Логика – наука о законах и формах мышления
статья по информатике и икт (9 класс) по теме

Логика – наука о законах и формах мышления.

Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно.

Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть.

Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом.

Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение.

Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0).

Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций.

Логические операции и таблицы истинности.

          F = A & B.

Логическое умножение  КОНЪЮНКЦИЯ  - это новое  сложное выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза И.

F = A + B 

Логическое сложение – ДИЗЪЮНКЦИЯ - это новое сложное выражение будет истинным тогда и только тогда, когда  истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза ИЛИ.

Логическое отрицание : ИНВЕРСИЯ - если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным/ Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова                                                                                                                                                                                                                                            НЕВЕРНО, ЧТО

Логическое следование:  ИМПЛИКАЦИЯ - связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В)– следствием из этого условия. Результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначается символом  "следовательно"  и  выражается словами ЕСЛИ … , ТО …

Логическая равнозначность: ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ - определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В. Результатом ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ является новое логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны. Обозначается символом "эквивалентности"

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

1. инверсия

2. конъюнкция

3. дизъюнкция

4. импликация

5. эквивалентность

 Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.

Построение таблиц истинности для сложных выражений:

Количество строк = 2n + две строки для заголовка  (n - количество простых высказываний)

Количество  столбцов = количество переменных + количество логических операций

При построении таблицы надо учитывать все возможные сочетания логических значений 0 и 1 исходных выражений. Затем – определить порядок действий и составить таблицу с учетом таблиц истинности основных логических операций.

ПРИМЕР:  составить таблицу истинности сложного логического выражения D = неA & ( B+C )

А,В, С - три простых высказывания, поэтому :

количество строк  = 23 +2 = 10 (n=3, т.к. на входе три элеманта А, В, С)

количество столбцов :  1) А

2) В

3) С

4) не A  это инверсия А  (обозначим Е)

5) B + C это операция дизъюнкции (обозначим F)

6) D = неA & ( B+C ), т.е. D = E &  F это операция конъюнкции

Базовые логические элементы компьютера:



                           Логический элемент И

конъюнктор

1

                          Логический элемент ИЛИ

дизъюнктор

    Логический элемент НЕ

инвертор

Приоритет логических операций:

1) инверсия   2) конъюнкция   3) дизъюнкция  4) импликация и эквивалентность

 Как составить таблицу истинности?

Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре:

(0, 0),     (0, 1),     (1, 0),     (1, 1).

Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь   (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т.д.

Удобной формой записи при нахождении значений формулы является таблица, содержащая кроме значений переменных и значений формулы также и значения промежуточных формул.

Примеры.

1. Составим таблицу истинности для формулы , которая содержит две переменные x и y. В первых двух столбцах таблицы запишем четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих столбцах - значения промежуточных формул и в последнем столбце - значение формулы. В результате получим таблицу:

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 1, то есть является тождественно истинной.

2. Таблица истинности для формулы :

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 0, то есть является тождественно ложной.

3. Таблица истинности для формулы :

Из таблицы видно, что формула в некоторых случаях принимает значение 1, а в некоторых - 0, то есть является выполнимой.

Пример1: 

Вася спросил у мамы: «Можно пойти в кино или на футбол?»  Мама ответила отрицательно. Как поступить мальчику?

   ( А  В)    =    А    В     (Закон де Моргана)

Проверим правильность этого закона с помощью таблицы истинности.

Пример2:

В классе оказалось разбито стекло. Учитель объясняет директору: это сделал Коля или Саша. Но Саша этого не делал, т.к. в это время сдавал мне зачет. Следовательно, это сделал Коля.

 Решение: Формализуем данное сложное высказывание.

                      К – это сделал Коля

                      С – это сделал Саша

Кол-во простых высказываний n = 2.

Форма высказывания:  Е  =  ( К  C ) &  С   К

1. Определить количество строк и столбцов в таблице истинности.

Т.к. каждое из простых высказываний может принимать всего два значения (0 или 1), то количество разных комбинаций значений n высказываний – 2 n   .  

Количество строк в таблице =  2 n   +  строка на заголовок.

Количество столбцов в таблице равно сумме количества простых высказываний (n) и количества разных логических операций, входящих в сложное высказывание.

В нашем примере:  количество строк  -   22  + 1 = 5 ,            

                                             столбцов –     2 + 4  = 6

2. Начертить таблицу и заполнить заголовок

Первая строка – номера столбцов.

Вторая строка промежуточные формулы и соответствующие им условные записи операций над значениями .

3. Заполнить первые n столбцов.

В нашем примере сначала заполняем 1-й и 2-й столбцы.

4. Заполнить остальные столбцы.

В соответствии с таблицами истинности соответствующих логических операций, причем при заполнении каждого столбца операции выполняются над значениями одного или двух столбцов, расположенных левее заполняемого.

     Итак,  вычисляем значения 3-го столбца по значениям 2-го, потом значения 4-го – по значениям 1-го и 2-го…

Вывод: получили в последнем столбце все единицы. Значит, значение сложного высказывания истинно при любых значениях простых высказываний К и С. Следовательно, учитель рассуждал логически правильно.