Разработка уроков по теме "Построение графиков".
методическая разработка по информатике и икт (9 класс) на тему

Предмет Информатика и информационные технологии

Тема «Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений»
Разработка учителя МОУ УСОШ №5 с углублённым изучением отдельных  предметов Горбиной Елены Анатольевны

Место: Тема входит в раздел «Графические возможности языка программирования».

Тип уроков   – комбинированный – включает как усвоение нового материала в виде лекции с элементами беседы, так и формирование умений и навыков в виде практической работы за компьютерами.

Цели и задачи:

1. образовательные:

1. усвоить принцип построения точечного графика;
2. получить навыки построения точечного графика элементарной функции с помощью известных операторов графики;
3. закрепить навыки вывода текстовой информации в графическом режиме;
4. закрепить навыки написания арифметических выражений на языке QBASIC;

1. сформировать умение использовать построенный график для решения алгебраических уравнений;
2.  укрепить межпредметные связи информатики с алгеброй и геометрией.

2. развивающие:

5. выработать умение применять знания, полученные на информатике при изучении других предметов;
6. развить умение делать выводы, самостоятельно проводить исследования и принимать решения.

3. воспитательные:

7. сформировать у учащихся представление о компьютере, как о средстве помогающем решать трудоёмкие задачи и экономящем время для творческой работы.

Программно-методическое обеспечение:

1. интерактивная доска;
2. персональные компьютеры для каждого ученика;
3. система программирования QBASIC.

Урок 1

Тема: «Построение графиков элементарных функций»

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие. Тема урока.  Цели урока. (1 мин)

2. Актуальность знаний.  (2 мин)

При изучении математики очень часто возникает необходимость в построении графиков функций. Это занимает большую часть времени на уроке. Частично уменьшить  затраты времени может помочь компьютер, который обладает замечательным качеством – способностью воспроизводить графическое изображение на экране монитора. Трудно переоценить методическую значимость машинной графики.  Вычерченный машиной график, помимо наглядности и точности,  даёт наиболее эффективные возможности обнаружения и исправления ошибок по сравнению с другими формами представления знаний. Кроме того, беря на себя трудоемкую часть работы, компьютер освобождает время для исследовательской творческой работы, появляется возможность делать самостоятельные выводы, работая с большим объемом изучаемого материала.

3. Изучение нового материала.

1. Построение эскиза. (20 мин)

Для построения графика будем использовать графический режим №12, разрешение которого 640 точек по горизонтали и 480 точек по вертикали. При построении обращаем внимание на то, что  начало координат экрана находится в левом верхнем углу экрана, а ось ОY экрана направлена вниз.

320,0

Х

640,0

ymax

у

0,0

b

a

320,240

0,240

640,240

dx

0

х

хt,уt

ymin

Y

320,480

0,480

640,480

Обращаем внимание на то, что мы строим точечный график, а значит нужно

1. вычислить значение функции у при определённом значении х,
2. перевести значения x и y в координаты точки на экране xt  и yt,
3. изобразить точку с этими координатами (оператор PSET),
4. увеличить значение х на небольшую величину dx и повторить всё c пункта1.

Вводим  условные обозначения:

а, b – границы диапазона изменения аргумента х;

ymin, ymax –  границы диапазона изменения функции у;

mx, my –  масштабные коэффициенты по осям ОХ и ОY – определяют количество точек экрана на единичное значение аргумента и функции

n – количество точек графика;

dx – шаг изменения аргумента         

x, y – значения аргумента и соответствующее ему значение функции;

xt, yt – координаты точки графика на экране;

xt = x · mx + 320

 yt = – y · my + 240

2. Физкультминутка – упражнения для глаз, спины и шеи.  (2 мин)

3. Написание программы. (20 мин)

'Предварительные вычисления

a = –10  :  b = 10

ymin = –10  : ymax = 10

mx = 640 / (b – a)

my = 480 / abs(ymax – ymin)

n = 3000  : dx = (b – a) / n

'Построение системы координат с сеткой

SCREEN 12

FOR x = 0 TO 640 STEP mx                'вертикальная разметка

LINE (x, 0) – (x, 480), 8

NEXT x

LINE (320, 0) – (320, 460), 10                'вертикальная ось

LINE (320, 0) – (325, 5), 10                        'стрелка на вертикальной оси

LINE (320, 0) – (315, 5), 10

LOCATE 1, 42: PRINT "y"

