Логические операции и решение задач из математической логики
презентация к уроку по информатике и икт (10 класс) по теме

Основные понятия алгебры логики. Логические операции.
Урок 1:
Высказыванием называется любое повествовательное предложение, про которое известно, что оно или истинно, или ложно.
Например:Жирафы летят на север. - Ложное высказывание.Треугольник - это геометрическая фигура. - Истинное высказываниеЧисло 6 не делится на 2. - Ложное высказывание.Посмотрите на доску. – Не высказывание.
Высказывание считается простым, если никакую его часть нельзя рассматривать как отдельное высказываниеВысказывание, которое можно разложить на части называется сложным (составным).
В математической логике высказывания обозначают большими латинскими буквами.Например:А = Москва– столица России.С = Все растения ядовиты.
Простые высказывания называются логическими переменными Например:А = «Луна является спутником Земли.» → А = 1В = «Москва – столица Германии.» → В = 0
Любое высказывание может быть ложно (=>0) или истинно (=>1).
!
Сложные высказывания называются логическими функциями, а значение логической функции также может принимать значения только 0 или 1.
Составные (сложные) высказывания строятся из простых с помощью логических связок: "и", "или", "не", «если …, то…», «…тогда и только тогда, когда…» и др.
Например
обозначимЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ - ЛОГИЧЕСКИМИ ОПЕРАЦИЯМИи получим с их помощью (составные) высказывания
I. Операция – логическое умножение
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно при помощи союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией
В алгебре логики конъюнкция обозначается значком «&» либо «Λ»
Высказывание вида A & B (А конъюнкция B ) истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания и А и B
0
1
2
3
A
B
А & B
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
Таблица истинности для А & В
II. Операция – логическое сложение
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно при помощи союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией
В алгебре логики дизъюнкция обозначается значком «V» либо «+»
Высказывание вида A V B (А дизъюнкция B ) истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых (элементарных) высказываний
Союз «или» употребляется в неисключающих друг друга случаях.
A
B
А V B
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
Таблица истинности для А V В
III. Операция – логическое отрицание
Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией
В алгебре логики инверсия обозначается значком « ¬ » либо чертой над высказыванием «Ā»
Рассмотренные выше операции были двуместные, т.е. выполнялись над двумя высказываниями. В алгебре логики широко применяется и одноместная операция – операция отрицание.
Высказывание вида Ā (инверсия А) делает истинное высказывание ложным и , наоборот, ложное - истинным
Например
А
А
1
0
0
1
Таблица истинности для Ā
IV. Операция – логическое следование
Объединение двух высказываний с помощью оборота речи «если …, то …» называется операцией логического следования или импликация
В алгебре логики импликация обозначается значком « → »
Высказывание вида A → B (А импликация B ) ложно тогда и только тогда, когда А – истинно, а B – ложно (т.е. из истинного высказывания следует ложное)
A
B
А  B
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
Таблица истинности для А → В
V. Операция – логическое равенство
Объединение двух высказываний с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …» называется операцией логического равенства или эквивалентность
В алгебре логики эквивалентность обозначается значком « ↔ »
Высказывание вида A ↔ B (А эквивалентность B) истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны
A
B
А ↔ B
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Таблица истинности для А ↔ В
Решение логических выражений через построение таблиц истинности
Урок 2:
Применяя логические операции, мы можем решить любые логические выражения:Для этого простые логические высказывания обозначим как логические переменные – буквами;Свяжем их с помощью знаков логических операций. Такие формулы в алгебре логики называются логическими выражениями.
Например:
Для определения значения логической функции необходимо помнитьпорядок выполнения логических операций по убыванию старшинства
Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.
F (X,Y,Z) =X + Y Λ Z
Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке: 1. инверсия; 2. конъюнкция; 3. дизъюнкция; 4. импликация; 5. эквивалентность.
Для построения таблицы истинности любой логической функции следует соблюдать:1. определить кол-во строк таблицы – 2n , где n = кол-ву логических переменных;2. определить кол-во столбцов таблицы- оно равно кол-ву логических переменных + кол-во логических операций;
Для построения таблицы истинности любой логической функции следует соблюдать:3. построить таблицу истинности с найденным кол-вом строк и столбцов + строка с названием столбцов;4. заполнить столбцы таблицы, выполняя логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.
Количество входных переменных равно трем (X,Y,Z), а значит строк Q= 23 = 8 +1 =9 (заголовки столбцов). 2. Количество столбцов равно 6 (3 переменные + 3 операции).
F (X,Y,Z) =X + Y Λ Z
Вернёмся к нашему примеру:
Определим значение логической функции

X
Y
Z
X
Y Λ Z
X+ Y Λ Z
F (X,Y,Z) =X + Y Λ Z
Значение логической функции

X
Y
Z
X
Y Λ Z
X+ Y Λ Z
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
F (X,Y,Z) =X + Y Λ Z
Подробное решение
Математическая логика - решение задач
Урок 3:
1)F= (0 \/ 0) \/ (1 \/ 1)2)F= (1 \/ 1) \/ (1 \/ 0)3)F= (0 Λ 0) Λ (1 Λ 1)4)F= ¬1 \/ (1 Λ 1) Λ (¬0 Λ 1)
Найдём значения логических выражений:
0
1
1
1
1
1
0
1
1
Ответ: 1
Ответ: 1
Ответ: 0
Ответ: 1
Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание ((X > 3) → (X > 4))
Решение:В записи логического высказывания стоит отрицание сложного высказывания. Если ((X > 3) –> (X > 4)) = 1 (истинно), то (X > 3) –> (X > 4) = 0 (ложно)
1) 1 2)2 3) 3 4) 4
Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание ((X > 3) → (X > 4))
Решение:
1) 1 2)2 3) 3 4) 4
Импликация ложна в единственном случае - когда из истинного высказывания следует ложное,тогда (X > 3) = 1, а (X > 4) = 0.Получаем, что X должно быть задано в диапазоне: X > 3 и X ≤ 4. Только одно число входит в этот промежуток – это 4 Правильный ответ – 4.
Смотреть другие задания
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !