть 1 номер. Найдите вероятность того, что вы вытяните номер – уравнение?

Всего имеется 15 заданий, то есть вы вытяните одно из пятнадцати. Уравнений - девять, и значит, вероятность того, что будет уравнение равна 9/15, то есть 0,6.

2. Вероятность того, что Арина выполнит только 1 пример без ошибок 0,9. Найдите вероятность того, что она выполнит четыре примера подряд без ошибок.

Если вероятность решения без ошибок равна 0,9 — следовательно, вероятность решения с ошибкой 0,1. Вероятность решения двух задач без ошибок подряд равна 0,9 * 0,9 = 0,81. А вероятность четырех задач подряд равна
0,9 * 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,6561.

3. В классе, где учится 10 мальчиков и 10 девочек, разыгрывают по жребию 10 билетов на концерт. Какова вероятность того, что на концерт пойдет поровну мальчиков и девочек?

Решение.  Выбрать 10 человек, которые пойдут в театр, из 20-ти учеников можно С2010 способами. Для благоприятного исхода нужно выбрать 5 из 10-ти мальчиков и 5 из 10-ти девочек - это можно сделать C105*С105 способами.

Список литературы:

1. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Элементы комбинаторики в школьном курсе алгебры // Математика в школе. – №6. – 2004.
2. Макарычев, Ю. Н., Миндюк, Н. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры // Математика в школе. – №7. – 2004.
3. Мордкович А. Г., Семенов П. В. События, вероятности, статистическая обработка данных // Математика (приложение к газете «Первое сентября»). – №34, 35, 41, 43, 44, 48, 2002, №11, 17, 2003.

             4. Студенецкая В.Н. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей// Волгоград: Учитель, 2005.