Задачи, приводящие к понятию производной
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

Задачи, приводящие к понятию производной. X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 Пашина Ирина Анатольевна, учитель математики МБОУСОШ № 50 г. Воронежа

Слайд 2

Постановка проблемы Вначале было слово. К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое широко используемое в физике понятие, как мгновенная скорость неравномерно движущегося тела. Мы познакомились с этим понятием, изучая в курсе физики раздел кинематики, а точнее кинематики прямолинейного неравномерного движения.

Слайд 3

Совершенно верно. Как же Вы представляете себе мгновенную скорость? Что это такое? Мгновенной скоростью тела называют скорость, которую оно имеет в данный момент времени (в данной точке траектории)

Слайд 4

А как Вы представляете себе мгновенную скорость? Так и представляю… Если тело движется равномерно, то в разные моменты времени его скорость одинакова. Если тело движется неравномерно (ускоряясь или замедляясь, то в разные моменты времени его скорость будет, вообще говоря, различной

Слайд 5

Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость в данный момент времени» не более как синоним фразы «мгновенная скорость»? Как говорится, «что в лоб, что по лбу». Термин «скорость в данный момент времени нуждается в разъяснении в той же мере, в какой нуждается в нём термин «мгновенная скорость». Физик эту проблему решает просто. У него есть приборы, например, спидометр. А математик создаст математическую модель процесса. Итак, проблема поставлена. Приступим к её решению.

Слайд 6

Остановись мгновенье – мы тебя исследуем ! Сначала мы определили «территорию» своих исследований. В каких ещё науках математика поможет решить подобную проблему. Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, экономикой, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью. Основным математическим понятием, выражающим эту связь является производная.

Слайд 7

Производная Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой. Рассмотрим подробно каждую из них.

Слайд 8

Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

Слайд 9

Фиксируем момент t , в который мы хотим знать значение скорости v(t) . Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t . За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t) . Если промежуток времени h очень мал, то приближённо s(t+h)-s(t) ≈v(t)∙h , или , причём последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h . Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел , к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h . Сказанное записывают в виде

Слайд 10

Задача о мгновенной скорости Предел средней скорости за промежуток времени от t 0 до t при t → t 0 , называется мгновенной скоростью v(t 0 ) в момент времени t 0 v(t 0 ) =

Слайд 11

А л г о р и т м ∆ t = t – t 0 ∆x = x – x 0 ∆ v = v(t+t 0 ) - v(t 0 ) ∆f = f(x+x 0 ) – f(x 0 ) . .

Слайд 12

Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в терминах производной, - построение касательной к кривой. Требуется построить прямую Т, касательную в т. А к кривой – графику функции y = f(x) .

Слайд 13

Задача о касательной к графику функции y = f(x) x y x 0 М 0 (х 0 ,у 0 ) β А  В x М(х ,у) С ∆ х =х-х 0 ∆ f(x) = f(x) - f(x 0 ) tg β = При х →х 0

Слайд 14

А л г о р и т м 1) ∆x = x – x 0 2) ∆f = f(x+x 0 ) – f(x 0 ) 3) 4)

Слайд 15

Задача о скорости химической реакции Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t 0 ; t 1 ] ( масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле . Скорость растворения в данный момент времени

Слайд 16

А л г о р и т м ∆ t = t – t 0 ∆x = x – x 0 ∆ f = f(t 1 ) - f(t 0 ) ∆f = f(x) – f(x 0 ) . .

Слайд 17

1 y = f(x) D C M 0 A B O y x Какая из прямых - АВ или С D - касается кривой в точке М 0 ?

Слайд 18

2 Следует ли считать понятия «прямая касается кривой» и «прямая пересекает кривую» взаимоисключающими ?

Слайд 19

3 А 0 В С D E F y x Определите точки, в которых касательная существует, и точки, в которых касательная не существует

Слайд 20

4 y=f(x) M 0 M T x 0 x 0 + ∆x ∆ x ∆ y y x 0 Убедитесь, что угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) можно определить по формуле

Слайд 21

Найдите угловой коэффициент касательной к параболе у = х 2 : а) в точке (1;1); б) в точке ( х 0 ; ). Используя полученный результат, найдите способ построения касательной в любой точке параболы. 5

Слайд 22

Найдите угловой коэффициент касательной к кривой у = х 3 в точках ( х 0 ; ); (1 ; 1); (0 ; 0). Как построить касательную к кривой у = х 3 в любой её точке ? Какая прямая является касательной в токе (0 ; 0) ? 6