итог ОГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (9 класс) на тему

Вариант № 101

Инструкция по выполнению работы

Общее время экзамена – 235 минут.

Характеристика работы. Всего в работе 26 заданий, из которых 20 заданий базового уровня (часть 1), 4 задания повышенного уровня (часть 2) и 2 задания высокого уровня сложности (часть 2). Работа состоит из трех модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика».

        Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1 – 8 заданий; в части 2 – 3 задания. Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 – 5 заданий; в части 2 – 3 задания. Модуль «Реальная математика» содержит 7 заданий: все задания – в части 1.

        Советы и указания по выполнению работы. Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с того модуля, задания которого вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим модулям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время, вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

        Все необходимые вычисления, преобразования и т. д. выполняйте в черновике. Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.

        При выполнении заданий части 1 ответы укажите сначала на листах с заданиями экзаменационной работы, а затем перенесите в бланк № 1.

        Решения к заданиям части 2 и ответы к ним запишите на бланке ответов № 2. Задания можно выполнять в любом порядке, начиная с любого модуля. Текст задания переписывать не надо, необходимо только указать его номер. Обращаем Ваше внимание на то, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

        При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами.

Как оценивается работа. Баллы, полученные Вами за верно выполненные задания, суммируются. Для успешного прохождения итоговой аттестации необходимо набрать в сумме не менее 7 баллов, из них не менее 3 баллов по модулю «Алгебра», не менее 2 баллов по модулю «Геометрия» и не менее 2 баллов по модулю «Реальная математика». За каждое правильно выполненное задание части 1 выставляется 1 балл. В каждом модуле части 2 задания расположены по нарастанию сложности и оцениваются в 2 балла.

Желаем успеха!

Часть 1

1. Найдите значение выражения

Ответ:____________________________

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  Какая это точка?

1.                   2)               3)              4)    

3. Значение какого из следующих выражений является наибольшим?

1.               2)                  3)                 4)        

4. Решите уравнение  

Ответ:____________________________

5. Установите соответствие между функциями и их графиками.

1.                        3)  
2.                    4)  

6. Дана арифметическая прогрессия 14, 9, 4, … Какое число стоит в этой последовательности на 71-м месте?

Ответ:____________________________

7. Найдите значение выражения    при

Ответ:____________________________

8. Решите неравенство  

1.        2)          3)           4)         

9. Три угла треугольника относятся как 2 : 11 : 23. Найдите тупой угол треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ:____________________________

10.  Точка  центр окружности, на которой лежат точки и  Известно, что   и

    Найдите угол Ответ дайте в градусах.

Ответ:____________________________

11. В треугольнике               угол  равен . Найдите радиус

описанной окружности этого треугольника.

Ответ:____________________________

12. В трапеции  со сторонами                            

 вписана окружность (см. рис).

 Найдите сторону                      

Ответ:______________________ 

13. Какие из следующих утверждений верны?

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
2. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3. Любой квадрат является прямоугольником.

Ответ:____________________________

14. В таблице приведены результаты соревнований по прыжкам в высоту.

Какое место займет спортсмен, имеющий результат 2,16 м?

1. первое место                 3)  третье место
2. второе место                     4)   результат не является призовым

15. На графике изображена зависимость атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба) от высоты над уровнем моря (в километрах). На какой высоте (в км) летит воздушный шар, если барометр, находящийся в корзине шара, показывает давление 540 миллиметров ртутного столба?

Ответ:____________________________

16. Магазин делает пенсионерам скидку на определённое количество процентов от стоимости покупки. Десяток яиц стоит в магазине 40 рублей, а пенсионер заплатил за них 36 рублей 40 копеек. Сколько процентов составляет скидка для пенсионера?

Ответ:____________________________

17. Проектор полностью освещает экран  высотой 50 см, расположенный на расстоянии 100 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран  высотой 150 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

Ответ:_____________

18. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 17 минут?

Ответ:____________________________

19. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

Ответ:____________________________

20. Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле  где  угловая скорость (в с-1), а  радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите угловую скорость (в с-1), если радиус окружности равен 3 м, а центростремительное ускорение равно

 243 м/с2.

Ответ:____________________________

Часть 2

21. Решите уравнение  

22. Мотоциклист проехал 40 км от пункта  до пункта . Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на путь на 20 мин больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.

23. Постройте график функции

и определите, при каких значениях   прямая   имеет с графиком ровно одну общую точку.

24. Найдите площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

25. Дана равнобедренная трапеция  Точка  лежит на основании  и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что  середина основания .

26. Площадь треугольника  равна 90. Биссектриса  пересекает медиану  в точке , при этом  Найдите площадь четырехугольника

Вариант № 201

Инструкция по выполнению работы

Общее время экзамена – 235 минут.

