Комбинаторика на государственной итоговой аттестации
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

ПРИЛОЖЕНИЕ № 3

Конспект урока №1.

Предмет: математика.

Тип урока: урок комплексного применения знаний.

Тема: решение комбинаторных задач.

Продолжительность: 1 урок - 45 минут.

Класс: 9.

Цели урока:

• Повторить решение комбинаторных задачи, которые сводятся к подсчету возможных вариантов, с помощью дерева вариантов, при помощи правил умножения и сложения.
• Развивать логическое мышление, память, внимание, умение сравнивать и обобщать.
• Развивать умения работать в группе, формировать чувство ответственности за принятое решение.

Оборудование: ПК или ноутбук, проектор, экран.

Программное  обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку.

Дидактический материал: презентация урока (прил. диск), карточки (приложение).

Общие рекомендации к проведению урока.

        Для организации занятия целесообразно использовать групповую форму работы, В зависимости от общего количества учащихся, для оптимальной работы, в составе группы должно быть не более 5 человек. Заранее необходимо договориться о правилах работы в группе (их устанавливает учитель). Уровень учащихся в группе должен быть разнородным. Это позволяет "сильным" ученикам учиться оказывать помощь, консультировать, оценивать других ребят. "Слабым" - не только повысить уровень знаний, умений, навыков, но и научиться принимать помощь, рассуждать, высказывать свою точку зрения. Оценивание в группе должно быть трехсторонним: учитель - самооценка - взаимооценка. Иногда полезно оценить даже идею решения задачи - это стимулирует у ребят желание мыслить.

План урока:

Ход урока.

1. Организационный момент, постановка целей и задач урока.

2. Активизация познавательной деятельности.

        Историческая справка (дается учащимися, если есть возможность подготовить их заранее), или организуется собеседование учителя с учащимися.

        В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать». Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике, теории вероятностей и других областях знаний.

3. Проверка знаний теоретического материала.

        Ответить на вопросы теста (тесты раздаются группам, учащиеся самостоятельно выбирают и подчеркивают верные варианты ответа; проверка – используя  презентацию).

1. При выборе подходящего комплекта одежды мы пользуемся: сочетанием, перебором, пересечением множеств.
2. Комбинаторика изучает: деятельность комбинатов бытового обслуживания, способы пошива комбинезонов, способы решения задач на различные комбинации объектов.
3. Множество - это: совокупность объектов произвольного рода, умножение чисел, большое количество предметов.
4. Подсчитывая число маршрутов следования из пункта А в пункт В через пункт С, можно воспользоваться правилом: сложения, умножения, возведения в степень.
5. Для вычисления количества всевозможных пар вашей группы необходимо знать формулы: сочетаний, сокращенного умножения, теорему Пифагора.
6. 5! - это: сумма чисел от 1 до 5, квадрат числа 5, произведение натуральных чисел от 1 до 5 (вычислите).
7. Количество способов занять очередь на экзамен n учащимися определяются: перестановкой, переэкзаменовкой, экзаменационной комиссией (как?).
8. Комбинаторные задачи встречаются в профессиональной деятельности: парикмахера-визажиста, диспетчера автовокзала, завуча школы, экономиста, повара (добавьте свой пример).

4. Тренировочные упражнения.

        Упражнения (руководитель группы выбирает случайным образом карточки с заданиями, количество карточек определяется количеством групп, временем, количеством учащихся в группе; желательно, чтобы карточку получил каждый член группы). Группы решают задачи разными способами и предлагают свои решения классу, обсуждаются достоинства и недостатки, решения оформляются в тетрадях, на доске, проверяются по готовым решениям. 

        Комментарии к решению задач приведены в различных вариантах, выбор зависит от уровня подготовленности учащихся. Одни задачи можно решить устно, другие решить различными способам, оформив решение в тетрадях. После обсуждения решений в группах провести консультации по содержанию, защите решений задач и оформлению работ.

5. Подведение итогов урока.

         Ответить на вопросы: Что изучает комбинаторика? Какие способы решения комбинаторных задач вы знаете? Что такое дерево возможных вариантов? Когда применить при решении задач правило сложения, когда правило умножения?

        Оценивание учащихся проводится по количеству баллов, полученных на уроке, с учетом мнения руководителя группы, членов группы и учителя.

6. Домашнее задание. 

        Решить задачи из сборника Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова "Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе" стр. 221-222.

        Повторить формулы для различных видов комбинаций.

        Используется мультимедийная презентация, в которой сохранена структура занятия. В презентации имеется приложение, состоящее из исторической справки и шпаргалки для учащихся, испытывающих затруднения при решении задач. В конце занятия показать учащимся, где они могут почерпнуть материал по интересующим их темам курса комбинаторики.

