Комбинаторика на государственной итоговой аттестации
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему
Комбинаторика на государственной итоговой аттестации
Введение
В соответствии с Федеральным компонентом образовательного стандарта по математике одной из обязательных содержательных линий основного общего и среднего (полного) образования является линия «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Учитывая, что стохастическое содержание не являлось обязательным при реализации программ по математике предыдущего поколения и прежде не включалось в учебники по математике, перед учителями математики остро встает проблема расширения и углубления знаний по данной теме.
Особенно насущной эта проблема становится в связи с ожидаемым с 2011 года включением заданий вероятностно-статической линии в контрольно-измерительные материалы экзамена при проведении государственной (итоговой) аттестации по алгебре выпускников основной школы.
Цель работы: дать полезные методические рекомендации для подготовки к решению задач по комбинаторике нагосударственной итоговой аттестации.
Исходя из этого, можно выделить следующие задачи, реализация которых позволяет достичь поставленной цели.
- Определить содержание материала для повторения по комбинаторике.
- Определить последовательность повторения.
- Разработать методику повторения комбинаторики учащимися.
- Подобрать задачи для систематизации знаний, для самостоятельного решения.
Ожидаемый результат работы
Выпускник должен научиться:
- Решать простейшие комбинаторные задачи.
- Находить количество вариантов комбинаций элементов из заданной совокупности по заданным условиям.
- Использовать простейшие комбинаторные схемы для вычисления вероятностей событий в классической модели.
- Применять основные комбинаторные идеи для моделирования реальных процессов и явлений.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 495.18 КБ |
![]() | 173.85 КБ |
![]() | 288.32 КБ |
![]() | 32.29 КБ |
![]() | 61.26 КБ |
![]() | 61.26 КБ |
![]() | 59.17 КБ |
![]() | 108.17 КБ |
![]() | 1.15 МБ |
![]() | 1.15 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задачи урока Повторить решение комбинаторных задачи, которые сводятся к подсчету возможных вариантов, с помощью дерева вариантов, при помощи правил умножения и сложения. Развивать логическое мышление, память, внимание, умение сравнивать и обобщать. Развивать умения работать в группе, формировать чувство ответственности за принятое решение. 2
Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Термин « комбинаторика » происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Комбинаторика - раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов в соответствии с данными условиями. 3
В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей и т.д . Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.) В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучал, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. 4
Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика». Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716) Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях , циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов, положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку—топологию, которая изучает общие свойства пространства и фигур. 5
Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. Сочинение Я. Бернулли превзошло работы его предшественников и современников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью не только как серьёзного научного трактата, но и как учебно-справочного издания. Комбинаторика — один из разделов дискретной математики, который приобрел большое значение в связи с использованием его в теории вероятностей, математической логике, теории чисел, вычислительной технике, кибернетике. 6
Ответы на вопросы теста При выборе подходящего комплекта одежды мы пользуемся: сочетанием. Комбинаторика изучает: способы решения задач на различные комбинации объектов. Множество – это: совокупность объектов произвольного рода. Подсчитывая число маршрутов следования из пункта А в пункт В через пункт С, можно воспользоваться правилом: умножения . Для вычисления количества всевозможных пар вашей группы необходимо знать формулы: сочетаний. 5! – это: сумма чисел от 1 до 5, 5 . 4 . 3 . 2 . 1 =120. Количество способов занять очередь на экзамен n учащимися определяются: перестановкой, Р = n !. Комбинаторные задачи встречаются в профессиональной деятельности: парикмахера-визажиста , диспетчера автовокзала, завуча школы, экономиста, повара. 7
2. На завтрак в школьной столовой любой ученик может выбрать булочку, ватрушку, кекс, а запить их он может соком, чаем или компотом. Сколько вариантов завтрака предлагается в столовой? сок булочка сок ватрушка сок кекс ч ай булочка чай ватрушка чай кекс компот булочка компот ватрушка компот кекс 9 вариантов завтрака 8
9 вариантов завтрака 9
Сколько различных двухзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9 если цифры в этих числах могут повторяться? 22 27 29 72 77 79 92 97 99 9 двухзначных чисел 2 7 9 9 7 2 2 9 7 9 7 2 * 10
5. При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? Каждому приятелю даем номер от 1 до 8, а рукопожатия закодируем: например число 24 означает что 2-ой приятель пожал руку 4-му. Число 35 и 53 означают одно и то же рукопожатие, и брать будем меньшее из них. 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 34, 35, 36, 37, 38, 45, 46, 47, 48, 56, 57, 58, 67, 68, 78. получилось 1+2+3+4+5+6+7=28 рукопожатий. Ответ: 28 11
6. Из класса нужно выделить одного дежурного , мальчика или девочку. Сколько существует способов для выбора дежурного, если в классе 22 девочки и 18 мальчиков? Выбрать одну девочку из 22 можем 22-мя способами, а одного мальчика из 18 можно 18-тью способами. Тогда выбрать одного дежурного мальчика или девочку можно18+22способами . Ответ : 40 7. Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать капитана команды для математических соревнований и его заместителя? На роль капитана может быть выбран любой из 30 учащихся, его заместитель – любой из 29оставшихся 30 ∙29 = 870 способов. Ответ: 870 8. Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде? Нам не важно, кто капитан, а кто заместитель, нам нужны всего лишь два участника, поэтому получаем, что у нас каждая пара учащихся в произведении повторяется два раза. ( 30∙29): 2 Ответ : 435 12
Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 4, 3, 6, при условии ,что цифры в числе не повторяются. 18 чисел 13
Ответить на вопросы Что изучает комбинаторика? Какие способы решения комбинаторных задач вы знаете? Что такое дерево возможных вариантов? Когда применить при решении задач правило сложения, когда правило умножения? 14
Подведём итоги… Домашнее задание. Решить задачи из сборника Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова "Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе" стр. 221-222. Повторить формулы для различных видов комбинаций . 15
Полезные ссылки http://combinatorica.narod.ru/ http://mmmf.math.msu.su/ http://portfolio.1september.ru / 16
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели урока: Повторить и закрепить правила и формулы комбинаторики. Способствовать выработке навыков и умений при решении задач на нахождение количества различных комбинаций. Развивать логическое мышление учащихся. 2
Проверка домашнего задания № задачи Ответ 1) Ответ 2) 1 440 551 2 6 3 3 150 130 4 720 210 5 12 12 6 870 42 7 48 48 8 24 40 3
Вариант 1 Вариант 2 1. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3. одна и та же цифра в числе повторяется. 1. Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9, если цифры в этих числах могут повторяться. 2. Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы? 2. В меню столовой предложено на выбор 5 первых, 8 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обедов, первого, второго, третьего блюда, можно составить из предложенного меню? 3. В коробке лежат четыре шара: белый, красный, зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует способов сделать это? 3. В коробке лежат четыре шара: два белых, красный и зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует различных способов вынуть два шара разного цвета? Самостоятельная работа 4
Вариант 1 Вариант 2 1. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 1,3,5. одна и та же цифра в числе повторяется? По дереву возможных вариантов. Ответ: 6 1. Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 4, 6, если цифры в этих числах могут повторяться. По дереву возможных вариантов. Ответ : 6 2. Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы? По правилу умножения 5 5=25 способов Ответ: 25 2. В меню столовой предложено на выбор 5 первых, 8 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обедов, первого, второго, третьего блюда, можно составить из предложенного меню? По правилу умножения 5 8 4 = 160 обедов Ответ: 160 3. В коробке лежат четыре шара: белый, красный, зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует способов сделать это? Бк, бс, бз, кс, кз, сз. Ответ: 6 3. В коробке лежат четыре шара: два белых, красный и зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует различных способов вынуть два шара разного цвета? Бб, бк, бз, кз. Ответ: 3 Проверка самостоятельной работы 5
Устные упражнения Вычислите: 2! 4! 5! 5!/4! 5!/3! Важен ли порядок в следующих выборках: а) капитан волейбольной команды и его заместитель; б) 6 человек останутся убирать класс; в) 2 серии из просмотра нового многосерийного фильма; =2 =24 =120 =2 =24 6
Виды комбинаций Без повторений Перестановки П ере становками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n P n = n ! Размещения Р азмещениями из n различных элементов по k элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по k элементов Сочетания С очетаниями из n элементов по k элементов называется любое подмножество , которое содержит k различных элементов данного множества Формулы комбинаторики 7
Решение задач 3. В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними? 4. В турнире участвуют десять человек. Сколькими способами могут быть распределены места между ними? 4 . 3 . 2 . 1 = 24. Р = 4! Ответ: 24. 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3 628 880 10! = 3 628 880 Ответ: 3 628 880 8
Решение задач 5. Сколько рукопожатий делают юноши каждое утро, учитывая, что их 7 человек? 7· 6 : 2 = 21 Ответ: 21 рукопожатие 6 . Девочки нашего класса дежурят в столовой. Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурных из 5 девочек ? Ответ : 10 вариантов 7 . Девочки нашего класса решили обменяться фотографиями. Сколько нужно сделать фотографий, учитывая, что их 5 человек ? 4 · 5 = 20 Ответ : 20 вариантов 5. Сколько рукопожатий делают юноши каждое утро, учитывая, что их 7 человек? 6. Девочки нашего класса дежурят в столовой. Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурных из 5 девочек? 7. Девочки нашего класса решили обменяться фотографиями. Сколько нужно сделать фотографий, учитывая, что их 5 человек? 9
Решение задач 8 . Составляя расписание на понедельник в 7 классе, завуч может поставить 6 уроков: алгебра, физика, биология, труд, история, физкультура. Сколько существует вариантов расписания ? 10
Мне очень понравилась задача … Оцените степень вашего усвоения материала: а) усвоил полностью, могу применить; б) усвоил полностью, но затрудняюсь в применении; в) не усвоил. 11
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели урока: Подвести итог проделанной работе, решить задачи с применением всех правил и формул. Проверить осознанность усвоения материала. Развитие навыков комбинаторного мышления. Воспитание творческого подхода к решению задач. 2
3 Проверка домашнего задания Условие задачи Решение задачи Сколькими способами 9 учащихся могут встать в очередь в школьном буфете? Р 9 =9 !=1 2 3 4 5 6 7 8 9=362880. Ответ : 362880 способов Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе? Количество сочетаний из 11 по 3 ( порядок выбора не имеет значения ). Ответ : 165 способов. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции100м? Выбор из 8 по 3 с учётом порядка. Ответ : 336 способов.
