Разработки уроков по теме "Системы счисления"
методическая разработка по информатике и икт по теме

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Урок 1

 Тема: Общие сведения о системах счисления.

Позиционные и непозиционные системы счисления.

Цель: Познакомить с понятием системы счисления, отличием позиционных от непозиционных систем счисления, понятием основания позиционной системы счисления. Дать навыки расшифровки чисел, записанных в позиционных системах счисления (на примере десятичных чисел).

Общие сведения

Наиболее точной моделью числа является его запись. Запись числа возникла давно и связана с важнейшей практической потребностью – запоминанием числа. Действительно, после того как число записано,  набор камешков, палочек и прочих используемых для счета предметов освобождается для работы с другими числами.

На протяжении тысячелетий формы записей чисел претерпевали большие изменения. Сначала многие народы имели свои отдельные системы записи чисел. До настоящего времени дошли лишь некоторые из них.

Существуют различные формы представления одного и того же числа, различные системы записи числа.

Способ записи с помощью выделенного набора специальных знаков (цифр) называется системой счисления.

Наиболее распространенная у нас система счисления – десятичная.

??

Все существующие системы счисления можно разделить на два типа:

• Позиционные
• Непозиционные

Рассмотрим каждый из этих типов

Непозиционные системы счисления

К этому типу относится,  например римская система счисления.

Для записи чисел в ней используется  7 специальных обозначений:

I – единица,

     V – пять,        C – сто,

X – десять,        D – пятьсот,        

L – пятьдесят,          M – тысяча, которые называют римскими цифрами.

При записи чисел пользуются определенными правилами:

• Написанные друг за другом одинаковые цифры обозначают их сумму, например, II – два;
• Если меньшая цифра стоит перед большей, то из большей вычитается меньшая, например IV – четыре;
• Если после, то цифры складываются, например XI – одиннадцать.

Римскую систему счисления называют еще и аддитивной, (additio – сложение), т.к. число образуется сложением значений отдельных цифр. Например,                 XII = X+I+I

                        XXI=X+X+I

                        XIX=X+X+(-I)

                        LXI=L+X+I

??

Более привычна для нас десятичная система счисления. Она является позиционной системой счисления.

Позиционные системы счисления

Рассмотрим позиционные системы счисления на примере десятичной системы. Сначала немного истории.

Десятичная система счисления возникла около V века нашей эры в Индии и стала распространяться на Восток и Запад. В Европу эта система вошла вместе с переводами арабских рукописей и поэтому получила название арабской. Десятичная система счисления получила распространение во всем мире, что можно объяснить удобство счета десятками (человек всегда пользовался для подсчета пальцами).

В десятичной системе счисления значение каждой цифры определяется ее местом в записанном числе.

Например:        в записи числа 222 цифра 2 повторяется трижды, при этом цифра 2, стоящая слева, означает количество сотен, стоящая в центре – количество десятков и справа – количество единиц.

Теперь мы можем сформулировать отличие позиционных систем счисления от непозиционных и их преимущества над непозиционными системами.

Отличия

• В непозиционных системах счисления значение цифры НЕ ЗАВИСИТ от ее положения в записи числа.

Например:         у числа ХХХ (тридцать) цифра Х в любом месте означает число десять.

• В позиционных системах счисления значение каждой цифры ИЗМЕНЯЕТСЯ С ИЗМЕНЕНИЕМ ее ПОЗИЦИИ (положения) в последовательности цифр, изображающих число.

Например:        у числа 321 цифра 3 означает 300, цифра 2 - 20, а цифра 1 – 1.Преимущества

• Выполнение арифметических операций производится достаточно легко (даже над очень большими числами).

Например:        выполните следующие операции LXVII +CCXXI,

                67+221

• У чисел, записанных в позиционной системе счисления, более краткая запись.

Например:        запишите в римской системе счисления число 495 и  сравните обе записи (десятичную и римскую) числа.

В дальнейшем мы будем изучать позиционные системы счисления.

Итак, позиционная система счисления – это система счисления, в которой значение цифр определяется их местом (позицией) в записанном числе.

Позиции цифр в записи числа называют его разрядами.

В любой позиционной системе счисления для записи любого числа используется только строго определенное количество введенных цифр. В десятичной системе счисления, как известно, введено 10 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Количество различных цифр, используемых в позиционных системах счисления для изображения произвольных чисел, называют основанием системы счисления.

