Статья Опыт преподавания темы «Двоичная система счисления. Двоичная арифметика»
статья по информатике и икт (8 класс)

Статья

Опыт преподавания темы «Двоичная система счисления. Двоичная арифметика»

Ивченко А.А. учитель информатики ГБОУ СОШ № 141 Красногвардейского района Санкт-Петербурга

Тема «Двоичная система счисления. Двоичная арифметика» изучается в 8 классе в разделе «Математические основы информатики». Данная тема включает в себя рассмотрение двух аспектов – алгоритм перевода из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. Второй аспект -  алгоритм сложения в данных системах. В данной статье изложен опыт изучения данной темы, который сложился и используется в школьной практике изучения информатики в течение ряда лет.

Когда в жизни мы говорим о числе, то в большинстве случаев подразумеваем привычные для нас числа десятичной системы счисления (далее 10-СС). В этой системе десять цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9- это и есть алфавит 10-СС. Десятичная система счисления -  ПОЗИЦИОННАЯ. Это означает, что значение (вес) цифры зависит от её положения в записи числа, например, в числах 3, 35 и 354 цифра 3 означает, соответственно, единицы, десятки и сотни. С этими числами мы знакомимся еще до обучения в школе. Двоичной системой мы тоже начинаем пользоваться еще до обучения в школе, все используемые нами цифровые устройства работают на ее основе. А вот представление и знания о ней ученики получают на уроке информатики.  

Так как каждый компьютер работает на транзисторных схемах, которые используют два состояния: есть заряд – 1; нет заряда – 0; две цифры удобны для электронного хранения данных, поскольку они требуют только двух состояний электронной схемы — «включено» (это соответствует цифре 1) и «выключено» (это соответствует цифре 0). С помощью последовательности двух значений можно представить самую разную информацию. Такое представление информации называется двоичным (бинарным) или цифровым кодированием. Преимуществом цифровых данных является то, что их относительно просто копировать и изменять. Их можно хранить и передавать с использованием одних и тех же методов, независимо от типа данных.

Способы цифрового кодирования текстов, звуков (голоса, музыка), изображений (фотографии, иллюстрации) и последовательностей изображений (кино и видео), а также трехмерных объектов были придуманы в 80-х годах прошлого века. Рассмотрим, как компьютер может использовать аналоговую информацию- для этого ее нужно перевести в бинарный код.

Для работы любого цифрового устройства, в том числе компьютера требуется перевести десятичное число в двоичное. Один из способов перевода десятичного числа в двоичное – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 76 его двоичную запись.  Можно воспользоваться любой формой записей из двух представленных – либо в виде таблицы, либо деление столбиком. То есть число 76 делят на основание 2, записывают результат и остаток.

Затем собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001100. Это и есть число 76 в двоичном представлении. 7610=10011002

Для следующего способа перевода необходимо хорошо знать таблицу степеней числа 2 и таблицу соответствия первых десяти чисел в двоичной системе счисления. Данные числа активно используются в задачах по информатике.

Для перевода в двоичное число нужно  разложить число на степени числа 2. Для примера переведем тоже число 7610. Рассуждаем примерно так: нам необходимо подобрать число меньшее чем 76 из таблицы степеней числа 2. Ближайшая степень 2 это 26=64, вычитаем из 76-64=12, остаётся 12. К 12 ближайшая степень 23, 12-8=4=22 мы получили все необходимые числа.

76= 64+8+4=26+23 +22 Так как мы знаем правило, что числа из таблицы степеней числа 2 переводятся по алгоритму – Степень числа – Степень числа 2 показывает сколько будет нулей в числе и 1 (единица) в начале числа. 64=26 =10000002

Остается только сложить эти числа, соблюдая разрядность, справа налево как в обычной алгебре. Освоив данный алгоритм, а также уверенно используя степени числа 2   мы ускорим перевод десятичного числа в двоичную систему счисления. Причем все эти действия можно выполнять в уме. Так легко переводить небольшие числа и записывать меньшие числа справа налево исключая эти операции. 

Используя следующий  способ перевода мы можем существенно сократить время перевода. Чтобы его понять  нужно вспомнить как мы вычитаем в 10-СС  Например, если вычесть 15 из 115 мы получим100 т.е. на месте десятка и единицы мы пишем нули.

Если из двоичного числа 1011012 вычесть часть 11012 останется 1000002 единица и 5 нулей, а это 25=3210 остается только вычесть 1012 из 11012 зная, что 1012= 510 и 10002=810 осталось только сложить в уме эти числа 32+8+5=4510

Все эти числа можно представлять в уме как картинки вычитая их одно из другого получая в итоге результат.

Рассмотрим обратный алгоритм – перевод из двоичной системы в десятичную.

В в 10-СС   принята сокращенная запись числа поразрядно. Например, число 542. Мы его не записываем развернуто 5*102+4*101+2*100. Эта форма записи не удобна для восприятия и пользования.

Для примера, переведем из двоичной системы счисления в десятичную следующее двоичное число: 110112. Посчитаем количество разрядов данного числа (т.е. цифр). В данном числе их пять. Под каждой цифрой запишем основание системы счисления 2. Над каждой «двойкой» запишем степень, начиная с нулевого разряда справа налево.  Затем произведем умножение каждого разряда числа на соответствующую ему «двойку» в степени.  И эти произведения складываем между собой. Получаем искомое число в десятичной системе 2710.

110112 = 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 =  2710 

Приведем сокращенный вариант перевода данного числа.

Каждую единицу мы представляем в виде «двойки», возводим ее в степень справа налево, начиная с нулевой степени. Нуль представлять единицей не нужно, но возводить в степень надо.

Теперь об изучении второго аспекта данной темы -  сложении в разных системах счисления.

 Как мы складываем в десятичной системе счисления. Если сложить десятичные числа 15 и 5, мы не задумываясь сразу напишем 20. Это же пример запишем столбиком.

Разберем как мы получили такой результат.

Сначала складываем единицы: 5+5 = 10, т.е. при сложении двух единичных чисел появился новый десяток. Произошло переполнение разряда так как максимальное число алфавита  десятичной системы 9 и единица перешла в старший разряд.  Таким образом, мы единицы и десятки складываем отдельно друг от друга и к 1 в десятке числа 15 мы добавляем единицу из сложения 5+5 =10.

Любое число можно представить, как сумму отдельно единиц, отдельно десятков, сотен и т.д., например, 454 = 400 + 50 + 4.

Как мы складываем в двоичной системе счисления. Начнём с простого: 0+0 = 0, 1+0 = 1, 0+1 = 1. В 10-СС это выглядит точно так же. Теперь посложнее: в 10-СС это выглядит так: 1 + 1 = 2. В алфавите двоичной системы счисления «двойки» не существует. Происходит  переполнение разряда, записывается минимальное значение алфавита системы счисления и единица переходит в следующий разряд. Этот пример 12 + 12 = 102   запишем столбиком в двоичной системе

Усложняем задание: 11 + 1 =?, помня, что речь идет о двоичной системе!

При сложении двух единиц происходит переполнение разряда, так как максимальное число алфавита двоичной системы - 1, поэтому под двумя единицами получаем ноль, а 1 (единица) перешла в старший разряд, но там уже есть единица старшего разряда. Далее применяем тоже правило при сложении двух единиц. Происходит переполнение разряда, так как максимальное число алфавита двоичной системы это 1, поэтому под двумя единицами получаем ноль, а 1 (единица) перешла в старший разряд   112+12=1002.

Предложенные разные способы изучения перевода из одной системы счисления в другую  позволяют индивидуализировать процесс изучения материала и сделать его изучение более доступным для каждого ученика.