4 Вид комбинации Формула Характерный пример Перестановка P n = n ! Вся совокупность трёхзначных номеров Сочетание Вся совокупность всех десятичных номеров, в каждом из которых нет повторений цифр Размещение Всевозможные варианты состава группы в количестве 3-х человек из коллектива, в которых 10 человек
5 1. Если на одной полке книжного шкафа стоит 30 различных книг, а на другой40 различных книг (и нет таких, как на первой полке), то выбрать одну книгу из стоящих на этих полках можно:… 2.В конференции участвовало 30 человек. Каждый участник с каждым обменялся визитной карточкой. Сколько всего понадобится карточек? 30+40 = 70 способов Ответ: 70 способов Каждый из 30 участников конференции раздал 29 карточек. Всего было роздано 30 . 29 = 870 карточек. Ответ:870 Решение задач
6 Сочетания Размещения 3. Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек? { Вася, Петя} = {Петя, Вася } - – одно и то же. Порядок неважен. Сочетание из пяти по два. 4. Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями? { Вася, Петя} {Петя, Вася } - – разные обмены. Порядок важен. Размещение из пяти по два. Решение задач 3. Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек? 4. Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями?
7 Сочетания Размещения 5 . Сколько аккордов можно сыграть с помощью трех клавиш из семи? { до, ми, соль} = {до, соль, ми} – одно и то же. Порядок неважен, значит это подмножество по три элемента из семи, значит это сочетание из семи по три. 6. Сколько мелодий (трезвучий, проигрышей) можно сыграть с помощью трех клавиш из семи? { до, ми, соль} {до, соль, ми} – разные мелодии. Порядок важен, значит это последовательность по три элемента из семи - размещение из семи по три. Решение задач 5 . Сколько аккордов можно сыграть с помощью трех клавиш из семи? 6. Сколько мелодий (трезвучий, проигрышей) можно сыграть с помощью трех клавиш из семи?
Сколькими способами 5 ламп можно расположить в круговой гирлянде? Сколькими способами пять часовых можно расположить у основания пятиугольной пирамиды по ее углам? Сколькими способами n человек могут сесть на одной скамейке? Сколько различных упорядоченных наборов мы можем составить, имея некоторое число элементов? 8 Решение задач К аждый из таких упорядоченных наборов, есть перестановка.
9 8.Команда из 6 человек готовится к выполнению на брусьях . Сколькими способами можно установить их очерёдность, если А ) Ира должна выступить первой. Б ) Ира должна выступить первой, а Зоя последней. В) Ира и Зоя должны выступать одна за другой. Г) Ира должна выступить первой или второй. Решение задачи: А) Ира выступает первой, «фиксируем» первое место. Перестановка из 5 элементов Р 5 =5!. Б) «Фиксируем» первое место и последнее. Перестановка из 4 элементов Р 4 =4!. В) «Склеиваем» 2 элемента, 1 место –Ира, 2 место –Зоя, перестановка из 5 элементов Р 5 =5!, 1 место –Зоя, 2 место - Ира, Р 5 =5!. По правилу суммы 5! + 5! = 120+ 120 =240. Г) Ира первой 5!, Ира второй 5!. По правилу суммы имеем 120+ 120= 240. Ответ: 120, 24, 240, 240. Решение задач
10 9 . Вороне как-то Бог послал кусочек сыра, брынзы , колбасы, сухарика, шоколада. «На ель ворона взгромоздясь , позавтракать совсем уж собралась, да призадумалась»: а) если есть кусочки по очереди, из скольких вариантов придётся выбирать; б) сколько получится «бутербродов» из двух кусочков; в) если первым везде оставить любимый сыр в «бутерброде», а вторым остальные, то сколько будет вариантов бутербродов; г) сколько получится вариантов, если какой-то кусочек всё-таки бросить лисе, а потом ответить на вопрос пункта а )? Рассмотреть все возможные случаи. Решение задач
11 Вороне Бог послал кусочки 5 разных видов. а) Есть все кусочки по очереди - это, значит, выбирать только порядок их расположения, т. е. образовывать разные перестановки из 5 элементов. Р 5 = 5! = 120. б) Делать бутерброды из двух кусочков - это выбирать разные пары из 5 данных кусочков; при этом порядок выбора не важен; в) Если первым сыр, то вторым - любой из 4- х кусочков. По правилу произведения 1 . 4 = 4. г) Если бросить Лисе кусочек, то останутся 4 кусочка, которые можно съесть одним из Р 4 = 4! = 24 способов (меняется только по рядок поедания). Но Лисе можно бросить любой из 5 имеющихся кусочков, при этом в каждом случае будут оставаться 4 разных на бора кусочков, каждый из которых можно съесть 24 способами. Общее число вариантов по правилу умножения : 5 ·Р 4 = 5 ·24= 120. Ответ : а) 120; б) 10; в) 4; г)120. Решение задач
Домашнее задание. Решить задачи из сборника Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова "Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе" стр. 226 - 227. 13
Предварительный просмотр:
ПРИЛОЖЕНИЕ № 3
Конспект урока №1.
Предмет: математика.
Тип урока: урок комплексного применения знаний.
Тема: решение комбинаторных задач.
Продолжительность: 1 урок - 45 минут.
Класс: 9.
Цели урока:
- Повторить решение комбинаторных задачи, которые сводятся к подсчету возможных вариантов, с помощью дерева вариантов, при помощи правил умножения и сложения.
- Развивать логическое мышление, память, внимание, умение сравнивать и обобщать.
- Развивать умения работать в группе, формировать чувство ответственности за принятое решение.
Оборудование: ПК или ноутбук, проектор, экран.
Программное обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку.
Дидактический материал: презентация урока (прил. диск), карточки (приложение).
Общие рекомендации к проведению урока.
Для организации занятия целесообразно использовать групповую форму работы, В зависимости от общего количества учащихся, для оптимальной работы, в составе группы должно быть не более 5 человек. Заранее необходимо договориться о правилах работы в группе (их устанавливает учитель). Уровень учащихся в группе должен быть разнородным. Это позволяет "сильным" ученикам учиться оказывать помощь, консультировать, оценивать других ребят. "Слабым" - не только повысить уровень знаний, умений, навыков, но и научиться принимать помощь, рассуждать, высказывать свою точку зрения. Оценивание в группе должно быть трехсторонним: учитель - самооценка - взаимооценка. Иногда полезно оценить даже идею решения задачи - это стимулирует у ребят желание мыслить.
План урока:
№ | Этап урока | № слайдов | Содержание | Время (мин) |
1 | Организационный момент | 1 – 2 | Нацелить учащихся на урок | 2 |
2 | Активизация познавательной деятельности | 3 - 6 | Историческая справка | 5 |
3 | Проверка знаний теоретического материала | 7 | Ответить на вопросы теста | 8 |
4 | Тренировочные упражнения | 8 – 13 | Формировать умение строить схему-дерево возможных вариантов, использовать правило умножения и сложения | 22 |
5 | Подведение итогов урока | 14 | Обобщить теоретические сведения, повторяемые на уроке | 5 |
6 | Сообщение домашнего задания | 15 - 16 | Разъяснить содержание домашнего задания | 3 |
Ход урока.
1. Организационный момент, постановка целей и задач урока.
2. Активизация познавательной деятельности.
Историческая справка (дается учащимися, если есть возможность подготовить их заранее), или организуется собеседование учителя с учащимися.
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать». Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике, теории вероятностей и других областях знаний.
3. Проверка знаний теоретического материала.
Ответить на вопросы теста (тесты раздаются группам, учащиеся самостоятельно выбирают и подчеркивают верные варианты ответа; проверка – используя презентацию).
- При выборе подходящего комплекта одежды мы пользуемся: сочетанием, перебором, пересечением множеств.
- Комбинаторика изучает: деятельность комбинатов бытового обслуживания, способы пошива комбинезонов, способы решения задач на различные комбинации объектов.
- Множество - это: совокупность объектов произвольного рода, умножение чисел, большое количество предметов.
- Подсчитывая число маршрутов следования из пункта А в пункт В через пункт С, можно воспользоваться правилом: сложения, умножения, возведения в степень.
- Для вычисления количества всевозможных пар вашей группы необходимо знать формулы: сочетаний, сокращенного умножения, теорему Пифагора.
- 5! - это: сумма чисел от 1 до 5, квадрат числа 5, произведение натуральных чисел от 1 до 5 (вычислите).
- Количество способов занять очередь на экзамен n учащимися определяются: перестановкой, переэкзаменовкой, экзаменационной комиссией (как?).
- Комбинаторные задачи встречаются в профессиональной деятельности: парикмахера-визажиста, диспетчера автовокзала, завуча школы, экономиста, повара (добавьте свой пример).
4. Тренировочные упражнения.
Упражнения (руководитель группы выбирает случайным образом карточки с заданиями, количество карточек определяется количеством групп, временем, количеством учащихся в группе; желательно, чтобы карточку получил каждый член группы). Группы решают задачи разными способами и предлагают свои решения классу, обсуждаются достоинства и недостатки, решения оформляются в тетрадях, на доске, проверяются по готовым решениям.