Например: десятичная система счисления имеет основание десять.

Это значит, что для представления каждого числа нужно 10 цифр, при этом все числа большие 9 выражаются при помощи использующихся степеней числа 10.

Тогда можно сказать, что основание системы счисления – отношение соседних разрядов.

Например: для записи числа 12 надо в младший разряд записать 2, а в более старший – 1. при этом цифра 1 будет означать количество десятков, а цифра 2 – единиц.

Любое целое десятичное число, например «триста двадцать  пять», можно представить таким образом:

300 + 20 + 5 = 3 * 100 + 2 * 10 + 5 = 3 * 102  + 2 * 101 + 5 * 100 и в десятичной системе счисления записать так: 325.

В общем виде любое целое число N (например, трехзначное) в десятичной системе изображается таким образом:

N10  = a2*102 + a1*101 + a0*100

Здесь N10  в виде индекса (внизу) записывают основание системы счисления,
для того чтобы различать в какой системе записано число.

В десятичной системе счисления индекс можно опускать (при отсутствии индекса число считается десятичным), но в других системах счисления он необходим.

Далее:  a0, a1, a2 – цифры десятичной системы счисления из набора 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

цифры a0, a1, a2 называют коэффициентами разложения, а число N сокращенно изображается  строкой a2 a1 a0, т.е. можно сказать, что поиск разложения любого числа в позиционной системе счисления сводится к поиску (выделению) коэффициентов разложения.

В общем виде целое число N (любой значности) - в десятичной системе счисления изображается так:

N = an*10n + an-1*10n-1 + … + a1*101 + a0*100,                (1)

где цифры a0, a1, …, an – коэффициенты  разложения.

Теперь рассмотрим полную формулу разложения любого числа и в десятичной системе счисления:

N=an*10n  +  an-1*10n-1 + … + a0*100 + a-1*10-1 + … + a-m*10-m,                (2)

где  a-m, a-m-1… - коэффициенты (целые числа от 0 до 9)

Например: 12.27=10+2+0.2+0.07=10+2++= 1*101+2*100+2*10-1+7*10-2

 Десятичная система счисления является самой распространенной, но не единственной позиционной системой счисления, существуют и другие (с любым целым основанием, большим 1). Они основываются на тех же принципах, что и десятичная система счисления.

Например: для пятеричной системы счисления формула разложения любого числа будет такой

N5=an*5n + an-1*5n-1 + … + a0*50 + … + a-m*5-m              (3)

где a-m, …, an – коэффициенты разложения (целые числа от 0 до 4)

Искомая формула выглядит так:

Np=an*pn + an-1*pn-1 + … + a0*p0 + a-1*p-1 + … + a-m*p-m           (4)

где a-m, a-m-1, … - коэффициенты (целые числа от 0 до p-1);

 p – основание системы счисления

Итак,  

• Перевод любого десятичного числа в любую позиционную систему счисления сводится к поиску коэффициентов разложения;
• Перевод числа из любой позиционной системы счисления в десятичную можно осуществить при помощи формулы (4), получив результат ее правой части.

Задание на дом

Знать:

• Определение системы счисления,
• Отличия позиционной системы счисления от непозиционной системы,
• Преимущества позиционной системы счисления над непозиционной,
• Определение позиционной системы счисления, основания системы счисления.
•  Формулу записи любого числа N в десятичной системе счисления, в системе счисления с основанием P.

Уметь:    представить разложение любого целого числа в десятичной системе счисления.

Получите разложение следующих чисел: 2185, 10.56, 283.1, 232, 1.234

Ответы:

2185 = 2*103 + 1*102 + 8*101 + 5*100

10.56 = 1*101 + 5*10-1 + 6*10-2

283.1 = 2*102 + 8*101 + 3*100 + 1*10-1

232 = 2*102 + 3*101 + 2*100

1.234 = 1*100 + 2*10-1 + 3*10-2 + 4*10-3

Урок 2

 Тема:  Двоичная система счисления

Цель:  Дать определение двоичной системы счисления, понятие бита. Дать навыки перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную и наоборот.