Приложение к уроку №1

Карточки для групповой и индивидуальной работы

ПРИЛОЖЕНИЕ №4

Конспект урока № 2.

Предмет: математика.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

 Тема: решение комбинаторных задач

Продолжительность: 1 урок - 45 минут.

Класс: 9 класс.

Цели урока:

• Повторить и закрепить правила и формулы комбинаторики.
• Способствовать выработке навыков и умений при решении задач на нахождение количества различных комбинаций.
• Развивать логическое мышление учащихся.

Оборудование: ПК или ноутбук, проектор, экран.

Программное  обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку.

Дидактический материал: презентация урока (прил. диск), карточки (приложение к уроку).

План урока: 

Ход урока.

1. Организационный момент, сообщение темы и цели урока.

        Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения комбинаторных задач. Рассмотрим различные  задачи по комбинаторике,  которые можно решить разными способами: каждый из Вас должен высказать свою точку зрения на решение задач. Девиз нашего урока: «Чем больше я знаю, тем больше умею».

  2. Проверка домашнего задания.

        На дом были предложены задачи из сборника Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова "Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе". Ответы можно проверить, используя презентацию урока.

3. Самостоятельная работа.

4. Тренировочные упражнения.

        Далее: Учитель предлагает учащимся прочитать задачи и предложить способы её решения. Учащиеся участвуют в обсуждении задачи и записывают решение в тетрадь.

• Задачи № 3, 4 можно решить, комментируя запись в тетради.
• Задачи № 5, 6, 7 решить, используя запись на доске. Необходимо рассмотреть несколько способов решения задач.
• Задачу №8 ученики решают самостоятельно, с последующей проверкой.
• Задачи № 9, 10, 11 предложить для решения сильным учащимся.

Дополнительные задачи.

5. Подведение итогов урока.

        Подводя итоги урока, предлагается  учащимся продолжить предложение: «Мне очень понравилась задача …»

        Учитель подводит итоги урока, говорит о важности данной темы и о возможности самостоятельного ее изучения, комментирует оценки учащихся.

6. Домашнее задание. 

Общие замечания к проведению урока.

        Устные упражнения с просмотром презентации позволяют ускорить темп работы, усилить интерес учащихся, способствуют развитию сообразительности, смекалки, внимания и воспитанию дисциплинированности.

        При анализе самостоятельной работы с условием и решением на экране, осуществляется повторение ранее изученного материала:

• репродуктивный метод поможет проверить умения связно отвечать;
• частично-поисковый метод позволит проверить осознанность усвоения вычисления, способствует развитию умения сопоставлять, анализировать и обобщать;
• необходимо поощрять творческую работу учащихся, и рассматривать задачи практической направленности.

        Через использование частично-поискового метода и через индивидуальные и групповые способы организации познавательной деятельности происходит повторение и закрепление правил и формул комбинаторики.

        Создание проблемных ситуаций делает процесс обучения активным, дифференцированным, обеспечивает связь с жизнью.

        Работа каждого должна быть оценена, тогда учебно-воспитательный момент положительно повлияет на конечный результат урока.

Приложение к уроку №1

Карточки для групповой и индивидуальной работы

ПРИЛОЖЕНИЕ №4

Конспект урока № 2.

Предмет: математика.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

 Тема: решение комбинаторных задач

Продолжительность: 1 урок - 45 минут.

Класс: 9 класс.

Цели урока:

• Повторить и закрепить правила и формулы комбинаторики.
• Способствовать выработке навыков и умений при решении задач на нахождение количества различных комбинаций.
• Развивать логическое мышление учащихся.

Оборудование: ПК или ноутбук, проектор, экран.

Программное  обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку.

Дидактический материал: презентация урока (прил. диск), карточки (приложение к уроку).

План урока: 

Ход урока.

1. Организационный момент, сообщение темы и цели урока.

        Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения комбинаторных задач. Рассмотрим различные  задачи по комбинаторике,  которые можно решить разными способами: каждый из Вас должен высказать свою точку зрения на решение задач. Девиз нашего урока: «Чем больше я знаю, тем больше умею».

  2. Проверка домашнего задания.

        На дом были предложены задачи из сборника Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова "Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе". Ответы можно проверить, используя презентацию урока.

3. Самостоятельная работа.

4. Тренировочные упражнения.

        Далее: Учитель предлагает учащимся прочитать задачи и предложить способы её решения. Учащиеся участвуют в обсуждении задачи и записывают решение в тетрадь.