Комментарии к решению задач приведены в различных вариантах, выбор зависит от уровня подготовленности учащихся. Одни задачи можно решить устно, другие решить различными способам, оформив решение в тетрадях. После обсуждения решений в группах провести консультации по содержанию, защите решений задач и оформлению работ.
Задачи на карточках для учащихся | Возможные решения задачи. Ответы | Комментарии учителя |
1. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол? | Необходимо перебрать всевозможные пары мальчиков Ответ: 3 | В задачах, не учитывая порядка перебора не сложно перечислить все возможные варианты, так как их не так много, но часто при переборе возможных вариантов их может быть столько, что сложно оценить все ли возможные решения мы учли и не пропустили ли хотя бы одно из них. В этом случае необходимо упорядочить процедуру перебора, то есть перебирать возможные варианты в некотором порядке, определенном заранее, который позволяет не допускать повторений решений и пропускать возможные решения. Очень удобно процесс перебора осуществлять путем построения специальной схемы, которая называется дерево возможных вариантов. Дерево помогает увидеть путь решения, учесть все варианты и избежать повторений. Нужно обратить внимание, что дерево возможных вариантов позволяет нам подсчитывать упорядоченные наборы. |
2. На завтрак в школьной столовой любой ученик может выбрать булочку, ватрушку, кекс, а запить их он может соком, чаем или компотом. Сколько вариантов завтрака предлагается в столовой? | Можно решить задачу, используя таблицу. Можно построить дерево возможных вариантов. Ответ: 9 | |
3. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3. одна и та же цифра в числе повторяется. | Можно выписать возможные двузначные числа, расположить их в порядке возрастания, что позволит нам не пропускать числа и не повторяться. Ответ на второй вопрос хорошо просматривается по дереву возможных вариантов. Ответ: 6 | |
4. Сколько различных двухзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9, если цифры в этих числах могут повторяться. | Построим для этой задачи дерево возможных вариантов. Ответ: 6 | |
5. При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? | Каждому приятелю даем номер от 1 до 8, а рукопожатия закодируем: например число 24 означает что 2-ой приятель пожал руку 4-му. Число 35 и 53 означают одно и то же рукопожатие, и брать будем меньшее из них. 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 34, 35, 36, 37, 38, 45, 46, 47, 48, 56, 57, 58, 67, 68, 78. получилось 1+2+3+4+5+6+7=28 рукопожатий. Ответ: 28 Можно построить дерево возможных вариантов. | Довольно сложно перебирать все возможные варианты и не запутаться. Введя определенные обозначения - кодирование, решение будет очень легко представить. Для подсчета вариантов мы использовали здесь правило суммы, которое можно сформулировать так: если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить п способами, а другое – m способами, то какое-либо одно из них можно выполнить n+m способами. В примере действия исключают друг друга, так как мы должны выбрать либо мальчика из одного множества, либо девочку из другого. |
6. Из класса нужно выделить одного дежурного, мальчика или девочку. Сколько существует способов для выбора дежурного, если в классе 22 девочки и 18 мальчиков? | Выбрать одну девочку из 22 можем 22-мя способами, а одного мальчика из 18 можно 18-тью способами. Тогда выбрать одного дежурного мальчика или девочку можно (18+22) способами. Ответ: 40 | |
7. Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать капитана команды для математи-ческих соревнований и его заместителя? | На роль капитана может быть выбран любой из 30 учащихся, а его заместитель – любой из 29 оставшихся учеников. Таким образом, получаем 30 ∙ 29 = 870 способов. Ответ: 870 | Правило умножения: пусть необходимо выполнить к независимых действий, если первое действие мы можем выполнить п1 способами, после чего второе действие можем выполнить п2 способами и т.д. до k-го действия, которое можно выполнить пk способами, тогда выполнить все k действия в указанном порядке можно п1∙ п2∙…∙ пk способами. Применяя правило умножения, мы учитываем порядок действий. Правило умножения применяется для подсчета упорядоченных наборов. |
8. Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде? | Нам не важно, кто капитан, а кто заместитель, нам нужны всего лишь два участника, поэтому получаем, что у нас каждая пара учащихся в произведении повторяется два раза. Поэтому ответом для второй задачи будет (30 ∙ 29) : 2. Ответ: 435 | |
9. Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 4, 3, 6, при условии, что цифры в числе не повторяются? | Можно построить дерево возможных вариантов. Необходимо помнить, что нуль не может быть первой цифрой в числе. 4 . 4 . 3 = 48. Ответ: 48 |
5. Подведение итогов урока.
Ответить на вопросы: Что изучает комбинаторика? Какие способы решения комбинаторных задач вы знаете? Что такое дерево возможных вариантов? Когда применить при решении задач правило сложения, когда правило умножения?
Оценивание учащихся проводится по количеству баллов, полученных на уроке, с учетом мнения руководителя группы, членов группы и учителя.
6. Домашнее задание.
Решить задачи из сборника Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова "Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе" стр. 221-222.
Повторить формулы для различных видов комбинаций.
Используется мультимедийная презентация, в которой сохранена структура занятия. В презентации имеется приложение, состоящее из исторической справки и шпаргалки для учащихся, испытывающих затруднения при решении задач. В конце занятия показать учащимся, где они могут почерпнуть материал по интересующим их темам курса комбинаторики.
Приложение к уроку №1
Карточки для групповой и индивидуальной работы
Ответить на вопросы теста
|
Задачи для учащихся |
1. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол? |
2. На завтрак в школьной столовой любой ученик может выбрать булочку, ватрушку, кекс, а запить их он может соком, чаем или компотом. Сколько вариантов завтрака предлагается в столовой? |
3. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3. одна и та же цифра в числе повторяется. |
4. Сколько различных двухзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9, если цифры в этих числах могут повторяться. |
5. При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? |
6. Из класса нужно выделить одного дежурного, мальчика или девочку. Сколько существует способов для выбора дежурного, если в классе 22 девочки и 18 мальчиков? |
7. Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать капитана команды для математических соревнований и его заместителя? |
8. Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде? |
9. Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 4, 3, 6, при условии, что цифры в числе не повторяются? |
Предварительный просмотр:
ПРИЛОЖЕНИЕ №4
Конспект урока № 2.
Предмет: математика.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Тема: решение комбинаторных задач
Продолжительность: 1 урок - 45 минут.
Класс: 9 класс.
Цели урока:
- Повторить и закрепить правила и формулы комбинаторики.
- Способствовать выработке навыков и умений при решении задач на нахождение количества различных комбинаций.
- Развивать логическое мышление учащихся.
Оборудование: ПК или ноутбук, проектор, экран.
Программное обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку.
Дидактический материал: презентация урока (прил. диск), карточки (приложение к уроку).
План урока:
№ | Этап урока | № слайдов | Содержание | Время (мин) |
1 | Организационный момент | 1 – 2 | Нацелить учащихся на урок | 1 |
2 | Проверка домашнего задания | 3 | Коррекция ошибок | 5 |
3 | Самостоятельная работа | 4 - 5 | Проверить осознанность усвоения решать простейшие задачи | 12 |
4 | Тренировочные упражнения | 6 - 10 | Формировать умение решать задачи, используя формулы комбинаторики | 20 |
5 | Подведение итогов урока | 11 | Обобщить сведения, полученные на уроке | 5 |
6 | Сообщение домашнего задания | - | Разъяснить содержание домашнего задания | 2 |
Ход урока.
1. Организационный момент, сообщение темы и цели урока.
Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения комбинаторных задач. Рассмотрим различные задачи по комбинаторике, которые можно решить разными способами: каждый из Вас должен высказать свою точку зрения на решение задач. Девиз нашего урока: «Чем больше я знаю, тем больше умею».
2. Проверка домашнего задания.
На дом были предложены задачи из сборника Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова "Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе". Ответы можно проверить, используя презентацию урока.
3. Самостоятельная работа.
Вариант 1 | Вариант 2 | ||
Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3. одна и та же цифра в числе повторяется. | по дереву возможных вариантов | Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9, если цифры в этих числах могут повторяться. | по дереву возможных вариантов |
Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы? | По правилу умножения 55=25 способов. | В меню столовой предложено на выбор 5 первых, 8 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обедов, первого, второго, третьего блюда, можно составить из предложенного меню? | По правилу умножения 584 = 160 обедов. |
В коробке лежат четыре шара: белый, красный, зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует способов сделать это? | Бк, бс, бз, кс, кз, сз. Ответ 6. | В коробке лежат четыре шара: два белых, красный и зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует различных способов вынуть два шара разного цвета? | Бб, бк, бз, кз. Ответ: 3 |
4. Тренировочные упражнения.
1. Классу предлагается ответить на теоретические вопросы:
| Учитель задаёт вопросы, слушает и корректирует ответы учащихся. После обсуждения теоретических вопросов демонстрируется таблица «Типы комбинаторных задач», где сосредоточен весь нужный материал. Показать, решая задачи, различия в задачах данных типов. |
2. Задания, которые класс решает устно Вычислите: 2! (2) 5!/4! 4! (24) 5!/3! 5! (120) Важен ли порядок в следующих выборках: а) капитан волейбольной команды и его заместитель; (да) б) 6 человек останутся убирать класс; (нет) в) 2 серии из просмотра нового многосерийного фильма; (да) |
Далее: Учитель предлагает учащимся прочитать задачи и предложить способы её решения. Учащиеся участвуют в обсуждении задачи и записывают решение в тетрадь.
- Задачи № 3, 4 можно решить, комментируя запись в тетради.
- Задачи № 5, 6, 7 решить, используя запись на доске. Необходимо рассмотреть несколько способов решения задач.
- Задачу №8 ученики решают самостоятельно, с последующей проверкой.
- Задачи № 9, 10, 11 предложить для решения сильным учащимся.
