Презентация "Задачи, приводящие к понятию производной".
презентация к уроку по математике (10 класс) на тему
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 2.14 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
В начале было слово. К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое широко используемое в физике понятие, как мгновенная скорость неравномерно движущегося тела. Мы познакомились с этим понятием, изучая в курсе физики раздел кинематики, а точнее кинематики прямолинейного неравномерного движения.
Совершенно верно. Как же Вы представляете себе мгновенную скорость? Что это такое? Мгновенной скоростью тела называют скорость, которую оно имеет в данный момент времени (в данной точке траектории)
А как Вы представляете себе мгновенную скорость? Так и представляю… Если тело движется равномерно, то в разные моменты времени его скорость одинакова. Если тело движется неравномерно (ускоряясь или замедляясь, то в разные моменты времени его скорость будет, вообще говоря, различной
Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость в данный момент времени» не более как синоним фразы «мгновенная скорость»? Как говорится, «что в лоб, что по лбу». Термин «скорость в данный момент времени нуждается в разъяснении в той же мере, в какой нуждается в нём термин «мгновенная скорость». Физик эту проблему решает просто. У него есть приборы, например, спидометр. А математик создаст математическую модель процесса. Итак, проблема поставлена. Приступим к её решению.
Остановись мгновенье – мы тебя исследуем ! Сначала мы определили «территорию» своих исследований. В каких ещё науках математика поможет решить подобную проблему. Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, экономикой, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью. Основным математическим понятием, выражающим эту связь является производная.
Производная Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой. Рассмотрим подробно каждую из них.
Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?
Фиксируем момент t , в который мы хотим знать значение скорости v(t) . Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t . За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t) . Если промежуток времени h очень мал, то приближённо s(t+h)-s(t) ≈v(t)∙h , или , причём последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h . Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел , к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h . Сказанное записывают в виде
Задача о мгновенной скорости Предел средней скорости за промежуток времени от t 0 до t при t → t 0 , называется мгновенной скоростью v(t 0 ) в момент времени t 0 v(t 0 ) =
А л г о р и т м ∆ t = t – t 0 ∆x = x – x 0 ∆ v = v(t+t 0 ) - v(t 0 ) ∆f = f(x+x 0 ) – f(x 0 ) . .
Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в терминах производной, - построение касательной к кривой. Требуется построить прямую Т, касательную в т. А к кривой – графику функции y = f(x) .
Задача о касательной к графику функции y = f(x) x y x 0 М 0 (х 0 ,у 0 ) β А В x М(х ,у) С ∆ х =х-х 0 ∆ f(x) = f(x) - f(x 0 ) tg β = При х →х 0
А л г о р и т м 1) ∆x = x – x 0 2) ∆f = f(x+x 0 ) – f(x 0 ) 3) 4)
Задача о скорости химической реакции Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t 0 ; t 1 ] ( масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле . Скорость растворения в данный момент времени
А л г о р и т м ∆ t = t – t 0 ∆x = x – x 0 ∆ f = f(t 1 ) - f(t 0 ) ∆f = f(x) – f(x 0 ) . .
1 y = f(x) D C M 0 A B O y x Какая из прямых - АВ или С D - касается кривой в точке М 0 ?
2 Следует ли считать понятия «прямая касается кривой» и «прямая пересекает кривую» взаимоисключающими ?
3 А 0 В С D E F y x Определите точки, в которых касательная существует, и точки, в которых касательная не существует
4 y=f(x) M 0 M T x 0 x 0 + ∆x ∆ x ∆ y y x 0 Убедитесь, что угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) можно определить по формуле
Найдите угловой коэффициент касательной к параболе у = х 2 : а) в точке (1;1); б) в точке ( х 0 ; ). Используя полученный результат, найдите способ построения касательной в любой точке параболы. 5
Найдите угловой коэффициент касательной к кривой у = х 3 в точках ( х 0 ; ); (1 ; 1); (0 ; 0). Как построить касательную к кривой у = х 3 в любой её точке ? Какая прямая является касательной в токе (0 ; 0) ? 6
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Понятие производной
1.Методическая цель.2.Цели урока.3.Содержание урока:-вступление-подготовка к изучению нового материала-объяснение нового материала с помощью авторалли.4.Закрепление изученного.5.Итог урока....
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/20/picture-125007-1358663830.jpg)
Применение понятия "Производная функции"
Данную работу я с выпускниками 11 класса готовила перед сдачей экзамена. Она даёт возможность не только повторить материал по данной теме, но и окунуться в характерные задания по теме "Прои...
Понятие производной. Механический смысл производной.
Цель:- образовательная: ввести понятие производной, используя для этого понятие мгновенной скорости в физике, уметь находить производную простейших функций с помощью определения-воспитательная: формир...
![](/sites/default/files/pictures/2014/01/19/picture-325296-1390149241.jpg)
Методическая разработка урока "Понятие производной".
Методическая разработка урока по теме "Понятие производной", 10 класс. Задачами данного урока являются: - рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной; - ввести определение производной...
![](/sites/default/files/pictures/2014/10/12/picture-330700-1413084507.jpg)
Презентация к уроку алгебры в 8 классе по учебнику Г.В.Дорофеева "Задача,приводящая к понятию "Система уравнений"
В презентации представлены элементы урока, включающие устный счет и практическую часть....
Задачи, приводящие к понятию производной
Презентация "Задачи, приводящие к понятию производной"...
![](/sites/default/files/pictures/2016/11/25/picture-856806-1480080814.jpg)
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Рассматривается задача о вычислении площади криволинейной трапеции...