Характеристика работы. Всего в работе 26 заданий, из которых 20 заданий базового уровня (часть 1), 4 задания повышенного уровня (часть 2) и 2 задания высокого уровня сложности (часть 2). Работа состоит из трех модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика».

        Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1 – 8 заданий; в части 2 – 3 задания. Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 – 5 заданий; в части 2 – 3 задания. Модуль «Реальная математика» содержит 7 заданий: все задания – в части 1.

        Советы и указания по выполнению работы. Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с того модуля, задания которого вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим модулям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время, вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

        Все необходимые вычисления, преобразования и т. д. выполняйте в черновике. Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.

        При выполнении заданий части 1 ответы укажите сначала на листах с заданиями экзаменационной работы, а затем перенесите в бланк № 1.

        Решения к заданиям части 2 и ответы к ним запишите на бланке ответов № 2. Задания можно выполнять в любом порядке, начиная с любого модуля. Текст задания переписывать не надо, необходимо только указать его номер. Обращаем Ваше внимание на то, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

        При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами.

Как оценивается работа. Баллы, полученные Вами за верно выполненные задания, суммируются. Для успешного прохождения итоговой аттестации необходимо набрать в сумме не менее 7 баллов, из них не менее 3 баллов по модулю «Алгебра», не менее 2 баллов по модулю «Геометрия» и не менее 2 баллов по модулю «Реальная математика». За каждое правильно выполненное задание части 1 выставляется 1 балл. В каждом модуле части 2 задания расположены по нарастанию сложности и оцениваются в 2 балла.

Желаем успеха!

Часть 1

1. Найдите значение выражения

Ответ:____________________________

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  Какая это точка?

1.                   2)               3)              4)    

3. Значение какого из следующих выражений является наименьшим?

1.               2)                  3)                 4)        

4. Решите уравнение  

Ответ:____________________________

5. Установите соответствие между функциями и их графиками.

1)                         3)  

2)                4)    

6. Дана арифметическая прогрессия 12, 7, 2, … Какое число стоит в этой последовательности на 71-м месте?

Ответ:____________________________

7. Найдите значение выражения    при

Ответ:____________________________

8. Решите неравенство  

1.        2)          3)           4)         

9. Три угла треугольника относятся как 3 : 11 : 22. Найдите тупой угол треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ:____________________________

10.  Точка  центр окружности, на которой лежат точки и  Известно, что   и

    Найдите угол Ответ дайте в градусах.

Ответ:____________________________

11. В треугольнике               угол  равен . Найдите радиус

описанной окружности этого треугольника.

Ответ:____________________________

12. В трапеции  со сторонами                            

 вписана окружность (см. рис). Найдите сторону    

Ответ:______________________ 

13. Какие из следующих утверждений верны?

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
2. Сумма углов в тупоугольном треугольнике больше, чем в остроугольном.
3. Любой прямоугольник является параллелограммом.

Ответ:____________________________

14. В таблице приведены результаты соревнований по прыжкам в высоту.

Какое место займет спортсмен, имеющий результат 2,22 м?

1. первое место                  3)  третье место
2. второе место                     4)   результат не является призовым

15. На графике изображена зависимость атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба) от высоты над уровнем моря (в километрах). Найдите, чему равно атмосферное давление на высоте 6 км. Ответ дайте в миллиметрах ртутного столба.

Ответ:____________________________

16. Магазин делает пенсионерам скидку на определённое количество процентов от стоимости покупки. Десяток яиц стоит в магазине 60 рублей, а пенсионер заплатил за них 53 рубля 40 копеек. Сколько процентов составляет скидка для пенсионера?

Ответ:____________________________

17. Проектор полностью освещает экран  высотой 50 см, расположенный на расстоянии 100 см от проектора. Найдите высоту экрана(в сантиметрах), расположенном на расстоянии 300 см от проектора, если настройки проектора остаются неизменными?

Ответ:_____________

18. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 13 минут?

Ответ:____________________________

19. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 3 спортсмена из Норвегии и 4 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из Швеции.

Ответ:____________________________

20. Количество теплоты  (в джоулях), выделяемое проводником с током, можно вычислить по формуле   где  сила тока (в амперах),  сопротивление (в омах),  время (в секундах). Определите силу тока (в амперах), если за  проводник с сопротивлением 20 Ом выделил 144 Дж.

Ответ:____________________________

Часть 2

21. Решите уравнение  

22.  Велосипедист ехал с определенной скоростью из деревни на станцию, находящуюся от деревни на расстоянии 32 км. Обратно он ехал со скоростью на 1 км/ч большей, затратив на обратный путь на 8 мин меньше, чем на путь от деревни до станции. С какой скоростью ехал велосипедист до станции?

23. Постройте график функции

и определите, при каких значениях   прямая   имеет с графиком ровно одну общую точку.

24. Найдите площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями 10 и 7, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

25. Дана равнобедренная трапеция  Точка  лежит на основании  и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что  середина основания .