3. В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними? | Первое место может занять любой из четырех участников. Второе место - любой из трех оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, на четвертом месте остается последний участник. 4 . 3 . 2 . 1 = 24. Р = 4! Ответ: 24. | Сколько различных упорядоченных наборов мы можем составить, имея некоторое число элементов, каждый из таких упорядоченных наборов, есть перестановка. |
4. В турнире участвуют десять человек. Сколькими способами могут быть распределены места между ними? | 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = = 3 628 880 Произведение первых десяти натуральных чисел обозначают 10! | Для еще большего количества элементов уже будет сложно подсчитать число перестановок |
5. Сколько рукопожатий делают юноши каждое утро, учитывая, что их 7 человек? | Каждый из 7 человек пожимает руку 6, т. к. сам с собой не здоровается. Значит всего 7· 6 = 42 рукопожатий. При таком подсчете каждое рукопожатие сосчитано дважды, один раз при подсчете рукопожатий первого ученика, а другой раз при подсчёте рукопожатий второго ученика, учитывая одинаковые пары, имеем или Ответ: 21 рукопожатие | |
6. Девочки нашего класса дежурят в столовой. Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурных из 5 девочек? | На первое место – можно поставить любую из пяти девочек, а на второе место – любую из 4. По правилу произведения имеем, 5·4=20, но при таком подсчёте, одна и та же пара подсчитана дважды (пара 12 и 21). Тогда ответ, или . Ответ: 10 вариантов | |
7. Девочки нашего класса решили обменяться фотографиями. Сколько нужно сделать фотографий, учитывая, что их 5 человек? | В классе 5 девочек, каждая подарит 4 фотографии, то общее количество фотографий 5·4= 20 (или: важно, кто кому подарит фотографию, то имеем дело с размещением ). ; . Ответ: 20 вариантов | |
8. Составляя расписание на понедельник в 7 классе, завуч может поставить 6 уроков: алгебра, физика, биология, труд, история, физкультура. Сколько существует вариантов расписания? | Имеем дело с перестановками из 6 элементов , если «зафиксировать» один элемент, то перестановка из 5 элементов. Дополнительный вопрос: сколько будет вариантов, если третий урок алгебра? |
Дополнительные задачи.
9. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 человек, можно создать из 14 преподавателей? | С147= |
10. В футбольной команде 11 человек, нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? | Каждый из 11 человек команды может стать капитаном. С111=11. Каждый из оставшихся 10 членов команды может стать заместителем капитана. С101=10. Поэтому всего способов будет 10 Ответ: 110 способов |
11. Сколькими способами можно составить расписание на день из пяти различных уроков, если изучается 14 предметов? | === = |
5. Подведение итогов урока.
Подводя итоги урока, предлагается учащимся продолжить предложение: «Мне очень понравилась задача …»
Учитель подводит итоги урока, говорит о важности данной темы и о возможности самостоятельного ее изучения, комментирует оценки учащихся.
6. Домашнее задание.
12. Сколькими способами 9 учащихся могут встать в очередь в школьном буфете? | Присвоим каждому учащемуся номер (от 1 до 9). Тогда каждый способ расположения этих учащихся в очереди будет представлять собой последовательность из 9 цифр, порядок которых может меняться. Р9=9!=123456789=362880. Ответ: 362880 способов |
13. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе? | Количество сочетаний из 11 по 3 (порядок выбора не имеет значения) равно: . Ответ: 165 способов. |
14. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на 100м? | Выбор из 8 по 3 с учётом порядка: способов. Ответ: 336 способов. |
Общие замечания к проведению урока.
Устные упражнения с просмотром презентации позволяют ускорить темп работы, усилить интерес учащихся, способствуют развитию сообразительности, смекалки, внимания и воспитанию дисциплинированности.
При анализе самостоятельной работы с условием и решением на экране, осуществляется повторение ранее изученного материала:
- репродуктивный метод поможет проверить умения связно отвечать;
- частично-поисковый метод позволит проверить осознанность усвоения вычисления, способствует развитию умения сопоставлять, анализировать и обобщать;
- необходимо поощрять творческую работу учащихся, и рассматривать задачи практической направленности.
Через использование частично-поискового метода и через индивидуальные и групповые способы организации познавательной деятельности происходит повторение и закрепление правил и формул комбинаторики.
Создание проблемных ситуаций делает процесс обучения активным, дифференцированным, обеспечивает связь с жизнью.
Работа каждого должна быть оценена, тогда учебно-воспитательный момент положительно повлияет на конечный результат урока.
Приложение к уроку №1
Карточки для групповой и индивидуальной работы
Самостоятельная работа | |
Вариант 1 | Вариант 2 |
1. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3. одна и та же цифра в числе повторяется. | 1. Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9, если цифры в этих числах могут повторяться. |
2. Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы? | 2. В меню столовой предложено на выбор 5 первых, 8 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обедов, первого, второго, третьего блюда, можно составить из предложенного меню? |
3. В коробке лежат четыре шара: белый, красный, зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует способов сделать это? | 3. В коробке лежат четыре шара: два белых, красный и зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует различных способов вынуть два шара разного цвета? |
Решить задачи |
3. В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними? |
4. В турнире участвуют десять человек. Сколькими способами могут быть распределены места между ними? |
5. Сколько рукопожатий делают юноши каждое утро, учитывая, что их 7 человек? |
6. Девочки нашего класса дежурят в столовой. Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурных из 5 девочек? |
7. Девочки нашего класса решили обменяться фотографиями. Сколько нужно сделать фотографий, учитывая, что их 5 человек? |
8. Составляя расписание на понедельник в 7 классе, завуч может поставить 6 уроков: алгебра, физика, биология, труд, история, физкультура. Сколько существует вариантов расписания? |
Дополнительные задачи |
9. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 человек, можно создать из 14 преподавателей? |
10. В футбольной команде 11 человек, нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? |
11. Сколькими способами можно составить расписание на день из пяти различных уроков, если изучается 14 предметов? |
Домашнее задание |
12. Сколькими способами 9 учащихся могут встать в очередь в школьном буфете? |
13. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе? |
14. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на 100м? |
Предварительный просмотр:
ПРИЛОЖЕНИЕ №4
Конспект урока № 2.
Предмет: математика.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Тема: решение комбинаторных задач
Продолжительность: 1 урок - 45 минут.
Класс: 9 класс.
Цели урока:
- Повторить и закрепить правила и формулы комбинаторики.
- Способствовать выработке навыков и умений при решении задач на нахождение количества различных комбинаций.
- Развивать логическое мышление учащихся.
Оборудование: ПК или ноутбук, проектор, экран.
Программное обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку.
Дидактический материал: презентация урока (прил. диск), карточки (приложение к уроку).
План урока:
№ | Этап урока | № слайдов | Содержание | Время (мин) |
1 | Организационный момент | 1 – 2 | Нацелить учащихся на урок | 1 |
2 | Проверка домашнего задания | 3 | Коррекция ошибок | 5 |
3 | Самостоятельная работа | 4 - 5 | Проверить осознанность усвоения решать простейшие задачи | 12 |
4 | Тренировочные упражнения | 6 - 10 | Формировать умение решать задачи, используя формулы комбинаторики | 20 |
5 | Подведение итогов урока | 11 | Обобщить сведения, полученные на уроке | 5 |
6 | Сообщение домашнего задания | - | Разъяснить содержание домашнего задания | 2 |
Ход урока.
1. Организационный момент, сообщение темы и цели урока.
Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения комбинаторных задач. Рассмотрим различные задачи по комбинаторике, которые можно решить разными способами: каждый из Вас должен высказать свою точку зрения на решение задач. Девиз нашего урока: «Чем больше я знаю, тем больше умею».
2. Проверка домашнего задания.
На дом были предложены задачи из сборника Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова "Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе". Ответы можно проверить, используя презентацию урока.
3. Самостоятельная работа.
Вариант 1 | Вариант 2 | ||
Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3. одна и та же цифра в числе повторяется. | по дереву возможных вариантов | Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9, если цифры в этих числах могут повторяться. | по дереву возможных вариантов |
Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы? | По правилу умножения 55=25 способов. | В меню столовой предложено на выбор 5 первых, 8 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обедов, первого, второго, третьего блюда, можно составить из предложенного меню? | По правилу умножения 584 = 160 обедов. |
В коробке лежат четыре шара: белый, красный, зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует способов сделать это? | Бк, бс, бз, кс, кз, сз. Ответ 6. | В коробке лежат четыре шара: два белых, красный и зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует различных способов вынуть два шара разного цвета? | Бб, бк, бз, кз. Ответ: 3 |
4. Тренировочные упражнения.
1. Классу предлагается ответить на теоретические вопросы:
| Учитель задаёт вопросы, слушает и корректирует ответы учащихся. После обсуждения теоретических вопросов демонстрируется таблица «Типы комбинаторных задач», где сосредоточен весь нужный материал. Показать, решая задачи, различия в задачах данных типов. |
2. Задания, которые класс решает устно Вычислите: 2! (2) 5!/4! 4! (24) 5!/3! 5! (120) Важен ли порядок в следующих выборках: а) капитан волейбольной команды и его заместитель; (да) б) 6 человек останутся убирать класс; (нет) в) 2 серии из просмотра нового многосерийного фильма; (да) |
Далее: Учитель предлагает учащимся прочитать задачи и предложить способы её решения. Учащиеся участвуют в обсуждении задачи и записывают решение в тетрадь.
- Задачи № 3, 4 можно решить, комментируя запись в тетради.
- Задачи № 5, 6, 7 решить, используя запись на доске. Необходимо рассмотреть несколько способов решения задач.
- Задачу №8 ученики решают самостоятельно, с последующей проверкой.
- Задачи № 9, 10, 11 предложить для решения сильным учащимся.
