Имитационное моделирование
методическая разработка по информатике и икт (10 класс) по теме

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Все развитие науки связано с созданием и изучением моделей реальных систем, процессов и явлений. Язык науки требует, чтобы изучаемое явление (система, процесс) было описано на точном уровне, не допускающем принципиальных разночтений. Наиболее точны математические модели. На другом конце шкалы точности – текстовые модели, использующие по возможности однозначные понятия. Имитационные модели находятся между этими крайними точками шкалы точности.

В имитационном моделировании создаются и используются специальные приемы воспроизведения процессов, протекающих в реальных объектах, в тех моделях этих объектов, которые реализуются в вычислительных машинах.

Математическая модель может использоваться традиционным способом для получения какого-то частного решения (или проведения исследования какого-либо процесса). В сфере управления сложными системами  ( например, экономика ) применяется имитационное моделирование. Имитационное моделирование это не просто исследование поведения системы, но поиск наиболее оптимального пути ее развития.

Принимать решения, осуществлять управление часто приходится в условиях неполной и недостаточной информации. Стремление получить как можно больше информации об управляемых объектах и процессах, включая и особенности их будущего поведения, может быть удовлетворено только одним способом – путем исследования интересующих нас свойств на имитационных моделях.

Методы поиска наиболее выгодного режима основаны на пробном изменении входных величин и анализе результатов их воздействия на выходные параметры.

Имитационные модели составляются часто для задач управления. Управление – это организация какого-либо процесса, которая ведет к достижению поставленной цели. Особенность таких задач: во-первых, возможно не одно решение. Во- вторых , информация о процессе и обстановке является неполной. Составляется модель, более или менее точно отражающая реальную обстановку, и просчитывается, какие будут результаты, если выбрать то или иное направление. Когда появляется такая информация, принятие решения значительно облегчается.

Поскольку для достижения цели практически всегда существует несколько путей, а двигаться надо только по какому-то одному, необходимо выбрать оптимальный вариант, в некотором смысле самый удачный.

Для определения лучшего варианта решения из числа возможных пользуются критерием оптимальности или целевой функцией. Целевая функция является математическим выражением результата действия, направленного на достижение поставленной цели, поэтому ее и называют целевой функцией.

Формирование критерия оптимальности представляет трудную проблему измерения и сравнения многих разнородных переменных.

Критерием оптимальности могут быть различные параметры, например, в экономике можно стремиться к максимальному количеству выпускаемой продукции, а можно и к ее низкой себестоимости. Оптимальное развитие соответствует экстремальному ( максимальному или минимальному ) значению целевого параметра, выбранного как наиболее важный.

Развитие сложных систем зависит от множества факторов (параметров ), следовательно, значение целевого параметра зависит от множества параметров. Выражением такой зависимости является целевая функция

              К=F( X1, X2, … , Xn ) , где

К- значение целевого параметра;

Х1, Х2, … , Хn – параметры, влияющие на развитие системы.

Цель исследования состоит в нахождении экстремума этой функции и определении значений параметров, при которых этот экстремум достигается. Если целевая функция нелинейна, то она имеет экстремумы, которые находятся определенными методами.

Однако часто целевая функция линейна и, соответственно, экстремумов не имеет. Задача поиска оптимального режима  при линейной зависимости приобретает смысл только при наличии определенных ограничений на параметры ( Х1, Х2, … ,Хn ).

Если ограничения на параметры ( система неравенств ) также имеют линейный характер, то такие задачи являются задачами линейного программирования.

Рассмотрим экономическую задачу, состоящую в получении предприятием максимальной прибыли при производстве нескольких видов продукции.

Пусть предприятие производит два вида продукции ( П1 и П2 ), на производство которых расходуется три вида сырья ( С1, С2, С3 ), Запасы сырья на складе соответственно 200, 400, и 300 единиц. Количество единиц сырья, требуемых для изготовления единицы продукции, и  стоимость единицы продукции приведены в таблице.

Требуется определить количество продукции видов П1 и П2 (обозначим X и Y), продажа которых даст предприятию максимальную прибыль ( упрощаем и считаем, что ей соответствует максимальная стоимость проданной продукции ).

Тогда целевая функция имеет вид:

                                R=50*X + 40*Y

Система ограничений на значение параметров связана, в данном случае, с ограниченным количеством имеющегося в наличии сырья. Для

каждого вида сырья записываем ограничение (неравенство):

                                  2*X + 5*Y <= 200

                                  8*X + 5*Y <= 400

                                   5*X + 6*Y <= 300

Кроме того, известно, что предприятие не может произвести более 100 единиц каждой продукции (наличие производственных мощностей, рабочей силы, проблема сбыта и т.д.).

Таким образом, задача сводится к поиску максимального значения функции К с учетом ограничений на параметры Х и Y.