FOR y = 0 TO 480 STEP my                'горизонтальная разметка  

LINE (0, y) – (640, y), 8                         'самостоятельно на ПК

NEXT y

LINE (0, 240) – (630, 240), 10      

LINE (630, 240) – (625, 245), 10

LINE (630, 240) – (625, 235), 10

LOCATE 17, 78: PRINT "x"

LOCATE 17, 42: PRINT "0"

'Построение точечного графика

FOR x = a TO b STEP dx 

        y = x ^ 2                                        'Построение параболы

        xt = x * mx + 320

        yt = – y * my + 240

        PSET (xt, yt), 12

NEXT x

END

Урок 2

4. Набор, отладка и сохранение программы. (18 мин)

Ученики  набирают программу в индивидуальном темпе, добавляя пропущенную часть с горизонтальной разметкой. Построение графика будет происходить прямо на глазах у учащихся. После окончания построения необходимо обратить внимание учащихся на правильность построения – парабола должна проходить через точки (1;1), (–1;1), (2;4) и (–2;4).

5. Физкультминутка – упражнения для глаз, спины и шеи. (2 мин)

6. Работа с программой. (25 мин)

Учащимся предлагаются карточки для проведения индивидуальной практической работы. Для построения графиков других функций необходимо в цикле построения графика записать новую формулу. Каждый построенный график анализируется и демонстрируется учителю.

1) y = x                         2) y = |x|                                3) y = - 2x + 5

4) y = - 2x2                5) y = -2x2 + 6x + 5                6) y = 2x

7) y = |x2 + 6x| - 4        8) y = 2x3 – 6x + 4                9) y = 4/x

10) y = cosx                11) y = sinx                        12) y = tgx

Ответы:

1.   2)  3)

 4)  5)   6)

7.   8)  9)

10) 11) 12)  

Урок 3

Тема: «Приближённое решение уравнений с использованием графика функции»

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие. Тема урока. Цели урока. (1 мин)

2. Изучение нового материала.  (15 мин)

Построенный график функции может быть использован для приближённого решения уравнений вида f(x)=0. Корни этого уравнения являются точками пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.

Пример. Решить уравнение х2 – 5х + 4= 0, используя программу построения графиков функций.

На интерактивной доске запускается программа построения графиков и строится график функции у = х2 – 5х + 4.

Отмечаем две точки пересечения графика с осью ОХ: (1;0) и (4;0). Значит, уравнение х2 – 5х + 4= 0 имеет два корня х1 = 1 и х2 = 4.

3. Физкультминутка – упражнения для глаз, спины и шеи.  (2 мин)

4. Работа с программой. (27 мин)

Учащимся предлагаются карточки для проведения индивидуальной практической работы. Каждое решённое уравнение оформляется в рабочей тетради в виде схематического эскиза графика и решения. Правильность решения контролируется учителем.

1)  x + 1 = 0                 2) x2 – 4 = 0

3) х3 – х2 = 0                4) |x2 - 5| + 1= 0

5) x3 –  x – 6 = 0                6)  |x2 – |x| – 2| = 0

7) ( x2 – 1)3 =  0                8) 2x3 – 6x + 4 = 0

Ответы:

1. х = -1          2) х1 = -2;  х2 = 2

3) х1=0;х2=1 4) нет решений         

5) х = 2      6) х1=-2; х2=2

7) х1= -1;  х2 = 1   8) х1= -2;  х2 = 1

Урок 4

Тема: «Приближённое решение уравнений с использованием графика функции»

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие. Тема урока. Цели урока. (1 мин)

2. Изучение нового материала.  (25 мин)

Построенный график функции может быть использован для приближённого решения уравнений вида f1(x) = f2(x). Корни этого уравнения являются точками пересечения графиков функций y = f1(x)  и у = f2(x).

Пример. Решить уравнение , используя программу построения графиков функций.

Чтобы найти решения этого уравнения можно построить графики двух функций y1 =  и , а затем найти точки пересечения графиков.

Для того чтобы построить два графика в одной системе координат можно воспользоваться двумя способами:

Способ 1. 

Добавить в программу второй цикл для построения графика, в котором изменить функцию и цвет точек. Получим:

'Построение первого точечного графика

FOR x = a TO b STEP dx                 

        y = (7 * x + 4) / (x^2 + 5)

        xt = x * mx + 320

        yt = – y * my + 240

        PSET (xt, yt), 12

NEXT x

'Построение второго точечного графика

FOR x = a TO b STEP dx                 

        y = 0.6 * x ^ 2 – 5 * x + 9.5

        xt = x * mx + 320

        yt = – y * my + 240

        PSET (xt, yt), 14

NEXT x

На интерактивной доске запускается программа и строятся графики двух функций. Обращаем внимание, что в этом случае графики строятся один за другим, сначала первый, потом второй.