3. В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними? | Первое место может занять любой из четырех участников. Второе место - любой из трех оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, на четвертом месте остается последний участник. 4 . 3 . 2 . 1 = 24. Р = 4! Ответ: 24. | Сколько различных упорядоченных наборов мы можем составить, имея некоторое число элементов, каждый из таких упорядоченных наборов, есть перестановка. |
4. В турнире участвуют десять человек. Сколькими способами могут быть распределены места между ними? | 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = = 3 628 880 Произведение первых десяти натуральных чисел обозначают 10! | Для еще большего количества элементов уже будет сложно подсчитать число перестановок |
5. Сколько рукопожатий делают юноши каждое утро, учитывая, что их 7 человек? | Каждый из 7 человек пожимает руку 6, т. к. сам с собой не здоровается. Значит всего 7· 6 = 42 рукопожатий. При таком подсчете каждое рукопожатие сосчитано дважды, один раз при подсчете рукопожатий первого ученика, а другой раз при подсчёте рукопожатий второго ученика, учитывая одинаковые пары, имеем или Ответ: 21 рукопожатие | |
6. Девочки нашего класса дежурят в столовой. Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурных из 5 девочек? | На первое место – можно поставить любую из пяти девочек, а на второе место – любую из 4. По правилу произведения имеем, 5·4=20, но при таком подсчёте, одна и та же пара подсчитана дважды (пара 12 и 21). Тогда ответ, или . Ответ: 10 вариантов | |
7. Девочки нашего класса решили обменяться фотографиями. Сколько нужно сделать фотографий, учитывая, что их 5 человек? | В классе 5 девочек, каждая подарит 4 фотографии, то общее количество фотографий 5·4= 20 (или: важно, кто кому подарит фотографию, то имеем дело с размещением ). ; . Ответ: 20 вариантов | |
8. Составляя расписание на понедельник в 7 классе, завуч может поставить 6 уроков: алгебра, физика, биология, труд, история, физкультура. Сколько существует вариантов расписания? | Имеем дело с перестановками из 6 элементов , если «зафиксировать» один элемент, то перестановка из 5 элементов. Дополнительный вопрос: сколько будет вариантов, если третий урок алгебра? |
Дополнительные задачи.
9. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 человек, можно создать из 14 преподавателей? | С147= |
10. В футбольной команде 11 человек, нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? | Каждый из 11 человек команды может стать капитаном. С111=11. Каждый из оставшихся 10 членов команды может стать заместителем капитана. С101=10. Поэтому всего способов будет 10 Ответ: 110 способов |
11. Сколькими способами можно составить расписание на день из пяти различных уроков, если изучается 14 предметов? | === = |
5. Подведение итогов урока.
Подводя итоги урока, предлагается учащимся продолжить предложение: «Мне очень понравилась задача …»
Учитель подводит итоги урока, говорит о важности данной темы и о возможности самостоятельного ее изучения, комментирует оценки учащихся.
6. Домашнее задание.
12. Сколькими способами 9 учащихся могут встать в очередь в школьном буфете? | Присвоим каждому учащемуся номер (от 1 до 9). Тогда каждый способ расположения этих учащихся в очереди будет представлять собой последовательность из 9 цифр, порядок которых может меняться. Р9=9!=123456789=362880. Ответ: 362880 способов |
13. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе? | Количество сочетаний из 11 по 3 (порядок выбора не имеет значения) равно: . Ответ: 165 способов. |
14. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на 100м? | Выбор из 8 по 3 с учётом порядка: способов. Ответ: 336 способов. |
Общие замечания к проведению урока.
Устные упражнения с просмотром презентации позволяют ускорить темп работы, усилить интерес учащихся, способствуют развитию сообразительности, смекалки, внимания и воспитанию дисциплинированности.
При анализе самостоятельной работы с условием и решением на экране, осуществляется повторение ранее изученного материала:
- репродуктивный метод поможет проверить умения связно отвечать;
- частично-поисковый метод позволит проверить осознанность усвоения вычисления, способствует развитию умения сопоставлять, анализировать и обобщать;
- необходимо поощрять творческую работу учащихся, и рассматривать задачи практической направленности.
Через использование частично-поискового метода и через индивидуальные и групповые способы организации познавательной деятельности происходит повторение и закрепление правил и формул комбинаторики.
Создание проблемных ситуаций делает процесс обучения активным, дифференцированным, обеспечивает связь с жизнью.
Работа каждого должна быть оценена, тогда учебно-воспитательный момент положительно повлияет на конечный результат урока.
Приложение к уроку №1
Карточки для групповой и индивидуальной работы
Самостоятельная работа | |
Вариант 1 | Вариант 2 |
1. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3. одна и та же цифра в числе повторяется. | 1. Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9, если цифры в этих числах могут повторяться. |
2. Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы? | 2. В меню столовой предложено на выбор 5 первых, 8 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обедов, первого, второго, третьего блюда, можно составить из предложенного меню? |
3. В коробке лежат четыре шара: белый, красный, зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует способов сделать это? | 3. В коробке лежат четыре шара: два белых, красный и зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует различных способов вынуть два шара разного цвета? |
Решить задачи |
3. В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними? |
4. В турнире участвуют десять человек. Сколькими способами могут быть распределены места между ними? |
5. Сколько рукопожатий делают юноши каждое утро, учитывая, что их 7 человек? |
6. Девочки нашего класса дежурят в столовой. Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурных из 5 девочек? |
7. Девочки нашего класса решили обменяться фотографиями. Сколько нужно сделать фотографий, учитывая, что их 5 человек? |
8. Составляя расписание на понедельник в 7 классе, завуч может поставить 6 уроков: алгебра, физика, биология, труд, история, физкультура. Сколько существует вариантов расписания? |
Дополнительные задачи |
9. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 человек, можно создать из 14 преподавателей? |
10. В футбольной команде 11 человек, нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? |
11. Сколькими способами можно составить расписание на день из пяти различных уроков, если изучается 14 предметов? |
Домашнее задание |
12. Сколькими способами 9 учащихся могут встать в очередь в школьном буфете? |
13. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе? |
14. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на 100м? |
Предварительный просмотр:
ПРИЛОЖЕНИЕ № 6
Конспект факультативного занятия
Предмет: математика.
Тип занятия: комплексное применение знаний.
Тема: решение комбинаторных задач.
Продолжительность: 1 урок - 45 минут.
Класс: 9.
Цели урока:
- Разобрать примеры решения задач «перестановки с повторениями», «сочетания с повторениями», «размещения с повторениями».
- Развитие навыков комбинаторного мышления учащихся.
- Воспитание творческого подхода к решению задач.
Оборудование: ПК или ноутбук, проектор, экран.
Программное обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку.
Дидактический материал: Задачник (приложение 7).
План занятия:
№ | Этап занятия | Содержание | Время (мин) |
1 | Организационный момент | Подготовка учащихся к работе на занятии | 2 |
2 | Активизация познавательной деятельности | Решение задач подготовленных учащимися заранее | 8 |
3 | Повторение теории | Определения и формулы по теме | 10 |
4 | Тренировочные упражнения | Формирование целостной системы ведущих знаний по теме | 20 |
5 | Подведение итогов урока | Дать анализ и оценку успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы. Мобилизация учащихся на рефлексию своего поведения (мотивации, способов деятельности, общения) | 3 |
6 | Сообщение домашнего задания | Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания | 2 |
Ход занятия.
1. Организационный момент, постановка целей и задач урока.
2. Активизация познавательной деятельности.
Более «сложные» задачи на соединения связаны с двумя правилами: правило суммы и правило произведения.
Задачи | Решение задач |
Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно приложить друг к другу (т.е. чтобы какое-то число встретилось на обеих костях)? | Сначала выберем одну кость. Это можно сделать 28 способами. При этом в случаях выбранная кость окажется "дублем", т.е. костью вида 00, 11, 22, 33,44 , 55 ,66, а в 21 случае - костью с различными числами очков (например, 05, 13 и т.д.). В первом случае вторую кость можно выбрать 6 способами (например, если на первом шагу выбрана кость 11, то на втором шагу - одну из костей 01, 12, 13, 14, 15, 16) Во втором же случае вторую кость можно выбирать 12 способами (для кости 35 подойдут кости 03, 13, 23, 33, 34, 36, 05, 15, 25, 45, 55, 56). По правилу произведения в первом случае получаем 7*6=42 выбора, а во втором 21*12=252 выбора. Значит, по правилу суммы получаем 42+252=294 способов выбора пары. |
3. Повторение теоретического материала
Виды комбинаций | Без повторений | С повторениями | |
Перестановки | перестановками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n | Pn=n! | |
Размещения | размещениями из n различных элементов по k элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по k элементов | ||
Сочетания | сочетаниями из n элементов по k элементов называется любое подмножество, которое содержит k различных элементов данного множества |
4. Тренировочные упражнения.
Из-за недостатка времени, можно предложить учащимся решить по две задачи каждого раздела. Остальные задачи ученики могут решить самостоятельно.
Размещения с повторениями
Условие задачи | Решение задачи |
1. Каждый телефонный номер состоит из 7 цифр. Сколько существует телефонных номеров, не содержащих других цифр, кроме 2, 3, 5 и 7? | Основное множество: {2, 3, 5, 7} соединение – семизначный телефонный номер 2233447 7443322 порядок важен задана последовательность это либо размещения, либо перестановки. Так как семизначный номер может включать не все элементы основного множества (например, номер 2223332 не содержит цифр 5, 7), а лишь некоторые из них, то это размещения в семи разных местах семи цифр, выбранных из четырех разных цифр с повторениями каждой из них любое число раз, но не более семи. Ответ: 16384 |
2. Сколькими способами можно разместить 8 пассажиров в три вагона? | Эту задачу можно рассматривать как задачу о числе распределения среди восьми пассажиров любых восьми выбранных из трех вагонов с повторениями каждого из них любое число раз, но не более восьми. Ответ: 6561 |
3. Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов? | Число всех букв, каждая из которых записывается одним символом, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается двумя символами, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается тремя символами, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается четырьмя символами, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается пятью символами, равно . Число букв согласно требованию задачи (по правилу сложения) равно 2+4+8+16+32=62. Ответ: 62 |
4. Сколько различных 10-буквенных слов можно составить, используя только две буквы: а и b? | Решение: это задача о числе возможностей разместить на 10 различных местах любые 10 букв, выбранных из букв а и b, с повторениями каждой из них любое число раз, но не более 10. Ответ: 1024 |
Перестановки с повторениями.
