Конспект урока на тему «Точность вычислений»
план-конспект урока по информатике и икт (10 класс)

Конспект урока на тему  «Точность вычислений»

Цели урока:

Образовательные:

1.     Сформировать представления о погрешностях;

2.     Сформировать знания о видах погрешностей (абсолютной и относительной);

3.     Научить применять современное программное обеспечение при различных видах вычислений.

Развивающие:

1.     Повысить познавательный интерес к предмету;

2.     Развивать образное мышление;

3.    Развивать готовность учащихся к информационно-учебной деятельности, применять инструментальные средства и средства информационных технологий в любом предмете для реализации учебных целей и саморазвития;

4. Способствовать развитие навыков и способностей критического мышления, направленных на выбор оптимальных решений.

Воспитательные:

1.     Воспитывать культуру делового общения при совместной работе в группе;

2.    Воспитывать доброжелательность среди учащихся, нацеленность на результативность обучения;

3.     Воспитывать трудолюбие, ответственность за результаты своего труда;

4.     Формировать внимательность и аккуратность.

План урока:

1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания
3. Объяснение нового материала
4. Закрепление нового материала
5. Домашнее задание
6. Подведение итогов урока

«Недостатки математического образования с наибольшей отчётливостью проявляются в чрезмерной точности численных расчётов», — писал выдающийся немецкий математик первой половины XIX века Карл Фридрих Гаусс.

Все практические расчёты выполняются неточно, с некоторой погрешностью (ошибкой, отклонением от истинного значения). В первую очередь это связано с тем, что неточно известны исходные данные, которые получаются в результате измерений.

Погрешности измерений

Окружающие нас предметы имеют различные числовые характеристики (длину, массу, объём и др.), которые часто приходится измерять для решения практических задач. Для измерений используются приборы, каждый из которых имеет определённую точность. Это значит, что с помощью данного прибора невозможно зафиксировать изменение величины, меньшее, чем цена деления шкалы этого прибора. Поэтому измеренное значение величины всегда отличается от точного (истинного), разность между ними называют погрешностью измерения.

Пусть нужно найти толщину дна кружки, используя только линейку с ценой деления 1 мм. Линейкой можно измерить высоту кружки снаружи и глубину внутри (рис. 9.1). При этом точность измерений будет не выше чем 1 мм (0,1 см).

Например, если измеренная высота кружки оказалась примерно 8,2 см, на самом деле она может быть от 8,1 до 8,3 см. Если измеренная глубина равна 7,8 см, фактическая может быть от 7,7 до 7,9 см

Используя данные измерений, можно найти толщину дна как разность 8,2 - 7,8 = 0,4 см.

Это не означает, что толщина дна действительно такая. Действительно, с учётом ошибок измерений она может быть равна как 8,1 - 7,9 = 0,2 см, так и 8,3 - 7,7 = 0,6 см. Таким образом, реальная толщина может быть от 0,2 до 0,6 см (разница в 3 раза!), и в полученном ответе (0,4 см) нет ни одной верной значащей цифры! Обычно в этом случае пишут ответ в виде 0,4 ± 0,2 см.

В приведённом примере погрешность 0,2 см — это так называемая абсолютная погрешность Ад:. Для оценки качества измерений чаще используют относительную погрешность, которая вычисляется как отношение абсолютной погрешности Ад; к истинному значению величины д:*:

Хг =^100%.

Поскольку истинное значение, как правило, неизвестно, его обычно заменяют на полученный результат изменений. В данном случае относительную погрешность можно оценить как

5 = — 100% = 50%.

Это очень большое значение, которое говорит о низкой точности измерений.

Погрешности вычислений

Пусть нужно вычислить площадь сечения цилиндра, диаметр которого D = 1,2 см известен с точностью 0,1 см. По известной формуле площади круга получаем (например, D        на калькуляторе):

S =        =1,130973355923255658465516179806...

4

Значит ли это, что мы нашли площадь с такой точностью? Конечно, нет. Вспомним, что диаметр был измерен с точностью 0,1 см, т. е. он мог быть равен как 1,1 см, так и 1,3 см.

Подводя итог, можно выделить несколько источников погрешностей при компьютерных вычислениях:

• неточность исходных данных;
• неточность записи вещественных чисел в двоичном коде конечной длины;
• погрешности приближённого вычисления некоторых стандартных функций (например, sin(x) или cos(x));
• накопление погрешностей при арифметических действиях с неточными данными;
• собственная погрешность используемого метода (для приближённых методов, рассматриваемых в следующем параграфе).

Проблемы, возникающие при вычислениях с конечной точностью, изучает вычислительная математика, задача которой — разработать вычислительно устойчивые методы решения задач, при которых небольшие погрешности исходных данных мало влияют на результат. Иногда этого удаётся добиться простым изменением порядка действий или преобразованием формул.

Вопросы и задания

1. Как вы понимаете приведённое в параграфе высказывание К. Ф. Гаусса?
2. Какие величины можно измерять? Какие приборы для этого используются? Приведите примеры.
3. Какова цена деления у ваших наручных часов?
4. Как определить цену деления для приборов с цифровыми индикаторами? Приведите примеры.
5. Что такое абсолютная и относительная погрешности? Какое из этих значений более важно в практических задачах?
6. Что такое вычислительно неустойчивый метод?