26. Площадь треугольника  равна 80. Биссектриса  пересекает медиану  в точке , при этом  Найдите площадь четырехугольника

Вариант № 301

Инструкция по выполнению работы

Общее время экзамена – 235 минут.

Характеристика работы. Всего в работе 26 заданий, из которых 20 заданий базового уровня (часть 1), 4 задания повышенного уровня (часть 2) и 2 задания высокого уровня сложности (часть 2). Работа состоит из трех модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика».

        Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1 – 8 заданий; в части 2 – 3 задания. Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 – 5 заданий; в части 2 – 3 задания. Модуль «Реальная математика» содержит 7 заданий: все задания – в части 1.

        Советы и указания по выполнению работы. Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с того модуля, задания которого вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим модулям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время, вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

        Все необходимые вычисления, преобразования и т. д. выполняйте в черновике. Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.

        При выполнении заданий части 1 ответы укажите сначала на листах с заданиями экзаменационной работы, а затем перенесите в бланк № 1.

        Решения к заданиям части 2 и ответы к ним запишите на бланке ответов № 2. Задания можно выполнять в любом порядке, начиная с любого модуля. Текст задания переписывать не надо, необходимо только указать его номер. Обращаем Ваше внимание на то, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

        При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами.

Как оценивается работа. Баллы, полученные Вами за верно выполненные задания, суммируются. Для успешного прохождения итоговой аттестации необходимо набрать в сумме не менее 7 баллов, из них не менее 3 баллов по модулю «Алгебра», не менее 2 баллов по модулю «Геометрия» и не менее 2 баллов по модулю «Реальная математика». За каждое правильно выполненное задание части 1 выставляется 1 балл. В каждом модуле части 2 задания расположены по нарастанию сложности и оцениваются в 2 балла.

Желаем успеха!

Часть 1

1. Найдите значение выражения

Ответ:____________________________

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  Какая это точка?

1.                   2)               3)              4)    

3. Значение какого из следующих выражений является наибольшим?

1.               2)                  3)                 4)        

4. Решите уравнение  

Ответ:____________________________

5. Установите соответствие между функциями и их графиками.

1)                         3)  

 2)                4)  

6. Дана арифметическая прогрессия 9, 4, , … Какое число стоит в этой последовательности на 81-м месте?

Ответ:____________________________

7. Найдите значение выражения    при

Ответ:____________________________

8. Решите неравенство  

1.        2)          3)           4)         

9. Три угла треугольника относятся как 3 : 8 : 25. Найдите тупой угол треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ:____________________________

10.  Точка  центр окружности, на которой лежат точки и  Известно, что   и

    Найдите угол Ответ дайте в градусах.

Ответ:____________________________

11. В треугольнике               угол  равен . Найдите радиус

вписанной окружности этого треугольника.

Ответ:____________________________

12. В трапеции  со сторонами                            

 вписана окружность (см. рис).

             Найдите сторону  

Ответ:______________________ 

13. Какие из следующих утверждений верны?

1. Внешний угол треугольника всегда тупой.
2. Около любого треугольника можно описать окружность.
3. Любой квадрат является ромбом.

Ответ:____________________________

14. В таблице приведены результаты соревнований по прыжкам в длину.

Какое место займет спортсмен, имеющий результат 2,03 м?

1. первое место                  3)  третье место
2. второе место                     4)   результат не является призовым

15. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель со второй по седьмую минуту разогрева.

Ответ:____________________________

16. Билет на спектакль для школьника стоит 600 рублей. При посещении театра группой школьников свыше 10 человек делается скидка 15%. Найдите стоимость билетов (в рублях) для группы школьников из 12 человек и одного учителя, если билет для учителя стоит 400 рублей.

Ответ:____________________________

17. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 8 м, высота фонаря 5 м?

Ответ:_____________

18. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 19 минут?

Ответ:____________________________

19. В чемпионате по гимнастике участвуют 36 спортсменок: 6 из Германии, 3 из Франции, остальные из России. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из России.

Ответ:____________________________

20. Кинетическая энергия тела (Дж) массой  (кг), движущегося со скоростью  (м/с), вычисляется по формуле  Пользуясь этой формулой, найдите скорость тела массой 3 кг, имеющего кинетическую энергию 54 Дж. Ответ дайте в м/с.

Ответ:____________________________

Часть 2

21. Решите уравнение   

22.  На путь, равный 18 км, велосипедист затратил времени на

1ч 48 мин меньше, чем пешеход. Найдите скорость пешехода, если известно, что она на 9 км/ч меньше, чем скорость велосипедиста.

23. Постройте график функции

и определите, при каких значениях   прямая   имеет с графиком ровно одну общую точку.

24. Найдите площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями 12 и 9, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

25. Дана равнобедренная трапеция  Точка  лежит на основании  и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что  середина основания .