Способ 2.

Добавить в программу вторую функцию y1, координату yt1 и оператор PSET для второго графика. Значение аргумента х и координата точек xt у двух графиков одинаковая. Получим:

'Построение двух точечных графиков одновременно

FOR x = a TO b STEP dx 

        y = (7 * x + 4) / (x^2 + 5)

y1= 0.6 * x ^ 2 – 5 * x + 9.5

        xt = x * mx + 320

        yt = – y * my + 240

yt1 = – y * my + 240

        PSET (xt, yt), 12

PSET (xt, yt1), 14

NEXT x

Отмечаем две точки пересечения графиков друг с другом: (2;2) и (6;1). Значит, уравнение имеет два корня х1 = 2 и х2 = 6.

3. Физкультминутка – упражнения для глаз, спины и шеи. (2 мин)

4. Работа с программой. (17 мин)

Учащимся предлагаются карточки для проведения индивидуальной практической работы. Каждое решённое уравнение оформляется в рабочей тетради в виде схематического эскиза графика и решения. Правильность решения контролируется учителем.

1)  x + 1 =  x2 – 5                        2) х3 =  –  х2 + 2

3) |x2 - 5|  = 4                                 4) – x3 +  x + 6 = |x2 – |x| – 2|

5) 2x3 – 6x + 4 = х2 – 4                6)  3/x = х + 2

1. х1=-2; х2 =3   2) х=1

3) х1=-4; х2=-1; х3=1; х4=4   4)х=2

5) х1=-2; х2 = 1  6) х1=-3;  х2=1

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

1 вариант

1. Наберите программу построения точечных графиков элементарных  функций.

2. Постройте график функции y = | |x2 – 2х | – 8| на экране и перенесите его в тетрадь.

3. Решите уравнение | |x2 – 2x | – 8| = 0, используя построенный график

4. Решите уравнение  4 |x| – х3 = 2x + 7. 

2 вариант

1. Наберите программу построения точечных графиков элементарных  функций.

2. Постройте график функции y = | |0,5x2 – 5 | – 3| на экране и перенесите его в тетрадь.

3. Решите уравнение  | |0,5x2 – 5 | - 3| = 0, используя построенный график.

4. Решите уравнение  4 – 2x  = х3 – 4 |x|.

Решение:

1 вариант

2.  Постройте график функции y = | |x2 – 2x | – 8| на экране и перенесите его в тетрадь.

Для построения необходимо грамотно записать арифметическое выражение на языке QBASIC Y = ABS ( ABS ( X ^ 2 – 2 * x ) – 8 ), построить график, а затем  перенести 9 точек с координатами (–4;7), (–2;0), (–1;5), (0;8), (1;7), (2;8), (3;5), (4;0), (5;7) на бумагу и соединить их.

3. Решите уравнение | |x2 – 2 * x | – 8| = 0, используя построенный график.

Отмечаем две точки пересечения графика с осью ОХ: (–2;0) и (4;0). Значит, уравнение | |x2 – 2 * x | – 8| = 0 имеет два корня х1 = –2 и х2 = 4.

4. Решите уравнение  4 |x| – х3 = 2x + 7.

Чтобы найти решения этого уравнения нужно построить графики двух функций Y1 = 4 * ABS(X) – X ^ 3 и Y2 = 2 * X + 7, а затем найти точки пересечения графиков.

Отмечаем одну точку пересечения графиков друг с другом: (–1;5). Значит, уравнение имеет один корень х = – 1.

2 вариант

2. Постройте график функции y = | |0,5x2 – 5 | – 3| на экране и перенесите его в тетрадь.

Для построения необходимо грамотно записать арифметическое выражение на языке QBASIC Y = ABS(ABS(0.5 * X ^ 2 – 5) – 3)), а затем  перенести 9 точек с координатами (–5,5;7), (–4;0), (–3;3), (–2;0), (0;2), (2;0), (3;3), (4;0), (5,5;7) на бумагу и соединить их.

3. Решите уравнение | |0,5x2 – 5 | – 3 = 0, используя построенный график.

Отмечаем четыре точки пересечения графика с осью ОХ: (–4;0), (–2;0), (2;0), (4;0). Значит, уравнение | |0,5x2 – 5 | – 3 = 0 имеет 4 корня х1 = –4, х2 = –2, х3 = 2, х4 = 4.

