Презентация геометрия 9
презентация к уроку по математике (9 класс) на тему

Слайд 1

История развития ГЕОМЕТРИИ

Слайд 2

«Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нила, постоянно смывавшего границы. Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом нашего рассмотрения и, наконец, делается достоянием разума». Евдем Родосский (4 в. до н. э.)

Слайд 3

ГЕОМЕТРИЯ Геометрия (от греч. gе — земля и metreo — мерю) — часть математики, представляющая науку о пространственных отношениях и формах тел, а также о других отношениях и формах действительности, сходных с пространственными по своей структуре.

Слайд 4

Периоды развития геометрии. Период зарождения геометрии как математической науки. Период становления геометрии как самостоятельной математической науки. Период развития аналитической геометрии. Период формирования геометрии Лобачевского. Период современной геометрии.

Слайд 5

1. Период зарождения геометрии как математической науки. Протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции, примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае — зависимостей между геометрическими величинами. Этот момент не может быть датирован. Самое раннее сочинение, содержащее зачатки геометрии, дошло до нас из Древнего Египта и относится примерно к 17 в. до н. э., но оно, несомненно, не первое.

Слайд 6

ЕГИПЕТ Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объемов. Правильно вычислялись: площади треугольника и трапеции, объёмы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось открытие способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием. Правила вычисления площади круга и объёмов цилиндра и конуса соответствуют иногда грубо приближённому значению р=3, иногда же значительно более точному р=3,16

Слайд 7

Вавилон Из достижений вавилонской математики в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов и некоторые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии. Вавилонянам была уже известна теорема Пифагора.

Слайд 8

ГРЕЦИЯ Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперёд сделалась образцом дедуктивного построения математической теории. Начало же греческой геометрии традиция связывает с путешествиями в Египет первых греческих геометров и философов Фалеса Милетского (конец 7 в.— 1-я половина 6 в. до н. э.) и Пифагора Самосского (6 в. до н. э.). В связи с геометрической теоремой Пифагора был найден метод получения неограниченного ряда троек «пифагоровых чисел», т. е. троек чисел, удовлетворяющих соотношению а²+b²=c².

Слайд 9

2. Период становления геометрии как самостоятельной математической науки На протяжении нескольких поколений геометрия складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путём накопления новых геометрических знаний, выяснения связей между разными геометрическими фактами, выработки приёмов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве. Этот процесс привёл, наконец, к качественному скачку ; геометрия превратилась в самостоятельную математическую науку : появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались.

Слайд 10

«НАЧАЛА» Евклида Сохранились и сыграли в дальнейшем решающую роль появившиеся около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Здесь геометрия представлена так, как ее в основном понимают и теперь, если ограничиваться элементарной геометрией, начала которой изучают в средней школе, — это наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая в логической последовательности, исходя из явно формулированных основных положений — аксиом и основных пространственных представлений. Геометрию, развиваемую на принципах Евклида, даже уточнённую и обогащенную новыми предметами и методами исследования, называют евклидовой.

Слайд 11

Падение рабовладельческого античного общества привело к сравнительному застою в развитии геометрии: однако она продолжала развиваться в странах арабского Востока, в Средней Азии и Индии .

Слайд 12

3. Период развития аналитической геометрии Возрождение наук и искусств в Европе , вызванное зарождением капитализма, повлекло новый расцвет геометрии. Принципиально новый шаг был сделан в 1-й половине 17 в. Рене Декартом , который ввёл в геометрию метод координат, позволивший связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрии породило аналитическую, а потом и дифференциальную геометрию. Здесь геометрия перешла на качественно новую ступень по сравнению с геометрией древних: в ней рассматриваются уже гораздо более общие фигуры и используются существенно новые методы.

Слайд 13

4. Период формирования геометрии Лобачевского Четвёртый период в развитии геометрии открывается построением Н. И. Лобачевским новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского. Первая работа Лобачевского в этом направлении была доложена им на заседании физико-математического факультета Казанского университета в 1826 г. и опубликована в развитой форме в 1829 г.

Слайд 14

Источник, сущность и значение идей Лобачевского сводятся к следующему. В геометрии Евклида имеется аксиома о параллельных, утверждающая: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной». Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных посылок геометрии, но безуспешно. Лобачевский пришёл к мысли, что такое доказательство невозможно. Утверждение, противоположное аксиоме Евклида, будет: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые». Это и есть аксиома Лобачевского. По мысли Лобачевского, присоединение этого положения к другим основным положениям геометрии не должно приводить к противоречию, т. е. все выводы, получаемые на основе такого соединения, будут логически безупречными. Система этих выводов и образует новую, неевклидову геометрию.