• Задачи № 3, 4 можно решить, комментируя запись в тетради.
• Задачи № 5, 6, 7 решить, используя запись на доске. Необходимо рассмотреть несколько способов решения задач.
• Задачу №8 ученики решают самостоятельно, с последующей проверкой.
• Задачи № 9, 10, 11 предложить для решения сильным учащимся.

Дополнительные задачи.

5. Подведение итогов урока.

        Подводя итоги урока, предлагается  учащимся продолжить предложение: «Мне очень понравилась задача …»

        Учитель подводит итоги урока, говорит о важности данной темы и о возможности самостоятельного ее изучения, комментирует оценки учащихся.

6. Домашнее задание. 

Общие замечания к проведению урока.

        Устные упражнения с просмотром презентации позволяют ускорить темп работы, усилить интерес учащихся, способствуют развитию сообразительности, смекалки, внимания и воспитанию дисциплинированности.

        При анализе самостоятельной работы с условием и решением на экране, осуществляется повторение ранее изученного материала:

• репродуктивный метод поможет проверить умения связно отвечать;
• частично-поисковый метод позволит проверить осознанность усвоения вычисления, способствует развитию умения сопоставлять, анализировать и обобщать;
• необходимо поощрять творческую работу учащихся, и рассматривать задачи практической направленности.

        Через использование частично-поискового метода и через индивидуальные и групповые способы организации познавательной деятельности происходит повторение и закрепление правил и формул комбинаторики.

        Создание проблемных ситуаций делает процесс обучения активным, дифференцированным, обеспечивает связь с жизнью.

        Работа каждого должна быть оценена, тогда учебно-воспитательный момент положительно повлияет на конечный результат урока.

Приложение к уроку №1

Карточки для групповой и индивидуальной работы

ПРИЛОЖЕНИЕ № 6

Конспект факультативного занятия

Предмет: математика.

Тип занятия: комплексное применение знаний.

Тема: решение комбинаторных задач.

Продолжительность: 1 урок - 45 минут.

Класс: 9.

Цели урока:

• Разобрать примеры решения задач «перестановки с повторениями», «сочетания с повторениями», «размещения с повторениями».
• Развитие навыков комбинаторного мышления учащихся.
• Воспитание творческого подхода к решению задач.

Оборудование: ПК или ноутбук, проектор, экран.

Программное  обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку.

Дидактический материал: Задачник (приложение 7).

План занятия: 

Ход занятия.

1. Организационный момент, постановка целей и задач урока.

2. Активизация познавательной деятельности.         

        Более «сложные» задачи на соединения связаны с двумя правилами: правило суммы и правило произведения.

3. Повторение теоретического материала

4. Тренировочные упражнения. 

        Из-за недостатка времени, можно предложить учащимся решить по две задачи каждого раздела. Остальные задачи ученики могут решить самостоятельно.

Размещения с повторениями                                

        Перестановки с повторениями.

        Сочетания с повторениями.

5. Подведение итогов занятия.

        Попросить учащихся оценить свои знания, наметить перспективу последующей работы. 

6. Домашнее задание. 

        Из сборника конкурсных задач (желательно под ред. М.И.Сканави) подобрать, подробно объяснить и привести решение 6 задач (по 2 на каждый вид соединений с повторениями).

ПРИЛОЖЕНИЕ 7        

Задачи для самостоятельной работы

Правило умножения

1. В меню столовой предложено на выбор 5 первых, 8 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обедов, состоящих из одного первого, одного второго и одного третьего блюда, можно составить из предложенного меню?
2. Миша забыл вторую и последнюю цифру пятизначного номера телефона друга. Какое наибольшее число звонков предстоит сделать Мише, если он решил перепробовать комбинации всех забытых цифр, чтобы в результате дозвониться до друга?

3. Девятиклассники Миша, Дима, Антон и Саша побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу четверо девятиклассников могут занять очередь для игры в настольный теннис?

4. Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы?

5. Составляя расписание уроков на понедельник для 9 «Б» класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либо литературу, либо историю, либо географию. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока?

6. У Светланы три юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы? 

Перестановки

1. Сколькими способами Дима и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой?

3. Из трёх стаканов сока – яблочного, сливового и абрикосового – Коля решил последовательно выпить два. Перечислите все варианты, которыми это можно сделать.

4. Сергей, Игорь и Миша могут занять 1-е, 2-е и 3-е призовые места в соревнованиях по шахматам. Перечислить всевозможные последовательности из имён мальчиков, где порядковый номер в последовательности соответствует занятому мальчиком месту в

5. У Влада на обед – первое, второе, третье и пирожное. Он обязательно начнёт с пирожного, а всё остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда.

6. Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?

8. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.

9. Семь мальчиков, в число которых входят Сергей и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Сергей должен находиться в конце ряда;

б) Сергей должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце ряда;

в) Сергей и Игорь должны стоять рядом.

     10. Одиннадцать футболистов школьной команды строятся перед началом

матча. Первым становится капитан, вторым – вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?

11. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, химия, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Сочетания

1. Имеется три предмета: карандаш, тетрадь и линейка. Сколькими способами из этих канцелярских принадлежностей можно выбрать 2 предмета?

способа.

2. В школьной столовой имеются помидоры, огурцы и лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях 2 различных вида овощей? Записать все сочетания овощей в составленных салатах.

3. Володя идёт на день может сделать подарки братьям?

4. В магазине продают кепки трёх цветов: белые, красные и синие. Наташа и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек?

5. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе?

6. В 9 «Г» классе 5 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

7. Учащимся  дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

8. В 9 «Г» классе учатся  16 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырёх мальчиков и трёх девочек. Сколькими способами можно это сделать?

9. В библиотеке Кате предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами она может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

10. В 9 «Б» классе учатся 22 учащихся, в 9 «В» - 19 учащихся, а в 9 «Г» - 26 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трёх учащихся из 9 «Б» класса, двух – из 9 «В» и одного – из 9 «Г». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

11. По списку в 9 «Г» классе 16 мальчиков и 10 девочек. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии. Что пару обязательно должны составить мальчик и девочка; б) без указанного условия?

12. По списку в 9 «Г» классе 16 мальчиков и 10 девочек. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Нужно выделить группу из трёх человек для посещения заболевшего одноклассника. Сколькими способами это можно сделать, если: а) все члены этой группы должны быть девочками; б) все члены этой группы должны быть мальчиками; в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика; г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик.

Подсчёт вариантов

1. Сколькими различными способами можно назначить двух ребят на

дежурство по столовой, если в классе 22 учащихся?

2. В шахматном турнире участвуют 9 старшеклассников. Каждый из них

сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

3. При встрече 8 друзей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

4. У Марины пять подруг: Наташа, Оля, Кристина, Ксения и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Сколько существует вариантов?

5. Учащиеся 9 «Г» класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 26 учащихся?

Разбиение на две группы

1. В списке класса для изучения английского языка 15 человек. Сколько существует вариантов присутствия (отсутствия) этих людей на занятии?

2. Имеется 6 карандашей шести разных цветов. Сколькими способами эти карандаши могут быть распределены между двумя школьниками?

3. Каждая из 5 подруг собирается вечером пойти либо в кино, либо на каток. Сколькими различными способами эти пять подруг смогли бы провести вечер?

4. У Антона шесть друзей. Он может пригласить в гости одного или нескольких из них. Определите общее число возможных вариантов.

Размещения

1. Из трёх стаканов сока – ананасового, брусничного и виноградного – Костя решил последовательно выпить два. Сколькими способами это можно сделать?

2. Сколькими способами могут быть заняты первое, второе и третье места (по одной команде на место) на соревнованиях по гимнастике, в которых участвуют 6 команд?

3. Из 26 учащихся класса надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

4. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

5. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?

6. Сколькими способами 6 девятиклассников, сдающих экзамен, могут занять места в кабинете, в котором стоит 15 столов?

7 Сколько команд участвовало в финале первенства города по хоккею, если каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника, причём всего было сыграно 30 игр?

8. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выбрать из класса команду из 4 учащихся для участия в олимпиаде по истории, литературе, русскому и английскому языкам?

9. Учащиеся 9 класса изучают 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 6 различных уроков?

Комбинированные задачи

1. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира: а) команду из четырёх человек; б) команду из четырёх человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой доске?

2. Из 20 вопросов к экзамену Саша 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то не знает. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) Сколько существует вариантов билетов?

б) Сколько из них тех, в которых Саша знает все вопросы?

в)  Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трёх типов?

г) Сколько из них тех, в которых Саша выучил большинство вопросов?

Задачи для самостоятельной работы. Решения и ответы

Правило умножения

1. В меню столовой предложено на выбор 5 первых, 8 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обедов, состоящих из одного первого, одного второго и одного третьего блюда, можно составить из предложенного меню?

Решение: Согласно правилу умножения таких обедов можно составить 584 = 160.

Ответ: 160 вариантов обедов.

2. Миша забыл вторую и последнюю цифру пятизначного номера телефона друга. Какое наибольшее число звонков предстоит сделать Мише, если он решил перепробовать комбинации всех забытых цифр, чтобы в результате дозвониться до друга?