5. Сколькими способами можно расположить в ряд две зеленые и четыре красные лампочки? | Порядок важен и в соединении участвуют все элементы без исключения: зеленые лампочки – 2 раза, а красные – 4 раза. способов. Ответ: 15 |
6. Сколько всех семизначных чисел, у каждого из которых цифра 6 встречается три раза, а цифра 5 – четыре раза? | Порядок важен и в соединении участвуют все элементы без исключения: шестерки – 3 раза, а пятерки – 4 раза. чисел. Ответ: 35 |
7. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «математика», чтобы получались всевозможные различные анаграммы? | Порядок важен и в соединении участвуют все элементы без исключения: буква «м» – 2 раза, буква «а» – 3 раза, буква «2», буквы «е», «и», «к» - по 1 разу. способами Ответ: 151200 |
8. Сколькими способами можно 10 человек разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе? | Порядок важен и в соединении участвуют все элементы без исключения: Р10 (2,3,5)=10!/2!.3!.5!=2520 Ответ:2520 |
Сочетания с повторениями.
9. Сколькими способами можно выбрать 4 монеты из четырех пятикопеечных монет и из четырех двухкопеечных монет? | Порядок выбора монет неважен, и примерами соединений могут являться {5,5,5,5}, {2,2,2,2}, {5,2,5,5} и т.д. Это задача о числе сочетаний Ответ: 5 |
10. В кондитерской имеется 5 разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из 4 пирожных? | Это задача о числе сочетаний из 5 видов пирожных по 4 с повторениями. способов Ответ: 70 |
11. Сколько всего чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке? | Это задача о числе сочетаний из 5 цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае ; ; ; ; Согласно правилу сложения: 5+15+35+70+126=251 чисел Ответ: 251 |
10. Сколько будет костей домино, если в их образовании использовать все цифры? | Число костей домино можно рассматривать как число сочетаний из 10 чисел по 2 с повторениями. костей Ответ: 55 |
5. Подведение итогов занятия.
Попросить учащихся оценить свои знания, наметить перспективу последующей работы.
6. Домашнее задание.
Из сборника конкурсных задач (желательно под ред. М.И.Сканави) подобрать, подробно объяснить и привести решение 6 задач (по 2 на каждый вид соединений с повторениями).
Предварительный просмотр:
ПРИЛОЖЕНИЕ 7
Задачи для самостоятельной работы
Правило умножения
- В меню столовой предложено на выбор 5 первых, 8 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обедов, состоящих из одного первого, одного второго и одного третьего блюда, можно составить из предложенного меню?
- Миша забыл вторую и последнюю цифру пятизначного номера телефона друга. Какое наибольшее число звонков предстоит сделать Мише, если он решил перепробовать комбинации всех забытых цифр, чтобы в результате дозвониться до друга?
3. Девятиклассники Миша, Дима, Антон и Саша побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу четверо девятиклассников могут занять очередь для игры в настольный теннис?
4. Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы?
5. Составляя расписание уроков на понедельник для 9 «Б» класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либо литературу, либо историю, либо географию. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока?
6. У Светланы три юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?
Перестановки
1. Сколькими способами Дима и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой?
- Из трёх стаканов сока – яблочного, сливового и абрикосового – Коля решил последовательно выпить два. Перечислите все варианты, которыми это можно сделать.
4. Сергей, Игорь и Миша могут занять 1-е, 2-е и 3-е призовые места в соревнованиях по шахматам. Перечислить всевозможные последовательности из имён мальчиков, где порядковый номер в последовательности соответствует занятому мальчиком месту в
5. У Влада на обед – первое, второе, третье и пирожное. Он обязательно начнёт с пирожного, а всё остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда.
6. Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?
8. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.
9. Семь мальчиков, в число которых входят Сергей и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:
а) Сергей должен находиться в конце ряда;
б) Сергей должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце ряда;
в) Сергей и Игорь должны стоять рядом.
10. Одиннадцать футболистов школьной команды строятся перед началом
матча. Первым становится капитан, вторым – вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?
11. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, химия, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?
Сочетания
1. Имеется три предмета: карандаш, тетрадь и линейка. Сколькими способами из этих канцелярских принадлежностей можно выбрать 2 предмета?
способа.
2. В школьной столовой имеются помидоры, огурцы и лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях 2 различных вида овощей? Записать все сочетания овощей в составленных салатах.
3. Володя идёт на день может сделать подарки братьям?
4. В магазине продают кепки трёх цветов: белые, красные и синие. Наташа и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек?
5. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе?
6. В 9 «Г» классе 5 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
7. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
8. В 9 «Г» классе учатся 16 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырёх мальчиков и трёх девочек. Сколькими способами можно это сделать?
9. В библиотеке Кате предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами она может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?
10. В 9 «Б» классе учатся 22 учащихся, в 9 «В» - 19 учащихся, а в 9 «Г» - 26 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трёх учащихся из 9 «Б» класса, двух – из 9 «В» и одного – из 9 «Г». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?
11. По списку в 9 «Г» классе 16 мальчиков и 10 девочек. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии. Что пару обязательно должны составить мальчик и девочка; б) без указанного условия?
12. По списку в 9 «Г» классе 16 мальчиков и 10 девочек. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Нужно выделить группу из трёх человек для посещения заболевшего одноклассника. Сколькими способами это можно сделать, если: а) все члены этой группы должны быть девочками; б) все члены этой группы должны быть мальчиками; в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика; г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик.
Подсчёт вариантов
1. Сколькими различными способами можно назначить двух ребят на
дежурство по столовой, если в классе 22 учащихся?
2. В шахматном турнире участвуют 9 старшеклассников. Каждый из них
сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
3. При встрече 8 друзей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
4. У Марины пять подруг: Наташа, Оля, Кристина, Ксения и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Сколько существует вариантов?
5. Учащиеся 9 «Г» класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 26 учащихся?
Разбиение на две группы
1. В списке класса для изучения английского языка 15 человек. Сколько существует вариантов присутствия (отсутствия) этих людей на занятии?
2. Имеется 6 карандашей шести разных цветов. Сколькими способами эти карандаши могут быть распределены между двумя школьниками?
3. Каждая из 5 подруг собирается вечером пойти либо в кино, либо на каток. Сколькими различными способами эти пять подруг смогли бы провести вечер?
4. У Антона шесть друзей. Он может пригласить в гости одного или нескольких из них. Определите общее число возможных вариантов.
Размещения
1. Из трёх стаканов сока – ананасового, брусничного и виноградного – Костя решил последовательно выпить два. Сколькими способами это можно сделать?
2. Сколькими способами могут быть заняты первое, второе и третье места (по одной команде на место) на соревнованиях по гимнастике, в которых участвуют 6 команд?
3. Из 26 учащихся класса надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
4. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?
5. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?
6. Сколькими способами 6 девятиклассников, сдающих экзамен, могут занять места в кабинете, в котором стоит 15 столов?
7 Сколько команд участвовало в финале первенства города по хоккею, если каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника, причём всего было сыграно 30 игр?
8. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выбрать из класса команду из 4 учащихся для участия в олимпиаде по истории, литературе, русскому и английскому языкам?
9. Учащиеся 9 класса изучают 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 6 различных уроков?
Комбинированные задачи
1. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира: а) команду из четырёх человек; б) команду из четырёх человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой доске?
2. Из 20 вопросов к экзамену Саша 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то не знает. На экзамене в билете будет три вопроса.
а) Сколько существует вариантов билетов?
б) Сколько из них тех, в которых Саша знает все вопросы?
в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трёх типов?
г) Сколько из них тех, в которых Саша выучил большинство вопросов?
Задачи для самостоятельной работы. Решения и ответы
Правило умножения
- В меню столовой предложено на выбор 5 первых, 8 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обедов, состоящих из одного первого, одного второго и одного третьего блюда, можно составить из предложенного меню?
Решение: Согласно правилу умножения таких обедов можно составить 584 = 160.
Ответ: 160 вариантов обедов.
- Миша забыл вторую и последнюю цифру пятизначного номера телефона друга. Какое наибольшее число звонков предстоит сделать Мише, если он решил перепробовать комбинации всех забытых цифр, чтобы в результате дозвониться до друга?
Решение: Второй и последней цифрой могут быть все 10 цифр. По правилу умножения получаем 1010=100. Ответ: 100 звонков.
- Девятиклассники Миша, Дима, Антон и Саша побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу четверо девятиклассников могут занять очередь для игры в настольный теннис?
Решение: Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым – девятиклассник, подбежавший последним. По правилу умножения у четверых ребят существует 4321=24 способа занять очередь. Ответ: 24 способа.
- Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы?
Решение: По правилу умножения получаем 55=25 способов. Ответ: 25 способов.
- Составляя расписание уроков на понедельник для 9 «Б» класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либо литературу, либо историю, либо географию. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока?
Решение: По правилу умножения получаем: 42=8 вариантов. Ответ: 8 вариантов.
- У Светланы три юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?
- Решение: По правилу умножения получаем: 35=15.Ответ: 15 комбинаций.
Перестановки
1. Сколькими способами Дима и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой?
1 решение: Присвоим каждому месту за партой номер. Тогда Дима и Вова могут занять места за партой такими способами: 1. Дима. 2. Вова или 1. Вова.2. Дима. Других вариантов нет.
2 решение: Количество различных способов равно числу перестановок из 2 элементов: Р2 = 2! = 12 = 2 способа. Ответ: 2 способа.
2. Олеся, Оксана и Юля купили билеты на концерт симфонического оркестра на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколько существует способов размещения девочек на эти места?
Решение: Количество различных способов равно числу перестановок из 3 элементов: Р3 = 3! = 123 = 6 способов. Ответ: 6 способов.
- Из трёх стаканов сока – яблочного, сливового и абрикосового – Коля решил последовательно выпить два. Перечислите все варианты, которыми это можно сделать.
Ответ: 1) яблочный, сливовый; 2) сливовый, яблочный; 3) яблочный, абрикосовый; 4) абрикосовый, яблочный; 5) сливовый, абрикосовый;6) абрикосовый, сливовый.
4. Сергей, Игорь и Миша могут занять 1-е, 2-е и 3-е призовые места в соревнованиях по шахматам. Перечислить всевозможные последовательности из имён мальчиков, где порядковый номер в последовательности соответствует занятому мальчиком месту в соревнованиях. Подсчитать их количество.
Решение: Сначала выбираем одного на первое место, а двух других меняем местами, потом берём на первое место другого и т.д.: СИМ; СМИ; ИСМ; ИМС; МСИ; МИС. Всего 6 вариантов расположения. Ответ: 6 вариантов.
5. У Влада на обед – первое, второе, третье и пирожное. Он обязательно начнёт с пирожного, а всё остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда.
Решение: После пирожного Влад может выбрать любое из трёх блюд, затем – из двух, и закончит оставшимся. Общее число возможных вариантов обеда: 321=6. Ответ: 6.
6. Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?
Решение: Четыре друга могут занять 4 разных места Р4=4!=1234=24 различными способами. Ответ: 24 способа.
8. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.
Решение: Три последних цифры телефонного номера могут быть расположены в одном из Р3=3!=123=6 возможных порядков, из которых только один верный. Ольга может сразу набрать верный вариант, может набрать его третьим, и т.д. Наибольшее число вариантов ей придётся набрать, если правильный вариант окажется последним, т.е. шестым. Ответ: 6 вариантов.
9. Семь мальчиков, в число которых входят Сергей и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:
а) Сергей должен находиться в конце ряда;
б) Сергей должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце ряда;
в) Сергей и Игорь должны стоять рядом.
Решение: а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Сергей находится в конце ряда). Число возможных комбинаций при этом равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих пред Сергеем: Р6=6!=123456=720.
б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Сергеем и Игорем: Р5=5!=12345=120.
в) Воспользуемся приёмом «склеивания» элементов. Пусть Сергей и Игорь стоят рядом в порядке СИ. Будем рассматривать эту пару как единый элемент, представляемый с другими пятью элементами. Число возможных комбинаций тогда будет Р6=6!=123456=720. пусть теперь Сергей и Игорь стоят рядом в порядке ИС. Тогда получим ещё Р6=6!=720 других комбинаций. Общее число комбинаций, в которых Сергей и Игорь стоят рядом (в любом порядке) равно 720+720=1440.
Ответ: а) 720; б) 120; в) 1440 комбинаций.
10. Одиннадцать футболистов школьной команды строятся перед началом
матча. Первым становится капитан, вторым – вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?
Решение: После капитана и вратаря третий игрок может выбрать любое из 9 оставшихся мест, следующий – из 8, и т.д. Общее число способов построения по правилу умножения равно: 1987654321=362880, или 1 Р9=9!=362880.
Ответ: 362880.
11. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, химия, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?
Решение: Всего 6 уроков, из них два урока математики должны стоять рядом. «Склеиваем» два элемента (алгебра и геометрия) сначала в порядке АГ, затем в порядке ГА. При каждом варианте «склеивания» получаем: Р5=5!=12345=120 вариантов расписания. Общее число способов составить расписание равно 120+120=240.
Ответ: 240 способов.
Сочетания
1. Имеется три предмета: карандаш, тетрадь и линейка. Сколькими способами из этих канцелярских принадлежностей можно выбрать 2 предмета?
1 решение: Два предмета можно выбрать так: берём поочерёдно один предмет из ряда (кроме последнего) и добавляем к нему по одному предметы, следующие за ним в ряду: карандаш, тетрадь; карандаш, линейка; тетрадь, линейка. Получаем 3 различных варианта.
2 решение: способа. Ответ: 3 способа.
2. В школьной столовой имеются помидоры, огурцы и лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях 2 различных вида овощей? Записать все сочетания овощей в составленных салатах.
Решение: Расположим данные овощи по порядку: помидоры, огурцы, лук. Запишем все сочетания овощей в салатах. Будем брать поочерёдно каждый овощ (кроме последнего) и добавлять к нему по одному, только из последующих, поскольку порядок выбора не важен: 1) помидоры, огурцы; 2) помидоры, лук; 3) огурцы, лук.
Ответ: 3 вида салатов.
3. Володя идёт на день может сделать подарки братьям?
Решение: По условию задачи предусмотрены два последовательных выбора: сначала Володя выбирает 2 мяча из трёх, имеющихся в магазине, а потом решает, какому из братьев-двойняшек подать каждый из купленных мячей. Два мяча из трёх можно выбрать тремя способами ( способа). После этого каждую выбранную пару можно подарить двумя способами ( способа) (порядок важен). Тогда по правилу умножения искомое число способов равно . Ответ: 6 способов.
4. В магазине продают кепки трёх цветов: белые, красные и синие. Наташа и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек?
Решение: В магазине продаются кепки трёх видов, поэтому девочки могут купить кепки одинаковых цветов, т.е. возможен выбор с повторением. Порядок выбора также важен и должен учитываться. Лена может сделать выбор способами и Наташа также 3 способами. По теореме умножения получаем: вариантов.
Ответ: 9 вариантов.
5. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе?
Решение: Количество сочетаний из 11 по 3 (порядок выбора не имеет значения) равно: . Ответ: 165 способов.
6. В 9 «Г» классе 5 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Решение: Выбираем 2 учащихся из 5, порядок выбора не имеет значения (оба выбранных пойдут на олимпиаду как полностью равноправные); количество способов выбора равно числу сочетаний из 5 по 2: . Ответ: 10 способов.
7. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.
Ответ: 210 способов.
8. В 9 «Г» классе учатся 16 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырёх мальчиков и трёх девочек. Сколькими способами можно это сделать?
Решение: Нужно сделать два выбора: 4 мальчиков из 16 (всего способов ) и 3 девочек из 10 (всего способов ); порядок выбора значения не имеет (все идущие на уборку равноправные). Каждый вариант выбора мальчиков может сочетаться с каждым выбором девочек, поэтому по правилу умножения общее число способов выбора равно: = способов. Ответ: 218400 способов.
9. В библиотеке Кате предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами она может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?
Решение: Нужно сделать два выбора: 3 книги из 10 (способов) и 2 журнала из 4 (способов); порядок выбора не имеет значения. Каждый выбор книг может сочетаться с каждым выбором журналов, поэтому общее число способов выбора по правилу умножения равно: =. Ответ: 720 способов.
10. В 9 «Б» классе учатся 22 учащихся, в 9 «В» - 19 учащихся, а в 9 «Г» - 26 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трёх учащихся из 9 «Б» класса, двух – из 9 «В» и одного – из 9 «Г». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?
Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из первой совокупности () может сочетаться с каждым вариантом выбора из второй () и с каждым вариантом выбора третьей (); по правилу умножения получаем: =способов выбора учащихся.
Ответ: 32522490 способов.
11. По списку в 9 «Г» классе 16 мальчиков и 10 девочек. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии. Что пару обязательно должны составить мальчик и девочка; б) без указанного условия?
Решение: а) Выбираем 1 мальчика из 16 и 1 девочку из 10; общее число способов выбора пары: . б) Выбрать 2 дежурных из 16+10=26 учащихся класса (без учёта порядка) можно: способами.
Ответ: а) 160; б) 325.
12. По списку в 9 «Г» классе 16 мальчиков и 10 девочек. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Нужно выделить группу из трёх человек для посещения заболевшего одноклассника. Сколькими способами это можно сделать, если: а) все члены этой группы должны быть девочками; б) все члены этой группы должны быть мальчиками; в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика; г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик.
Решение: а) Выбрать 3 девочек из 10 имеющихся без учёта порядка можно
различными способами. б) Выбрать 3 мальчиков из 16
рождения к одноклассникам, двойняшкам Диме и Ивану. Он хочет подарить каждому из них по мячу. В магазине остались для продажи только 3 мяча разных цветов: белый, чёрный и пятнистый. Сколькими способами, купив 2 мяча, Володя
имеющихся, без учёта порядка, можно различными способами. в) Выбрать 1 девочку из 10, а затем 2 мальчика из 16 без учёта порядка можно различными способами. г) Выбрать 2 девочек из 10, а затем 1 мальчика из 16 без учёта порядка можно различными способами.
Ответ: а) 120; б) 560; в) 1200; г) 720.
Подсчёт вариантов
1. Сколькими различными способами можно назначить двух ребят на
дежурство по столовой, если в классе 22 учащихся?
Решение: Назначая двух дежурных по столовой, мы не учитываем порядок выбора пары из учащихся данного класса. Так как в классе 22 учащихся, то первого дежурного можно выбрать из 22 учащихся, а второго – из 21 учащегося. Так как порядок выбора не учитывается, то получаем 2221:2=231 способ. Ответ: 231 способ
2. В шахматном турнире участвуют 9 старшеклассников. Каждый из них
сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
Решение: Поскольку каждая пара участников играла между собой только один раз, порядок выбора не имеет значения. Выбрать первого участника партии можно 9 способами, а второго – 8 оставшимися способами; по теореме умножения всего можно образовать 98=72 пары, но в это число каждая пара входит дважды: сначала Дроздов-Гончаров, затем Гончаров-Дроздов. Поскольку порядок выбора не имеет значения, то общее количество партий равно 98:2=36 партий. Ответ: 36 партий.