Слайд 15

Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал эту идею, но действительно построил и всесторонне развил эту новую геометрию, логически столь же совершенную и богатую выводами, как евклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям. Лобачевский рассматривал свою геометрию как возможную теорию пространственных отношений ; однако она оставалась гипотетической до 1868—1870 гг., когда был выяснен её реальный смысл и тем самым было дано её полное обоснование. Переворот в геометрии, произведённый Лобачевским, по своему значению не уступает ни одному из переворотов в естествознании, и недаром Лобачевский был назван «Коперником геометрии» .

Слайд 16

Принципы , определившие дальнейшее развитие геометрии Первый принцип заключается в том, что логически мыслима не одна евклидова геометрия , но и другие «геометрии». Второй принцип — это принцип самого построения новых геометрических теорий путём видоизменения и обобщения основных положений евклидовой геометрии, т. е. в конечном счёте данных пространственного опыта. Именно в этом направлении пошло и продолжает идти развитие абстрактной геометрии . Третий принцип состоит в том, что истинность геометрической теории может проверяться только опытом , и не исключено, что дальнейшие опытные исследования обнаружат неточность соответствия евклидовой геометрии реальным свойствам пространства. Вопрос об этих свойствах есть вопрос физического опыта, а не математического умозрения.

Слайд 17

Перечисленные общие принципы сыграли определяющую роль не только в геометрии, но и в развитии математики вообще, в развитии её аксиоматического метода, в понимании её отношения к действительности. Главная особенность нового периода в истории геометрии, начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геометрических теорий — новых «геометрий» и в соответствующем обобщении предмета геометрии ; возникает понятие о разного рода «пространствах» (термин «пространство» имеет в науке два смысла: с одной стороны, это обычное реальное пространство, с другой — абстрактное математическое «пространство»). Геометрия превратилась в разветвлённую и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность математических теорий, изучающих разные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, римановы и т. д.) и фигуры в этих пространствах. Одновременно с развитием новых геометрических теорий велась разработка уже сложившихся областей евклидовой геометрии — элементарной, аналитической и дифференциальной . Вместе с тем в евклидовой геометрии появились также новые направления. Предмет геометрии расширился также в том смысле, что расширился круг исследуемых фигур, круг изучаемых их свойств, расширилось самое понятие о фигуре.

Слайд 18

5. Период современной геометрии Для современной геометрии характерно ещё большее, чем прежде, проникновение её идей и методов в другие области математики и обратно, так что точное выделение геометрии из всей математики оказывается, по существу, невозможным. Существенно изменилось также отношение геометрии к изучению материальной действительности: если раньше геометрия была лишь теорией пространственных отношений и форм, основанной на положениях, формулированных у Евклида, то теперь она стала также наукой о формах и отношениях действительности, сходных с пространственными. Область её применения к исследованию природы чрезвычайно расширилась. Но при всём разнообразии приложений и абстрактности теорий современной геометрии все они имеют общий источник в изучении конкретных пространственных форм и отношений, которое было впервые суммировано в элементарной евклидовой геометрии и из которого, в конечном счёте, исходят все понятия геометрии. Это единство источника позволяет дать определение геометрии как той части математики, которая развилась из изучения пространственных форм и отношений.

Слайд 1

Конус.

Слайд 2

Определение. Конус – тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса ) и проходящих через плоскую поверхность. Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Слайд 3

Свойства. Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны. Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания. Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен где α — угол раствора конуса.

Слайд 4

Площадь боковой поверхности такого конуса равна а полная площадь поверхности (т. е. сумма площадей боковой поверхности и основания ) где R — радиус основания, l — длина образующей . Объём кругового конуса равен Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен: где S 1 и S 2 — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины. Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом , параболой или гиперболой , в зависимости от положения секущей плоскости).

Слайд 5

Круговой конус - это тело, состоящее из круга (основание конуса), точки, которая не лежит в плоскости этого круга (вершина конуса и всех отрезков , которые соединяют вершину конуса с точками основания). Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса . Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности. Прямой конус – это конус, в котором прямая, которая соединяет вершину конуса и центр основания, перпендикулярна плоскости основания. Прямой круговой конус – это тело, которое получено вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. Высота конуса – это перпендикуляр, который опущен из вершины конуса на плоскость основания. Основание высоты в прямом конусе совпадает с центром основания. Ось прямого кругового конуса – это прямая, которая содержит его высоту.

Слайд 6

С ечение конуса плоскостью, который проходит через вершину конуса – это равнобедренный треугольник, боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса . Равнобедренным треугольником оказывается и осевое сечение конуса . Это сечение, проходящее через ось конуса.