Решение: Второй и последней цифрой могут быть все 10 цифр. По правилу умножения получаем 1010=100. Ответ: 100 звонков.

3. Девятиклассники Миша, Дима, Антон и Саша побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу четверо девятиклассников могут занять очередь для игры в настольный теннис?

Решение: Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым – девятиклассник, подбежавший последним. По правилу умножения у четверых ребят существует 4321=24 способа занять очередь. Ответ: 24 способа.

4. Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы?

Решение: По правилу умножения получаем 55=25 способов. Ответ: 25 способов.

5. Составляя расписание уроков на понедельник для 9 «Б» класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либо литературу, либо историю, либо географию. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока?

Решение: По правилу умножения получаем: 42=8 вариантов. Ответ: 8 вариантов.  

6. У Светланы три юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?
7. Решение: По правилу умножения получаем: 35=15.Ответ: 15 комбинаций.

Перестановки

1. Сколькими способами Дима и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой?

1 решение: Присвоим каждому месту за партой номер. Тогда Дима и Вова могут занять места за партой такими способами: 1. Дима. 2. Вова или 1. Вова.2. Дима. Других вариантов нет.

2 решение: Количество различных способов равно числу перестановок из 2 элементов: Р2 = 2! = 12 = 2 способа. Ответ: 2 способа.

2. Олеся, Оксана и Юля купили билеты на концерт симфонического оркестра на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколько существует способов размещения девочек на эти места?

Решение: Количество различных способов равно числу перестановок из 3 элементов: Р3 = 3! = 123 = 6 способов.      Ответ: 6 способов.

4. Из трёх стаканов сока – яблочного, сливового и абрикосового – Коля решил последовательно выпить два. Перечислите все варианты, которыми это можно сделать.

Ответ: 1) яблочный, сливовый; 2) сливовый, яблочный; 3) яблочный, абрикосовый; 4) абрикосовый, яблочный; 5) сливовый, абрикосовый;6) абрикосовый, сливовый.

4. Сергей, Игорь и Миша могут занять 1-е, 2-е и 3-е призовые места в соревнованиях по шахматам. Перечислить всевозможные последовательности из имён мальчиков, где порядковый номер в последовательности соответствует занятому мальчиком месту в соревнованиях. Подсчитать их количество.

Решение: Сначала выбираем одного на первое место, а двух других меняем местами, потом берём на первое место другого и т.д.: СИМ; СМИ; ИСМ; ИМС; МСИ; МИС. Всего 6 вариантов расположения.       Ответ: 6 вариантов.

5. У Влада на обед – первое, второе, третье и пирожное. Он обязательно начнёт с пирожного, а всё остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда.

Решение: После пирожного Влад может выбрать любое из трёх блюд, затем – из двух, и закончит оставшимся. Общее число возможных вариантов обеда: 321=6.   Ответ: 6.

6. Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?

Решение: Четыре друга могут занять 4 разных места Р4=4!=1234=24 различными способами. Ответ: 24 способа.

8. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Решение:  Три последних цифры телефонного номера могут быть расположены в одном из Р3=3!=123=6 возможных порядков, из которых только один верный. Ольга может сразу набрать верный вариант, может набрать его третьим, и т.д. Наибольшее число вариантов ей придётся набрать, если правильный вариант окажется последним, т.е. шестым. Ответ: 6 вариантов.

9. Семь мальчиков, в число которых входят Сергей и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Сергей должен находиться в конце ряда;

б) Сергей должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце ряда;

в) Сергей и Игорь должны стоять рядом.

Решение: а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Сергей находится в конце ряда). Число возможных комбинаций при этом равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих пред Сергеем: Р6=6!=123456=720.

б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Сергеем и Игорем: Р5=5!=12345=120.

в) Воспользуемся приёмом «склеивания» элементов. Пусть Сергей и Игорь стоят рядом в порядке СИ. Будем рассматривать эту пару как единый элемент, представляемый с другими пятью элементами. Число возможных комбинаций тогда будет Р6=6!=123456=720. пусть теперь Сергей и Игорь стоят рядом в порядке ИС. Тогда получим ещё Р6=6!=720 других комбинаций. Общее число комбинаций, в которых Сергей и Игорь стоят рядом (в любом порядке) равно 720+720=1440.

Ответ: а) 720;  б) 120;  в) 1440 комбинаций.

     10. Одиннадцать футболистов школьной команды строятся перед началом

матча. Первым становится капитан, вторым – вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?

Решение: После капитана и вратаря третий игрок может выбрать любое из 9 оставшихся мест, следующий – из 8, и т.д. Общее число способов построения по правилу умножения равно: 1987654321=362880, или 1 Р9=9!=362880.

