Комбинаторика
презентация к уроку по информатике и икт (11 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Правило суммы Если элемент x можно выбрать способами n x и если элемент y можно выбрать n y способами, то выбор «либо x , либо y » можно осуществить способами n x + n y . N x =4 N y = 5 Выбираем один шар Любой цвет Nx + N y = 4+5=9 способов

Слайд 3

Правило произведения Если элемент x можно выбрать n x способами и если после его выбора элемент y можно выбрать n y способами, то выбор упорядоченной пары (x, y) можно осуществить n x ∙ n y способами. N x =4 N y = 5 Выбираем пару шаров Синий и рыжий Nx ∙ N y = 4 ∙ 5= 20 способов

Слайд 4

Перестановки

Слайд 5

Перестановки без повторений Перестановками без повторений из n различных элементов называются все возможные последовательности этих n элементов. Число перестановок без повторений из n элементов равняется по определению

Слайд 6

Перестановки без повторений 6 различных перестановок

Слайд 7

Перестановки с повторениями Перестановки с повторением из n элементов k типов число элементов 1-го типа n 1 ; число элементов 2-го типа n 2 ; …; число элементов k -го типа n k , все возможные последовательности исходных n элементов. Число перестановок с повторениями обозначают подсчитывают так:

Слайд 8

Перестановки с повторениями n 1 = 2 n 2 = 1 n = n 1 +n 2 = 2+1 = 3 3 различные перестановки

Слайд 9

Пример 1 По следствию должны пройти пять человек: A , B , C , D , E . Какова вероятность того, что в списке этих пяти человек, составленном случайным образом B будет следовать сразу после A ?

Слайд 10

Пример 2 По следствию должны пройти пять человек: A , B , C , D , E . Какова вероятность того, что в списке этих пяти человек, составленном случайным образом B не будет перед A ?

Слайд 11

Размещения (выборки)

Слайд 12

Размещения без повторений Размещениями без повторений из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности m различных элементов, выбранных из исходных n , которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов. Число размещений без повторений из n элементов по m обозначается символом

Слайд 13

Размещения без повторений n= 3 Выбираем два шара m=2 Порядок выбора важен! 6 различных выборок

Слайд 14

Размещения с повторениями Размещения с повторениями из элементов k типов по m элементов ( k и m могут быть в любых соотношениях) называются все такие последовательности m элементов, принадлежащих исходным типам, которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов.

Слайд 15

Размещения с повторениями k= 2 n= 3 8 вариантов выборок

Слайд 16

Пример 3 В фирме работают 8 человек одинаковой квалификации, среди них Иванов, Петров, Сидоров. Случайно выбранным трем из восьми получают три различных вида работ (первому выбранному – работу первого вида, второму выбранному – работу второго вида, третьему – третьего вида). Какова вероятность того, что работа первого вида будет поручена Иванову, второго Петрову, третьего – Сидорову?

Слайд 17

Пример 4 Замок камеры хранения имеет четыре диска, каждый из которых разделен на 10 секторов; на секторах каждого из дисков написаны цифры 0, 1, …, 9. Какова вероятность открыть закрытую камеру для человека: забывшего все, что он набрал на дисках, закрывая камеру; помнящего только цифру, набранную на первом диске; помнящего только, что ни на втором, ни на третьем, ни на четвертом, диске не набирал цифру 6?

Слайд 18

Сочетания

Слайд 19

Сочетания без повторений Сочетаниями без повторений из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности m различных элементов, выбранных из исходных n , которые отличаются друг от друга составом элементов.

Слайд 20

Сочетания без повторений n= 3 Выбираем два шара m=2 Порядок выбора не важен! 3 сочетания

Слайд 21

Сочетания с повторениями Сочетаниями с повторениями из элементов k типов по m элементов ( m и k могут быть в любых соотношениях) называются все такие последовательности m элементов, принадлежащих исходным типам, которые отличают друг от друга составом элементов.

Слайд 22

Сочетания с повторениями k= 2 m= 3 4 варианта сочетаний

Слайд 23

Пример 5 Каково число выигрывающих и минимальных выигрывающих коалиций в Совете безопасности ООН до 1990 года?

Слайд 24

Формулы комбинаторики Перестановки Используются все элементы Порядок элементов важен Размещения Используются не все элементы Порядок элементов важен Сочетания Используются не все элементы Порядок элементов не важен

Слайд 25

Пример 6 Световое табло состоит из лампочек. Каждая лампочка может находиться в одном из трех состояний («включено», «выключено» или «мигает»). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 18 различных сигналов?

Слайд 26

Пример 7 Для передачи сигналов на флоте используются специальные сигнальные флаги, вывешиваемые в одну линию (последовательность важна). Какое количество различных сигналов может передать корабль при помощи четырех сигнальных флагов, если на корабле имеются флаги трех различных видов (флагов каждого вида неограниченное количество)?

Слайд 27

Пример 8 Вася и Петя передают друг другу сообщения, используя синий, красный и зеленый фонарики. Это они делают, включая по одному фонарику на одинаковое короткое время в некоторой последовательности. Количество вспышек в одном сообщении – 3 или 4, между сообщениями – паузы. Сколько различных сообщений могут передавать мальчики?

Слайд 28

Пример 9 Для кодирования 300 различных сообщений используются 5 последовательных цветовых вспышек. Вспышки одинаковой длительности, для каждой вспышки используется одна лампочка определенного цвета. Лампочки скольких цветов должны использоваться при передаче (укажите минимально возможное количество)?

Слайд 29

Пример 10 Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых все цифры различны?

Слайд 30

Пример 11 Виктор хочет купить пять разных книг, но денег у него хватает только на три (любые) книги. Сколькими способами Виктор может выбрать три книги из пяти?

Слайд 31

Пример 12 В чемпионате по шахматам участвовало 40 спортсменов. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

Слайд 32

Пример 13 Цепочка из трех бусин формируется по следующему правилу: На первом месте в цепочке стоит одна из бусин А, Б, В. На втором – одна из бусин Б, В, Г. На третьем месте – одна из бусин А, В, Г, не стоящая в цепочке на первом или втором месте. Сколько всего есть таких цепочек?