Слайд 7

Плоскость, которая параллельна основанию конуса и которая пересекает конус, отсекает от него конус меньшего размера. Оставшаяся часть является усеченным конусом . Пирамида, вписанная в конус , это пирамида, у которой основание является многоугольником, вписанным в окружность основания конуса, а его вершина - это вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, которая вписана в конус, становятся образующими конуса.

Слайд 8

Касательная плоскость к конусу - это плоскость, которая проходит через образующую конуса и которая перпендикулярна плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую. Пирамида, описанная около конуса это пирамида, у которой основанием является многоугольник, который описан около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней описанной пирамиды - это касательные плоскости конуса .

Слайд 9

Работу выполнила: Исламова Ксения.

Слайд 1

НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ МНОГОГРАННИКИ

Слайд 2

Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

Слайд 3

ТЕТРАЭДР - МНОГОГРАННИК, СОСТАВЛЕННЫЙ ИЗ 4 ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Правильный тетраэдр – все грани правильные треугольники

Слайд 4

Параллелепипед – многогранник, составленный из двух равных параллелограммов, лежащих в параллельных плоскостях, и четырёх параллелограммов. Прямоугольный параллелепипед – боковые рёбра перпендикулярны к основанию, а основания – прямоугольники. V парал = abc .

Слайд 5

Свойства параллелепипеда: Противоположные грани параллельны и равны. Диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Слайд 6

Призма – многогранник, составленный из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов . MKN - перпендикулярное (к ребру СС 1 ) сечение; V призм = SH , где S - площадь основания, H - высота призмы; V призм = S ⊥ l , где S ⊥ - площадь перпендикулярного сечения MKN ; Площадь боковой поверхности призмы: S бок. призм = P ⊥ l , где P ⊥ - периметр перпендикулярного сечения MKN ;

Слайд 8

Пирамида – многогранник, составленный из n -угольника и n треугольников V пирам = 1 / 3 SH , где S - площадь основания, H - высота пирамиды; Если пирамида правильная (т.е. в основании правильный многоугольник, а все боковые грани - равные равнобедренные треугольники), то площадь боковой поверхности равна: S бок.пр.пирам = ½ Ph , где P - периметр основания, h - высота боковой грани (апофема).

Слайд 9

Усеченная пирамида. V ус.пирам = 1 / 3 H ( S 1 + √ S 1 S 2 + S 2 ), где H - высота, S 1 , S 2 - площади оснований усеченной пирамиды; Если усеченная пирамида - правильная (т.е. сечение проводили с правильной пирамидой), о площадь боковой поверхности равна: S бок.ус.пирам = ½ ( P 1 + P 2 ) h , где P 1 , P 2 - периметры оснований, h - высота боковой грани (апофема).

Слайд 10

Цилиндр. V цил = π R 2 H , где R - радиус основания, H - высота цилиндра; Площадь боковой поверхности цилиндра S бок.пов.цил = 2π RH , где R - радиус основания, H - высота цилиндра.

Слайд 11

Конус. V кон = 1 / 3 π R 2 H , где R - радиус основания, H - высота конуса; Площадь боковой поверхности конуса S бок.кон = π Rl , где R - радиус основания, l - образующая конуса.

Слайд 12

Усеченный конус. V ус.кон = 1 / 3 π H ( R 2 + Rr + r 2 ), где R , r - радиусы оснований, H - высота усеченного конуса; Площадь боковой поверхности усеченного конуса S бок.ус.кон = π( R + r ) l , где R , r - радиусы оснований, l - образующая усеченного конуса.

Слайд 13

Шар, сфера. Объем шара V шара = 4 / 3 π R 3 , где R - радиус шара; Объем шарового сегмента V шар.сегм = π H 2 ( R - 1 / 3 H ), где H = MO 1 - высота шарового сегмента, R = MO - радиус шара;

Слайд 1

Объем тела

Слайд 2

Объём — это аддитивная функция от множества ( мера ), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства . Первые точные определения были даны Пеано ( 1887 ) и Жорданом ( 1892 ). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств. Мари Энмон Камиль (Камилл) Жордан Джузеппе Пеано

Слайд 3

Каждая объемная фигура имеет объем.

Слайд 4

КАВАЛЬЕРИ ПРИНЦИП В XVII в. началась эпоха интегрального исчисления. Математики возвращались к задачам о вычислении площадей криволинейных фигур и объемов «кривых» тел, которыми так успешно занимался в древности Архимед. Кавальери, Бонавентура

Слайд 5

Интересовался этим вопросом и итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598-1647). Он занимал кафедру математики в Болонском университете. В переписке с астрономом и математиком Г. Галилеем они обсуждали разнообразные механические и математические проблемы, и в частности метод «неделимых». Галилей собирался, но так и не написал книгу об этом методе. В 1635 г. вышла книга Кавальери «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин». Галилео Галилей

Слайд 6

При вычислении площадей многоугольников бывает полезно преобразовывать фигуры, не меняя их площадей, например разрезать на части и составлять новые (см. Равносоставленные и равновеликие фигуры). Так можно преобразовать друг в друга треугольники с равными основаниями и высотами. Можно ли аналогичным образом преобразовывать криволинейные фигуры? Кавальери представляет их себе состоящими из бесконечно тонких параллельных плоских слоев - «неделимых» или «нитей» (рис. 1) и утверждает, что площадь не меняется при сдвигах этих слоев друг относительно друга. Иначе, принцип Кавальери состоит в том, что если пересечь фигуру семейством всех прямых, параллельных заданной, то длины пересечений полностью определят площадь фигуры. ( рис. 1)

Слайд 7

В частности, если у двух фигур эти длины совпадают, то они равновелики. Строгого обоснования своего принципа Кавальери не дал, но рассмотрел его многочисленные применения. Например, на основе этого принципа легко получается равновеликость треугольников с равными основаниями и высотами. Одно из самых удивительных применений принципа Кавальери принадлежит французскому математику Ж. Робервалю (1602-1675), который нашел площадь сегмента, ограниченного одной аркой циклоиды. Цикло́ида (от греч. κυκλοειδής — круглый) — плоская крива я . Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса , катящейся без скольжения по прямой .

Слайд 8

В каждый момент времени Роберваль проектировал точку, двигающуюся по циклоиде, на вертикальный диаметр катящегося круга. Получалась новая кривая, которую Роберваль назвал спутницей циклоиды (рис. 2, а). Но потом выяснилось, что это синусоида, и это было первое (1634) появление ее в математике! (рис. 2). Синусо́ида — плоская кривая, задаваемая в прямоугольных координатах уравнением Y= cos x

Слайд 9

Площадь под аркой синусоиды легко вычисляется при помощи перехода к равносоставленному с ней прямоугольнику площадью (рис. 2,б). Каждая из оставшихся двух фигур, которые называли лепестками Роберваля , по принципу Кавальери равновелика вертикальному полукругу, т.е. общая площадь равна .

Слайд 10

О бъем в химии и физике. В химии есть объем вещества, и молярные объем. В физике объем находят через такую формулу

Слайд 11

Работу выполнила Граждян Анна

Слайд 1

Окружность Эйлера или Окружность девяти точек

Слайд 2

Леонард Эйлер (нем. Leonhard Euler ) 15.04.1707-7(18).09.1783 швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук). Автор более чем 850 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям. Он глубоко изучал медицину, химию, ботанику, воздухоплавание, теорию музыки, множество европейских и древних языков. Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук . Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург, куда переехал годом позже. С 1726 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской академии наук ; в 1741—1766 годах работал в Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургской академии ). Уже через год пребывания в России он хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский ) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Слайд 3

Вклад в науку Леонард Эйлер Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Познания Эйлера были энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику, медицину, химию, теорию музыки, множество европейских и древних языков. Адреса проживания В Берлине В 1743—1766 годах Эйлер жил в доме по адресу: Беренштрассе , 21/22. Дом сохранился, на нём установлена мемориальная доска. В Санкт-Петербурге С 1766 года Эйлер проживал в доходном доме по адресу: Николаевская набережная, 15 (с перерывом, вызванным сильным пожаром). В советское время улица была переименована в «Набережную лейтенанта Шмидта». На доме установлена мемориальная доска, сейчас в нём располагается средняя школа.

Слайд 4

Теорема : Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром , лежат все на одной окружности . окружность девяти точек является описанной окружностью для следующих трёх треугольников : ортотреугольник , дополнительный треугольник, треугольник Эйлера (или треугольник Фейербаха, треугольник Эйлера — Фейербаха) — треугольник, вершинами которого служат середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр и вершины. Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек, окружностью Теркема , окружностью двенадцати точек, включая точки Фейербаха , окружностью n-точек, полуописанной окружностью.

Слайд 5

Окружность девяти точек обладает ещё целым рядом свойств: Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности. Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле). Ортоцентр относятся к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга [ en ], как точка X.