Ответ: 362880.

11. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, химия, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Решение: Всего 6 уроков, из них два урока математики должны стоять рядом. «Склеиваем» два элемента (алгебра и геометрия) сначала в порядке АГ, затем в порядке ГА. При каждом варианте «склеивания» получаем: Р5=5!=12345=120 вариантов расписания. Общее число способов составить расписание равно 120+120=240.

Ответ: 240 способов.

Сочетания

1. Имеется три предмета: карандаш, тетрадь и линейка. Сколькими способами из этих канцелярских принадлежностей можно выбрать 2 предмета?

1 решение: Два предмета можно выбрать так: берём поочерёдно один предмет из ряда (кроме последнего) и добавляем к нему по одному предметы, следующие за ним в ряду: карандаш, тетрадь; карандаш, линейка; тетрадь, линейка. Получаем 3 различных варианта.

2 решение:  способа. Ответ: 3 способа.

2. В школьной столовой имеются помидоры, огурцы и лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях 2 различных вида овощей? Записать все сочетания овощей в составленных салатах.

Решение: Расположим данные овощи по порядку: помидоры, огурцы, лук. Запишем все сочетания овощей в салатах. Будем брать поочерёдно каждый овощ (кроме последнего) и добавлять к нему по одному, только из последующих, поскольку порядок выбора не важен: 1) помидоры, огурцы; 2) помидоры, лук; 3) огурцы, лук.

Ответ: 3 вида салатов.

3. Володя идёт на день может сделать подарки братьям?

Решение: По условию задачи предусмотрены два последовательных выбора: сначала Володя выбирает 2 мяча из трёх, имеющихся в магазине, а потом решает, какому из братьев-двойняшек подать каждый из купленных мячей. Два мяча из трёх можно выбрать тремя способами ( способа). После этого каждую выбранную пару можно подарить двумя способами ( способа) (порядок важен). Тогда по правилу умножения искомое число способов равно . Ответ: 6 способов.

4. В магазине продают кепки трёх цветов: белые, красные и синие. Наташа и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек?

Решение: В магазине продаются кепки трёх видов, поэтому девочки могут купить кепки одинаковых цветов, т.е. возможен выбор с повторением. Порядок выбора также важен и должен учитываться. Лена может сделать выбор  способами и Наташа также 3 способами. По теореме умножения получаем:  вариантов.

Ответ: 9 вариантов.

5. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе?

Решение: Количество сочетаний из 11 по 3 (порядок выбора не имеет значения) равно: . Ответ: 165 способов.

6. В 9 «Г» классе 5 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение: Выбираем 2 учащихся из 5, порядок выбора не имеет значения (оба выбранных пойдут на олимпиаду как полностью равноправные); количество способов выбора равно числу сочетаний из 5 по 2: . Ответ: 10 способов.

7. Учащимся  дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка:  способов.

Ответ: 210 способов.

8. В 9 «Г» классе учатся  16 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырёх мальчиков и трёх девочек. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: Нужно сделать два выбора: 4 мальчиков из 16 (всего способов ) и 3 девочек из 10 (всего способов ); порядок выбора значения не имеет (все идущие на уборку равноправные). Каждый вариант выбора мальчиков может сочетаться с каждым выбором девочек, поэтому по правилу умножения общее число способов выбора равно: = способов. Ответ: 218400 способов.

9. В библиотеке Кате предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами она может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Решение: Нужно сделать два выбора: 3 книги из 10 (способов) и 2 журнала из 4 (способов); порядок выбора не имеет значения. Каждый выбор книг может сочетаться с каждым выбором журналов, поэтому общее число способов выбора по правилу умножения равно: =. Ответ: 720 способов.

10. В 9 «Б» классе учатся 22 учащихся, в 9 «В» - 19 учащихся, а в 9 «Г» - 26 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трёх учащихся из 9 «Б» класса, двух – из 9 «В» и одного – из 9 «Г». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из первой совокупности () может сочетаться с каждым вариантом выбора из второй () и с каждым вариантом выбора третьей (); по правилу умножения получаем: =способов выбора учащихся.

Ответ: 32522490 способов.

11. По списку в 9 «Г» классе 16 мальчиков и 10 девочек. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии. Что пару обязательно должны составить мальчик и девочка; б) без указанного условия?

Решение: а) Выбираем 1 мальчика из 16 и 1 девочку из 10; общее число способов выбора пары: . б) Выбрать 2 дежурных из 16+10=26 учащихся класса (без учёта порядка) можно:   способами.

