Пути и средства повышения познавательной активности учащихся на уроках математики.
методическая разработка по математике на тему

                               Муниципальное общеобразовательное учреждение     

                «Бугровская средняя общеобразовательная школа»

Пути и средства повышения познавательной активности учащихся на уроках математики.

Методика работы по формированию математических понятий.

                                                                                                                                                 Работа выполнена учителем математики

Волковой Ниной Ивановной

                                 Бугры    2016г.

      Активизация деятельности школьников в процессе                 формирования математических понятий.

    Важной задачей обучения школьному курсу математики является усвоение учащимися системы его понятий. Это усвоение может быть эффективным только при условии, если оно является осознанным. Как показывает опыт, основной недостаток в усвоении многих понятий школьного курса - это формализм, который выражается в зазубренности определения, без понимания его смысла и, как результат, в неумении применить его на практике. Усвоение же понятия может быть осознанным лишь тогда, когда оно происходит в процессе активной деятельности самих учащихся, деятельности, основой которой служит самостоятельный поиск и открытие школьниками нового знания. Известно, что развитие активности школьника в учебной деятельности оказывает благотворное влияние не только на усвоение учебного материала, но и на формирование его личности.

Принципы организации эвристической деятельности учащихся в процессе формирования математических понятий.

Необходимым условием успешности любой, в том числе и                     учебной  познавательной  деятельности, является осознание мотива, цели деятельности. Именно поэтому в качестве первого, начального этапа в процессе формирования математического понятия выступает этап мотивации, задача которого - убеждение учащихся в необходимости нового понятия, создание потребности в нем.Эффективным средством, для организации этого этапа деятельности может служить задание, выполнение которого требует применения еще не известного детям материала и, тем самым, приводящее их к необходимости нового понятия.                                                 Таким образом, создается так называемая проблемная ситуация, в основе которой лежит ситуация затруднения в решении предлагаемой школьникам задачи. Формой реализации проблемной ситуации в процессе формирования понятий может быть постановка проблемного вопроса или проблемной задачи.

Так, перед введением понятия степени с натуральным показателем в 5 классе учащимся можно предложить написать произведение ста множителей, каждый из которых равен 2. Невозможность сделать это на основе уже известных понятий, естественно, приводит к необходимости понятия степени.

Постановленная задача должна быть привлекательной для обучающегося и вызвать у него желание найти решение. Она должна быть также достаточно прозрачной и ясно показывать детям, каких именно знаний не хватает им для ее решения. Только при наличии этих условий она делает новое понятие лично необходимым школьнику.

Мысль ученика начинает активно работать, когда перед ним возникает трудность, которую необходимо преодолеть. Поэтому создание ситуаций познавательной трудности и особенно самостоятельное разрешение таких ситуаций – эффективный путь активизации мыслительной деятельности школьников.

В обучении математике нередко бывает так, что приходится определить понятие, рассматривавшееся ранее или хорошо знакомое учащимся из опыта. В этих случаях особенно важно убедить учащихся в необходимости введения его определения / или нового способа определения/. Так, в курсе алгебры 8 класса водятся определения понятий «больше» и «меньше», рассматривавшихся в 5классе. Для того чтобы создать у учащихся потребность в этих новых определениях, учитель может использовать задачу типа: «Что больше: а2+9 или 6а?».  Используя  координатную прямую                                         ответить на этот вопрос нельзя, что и приводит детей, к необходимости повторного изучения указанного понятия.

Особенно эффективной является мотивировка нового понятия, обращенная к практике.  Она может быть реализована через прикладную задачу, через показ приложений нового понятия на практике самим учителем.  Например,  вводя функцию у= кх, полезно вспомнить  формулы длины окружности, периметра квадрата, пути в  равномерном движении, зависимости массы от объема, веса от массы, стоимости от количества и др. Сравнивая эти примеры, отвлекаясь от несущественных их особенностей и выделяя в них общее, существенное - учащиеся одновременно придут к аналитическому заданию вводимой функции. Таким образом, если учитель демонстрирует примеры приложений нового понятия до его введения, он не только показывает необходимость нового понятия, но и создает условия для наведения учащихся на определение понятия, открытия его содержания самими детьми.

Этап наведения обучающихся на открытие характеристических признаков вводимого понятия - следующий этап работы  по формированию понятия. Это индуктивный этап, цель которого – создание конкретных образов и наглядных представлений, подготавливающих введение формального определения. Указанная подготовка идет снизу вверх – от восприятия к представлению и уже от него к понятию и строится на основе обобщения конкретного и наглядного индуктивного материала. Например, чтобы подготовить определение правильного многогранника, можно  подбирать модели всех правильных многогранников, среди которых присутствуют, несколько контрпримеров (последние следует взять только по одному каждого вида, например, один шар, конус, цилиндр и т.п.) Учащимся предлагается сравнить предложенные геометрические тела, найти среди них похожие и выяснить, чем они похожи. Обнаружение фигур, имеющих сходство, заставит учащихся заметить то общее в них, те их свойства, которые и входят в определение рассматриваемого понятия в качестве видовых, характеристических признаков.