Слайд 6

Из девяти точек на окружности Эйлера три являются серединами отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром (вершины треугольника Эйлера-Фейербаха). Эти три точки являются отражениями середин сторон треугольника относительно центра окружности девяти точек. Таким образом, центр девяти точек служит центром симметрии, переводящей серединный треугольник в треугольник Эйлера-Фейербаха (и наоборот) [1]. Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности. Описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2.

Слайд 7

Последнее свойство гомотетичности (подобия) означает, что окружность девяти точек делит пополам любой отрезок, который соединяет ортоцентр с произвольной точкой, лежащей на описанной окружности. Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника . Теорема Мавло : треугольник на своей окружности девяти точек отсекает внешним образом три дуги таким образом, что длина наибольшей из них равна сумме длин двух оставшихся дуг. Например, на рисунке выше теорема Мавло дает равенство: дуга IF=дуга HE+дуга GD. В симметричном виде теорема Мавло может быть записана в виде: U IF+U HE+ U GD= 2\ max (U IF,U HE,U GD ). Это эквивалентно тому, что наибольшая из трех дуг равна сумме двух других. Последнее свойство - аналог свойств для расстояний x, y и z от вершин до точки Фейербаха, а не для дуг. Аналогичное соотношение также встречается в теореме Помпею.

Слайд 8

Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник. На описанной окружности треугольника ABC существуют ровно три точки, таких что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника ABC, причем эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея . Если описанная около треугольника гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны ). Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек. Гипербола Киперта Иллюстрация к теореме Фейербаха. Точкой Фейербаха считается наиболее близкая к вершине A отмеченная жирно точка на окружности

Слайд 9

Доказательство окружности Эйлера ABC- произвольный треугольник - Высоты Доказательство : 1) 2)

Слайд 10

3) 4) 5) Т.к. угол то Аналогично лежат на окружности 6) K=1/2 Ч. Т. Д.

Слайд 1

Окружность

Слайд 2

Касательная к окружности

Слайд 3

1 . Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности , то прямая и окружности имеют две общие точки.

Слайд 4

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности , то прямая и окружность имеют одну общую точку , и такая прямая называется касательной.

Слайд 5

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности , то прямая и окружность не имеют общих точек .

Слайд 6

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу , проведённому в точку касания .

Слайд 7

Отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности .

Слайд 8

Если прямая проходит через конец радиуса , лежащий на окружности , и перпендикулярна к этому радиусу , то она является касательной.

Слайд 9

Центральные и вписанные углы Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.

Слайд 10

Вписанный угол измеряется половиной дуги , на которую он опирается.

Слайд 11

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, -- прямой.

Слайд 12

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Слайд 13

Свойства биссектрисы угла Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Слайд 14

Геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри неразвёрнутого угла и равноудалённых от сторон угла , является биссектриса этого угла. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

Слайд 15

Свойства серединного перпендикуляра Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Слайд 16

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Слайд 17

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Слайд 18

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Слайд 19

Вписанная и описанная окружности В любой треугольник можно вписать окружность , и только одну.

Слайд 20

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности. В отличии от треугольника не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.

Слайд 21

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Слайд 22

Описанная окружность В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180 градусов, то около него можно описать окружность.

Слайд 1

ПАРАЛЛЕЛЕПИ́ПЕД

Слайд 2

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются его гранями , их стороны — ребрами , а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда . У параллелепипеда все грани — параллелограммы .

Слайд 3

Параллелепипеды, как и всякие призмы, могут быть прямые и наклонные . Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями , а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда . Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами . Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежным и , а не имеющие общих ребер — противоположными .

Слайд 4

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда .

Слайд 6

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом . У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники. Длины не параллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями) . У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера.

Слайд 7

Свойства параллелепипеда: Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Слайд 8

Прямоугольный параллелепипед Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания прямоугольниками.

Слайд 9

Свойства прямоугольного параллелепипеда: В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер, имеющих общую вершину). Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Слайд 1

Предмет стереометрии

Слайд 2

Стереометрия — раздел геометрии , в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слайд 3

Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки , прямые и плоскости . В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые . Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы. Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Слайд 4

В стереометрии наряду с простейшими фигурами – точками, прямыми и плоскостями – рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками.

Слайд 5

Куб Куб — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.

Слайд 6

Шар Шар — геометрическое тело ; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии , не больше заданного.

Слайд 7

Цилиндр Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра. а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра .

Слайд 8

ПАРАЛЛЕЛЕПИ́ПЕД ПАРАЛЛЕЛЕПИ́ - ПЕД -шестигранник с параллельными и равными противоположными гранями.

Слайд 9

Пирамида Пирамида — многогранник , одна из граней которого ( называемая основанием ) — произвольный многоугольник , а остальные грани (называемые боковыми гранями ) — треугольники , имеющие общую вершину.