Ответ: а) 160; б) 325.

12. По списку в 9 «Г» классе 16 мальчиков и 10 девочек. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Нужно выделить группу из трёх человек для посещения заболевшего одноклассника. Сколькими способами это можно сделать, если: а) все члены этой группы должны быть девочками; б) все члены этой группы должны быть мальчиками; в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика; г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик.

Решение: а) Выбрать 3 девочек из 10 имеющихся без учёта порядка можно

различными способами. б) Выбрать 3 мальчиков из 16

рождения к одноклассникам, двойняшкам Диме и Ивану. Он хочет подарить каждому из них по мячу. В магазине остались для продажи только 3 мяча разных цветов: белый, чёрный и пятнистый. Сколькими способами, купив 2 мяча, Володя

имеющихся,  без учёта порядка, можно  различными способами. в) Выбрать 1 девочку из 10, а затем 2 мальчика из 16 без учёта порядка можно различными способами. г) Выбрать 2 девочек из 10, а затем 1 мальчика из 16 без учёта порядка можно  различными способами.

Ответ: а) 120; б) 560; в) 1200; г) 720.

Подсчёт вариантов

1. Сколькими различными способами можно назначить двух ребят на

дежурство по столовой, если в классе 22 учащихся?

Решение: Назначая двух дежурных по столовой, мы не учитываем порядок выбора пары из учащихся данного класса. Так как в классе 22 учащихся, то первого дежурного можно выбрать из 22 учащихся, а второго – из 21 учащегося. Так как порядок выбора не учитывается, то получаем 2221:2=231 способ. Ответ: 231 способ

2. В шахматном турнире участвуют 9 старшеклассников. Каждый из них

сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

Решение: Поскольку каждая пара участников играла между собой только один раз, порядок выбора не имеет значения. Выбрать первого участника партии можно 9 способами, а второго – 8 оставшимися способами; по теореме умножения всего можно образовать 98=72 пары, но в это число каждая пара входит дважды: сначала Дроздов-Гончаров, затем Гончаров-Дроздов. Поскольку порядок выбора не имеет значения, то общее количество партий равно 98:2=36 партий. Ответ: 36 партий.

3. При встрече 8 друзей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Решение: Порядок выбора не имеет значения: если Агапеев пожимает руку Зайцеву, то одновременно и Зайцев пожимает руку Агапееву, поэтому общее количество рукопожатий (пар) равно 87:2=28. Ответ: 28 рукопожатий.

4. У Марины пять подруг: Наташа, Оля, Кристина, Ксения и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Сколько существует вариантов?

Решение: По условию ясно, что порядок выбора значения не имеет. По правилу умножения всего 54=20 вариантов выбора, но так как порядок выбора не имеет значения, то получаем: 20:2=10 вариантов. Ответ: 10 вариантов.

5. Учащиеся 9 «Г» класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 26 учащихся?

Решение: считаем, что в каждой паре происходит передача одновременно двух фотографий, т.е. учащиеся в паре равноправны, неразличимы. Тогда при образовании пар порядок выбора не имеет значения: 2625:2=325. Ответ: 325 фотографий.

Разбиение на две группы

1. В списке класса для изучения английского языка 15 человек. Сколько существует вариантов присутствия (отсутствия) этих людей на занятии?

Решение: Задачу решаем разбиением на две группы: присутствующие и отсутствующие. Разбиение на группы однозначно определяется составом элементов в одной из групп (не попавшие в первую группу элементы автоматически образуют вторую группу). Подсчитаем все варианты составления одной группы. Согласно правилу умножения комбинаций (вариантов) из «присутствующих» или «отсутствующих»

 будет 215. Ответ: 215= 32768 вариантов

2. Имеется 6 карандашей шести разных цветов. Сколькими способами эти карандаши могут быть распределены между двумя школьниками?

Решение: Задача сводится к подсчёту числа всевозможных способов разбиения шести различных элементов (карандашей) на две группы. Это число равно 26 = 64.

Ответ: 64 способами.

3. Каждая из 5 подруг собирается вечером пойти либо в кино, либо на каток. Сколькими различными способами эти пять подруг смогли бы провести вечер?

Решение:  Подсчитаем все варианты составления одной группы. Согласно правилу умножения комбинаций (вариантов) из «посетивших кинотеатр» или «посетивших каток» будет 25. Ответ: 25= 32 варианта.

4. У Антона шесть друзей. Он может пригласить в гости одного или нескольких из них. Определите общее число возможных вариантов.