Самый простой с точки зрения программирования, но и самый неэффективный ( с точки зрения машинного времени ) способ поиска экстремума целевой функции состоит в следующем. Для всех возможных ( в данном случае от 0 до 100 ) X и Y за исключением тех значений, которые не удовлетворяют неравенствам, вычисляется значение целевой функции.

Затем в этой последовательности ищется максимальное значение К и распечатываются значения параметров Х и Y, при которых это значение функции К достигается.

Программа «Продукция» для реализации предложенной модели исследуется на компьютере

Рассмотрим  следующую задачу.

Необходимо оптимально разместить железнодорожную станцию на определенном участке железной дороги.

 Пусть на территории района, где имеются населенные пункты А, В и С, проходит железная дорога. Планируется построить станцию и от нее проложить дороги к населенным пунктам. Требуется определить наиболее удобное расположение для железнодорожной станции.

          Y

                                                                 B (x2, y2)

                   A (x1,y1)

                                                    N( xs )                    S

          O                                                                                 X

                                   C (x3, y3)

Исходными данными являются координаты населенных пунктов:

( Х1, Y1, X2, Y2, X3, Y3 ) и длина S км участка железной дороги, на которой планируется размещение железнодорожной станции.

Результатом должна явиться координата станции ( XS ), определяющая месторасположение станции.

Удобное расположение станции может пониматься по-разному.

1. « Удобное » может пониматься как экономически наиболее выгодное, то есть когда суммарная протяженность дорог от станции к населенным пунктам минимальна. Тогда целевая функция приобретает вид:  

        ____________       ___________       ____________          

                       К= (x-x1)^2+y1^2 +  (x-x2)^2+y2^2 +  (x-x3)^2+y3^2

В этом случае необходимо найти, при какой координате станции

( Х = XS ) эта функция минимальна ( К = КМ ).

2) Удобное расположение может пониматься и как социально справедливое, то есть когда наибольшее расстояние из трех от различных населенных пунктов до станции минимальное из всех возможных вариантов размещения станции.

В этом случае целевая функция принимает вид:

                   ____________     ____________     ____________

  Z = max( (x-x1)^2+y1^2 ,  (x-x2)^2+y2^2 ,  (x-x3)^2+y3^2 )

Функция Z является максимальным расстоянием до станции из трех от различных населенных пунктов. При этом надо найти, при какой из всех возможных координат станции ( X=XS ) функция Z принимает минимальное значение.

Метод решения, и в том, и в другом случае состоит в поиске приближенного значения XS в интервале значений от 0 до S c некоторым шагом R, при котором минимальны соответствующие выражения. Ясно, что полученное приближенное значение XS будет отличаться от истинного не более чем на величину шага.

Данный алгоритм разбивается фактически на две части. В первом случае ведется поиск минимального значения переменной К ( КМ ), значениями которой являются суммы расстояний от станции до населенных пунктов при различных координатах (Х) ее размещения. И определяется координата оптимального размещения станции (ХS), при которой значение переменной К минимально.

Во втором случае используется переменная М, значениями которой являются максимальные расстояния от станции до населенных пунктов при различных координатах (Х) ее размещения. Так как для каждого варианта  размещения станции необходимо определить значение наибольшего ( из трех ) расстояния до населенного пункта (значение переменной Z ), используется вспомогательный алгоритм поиска большего из трех.

Программа неоднократно вычисляет расстояния от станции до населенных пунктов, поэтому их целесообразно определить как функции пользователя.

За счет замены постоянных величин переменными проведено обобщение задачи с целью расширения области будущей программы. Это позволяет проводить исследования для различных вариантов размещения населенных пунктов, различной длины участка железной дороги, на котором планируется размещение станции, точности определения результата. Построив программу, выполним ее на компьютере.

Выполнение программы на компьютере позволяет рассчитывать местоположение железнодорожной станции по двум вариантам.

Рассмотрим результаты выполнения программы для следующих исходных данных:

X1=4, Y1=6, X2=12, Y2=9, X3=15,Y3=-3, S=20, R=1

По первому экономическому варианту получаем, что станцию необходимо строить на 12-том километре, а общая длина дорог до населенных пунктов равна 23 км.

По второму социальному варианту получаем, что станцию необходимо строить на 10-том километре, а максимальное расстояние от станции до населенного пункта равно 9 км.

Имитационное моделирование – это также метод получения информации, когда на поведение реальных объектов влияют случайные величины.

Имитационное моделирование является самым общим методом научных исследований. Кроме того, анализ модели позволяет выделить наиболее существенные свойства данной системы, на которые надо обратить особое внимание при принятии решения.

Используя имитационное моделирование можно, например:

Создать имитационные модели возникновения катастроф в экологических и социальных системах;

Разработать методы синтеза высоконадежных самоприспосабливающихся систем регулирования для особо ответственных технических объектов;

Применить гомеостатические принципы управления в искусственном интеллекте;

Разработать методы анализа поведения человеческих коллективов и так далее.