В процессе подготовки учащихся к открытию формулировки определения  используются так называемые индуктивные методы – различные формы опыта, наблюдение, сравнение, абстрагирование, обобщение, аналогия и собственно индукция, то есть рассмотрение частных случаев. Только опора на конкретный и наглядный индуктивный материал является залогом успешной организации процесса формирования понятия как самостоятельной деятельности учащихся. Опыт и наблюдение, сопровождаемые сравнением, создают основу для последующего абстрагирования и обобщения учащимися признаков, понятия, открытия его содержания. Однако эта деятельность будет успешной лишь при правильном варьировании индуктивного материала. Дело в том, что в проводимое учащимися индуктивное обобщение не должны входить в качестве видовых признаков понятия несущественные стороны тех объектов, с помощью которых мы подготавливаем детей к формулировке определения. Исследованиями психологов / Н.А. Менчинская/ установлено, что для того, чтобы ученик сделал правильное обобщение, необходимо варьировать несущественные признаки предметов, оставляя неизменными, постоянными существенные. Так, вводя понятие прямоугольного параллелепипеда в 5 классе, мы должны подобрать не одну, а несколько моделей этой фигуры, различающиеся цветом, размером, формой, материалом, из которого они изготовлены, предложить учащимся выбрать похожие фигуры и выяснить, чем они похожи. Среди взятых моделей, необходимо, поместить несколько фигур другого вида.  Но, как уже отмечалось выше, их следует брать по одной каждого вида. Поиск этих общих признаков и приведет учащихся к усвоению сущности нового понятия, а целесообразное варьирование наглядного материала сделает усвоение свободным от несущественных сторон объектов, которые использовались в процессе формирования понятия.

Важной задачей - является подготовка учащихся к свободному проговариванию будущего определения, что делает необходимой специальную работу по постепенному внедрению конструкции определения, его речевого оформления. Эта работа может быть проведена  уже на этапе проблемной постановки вводимого понятия или сразу после него, на индуктивном этапе.

Так, перед первым из вышеприведенных проблемных заданий учащимся можно предложить следующее задание: «Напишите произведение трех множителей, каждый из которых равен 2». После этого задания / и только после него/ следует предложить обратное: «Прочитайте выражение: 7х7х7х7 » / это задание более трудно для учащихся, и, чтобы справиться с ним, им необходимо иметь образец, который и дает учитель своей формулировкой прямой задачи/. Если дети затрудняются, помогаем им наводящими вопросами: «Что за выражение написано? Произведение скольких множителей? Чему равен каждый?». После чего вновь предлагаем прочитать указанное выражение. В итоге для учащихся должен стать привычным оборот речи «произведение…множителей, каждый из которых равен...», входящий в конструкцию будущего определения. Еще раз повторить указанный оборот речи позволяет и проблемное задание. Опыт показывает, что в результате такой работы учащиеся свободно формулируют определение нового понятия. Учителю остается дать ему имя. Вызвав у учащихся недоумение/ как же можно написать произведение ста множителей, каждый из которых равен 2?/, учитель показывает им новый, более короткий способ записи этого выражения и дает ему имя – «степень», после чего обращается к учащимся с вопросом, что же такое степень.

Приведу другие примеры подготовки учащихся к свободному проговариванию и запоминанию конструкции определения. Вводя понятие арифметического корня в 7 классе, учащимся можно предложить найти неотрицательное число, квадрат которого равен 25; 49; 16 / настойчиво повторяя в каждом задании оборот речи «неотрицательное число, квадрат которого равен…»/, а затем неотрицательный корень уравнений х2=9, у2=36, р2=64. Включая в свои задания указанные обороты речи, учитель делает привычными обороты, входящие в определение арифметического  квадратного корня, - «неотрицательное число, квадрат которого равен…», и / равносильный этому оборот/ «неотрицательный корень уравнения х2=…». Когда учитель даст новому понятию имя, учащиеся сами сформулируют его определение.

В рассмотренных примерах наведение учащихся на определение выполнялось с помощью некоторой системы практических заданий. Эта методика наиболее эффективна в большинстве случаев. Пусть мы хотим навести учащихся на определение медианы треугольника. Используем систему следующих заданий: «Начертите ∆АВС. Найдите сторону, противоположную вершине А. Итак, как же можно назвать сторону ВС? А АВ? Какой вершине она противолежит? Найдите середину стороны, противолежащей вершине А. Обозначьте ее буквой М. Что же представляет собой точка М, как ее можно назвать? Соедините вершину А с серединой стороны, противоположной этой вершине. Какой отрезок мы получили, как его можно назвать?» Обратим внимание учащихся на то, какое длинное название у этого отрезка: «отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны», и, как избавление от такого трудного оборота речи, введем новый термин «медиана». В процессе подготовки и этого определения надо по частям, настойчиво повторять отдельные, входящие в определение, обороты речи, включая их в свои задания, что способствует смысловому, логическому запоминанию определения, в результате чего оно употребляется обучающимися почти без усилий.