Решение: Разобьём множество из 6 элементов на две группы: приглашённых и неприглашённых. Расположим всех друзей в ряд, и под именем каждого друга будем писать 0, если этот друг не приглашён, и 1, если он приглашен. Получим шестизначные наборы нулей и единиц. Общее количество таких наборов по правилу умножения равно: 26=64, но среди этих наборов есть один, состоящий из 6 нулей, т.е. никто не приглашён. Этот набор нужно исключить (по условию задачи число приглашённых не менее одного), в результате получим: 64-1=63. Ответ: 63 варианта.

Размещения

1. Из трёх стаканов сока – ананасового, брусничного и виноградного – Костя решил последовательно выпить два. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Это задача о выборе двух элементов из трёх с учётом порядка выбора. Число способов равно   способов. Ответ: 6 способов.

2. Сколькими способами могут быть заняты первое, второе и третье места (по одной команде на место) на соревнованиях по гимнастике, в которых участвуют 6 команд?

Решение: Это задача о выборе трёх элементов из шести с учётом порядка выбора. . Ответ: 120 способов.

3. Из 26 учащихся класса надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Из 26 учащихся выбираем 2, причём порядок выбора имеет значение. Количество способов выбора равно . Ответ:  650 способов.

5. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка:  способов.

Ответ: 5040 способов.

6. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?

Решение: Выбираем трёх призёров из 13 участников конкурса с учётом порядка (кому какая премия):  способов. Ответ: 1716 способов.

7. Сколькими способами 6 девятиклассников, сдающих экзамен, могут занять места в кабинете, в котором стоит 15 столов?

Решение: Выбираем 6 столов для девятиклассников из 15 имеющихся: порядок выбора учитывается (кто сидит у окна, кто около преподавателя, и т.п.):

 способов. Ответ: 3603600 способов.

8. Сколько команд участвовало в финале первенства города по хоккею, если каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника, причём всего было сыграно 30 игр?

Решение: Поскольку каждая пара команд сыграла между собой по две игры (на своём и чужом поле), то выбор пары осуществляется с учётом порядка, т.е. составляются всевозможные размещения из n по 2. По условию задачи =30, отсюда n(n-1) = 65, n = 6.

Ответ: 6 команд.

9. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выбрать из класса команду из 4 учащихся для участия в олимпиаде по истории, литературе, русскому и английскому языкам?

 Решение: Искомые команды будут отличаться между собой или учащимися, или их порядком, который указывает, на какую олимпиаду пойдёт ученик. Поэтому искомое число равно числу размещений из 30 по 4 и по формуле получаем:  способов. Ответ: 657720 способов.

10. Учащиеся 9 класса изучают 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 6 различных уроков?

Решение: Выбираем 6 предметов из 14 имеющихся с учётом выбора предметов. Получаем  способов. Ответ: 2162160 способов.

Комбинированные задачи

1. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира: а) команду из четырёх человек; б) команду из четырёх человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой доске?

Решение: а) Выбираем 4 шахматистов из 16 без указания порядка; количество способов . б) Выбираем 4 шахматистов из 16 с указанием порядка их расположения в команде; количество способов

Ответ: а) 1820 способов; б) 43680 способов.

2. Из 20 вопросов к экзамену Саша 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то не знает. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) Сколько существует вариантов билетов?

б) Сколько из них тех, в которых Саша знает все вопросы?

в)  Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трёх типов?

г) Сколько из них тех, в которых Саша выучил большинство вопросов?

Решение: а) для составления билета выбираются 3 вопроса из 20 имеющихся, при этом порядок выбора значения не имеет. Общее число вариантов билетов равно: .

б) Саша выучил 12 вопросов; из этих вопросов можно составить  разных билетов.

в) Количество билетов, в которых есть вопросы всех трёх типов равно: 12 вариантов выбора вопроса, который выучил, умножить на 5 вариантов выбора вопроса, который совсем не смотрел, и умножить на 20-12-5=3 варианта выбора вопроса, в котором что-то знает, всего 1253=180 разных билетов.

г) Билеты, в которых Саша выучил большинство вопросов, это билеты, в которых он знает два или три вопроса. Билеты, в которых Саша выучил все три вопроса – 220 (см.пункт б). Найдём сколько есть билетов, в которых Саша выучил 2 вопроса: выбрать 2 вопроса из 12 выученных можно  разными способами; третий вопрос можно выбрать из 8 остальных вопросов (8 вариантов выбора). По правилу умножения количество билетов, в которых Саша выучил два вопроса равно . Таким образом, количество билетов, в которых Саша выучил большинство вопросов, по комбинаторному правилу сложения равно 220+528=748.

Ответ: а) 1140; б) 220; в) 180; г) 748.