Слайд 10

Конус Конус — тело , полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки ( вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание).

Слайд 1

П р и з м а

Слайд 2

Призма (от др.-греч. π ρίσμ α (лат. prisma ) «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями. Призма является разновидностью цилиндра (в общем смысле).

Слайд 3

Название Определение Обозначения на чертеже Чертеж Основания Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. ABCDE, KLMNP Боковые грани Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP Боковая поверхность Объединение боковых граней. Полная поверхность Объединение оснований и боковой поверхности. Боковые ребра Общие стороны боковых граней. AK, BL, CM, DN, EP Высота Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям. KR

Слайд 4

Диагональ Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. BP Диагональная плоскость Диагональное сечение Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат. EBLP Перпендикулярное (ортогональное) сечение Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру.

Слайд 5

Основания призмы являются равными многоугольниками. Боковые грани призмы являются параллелограммами. Боковые ребра призмы параллельны и равны. Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания: V=S *h Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания. Площадь боковой поверхности произвольной призмы S=P * l, где P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра. Площадь боковой поверхности прямой призмы S=P * h , где P — периметр основания призмы, h — высота призмы. Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы. Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах. Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням. Свойства призмы

Слайд 6

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом. Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными. Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники. Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Виды призм

Слайд 1

Работу выполнял: Кириллов Денис. Ученик 9 «А» класса

Слайд 2

Первый признак равенства треугольников : Теорема Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны .

Слайд 3

Дано: ∆АВС и ∆А1В1С1 Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1 Доказательство: Так как ∟А=∟А1,то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что бы вершина А совместилась с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1В1. Поскольку АВ=А1С1, АС=А1С1, то сторона АВ совместятся со стороной А1С1; А сторона АС – со стороной А1С1; в частности, совместятся точки В и В1, С и С1. Итак, треугольники АВС А1В1С1 полностью совместятся, значит они равны. Теорема доказана. В С А С1 А1 В1

Слайд 4

Теорема Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Слайд 5

Дано: ∆АВС,∆А1В1С1, АВ=А1В1, ∟А=∟А1,∟В=∟В1. Доказать: ∆ АВС=∆А1В1С1 Доказательство: Наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, сторона АВ - с равной ей стороной А1В1, а вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1В1. Так как ∟А=∟А1 и ∟В=∟В1, то сторона АС наложится на луч А1С1, а сторона ВС – на луч В1С1. Поэтому вершина С – общая точка сторон АС и СВ – окажется лежащей как на луче А1С1, так и на луче В1С1 и, следовательно, Совместится с общей точкой этих лучей – вершиной С. Значит, совместятся стороны АС и А1С1, ВС и А1С1. Итак, треугольники АВС и А1В1С1 полностью совместятся , поэтому они равны. Теорема доказана. В С А С1 А1 В1

Слайд 6

Теорема Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника , то такие треугольники равны

Слайд 7

Дано: ∆АВС, ∆А1В1С1, АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1. Доказать : ∆АВС = ∆А1В1С1. Доказательство: приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина В – с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1. Возможны три случая: луч С1С проходит внутри угла А1В1С1; луч С1С совпадает с одной из точек сторон этого угла; луч С1С проходит внутри угла А1В1С1. Рассмотрим первый случай ( остальные рассмотрите самостоятельно. Так как по условию теоремы стороны Ас и А1С1, ВС и В1С1 равны, то треугольники А1С1С и В1С1с – равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∟1 = ∟2, ∟3 = ∟4, поэтому ∟А1СВ1 = ∟А1С1В1. Итак, Ас=А1С1, ВС=В1С1, ∟С = ∟С1. Следовательно, треугольники АВС и А1В1С1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана. В С А С1 А1 В1

Слайд 1

Равнобедренные треугольники

Слайд 2

Терминология Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны или Аверьянами , а последняя — основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно. Если треугольник имеет две равные стороны, то эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием. Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом , а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании . Евклид определил равнобедренный треугольник как треугольник, который имеет две равные стороны, но современная трактовка предпочитает определение, где треугольник имеет хотя бы две равные стороны, определяя таким образом равносторонний треугольник как частный случай равнобедренного.