3. При встрече 8 друзей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Решение: Порядок выбора не имеет значения: если Агапеев пожимает руку Зайцеву, то одновременно и Зайцев пожимает руку Агапееву, поэтому общее количество рукопожатий (пар) равно 87:2=28. Ответ: 28 рукопожатий.
4. У Марины пять подруг: Наташа, Оля, Кристина, Ксения и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Сколько существует вариантов?
Решение: По условию ясно, что порядок выбора значения не имеет. По правилу умножения всего 54=20 вариантов выбора, но так как порядок выбора не имеет значения, то получаем: 20:2=10 вариантов. Ответ: 10 вариантов.
5. Учащиеся 9 «Г» класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 26 учащихся?
Решение: считаем, что в каждой паре происходит передача одновременно двух фотографий, т.е. учащиеся в паре равноправны, неразличимы. Тогда при образовании пар порядок выбора не имеет значения: 2625:2=325. Ответ: 325 фотографий.
Разбиение на две группы
1. В списке класса для изучения английского языка 15 человек. Сколько существует вариантов присутствия (отсутствия) этих людей на занятии?
Решение: Задачу решаем разбиением на две группы: присутствующие и отсутствующие. Разбиение на группы однозначно определяется составом элементов в одной из групп (не попавшие в первую группу элементы автоматически образуют вторую группу). Подсчитаем все варианты составления одной группы. Согласно правилу умножения комбинаций (вариантов) из «присутствующих» или «отсутствующих»
будет 215. Ответ: 215= 32768 вариантов
2. Имеется 6 карандашей шести разных цветов. Сколькими способами эти карандаши могут быть распределены между двумя школьниками?
Решение: Задача сводится к подсчёту числа всевозможных способов разбиения шести различных элементов (карандашей) на две группы. Это число равно 26 = 64.
Ответ: 64 способами.
3. Каждая из 5 подруг собирается вечером пойти либо в кино, либо на каток. Сколькими различными способами эти пять подруг смогли бы провести вечер?
Решение: Подсчитаем все варианты составления одной группы. Согласно правилу умножения комбинаций (вариантов) из «посетивших кинотеатр» или «посетивших каток» будет 25. Ответ: 25= 32 варианта.
4. У Антона шесть друзей. Он может пригласить в гости одного или нескольких из них. Определите общее число возможных вариантов.
Решение: Разобьём множество из 6 элементов на две группы: приглашённых и неприглашённых. Расположим всех друзей в ряд, и под именем каждого друга будем писать 0, если этот друг не приглашён, и 1, если он приглашен. Получим шестизначные наборы нулей и единиц. Общее количество таких наборов по правилу умножения равно: 26=64, но среди этих наборов есть один, состоящий из 6 нулей, т.е. никто не приглашён. Этот набор нужно исключить (по условию задачи число приглашённых не менее одного), в результате получим: 64-1=63. Ответ: 63 варианта.
Размещения
1. Из трёх стаканов сока – ананасового, брусничного и виноградного – Костя решил последовательно выпить два. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Это задача о выборе двух элементов из трёх с учётом порядка выбора. Число способов равно способов. Ответ: 6 способов.
2. Сколькими способами могут быть заняты первое, второе и третье места (по одной команде на место) на соревнованиях по гимнастике, в которых участвуют 6 команд?
Решение: Это задача о выборе трёх элементов из шести с учётом порядка выбора. . Ответ: 120 способов.
3. Из 26 учащихся класса надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Из 26 учащихся выбираем 2, причём порядок выбора имеет значение. Количество способов выбора равно . Ответ: 650 способов.
5. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?
Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.
Ответ: 5040 способов.
6. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?
Решение: Выбираем трёх призёров из 13 участников конкурса с учётом порядка (кому какая премия): способов. Ответ: 1716 способов.
7. Сколькими способами 6 девятиклассников, сдающих экзамен, могут занять места в кабинете, в котором стоит 15 столов?
Решение: Выбираем 6 столов для девятиклассников из 15 имеющихся: порядок выбора учитывается (кто сидит у окна, кто около преподавателя, и т.п.):
способов. Ответ: 3603600 способов.
8. Сколько команд участвовало в финале первенства города по хоккею, если каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника, причём всего было сыграно 30 игр?
Решение: Поскольку каждая пара команд сыграла между собой по две игры (на своём и чужом поле), то выбор пары осуществляется с учётом порядка, т.е. составляются всевозможные размещения из n по 2. По условию задачи =30, отсюда n(n-1) = 65, n = 6.
Ответ: 6 команд.
9. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выбрать из класса команду из 4 учащихся для участия в олимпиаде по истории, литературе, русскому и английскому языкам?
Решение: Искомые команды будут отличаться между собой или учащимися, или их порядком, который указывает, на какую олимпиаду пойдёт ученик. Поэтому искомое число равно числу размещений из 30 по 4 и по формуле получаем: способов. Ответ: 657720 способов.
10. Учащиеся 9 класса изучают 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 6 различных уроков?
Решение: Выбираем 6 предметов из 14 имеющихся с учётом выбора предметов. Получаем способов. Ответ: 2162160 способов.
Комбинированные задачи
1. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира: а) команду из четырёх человек; б) команду из четырёх человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой доске?
Решение: а) Выбираем 4 шахматистов из 16 без указания порядка; количество способов . б) Выбираем 4 шахматистов из 16 с указанием порядка их расположения в команде; количество способов
Ответ: а) 1820 способов; б) 43680 способов.
2. Из 20 вопросов к экзамену Саша 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то не знает. На экзамене в билете будет три вопроса.
а) Сколько существует вариантов билетов?
б) Сколько из них тех, в которых Саша знает все вопросы?
в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трёх типов?
г) Сколько из них тех, в которых Саша выучил большинство вопросов?
Решение: а) для составления билета выбираются 3 вопроса из 20 имеющихся, при этом порядок выбора значения не имеет. Общее число вариантов билетов равно: .
б) Саша выучил 12 вопросов; из этих вопросов можно составить разных билетов.
в) Количество билетов, в которых есть вопросы всех трёх типов равно: 12 вариантов выбора вопроса, который выучил, умножить на 5 вариантов выбора вопроса, который совсем не смотрел, и умножить на 20-12-5=3 варианта выбора вопроса, в котором что-то знает, всего 1253=180 разных билетов.
г) Билеты, в которых Саша выучил большинство вопросов, это билеты, в которых он знает два или три вопроса. Билеты, в которых Саша выучил все три вопроса – 220 (см.пункт б). Найдём сколько есть билетов, в которых Саша выучил 2 вопроса: выбрать 2 вопроса из 12 выученных можно разными способами; третий вопрос можно выбрать из 8 остальных вопросов (8 вариантов выбора). По правилу умножения количество билетов, в которых Саша выучил два вопроса равно . Таким образом, количество билетов, в которых Саша выучил большинство вопросов, по комбинаторному правилу сложения равно 220+528=748.
Ответ: а) 1140; б) 220; в) 180; г) 748.
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Проект расписания проведения единого государственного экзамена, государственного выпускного экзамена и государственной (итоговой) аттестации выпускников IX классов в новой форме в 2012 году
Проект расписания проведения единого государственного экзамена, государственного выпускного экзамена и государственной (итоговой) аттестации выпускников IX классов в новой форме в 2012 году...
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/04/picture-44541-1357288706.jpg)
Задания по комбинаторике для подготовки учащихся 9 классов к государственной итоговой аттестации
Материаал представляет собой задачник. Задания разделены на две части; задания первой части и задания второй части. Сборник можно использовать при подготовке к урокам, при проведении индивидуальных и ...
![](/sites/default/files/pictures/2017/10/25/picture-166096-1508946164.jpg)
Результаты государственной (итоговой) аттестации 2011 года в форме единого государственного экзамена по русскому языку Результаты государственной (итоговой) аттестации 2011 года в форме единого государственного экзамена по русскому языку
Сравнительный анализ результатов ЕГЭ по русскому языку в 2010, 2011 годах. Наблюдается положительная динамика роста среднего балла, качества обучения....
![](/sites/default/files/pictures/2013/05/06/picture-223691-1367854660.jpg)
План работы психолого-педагогического сопровождения по подготовке учащихся 9-11 классов к государственной итоговой аттестации и единому государствен
План работы психолого-педагогического сопровождения ...
![](/sites/default/files/pictures/2013/02/19/picture-207536-1361290911.jpg)
Психологическая подготовка к проведению единого государственного экзамена и государственной итоговой аттестации.
Занятие с элементами тренинга для обучающихся 9-х и 11-х классов "Психологическая подготовка к проведению единого государственного экзамена и государственной итоговой аттестации". Данный материал аппр...
Государственная итоговая аттестация выпускников средних школ в форме единого государственного экзамена и государственной итоговой аттестации в новой форме по физике проблемы и пути их решения.
Государственная итоговая аттестация выпускников средних школ в форме единого государственного экзамена и государственной итоговой аттестации в новой форме по физике проблемы и пути их решения....
![](/sites/default/files/pictures/2015/10/09/picture-462651-1444416370.jpg)
Подготовка к государственной итоговой аттестации выпускников: ознакомление с правовой базой государственной итоговой аттестации, единого государственного экзамена, изменения в контрольно-измерительных материалах, формирование универсальных учебных действи
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение«Воинский учебно-воспитательный комплекс» муниципального образованияКрасноперекопский районРеспублика Крым...