4. Решите уравнение  4 – 2x  = х3 – 4 |x|.

Чтобы найти решения этого уравнения нужно построить графики двух функций Y1 = 4 – 2 * X   и Y2= X ^ 3 – 4 * ABS(X), а затем найти точки пересечения графиков.

Отмечаем одну точку пересечения графиков друг с другом: (2;0). Значит, уравнение имеет один корень х = 2.

Для оценивания этой контрольной работы предлагается следующая схема, которая сообщается учащимся до начала работы. Правильно набранная работающая программа (правильность работы должна быть самостоятельно проверена учащимися с помощью известной функции, например у=х или у=х2) и выполненное в тетради задание №2 оцениваются оценкой «удовлетворительно». Задания №1 + №2 + №3 – оценкой «хорошо», все задания – оценкой «отлично».

Приложение 1.

Изучение темы «Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений» на языке Visual Basic.

1. На форме размещаются два инструмента Picture1, Command1.

Вывод графика осуществляется в Picture1. Отличие состоит в том, что не надо вводить масштабные коэффициенты. С помощью оператора Picture1.Scale (a, ymax)-(b, ymin) создаётся нормальная система координат с нулем в центре Picture1. В скобках указываются координаты двух противоположных углов системы координат. В нашем случае (-10,10) и (10,-10). Благодаря такой системе координат нет необходимости пересчитывать значения X и Y в координаты экрана.

2. Создаём процедуру для командной кнопки:

Private Sub Command1_Click()

a = -10: b = 10: ymin = -10: ymax = 10 : n = 3000: dx = (b - a) / n

'Задание масштаба

Picture1.Scale (a, ymax)-(b, ymin)

'Вертикальная разметка

For I = a To b

Picture1.Line (I, ymin)-(I, ymax), vbGreen

Picture1.PSet (I, 0)  :  Picture1.Print I                        'Числа на оси

Next I

'Горизонтальная разметка

For I = ymin To ymax

Picture1.Line (a, I)-(b, I), vbGreen

Picture1.PSet (0, I)  :   Picture1.Print I

Next I

'Ось ОХ

Picture1.Line (a, 0)-(b, 0), vbBlue

'Ось ОY

Picture1.Line (0, ymin)-(0, ymax), vbBlue

'Построение графика

Picture1.DrawWidth = 3                         'Толщина линии графика

Picture1.ForeColor = vbRed                'Цвет линии графика

For X = a To b Step dx

        Y = X ^ 2 - 7

        Picture1.PSet (X, Y)

Next X

End Sub

3. В результате получается:

Приложение 2.

Раздаточный материал

Построить графики функций:

1) y = x                                 2) y = |x|                                3) y = – 2x + 5

4) y = – 2x2                        5) y = –2x2 + 6x + 5        6) y = 2x

7) y = |x2 + 6x| – 4                8) y = 2x3 – 6x + 4                9) y = 4/x

10) y = cosx                        11) y = sinx                        12) y = tgx

Решить  уравнения, используя графики:

1)  x + 1 = 0                                 2) x2 – 4 = 0

3) х3 – х2 = 0                                4) |x2 - 5| + 1= 0

5) x3 –  x – 6 = 0                        6)  |x2 – |x| – 2| = 0

7) ( x2 – 1)3 =  0                                8) 2x3 – 6x + 4 = 0

Решить  уравнения, используя графики:

1)  x + 1 =  x2 – 5                        2) х3 =  –  х2 + 2

3) |x2 – 5|  = 4                                 4) – x3+ x+6 = |x2–|x|–2|

5) 2x3 – 6x + 4 = х2 – 4                6)  3/x = х + 2

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Тема «Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений»

1 вариант

1. Наберите программу построения точечных графиков элементарных  функций.

2. Постройте график функции y = | |x2 – 2х | – 8| на экране и перенесите его в тетрадь.

3. Решите уравнение | |x2 – 2x | – 8| = 0, используя построенный график

4. Решите уравнение  4 |x| – х3 = 2x + 7. 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Тема «Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений»

2 вариант

1. Наберите программу построения точечных графиков элементарных  функций.

2. Постройте график функции y = | |0,5x2 – 5 | – 3| на экране и перенесите его в тетрадь.

3. Решите уравнение  | |0,5x2 – 5 | - 3| = 0, используя построенный график.

4. Решите уравнение  4 – 2x  = х3 – 4 |x|.