Теоретические основы обучения теме «Методика обучения решению квадратного уравнения» в условиях новой формы итоговой аттестации. Задачи с параметрами (в соответствии с темой ИПЗР)
статья по математике (8 класс) на тему

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Московской области

«Академия социального управления»

кафедра математических дисциплин

Самостоятельная работа № 1

Теоретические основы обучения теме «Методика обучения решению квадратного уравнения» в условиях новой формы итоговой аттестации. Задачи с параметрами (в соответствии с темой ИПЗР)

Выполнил

слушатель учебного курса

«Особенности методики обучения математике в условиях новой формы итоговой аттестации за курс основной школы»

учитель математики МОУ «СОШ№4  

имени Героя Советского Союза Ф.Т. Жарова г. Шатуры»

Шатурского муниципального района Московской области

Куликова Ольга Александровна

Руководитель курса: к.п.н., доцент кафедры математических дисциплин Е.Л. Мардахаева

Москва, 2016

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………….     стр.3                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               §1.Логико-дидактический  анализ  темы «Методика обучения решению квадратного уравнения» …………………………………………………..    стр.3

§ 2. Логико-дидактический  анализ  КИМов  ОГЭ, анализ заданий КИМов  ОГЭ по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения»…стр.12

§ 3. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач с параметром  ……………………………………………………………    стр.14

3.1.Подборка задач с параметром по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения»  ………………………………………………   стр.15

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………….   стр.20

Список литературы  ……………………………………………………..  стр.21

ВВЕДЕНИЕ

        Математическое образование является обязательной и неотъемлемой частью общего образования на всех ступенях школы. Содержание математического образования в основной школе формируется на основе фундаментального ядра школьного математического образования. Математическое образование играет важную роль как в практической так и в духовной жизни общества. Практическая сторона математического образования связана с формированием способов деятельности, духовная – с интелектульным развитием человека, формированием характера и общей культуры.

Без базовой математической подготовки невозможно стать образованным современным человеком. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках.

§1. Логико-дидактический анализ содержания темы: «Методика обучения решению квадратного уравнения»

Логико-дидактический анализ – один из инструментов формирования и развития профессионально значимых умений учителя

• видеть структуру содержания учебного предмета в целом,
• видеть логику построения основных линий и тем школьного курса математики,
• видеть особенности процесса формирования знаний и умений по тем или иным темам с учетом особенностей конкретных учащихся.

Логико-дидактический анализ темы – последовательность действий, которые условно объединяются в III блока:

1. целеполагания;
2. логико-математический анализ;
3. методический (дидактический) анализ.

Каждому из блоков соответствуют определенные цели и задачи

Логико-дидактический анализ является системообразующим фактором организации изучения учащимися темы. На основе логико-дидактического анализа

• составляется развернутый тематический план изучения темы,
• определяются цели и задачи уроков,
• отбирается содержание уроков,
• организовывается деятельность учащихся.

     На изучение темы «Квадратные уравнения, 8 класс, учебник «Алгебра, 8 класс»: учебник для  общеобразовательных учреждений /Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова/под ред. С. А.Теляковского 18-е изд., стер.  М.: Просвещение, 2013. по программе отводится 30 часов.

Рабочая  программа составлена основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования,   рабочей программы к предметной линии учебников (УМК Ю.Н. Макарычев и др.)

Алгебра. Рабочие программы. Предметная линия учебников Ю.Н. Макарычев и др .7 – 9 классы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций / Н. Г. Миндюк. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2016.

Тематическое планирование изучения данной темы представлено в таблице

Таблица 1.

Тематическое планирование, 4часа в неделю

  Тема: «Квадратные уравнения» изучается в 8 классе. Учащиеся должны уметь распознавать квадратные уравнения, решать их, исследовать по дискриминанту и коэффициентам. Решать текстовые задачи алгебраическим способом, переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления уравнения, решать составленное уравнение, интерпретировать результат.

        При изучении этой темы в учебнике Макарычева рассматриваются понятия:

• определение квадратного уравнения
• понятие приведенного квадратного уравнения
• понятие неполного квадратного уравнения
• понятие дискриминанта
• вводятся формулы дискриминанта и корней уравнения

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

        Термин, и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие вводится посредством явного определения, что обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более необходимо, что соответствующие признаки существенно используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней и в теореме Виета.

        Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен следующим способом: сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению  = 0 или к уравнению . Приходиться использовать выделение полного квадрата в трехчлене      , сводящее уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений, проводится сначала на конкретных примерах.

        Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если дискриминант квадратного уравнения  отрицателен, то оно не имеет действительных корней; если дискриминант равен нулю, то имеется один корень, равный ; если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня ».

Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений проводится следующим образом: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются формулы для нахождения корней.

        Кроме основной формулы для корней квадратного уравнения        , приводятся еще формулы корней уравнения                     или . Использование этих формул упрощает вычисления.

        При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квадратных уравнений имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.

        Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной – только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета. Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того, чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

        Далее  рассматриваются дробные рациональные уравнения (§9). Отрабатывается алгоритм решения таких уравнений.

Алгоритм решения:

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Умножить на общий знаменатель обе части уравнения.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
·   преобразования данного уравнения к простейшим;
·    решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

     На последующих уроках рассматриваются задачи на составление рациональных уравнений.

 Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Так, прямо сводятся к квадратным дробно-рациональные уравнения вида  и биквадратные уравнения. Еще один класс составляют алгебраические уравнения, которые разложением на множители могут быть сведены к линейному и квадратному уравнениям. Богатство и разнообразие приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения уравнений. Особенно это сказывается на приложении к алгебраическому методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает так же сложность перевода на язык математики.

Таим образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
·   преобразования данного уравнения к простейшим;
·    решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

 Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:
·   формулу нахождения дискриминанта;
·   формулу нахождения корней квадратного уравнения;
·   алгоритмы решения уравнений данного вида;
уметь:
·    решать неполные квадратные уравнения;
·    решать полные квадратные уравнения;
·    решать приведенные квадратные уравнения;
·     делать проверку.

Анализ математических задач по теме показал, что в учебнике Макарычева задания разбиваются на уровни: подчеркнутые номера – это задания обязательного уровня, выделенные номера – это задания повышенной сложности, отдельно выделены задания для повторения.

Упражнения для домашней работы никак не обозначены. В теме решения текстовых задач рассматриваются две старинные задачи, часть задач носит геометрический характер, есть несколько задач с практическим содержанием. Для разнообразия работы с учащимися в учебнике предлагаются дополнительные задания разного уровня сложности. Так же есть параграф под рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше» - это уравнения с параметром. В этом параграфе все задания, кроме двух первых, отмечены как задачи повышенной сложности. Однако, данная тема рассматривается с учащимися только по усмотрению учителя.

Во всей теме всего три задания для решения устно, большая часть задач направлена на отработку навыков решения уравнения по формулам. Однако, заданий для исследовательской и проектной деятельности нет. Очень трудно по этим задачам организовать проблемные или эвристические уроки, нет задач на развитие логического мышления. Практически все задания предназначены для развития вычислительных навыков.

      В итоге изучения материала по запоминанию темы учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научится использовать логические средства для обоснования решения.  В целом  освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Анализ задачного материала темы «Квадратные уравнения»

        Таким образом, по данной теме имеется большое количество задач на отработку понятий квадратные уравнения, виды квадратных уравнений,  а так же на отработку нахождения корней квадратного уравнения по формулам и  подбор корней с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Задачи разнообразные по требованию и по дидактическим целям. Нет задач на доказательство. Трудности у учащихся могут возникнуть при решении текстовых задач с применением новой темы, а так же при решении параметрических задач на применение теоремы Виета.

§2.Логико-дидактический  анализ  КИМов  ОГЭ, анализ заданий КИМов  ОГЭ по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения»

        В настоящее время основным принципом разработки требований к   подготовке выпускников является представление их в виде набора вопросов и задач, непосредственно позволяющих осуществить проверку наличия тех или иных знаний, умений, навыков выпускников 9-х классов. Процедура разработки таких задач-измерителей состоит в последовательной конкретизации целей обучения математики в основной школе и выстраивании  иерархической системы целей:

Общие цели математического образования  Требования к уровню подготовки выпускников  Планируемые результаты обучения  Образцы задач  Контрольно-измерительные материалы.

         Объектами контроля в заданиях первой части работы являются: знание и понимание ключевых элементов содержания (математических понятий, их свойств, математической символики и средств наглядности и пр.), владение основными алгоритмами, умение решать несложные математические проблемы, не сводящиеся к прямому применению алгоритма, умение применять математические знания в несложных практических ситуациях.

Задания по теме «Квадратные уравнения» регулярно включаются в материалы основного государственного экзамена (ОГЭ) и единого государственного экзамена.

          Анализ методических пособий для подготовки к ОГЭ показал, что в

Модуле «Алгебра» часть 1некоторые задания №4 требуют базовых знаний решения неполных  и полных квадратных уравнений.

Учащимся необходимо уметь проводить классификацию уравнений по общему виду; уметь определять числовые коэффициенты, применять формулы при решении квадратных уравнений; уметь выделять общее и находить различия.

Объектами контроля в заданиях второй части являются: умение интегрировать знания из различных тем курса при решении задач комбинированного характера, владение некоторыми специальными приемами решения задач, умение строить и исследовать простейшие математические модели, использовать разнообразные способы рассуждений при исследовании математических ситуаций, умение математически грамотно и ясно записывать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования.

Часть 2 содержит задания № 21; № 22, повышенного уровня.

Например:

№ 21. Решите уравнение  (х - 1) (х2 +6х+9) = 5(х+3).

При решении уравнений данного вида, учащиеся должны знать:

• формулы сокращенного умножения,
• уметь представлять квадратный трехчлен в виде квадрата двучлена,
• уметь раскладывать квадратный трехчлен на множители,
• выносить общий множитель за скобку,
• применять алгоритм решения квадратных уравнений,
• применять формулы для второго четного коэффициента.

№ 22. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми 209 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени. Найдите скорость велосипедиста из А в В.

При решении данных заданий, учащиеся должны уметь составлять дробно-рациональные уравнения, приводить их к квадратным.

Задания второй части модуля «Алгебра» направлены на проверку владения таких качеств математической подготовки выпускников, как:

• формально-оперативным алгебраическим аппаратом;

• умения решить комплексную задачу, включающую в себя знания из разных тем курса алгебры;

• умения математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;

• владения широким спектром приёмов и способов рассуждений.

К заданиям повышенного уровня можно отнести уравнения с параметром из п. 27.

§ 3. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач с параметром.

          Практика работы в школе показывает, что уравнения и неравенства с параметром - это один из сложнейших разделов школьного курса математики, представляющий для школьников наибольшую трудность, как в логическом, так и в техническом плане. Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Выбор метода решения, запись ответа совершенствуют умения наблюдать, сравнивать, анализировать, строить схемы и графики, выдвигать гипотезу и обосновывать полученные результаты. Задачи с параметром проверяют не только умение работать по алгоритму, но и способность к поиску нестандартных решений, формируя при этом творческий подход к выполнению заданий.

Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

 Как начинать решать такие задачи? Прежде всего при решении задач с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения– привести заданные уравнения к более простому виду. Затем необходимо еще и еще раз прочитать задание.
Основные типы задач с параметрами:

Тип 1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.
Тип 2. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.
Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений
Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

Методические рекомендации при изучении некоторых тем «Линейные и квадратные уравнения».

      Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как

уравнение с параметрами: ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для

этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то,

при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи,

когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное

решение х = в/а.

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b. В этом случае значение

b = 0 является особым значением параметра b.

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b = 0 уравнение примет вид: 0 х = 0. Решением данного уравнения

является любое действительное число.

3.1. Подборка задач с параметром по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения».

Примеры (ОГЭ 2016)

1) х2 ‒ 2х + а + 3=0;  2)  х2 ‒ (2 + а)х + 3 = 0;    3)   ах2 ‒ 2х + 3 = 0

Задачи

№ 1

Найдите все значениях параметра b, при каждом из которых отношение дискриминанта уравнения bx2+3x+5=0  к квадрату разности его корней равно     5b+6.

Решение:

bx2+3x+5=0, b≠0

25+24=49

Ответ: отношение дискриминанта уравнения bx2+3x+5=0  к квадрату разности его корней равно     5b+6  при b = –1 и b =6.

№ 2

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых решением неравенства    является объединение двух непересекающихся интервалов.

№ 3

Найдите все  значения параметра а, при каждом из которых уравнение  имеет единственное решение.

Решение:

Ответ: при уравнение  имеет единственное решение.      

№4. Решить уравнение

2а(а — 2) х = а — 2. (1)

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых

коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2.