26. Площадь треугольника  равна 120. Биссектриса  пересекает медиану  в точке , при этом  Найдите площадь четырехугольника

Вариант № 401

Инструкция по выполнению работы

Общее время экзамена – 235 минут.

Характеристика работы. Всего в работе 26 заданий, из которых 20 заданий базового уровня (часть 1), 4 задания повышенного уровня (часть 2) и 2 задания высокого уровня сложности (часть 2). Работа состоит из трех модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика».

        Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1 – 8 заданий; в части 2 – 3 задания. Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 – 5 заданий; в части 2 – 3 задания. Модуль «Реальная математика» содержит 7 заданий: все задания – в части 1.

        Советы и указания по выполнению работы. Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с того модуля, задания которого вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим модулям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время, вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

        Все необходимые вычисления, преобразования и т. д. выполняйте в черновике. Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.

        При выполнении заданий части 1 ответы укажите сначала на листах с заданиями экзаменационной работы, а затем перенесите в бланк № 1.

        Решения к заданиям части 2 и ответы к ним запишите на бланке ответов № 2. Задания можно выполнять в любом порядке, начиная с любого модуля. Текст задания переписывать не надо, необходимо только указать его номер. Обращаем Ваше внимание на то, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

        При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами.

Как оценивается работа. Баллы, полученные Вами за верно выполненные задания, суммируются. Для успешного прохождения итоговой аттестации необходимо набрать в сумме не менее 7 баллов, из них не менее 3 баллов по модулю «Алгебра», не менее 2 баллов по модулю «Геометрия» и не менее 2 баллов по модулю «Реальная математика». За каждое правильно выполненное задание части 1 выставляется 1 балл. В каждом модуле части 2 задания расположены по нарастанию сложности и оцениваются в 2 балла.

Желаем успеха!

Часть 1

1. Найдите значение выражения

Ответ:____________________________

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  Какая это точка?

1.                   2)               3)              4)    

3. Значение какого из следующих выражений является наименьшим?

1.               2)                  3)                 4)        

4. Решите уравнение  

Ответ:____________________________

5. Установите соответствие между функциями и их графиками.

1.                    3)  
2.            4)    

6. Дана арифметическая прогрессия … Какое число стоит в этой последовательности на 51-м месте?

Ответ:____________________________

7. Найдите значение выражения     при

Ответ:____________________________

8. Решите неравенство  

1.        2)          3)           4)         

9. Три угла треугольника относятся как 6 : 9 : 21. Найдите тупой угол треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ:____________________________

10.  Точка  центр окружности, на которой лежат точки и  Известно, что   и

    Найдите угол Ответ дайте в градусах.

Ответ:____________________________

11. В треугольнике               угол  равен . Найдите радиус

вписанной окружности этого треугольника.

Ответ:____________________________

12. В трапеции  со сторонами                            

вписана окружность (см. рис).

 Найдите сторону                      

Ответ:______________________

13. Какие из следующих утверждений верны?

1. В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
2. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.

Ответ:____________________________

14. В таблице приведены результаты соревнований по прыжкам в длину.

Какое место займет спортсмен, имеющий результат 2,06 м?

1. первое место                  3)  третье место
2. второе место                     4)   результат не является призовым

15. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель с третьей по седьмую минуту разогрева.

Ответ:____________________________

16. В выходные дни билет в кино стоит 300 руб., а в будние дни цена на 30% ниже. Семья из четырех человек покупает четыре билета на сеанс во вторник. Какова будет стоимость всех билетов? Ответ дайте в рублях.

Ответ:____________________________

17. На рисунке изображен колодец с «журавлем». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо – 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

Ответ:_____________

18. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 23 минуты?

Ответ:____________________________

19. В чемпионате по гимнастике участвуют 48 спортсменок: 7 из Германии, 5 из Франции, остальные из России. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется не из России.

Ответ:____________________________

20. Перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта позволяет формула  где  градусы Цельсия,  градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует  по шкале Фаренгейта.

Ответ:____________________________

Часть 2

21. Решите уравнение  

22.  Из пункта  в пункт , удаленный от  на расстояние 100 км, отправился междугородный автобус. Из – за ненастной погоды он ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей, чем предполагалось по расписанию, и поэтому прибыл в пункт  с опозданием на 30 мин. С какой скоростью должен был ехать автобус по расписанию?

23. Постройте график функции

и определите, при каких значениях   прямая   имеет с графиком ровно одну общую точку.

24. Найдите площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями 14 и 11, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

25. В параллелограмме  через точку пересечения диагоналей проведена прямая  которая отсекает на сторонах  и  отрезки  и  Докажите, что

26. Площадь треугольника  равна 120. Биссектриса  пересекает медиану  в точке , при этом  Найдите площадь четырехугольника