Двоичная система счисления

Человек в своей деятельности использует в основном десятичную систему счисления. Вы знаете, что для записи числа в десятичной системе счисления достаточно 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Меньше всего цифр используется в двоичной системе счисления. Двоичной системой счисления называется система счисления с основанием, равным двум.

Благодаря тому, что в двоичной системе счисления используются лишь 2 цифры, она нашла широкое применение в ЭВМ. Для электронных элементов характерно наличие двух устойчивых состояний, например, проводит ток или не проводит, высокое или низкое напряжение и др. одно из этих состояний принимается за 1, другое за – 0.

Эти двоичные числа (0 и 1) называют битами (от Binary digit – двоичный знак).

Рассмотрим, как можно осуществить перевод десятичного числа в двоичное (перевод целых и дробных чисел производится по разным алгоритмам, поэтому будем рассматривать их отдельно).

Перевод целых десятичных чисел в двоичную систему

Двумя символами можно записать только два числа: 0 и 1. Мы располагаем только этими двумя числами (по определению двоичной системы счисления), поэтому если нам требуется записать следующее число, т.е. 2, то надо использовать более старший разряд (также, как и в десятичной системе счисления). Число 2 запишется, как 102, число 3, как 112. Для записи следующего числа 4 нужен опять более старший разряд (1002) и т.д.

Большие числа трудно перевести сразу (устно), поэтому пользуются таким правилом:

Для перевода целого десятичного числа в любую другую позиционную систему счисления (с основанием P) пользуются способом последовательного деления этого числа на основание (P) системы счисления, до тех пор, пока не получится частное, меньшее основания (P).

Остатки от деления, записанные с права на лево, и будут искомым числом.

Например: получим представление десятичного числа 39 в двоичной системе счисления

39 = 1001112

0        1     2      3     4      5       -   направление записи остатков

Таким образом, мы находим коэффициенты разложения числа по степеням два.

Теперь рассмотрим правила, по которым переводятся дробные числа.

Перевод дробных десятичных чисел в двоичную систему

Перевод правильной дроби

Перевод правильной дроби в другую позиционную систему счисления осуществляется таким образом:

Перевод неправильной дроби

Для перевода неправильной десятичной дроби следует отдельно выполнить перевод целой и дробной частей числа.        

Например: 31.125 = ?2         

                   0.125 = 0.0012

              31 = 111112

              31.125 = 11111.0012

0.125

      2        

  0  250

        2        

  0   500

      2

  1   00

Перевод двоичных чисел в десятичную систему

Теперь рассмотрим перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления.

Формула разложения любого числа в позиционной системе счисления с основанием P м известна: Np = an*pn  +  an-1*pn-1 + …+ a-m*p-m.

В двоичной системе счисления основание P=2 и, следовательно, формула будет выглядеть так: N2 = an*2n + an-1*2n-1+…+a-m*2-m       (5)

Для получения результата вам необходимо выполнить арифметические действия в правой части выражения.

Например: перевести двоичное число 1101012 в десятичное

1101012

                            543210         нумерация разрядов

N2 = 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 =

                                  1*32 + 1*16 + 1*4 + 1 = 5310

1101012 = 53

УПРАЖНЕНИЯ

1. отношение соседних разрядов называется _________________________
2. система счисления, в которой значение каждой цифры не зависит от ее положения в записи числа, называется _______________ системой счисления.
3. система счисления, в которой значение каждой цифры изменяется с изменением ее позиции в записи числа, называется _________________ системой счисления
4.  римская система счисления является __________________ системой счисления
5. десятичная система счисления является __________________ системой счисления
6. число 124 является ___________________ числом
7. в десятичной системе счисления основание равно __________________
8. позиции цифр в записи числа называют его _______________________
9. запишите на доске формулу представления любого числа запишите на доске формулу представления любого числа N в системе счисления с основанием P.

Ответы: 1) основанием  2) непозиционной  3) позиционной  
4) непозиционной  5) позиционной  6) десятичным  7) десяти  
8) разрядами  9) Np = an*pn  + an-1*pn-1 + … + a0*p0 + … + a-m*p-m 

ЗАДАНИЕ НА ДОМ

Знать:

• определение двоичной системы счисления.
• алгоритм перевода из десятичной в двоичную систему счисления и наоборот целой и дробной части числа.