Введя новый термин, полезно показать учащимся его происхождение, историю возникновения в математике, остановиться на правилах написания. Так, введя термин «медиана», следует указать,  что происходит он от латинского «medias», что означает «середина». Это не только облегчит его запоминание, но и предостережет детей от ошибок в его написании.

Конструируя практические задания, призванные осуществлять подготовку учащихся к самостоятельной формулировке определения, необходимо строить их на основе характеристических признаков, лежащих в основе вводимого определения. Так, если нам надо навести учащихся на определение вертикальных углов как углов, стороны которых являются дополнительными полупрямыми , то учащимся следует предложить построить угол АВС и провести к сторонам угла дополнительные полупрямые, после этого можно дать полученным углам имя «вертикальные», и дети легко сформулируют определение сами. Если же учитель  предложит учащимся начертить две пересекающиеся прямые и введет новый термин на этой основе, он получит от учащихся заведомо не нужное ему / и расплывчатое / определение вертикальных углов как углов, образованных двумя пересекающимися прямыми.

Обеспечив открытие, характеристических свойств  вводимого понятия, подготовив детей к конструкции его определения, учитель предлагает им самим сформулировать определение нового понятия, после чего организует работу с учебником. Эта работа позволяет уточнить формулировку определения, одновременно она учит детей ориентироваться в учебнике, видеть главное в учебном тексте, облегчает выполнение домашнего задания, конкретизирует его.

Опыт показывает, что, сформулировав определение нового понятия, полезно расчленить его на части, по отдельным характеристическим признакам / особенно важно это для определений сложной структуры /. Так, введя понятие биссектрисы угла, представим его в таком виде.

Биссектриса угла – это:

1. луч;
2. выходящий из вершины угла;
3. проходящий между его сторонами;
4. делящий угол пополам.

          Такое расчленение определения облегчает его запоминание и главное / применение.

        Подлинное усвоение понятия может быть достигнуто лишь в процессе его применения на практике. Наиболее эффективной формой организации стадии применения нового понятия является деятельность, именуемая подведением объекта под понятие. Для организации такой деятельности следует предложить учащимся ряд объектов, среди которых имеются как объекты, входящие в объем данного понятия, так и не входящие в него. Ставится задача – выбрать объекты, соответствующие данному понятию, и обосновать свой выбор.

Так, введя понятие биссектрисы угла и расчленить его определение на части, предложим учащимся составной чертеж / см. рис./, на котором они должны найти биссектрисы.

                                           В                          А

   А                                                                                                          А              С

М                                                                      М

                                      В                                                                В

                                                                      С

С                                          А            М              С                                      В

                                                                                        А

                М                    В

                                                                                       С

    Предлагаемые примеры подбираются следующим образом: в каждом из них имеют место все признаки введения понятия, кроме одного. Например, исследуемый объект – луч, делит угол пополам, проходит между его сторонами, но не выходит из вершины. На одном из чертежей обязательно предлагается объект, удовлетворяющий всем требованиям определения.

        Мы видим, что отработка введенного определения идет сверху вниз – от общего к частному, путем, прямо противоположным наведению на понятие.

Требование учителя обосновать свой выбор заставляет учащихся в каждом из рассмотренных случаев сослаться на определение, а значит, проговорить его. Желательно, чтобы  дети были приучены к следующей схеме рассуждений, носящей характер силлогизма.

1. Биссектрисой угла называется… /следует определение/.
2. На этом чертеже изображен луч, он выходит из вершины данного угла, проходит между его сторонами, но не делит его пополам.
3. Следовательно, луч ВМ не является биссектрисой угла.

Организуя подобную деятельность, мы добиваемся от обучающихся глубокого усвоения ими введения понятия, одновременно формируя навыки дедуктивных рассуждений.

Обучение математике в средней школе позволяет эффективно использовать деятельность по подведению объекта под понятие для закрепления большинства понятий курса математики.

В заключение отмечу, что, как показывает  опыт, предлагаемая  методика работы по формированию математических понятий способствует осознанному и прочному их усвоению.

Литература: 

Пути и средства повышения познавательной активности учащихся.                Рязань, Рязанский государственный педагогический институт им. С.А.Есенина. Межвузовский сборник научных трудов, 1986

Щукина Г.И. Педагогические проблемы формирования познавательных интересов учащихся. М: Педагогика, 1988.

 Шамова Т.И. Активизация учения школьников. М. Педагогика, 1982

 Коротяев Б.И. Методы учебно-познавательной деятельности учащихся. М.,1971