Слайд 3

Основные свойства Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы , медианы и высоты , проведённые из этих углов. Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии. Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, h — высота равнобедренного треугольника ; (теорема о проекциях) Радиус вписанной окружности может быть выражен шестью способами в зависимости от того, какие два параметра равнобедренного треугольника известны:

Слайд 4

углы Углы могут быть выражены следующими способами: ( теорема синусов ). Угол может также найден без и . Треугольник делится медианой пополам, и в полученных двух равных прямоугольных треугольниках вычисляется углы :

Слайд 5

Периметр и Площадь Периметр равнобедренного треугольника находится следующими способами: (по определению) (следствие теоремы синусов ). Площадь треугольника находится следующими способами

Слайд 1

Свойства прямоугольного параллелепипеда Работу выполнила: Ученица 9 «А» класса МБОУ «СШ № 14» Гуляева Юлия .

Слайд 2

Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками. Параллелепипед АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный, если: 1. АА1⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой). 2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник. Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда. Итак , прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда - прямоугольник.

Слайд 3

Свойства прямоугольного параллелепипеда: 1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники. АВСD и А1В1С1D1 – прямоугольники по определению. 2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники. 3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые. Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ1 и АВС.

Слайд 4

АВ – ребро, точка А1 лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ1, а точка D в другой – в плоскости А1В1С1D1. Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А1АВD. Возьмем точку А на ребре АВ. АА1 – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ1, AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А1АD – линейный угол данного двугранного угла. ∠А1АD = 90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°. ∠(АВВ1, АВС) = ∠(АВ) = ∠А1АВD= ∠А1АD = 90°. Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Слайд 5

Теорема Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота. Дано: АВС D А1В1С1 D1 – прямоугольный параллелепипед Доказать: Доказательство: Прямая СС1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС1А – прямоугольный. По теореме Пифагора:

Слайд 6

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора: Но ВС и AD – противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда: Так как , а , то Поскольку СС1 = АА1, то что и требовалось доказать.

Слайд 7

Следствие - Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС1 = СА1 = В1D = DВ1 =

Слайд 8

Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, принадлежащих одной вершине, иногда называют измерениями . Например, распространённый спичечный коробок имеет измерения 15, 35, 50 мм. Правильным или квадратным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого два измерения равны, у такого параллелепипеда две противолежащие грани представляют собой квадраты. Примерами тел, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда служат классная комната, кирпич, спичечный коробок или системный блок компьютера.

Слайд 9

Объём прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле: V= abc , где a, b, c — его измерения. S= 2( Sa+Sb+Sc )= 2(ab+ bc + ac) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трех граней этого параллелепипеда:

Слайд 10

Интересные факты А вы знаете, что известный иллюзионист Девид Блейн в рамках эксперимента провел 44 дня в стеклянном параллелепипеде, подвешенном над Темзой. Эти 44 дня он не ел, а только пил воду. В свое добровольное узилище Девид взял только письменные принадлежности, подушку и матрас и носовые платки.

Слайд 11

Спасибо за просмотр!

Слайд 1

Клавдий Птолемей 90-168 гг. П озднеэллинистический астроном, астролог, математик, механик, оптик, теоретик музыки и географ. Жил и работал в Александрии Египетской.

Слайд 2

Теорема Птолемея Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон. Докажем , что АС∙ BD = AB∙CD+BC∙AD

Слайд 3

Доказательство Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность.

Слайд 4

Выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE. треугольник ABD подобен треугольнику BCE. У этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция: откуда вытекает равенство: BC∙AD = EC∙BD (1)

Слайд 5

Треугольник ABE подобен треугольнику BCD. У этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углам и , опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция: откуда вытекает равенство : AB∙CD=AE∙BD (2) .

Слайд 6

Складывая равенства (1) и (2), получаем: AB∙CD+BC∙AD=AE∙BD+EC∙BD=(AE+EC)∙BD=AC∙BD что и требовалось доказать.

Слайд 1

Теоремы Чевы и Менелая Выполнил Шишов Даниил 9 «А»

Слайд 2

Биография ученого Чева (Джованни) — итальянский математик. Умер в 1734 г. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Он написал много сочинений. Самым замечательным из них было первое "De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio " ( Милан , 1678); . В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек.

Слайд 3

Теорема Чевы Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда (1)

Слайд 4

Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажем,что По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем: И Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем Разделив обе части на правую часть,приходим к равенству (1) О Доказательство.1.

Слайд 5

У ТВЕРЖДЕНИЕ ОБРАТНОЕ ТЕОРЕМЕ. Пусть для точек А1, В1, С1, взятых на соответствующих сторонах треугольника ABC, Выполняется равенство(1).Докажем, что отрезки АА1, BB 1 , СС1 пересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 через О и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в точке С2. Т.к. отрезки АА1,ВВ1 и СС2 пересекаются в одной точке, то на основании доказанного в первом пункте (2) Итак, имеют место равенства (1) и (2) Сопоставляя их, приходим к равенству ,которое показывает, что точки С1 и С2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Теорема доказана. В С А С 2 А 1 В 1 О

Слайд 6

Биография ученого Менелай Александрийский ( Menélaos ), древнегреческий астроном и математик (1 в.). Автор работ по сферической тригонометрии: 6 книг о вычислении хорд и 3 книги « Сферики » (сохранились в арабском переводе). Тригонометрия у Менелая отделена от геометрии и астрономии. Арабские авторы упоминают также о книге Менелая по гидростатике.