При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на

коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это

деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех

действительных значений параметра разбить на подмножества

A1={0}, А2={2} и А3= {а≠0, а≠2}

и решить уравнение (1) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (1) принимает вид 0 х = - 2. Это уравнение не имеет

корней.

2) При а=2 уравнение (1) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения

является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (1) получаем, х = (а-2) : 2а(а-2) ,

откуда х =1/2а .

0твет: 1) Если а=0,то корней нет;

2)если а=2, то х – любое действительное число;

3) если а≠0, а≠2 , то х =1/2а  .

№5.Решить уравнение

(а — 1) х2+2 (2а+1) х+(4а+3) =0; (2)

Решение. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в том, что при a=1 уравнение (2) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а = l; 2) а≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (2) примет вид 6х+7=0. Из этого уравнения находим х = - 7/6.

2) Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых

дискриминант уравнения (2) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то при переходе

значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например,

при а<ао D< 0, а при а>ао D>0). Вместе с этим при переходе через

точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в

нашем примере при а<ао корней нет, так как D< 0, а при а>ао D>0 уравнение

имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении

уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0

дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (2):

D/4=(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем D/4= 5а+4.

Из уравнения D/4 = 0 находим а = - 4/5— второе контрольное значение

 параметра а. При этом если а <- 4/5, то D <0; если a≥- 4/5, то D≥0, a ≠ 1.

Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда а <-4/5 и в

случае, когда { a≥- 4/5, a ≠ 1 }.

Если а <- 4/5, то уравнение (2) не имеет действительных корней; если же

Если а <- 4/5, то уравнение (2) не имеет действительных корней; если же

{ a≥- 4/5, a ≠ 1 }, то находим  х1;2 = ;

Ответ: 1) если а <- 4/5,, то корней нет;

2) если а = 1, то х = - 7/6;  3) если a≥-4/5 , a ≠ 1, то х1;2 = ;

        Решение задач с параметрами необходимо учащимся в наше время как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в ВУЗы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики. Даже если бы эти задачи не предлагались на выпускных и вступительных экзаменах, то все равно в школьной математике задачам с параметрами должно уделяться большое внимание. Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются (и опыт это подтверждает) с другими задачами. Решение задач, уравнений с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.
 Заключение

           Математическое образование является неотъемлемой частью любого полноценного образования. Математика является одним из базовых предметов в школе. Она обеспечивает изучение других дисциплин – это относится не только к предметам физико-математического, технического и естественнонаучного циклов, но и гуманитарным дисциплинам. В современных условиях определенный объем математических знаний, владение некоторыми математическими методами стали обязательными элементами общей культуры – без математических знаний, без сформированных в ходе изучения математики технических навыков и умений (т.е. без владения вычислительными и иными алгоритмами) невозможно дальнейшее обучение, да и практическая деятельность часто оказывается затрудненной. Этим, однако, далеко не исчерпывается роль и значение математики как учебного предмета. Обучение математике выполняет чрезвычайно важные развивающие функции. При изучении математики формируются интеллектуальные умения, необходимые любому человеку вне зависимости от того, в какой сфере деятельности он будет занят в дальнейшем. Совершенствование содержания школьного математического образования связано с требованиями, которые предъявляет к математическим знаниям учащихся практика: промышленность, производство, военное дело, сельское хозяйство, социальное переустройство и т.д.

ЛИТЕРАТУРА

1. Задачи с параметрами. 1-е изд.  – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004  Щахмейстер А.Х.
2. Задачи из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ по математике http://opengia.ru
3. Закон Российской Федерации «Об образовании». – М.: ООО «Издательство АСТ», 2002.
4. Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России.– М.: Просвещение, 2011.– 24 с. Данилюк А.Я., Кондаков А.М., Тишков В.А
5. Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5–9 классы: проект. 3-изд. перераб.– М.: Просвещение, 2011.– 64 с.
6. Сборник тестов "36 типовых экзаменационных материалов" под ред. Ященко И.В.- М.; Издательство «Национальное образование», 2016
7. Федеральная целевая программа развития образования на 2011-2015 годы - http://mon.gov.ru/press/news/8286.
8. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. – М.: Просвещение, 2011.
9. Фундаментальное ядро содержания общего образования. / Под ред. В.В.Козлова, А.М. Кондакова. – М.: Просвещение, 2011.