Слайд 7

Теорема Менелая Если на сторонах АВ, ВС и продолжении АС треугольника АВС соответственно взяты точки С1, А1 и В1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда (3) А1 С1 В1 В С А

Слайд 8

Доказательство.1. Пусть точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой. Докажем, что Проведем прямые AD,BM и CN параллельно прямой В1А1. Согласно обобщению теоремы Фалеса имеем: и Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем: , откуда D M N А1 С1 В1 В С А

Слайд 9

У ТВЕРЖДЕНИЕ ОБРАТНОЕ ТЕОРЕМЕ. Пусть точка В1 взята на продолжении стороны АС, а точки С1 и А1-на сторонах АВ и ВС, причем так, что выполнено равенство . Докажем, что точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой. А В С А 1 С1 В1

Слайд 10

Доказательство. Прямая В1С1 пересекает сторону ВС в некоторой точке А2.Т.к точки В1,С1 и А2 лежат на одной прямой, то по теореме Менелая (4) Сопоставляя (3) и (4),приходим к равенству ,которое показывает, что точки А1 и А2 делят сторону ВС в одном и том же отношении.Следовательно, точки А1 и А2 совпадают, и, значит, точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой. А В С А2 С1 В1

Слайд 1

Х арактеристическое свойство фигуры.

Слайд 2

Характеристические свойства прямоугольника. Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником .

Слайд 3

Свойства прямоугольника Противоположные стороны прямоугольника равны. Все углы прямоугольника равны . Диагонали прямоугольника равны. Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Диагонали прямоугольника делят его на два равных треугольника. В прямоугольника сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180 °.

Слайд 4

Признаки прямоугольника Если в параллелограмме все углы равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Если в параллелограмме один угол прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Если в четырехугольнике три угла прямые, то этот четырехугольник является прямоугольником. Если в четырехугольнике все углы равны, то этот четырехугольник является прямоугольником.

Слайд 5

Это интересно. Если в прямоугольнике с неровными смежными сторонами провести биссектрисы его углов, то при их пересечении образуется прямоугольник.

Слайд 6

Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, и делят его углы пополам. Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны, АВ || CD, AD || ВС.

Слайд 7

Признаки ромба: Параллелограмм является ромбом, если: Две его смежные стороны равны. Его диагонали перпендикулярны. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла .

Слайд 8

Это прямоугольник,у которого все стороны равны. Признаки квадрата: Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Слайд 9

Свойства квадрата Все углы квадрата прямые; Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Слайд 10

Окру́жность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая. Свойства окружности Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ). Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Слайд 11

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны Касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны.

Слайд 1

Цилиндр

Слайд 2

Цилиндр (круговой цилиндр) – тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, – образующими цилиндра.

Слайд 3

Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, а образующие цилиндра параллельны и равны. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковую поверхность составляют образующие. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям основания. Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон как оси. Существуют и другие виды цилиндра – эллиптический, гиперболический, параболический. Призму так же рассматривают, как разновидность цилиндра.

Слайд 4

Радиус цилиндра – радиус его основания. Высота цилиндра – расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.

Слайд 5

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, основания которой – равные многоугольники, вписанные в основания цилиндра. Её боковые рёбра являются образующими цилиндра. Призма называется описанной около цилиндра, если её основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости её граней касаются боковой поверхности цилиндра.

Слайд 6

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра можно найти по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h и длиной P, которая равна периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле: S b = Ph . В частности, для прямого кругового цилиндра: P = 2πR, и S b = 2π Rh .

Слайд 7

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований. Для прямого кругового цилиндра: S p = 2π Rh + 2πR 2 = 2πR(h + R) Для нахождения объёма наклонного цилиндра существуют две формулы. Можно найти объём, умножив длину образующей на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей. Объём наклонного цилиндра равен произведению площади основания на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания): V = Sh = S l sin α, где l – длина образующей, а α – угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра h = l.

Слайд 8

Формула для нахождения объёма кругового цилиндра выглядит следующим образом: V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h, где d – диаметр основания.

Слайд 9

Спасибо за внимание! Работу выполнила: Игошина Анастасия