Выполнить следующие преобразования

        Ответ:                        Ответ:

32 = ?2        1000002                 1101012 = ?10        53

98 = ?2        11000102        3.625 = ?2        11.1012

Урок 3

Тема:  Восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Цель:  Познакомить с формой записи чисел в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Дать навыки перевода числа из одной системы счисления в другую.

Представление информации в двоичном коде удобно процессору, но не удобно человеку, т.к. записи получаются громоздкими. Поэтому при записи команд и данных используется не двоичная, а восьмеричная или шестнадцатеричная система счисления.

Далее мы будем изучать способы записи различных чисел в восьмеричном и шестнадцатеричном виде.

Восьмеричная система счисления

Предлагаемые способы перевода чисел из одной системы счисления в другую не являются единственными.

Восьмеричная система счисления – позиционная система счисления с основанием, равным 8.

Например:  записать  десятичное число 291 в восьмеричном виде.

291 = 4438

                  Записать восьмеричное число 4278 в десятичном виде.

4278 = 4*82 + 2*81 + 7*80 = 256 + 16 + 7 = 279

4278 = 279

Если для перевода десятичного числа в восьмеричное и наоборот вы пользовались известным вам правилом, то для перевода двоичного числа в восьмеричное и наоборот правило иное:

Для перевода  любого двоичного числа в восьмеричное необходимо разделить число на триады и перевести каждую из них отдельно (в недостающие триады дописываются нули). Направление деления на триады для целой части – справа на лево, для дробной – слева на право от точки.

Например: записать двоичные числа 1010000102 и 11.0011112 в восьмеричном виде

101  000  0102 = 5028        11  . 001  1112 = 3.178

        3    .  1       7

        Двоичные триады

• Максимальное число, использующееся при записи в восьмеричной системе счисления, 7 (1112). Числа большие 7 будут иметь 4 разряда и больше, поэтому деление (условное) производится на тирады (т.е. 3 разряда рассматриваются вместе)
• Пользуйтесь при переводе таблицей.

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо записать каждую цифру в виде двоичной триады.

Например: записать число 3158 в двоичном виде

3 = 112

1 = 12                           3     1      58                        3158 = 110011012

5 = 1012                                011  001  101

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления – позиционная система счисления с основанием, равным 16.

Каждый разряд в шестнадцатеричной системе счисления может принимать значения от 0 до 15. Для изображения чисел используются десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F, которым ставятся в соответствие 10, 11, 12, 13, 14, 15. Эта замена вызвана необходимостью использовать одноразрядные символы.

Перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную и наоборот производится по известным вам правилам (см. урок 1)

Например: выполнить преобразования 48916 =?10, 3Е16 =?10, 2710 =?16

 48916 = 4*162 + 8*161 + 9*160 = 256+128+9 = 393

3Е16 = 3*161 + 14*160 = 48+14 = 62

 27 = 1В16

Для перевода любого двоичного числа в шестнадцатеричное необходимо разделить полученный результат на тетрады и перевести каждую из них отдельно (в недостающие тетрады записываются нули).

Например: записать двоичные числа 1010000102 и 11.0011112 в шестнадцатеричном виде

1   0100   00102  = 14216                                            11  .  00    11112 = 3.0F16

        3    .    0        F

        Двоичные тетрады

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо записать каждую. Цифру в виде двоичной тетрады.

Например: записать число 30D16 в двоичном виде

3 = 112

0 = 02                           3        0        13           30D16 = 11000011012

D = 13 = 11012         0011 0000   1101

Рассмотрим, как можно осуществить перевод из шестнадцатеричной системы в восьмеричную и наоборот.

Для перевода шестнадцатеричного числа в восьмеричное необходимо перевести число в двоичное, пользуясь правилом, рассмотренным выше, затем, разделив число на триады, перевести его в восьмеричное.

Например: записать шестнадцатеричное число  13116 в восьмеричном виде

               1             3         1

13116 = 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 12 = 4618

        0      4        6       1

Перевод восьмеричных чисел в шестнадцатеричные осуществляется подобным образом, отличие заключается в том, что полученное двоичное число переводится по тетрадам.

Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы осуществляются по тем же правилам, что и перевод дробных чисел из десятичной в двоичную систему счисления.

Итак, мы с вами рассмотрели 4 позиционные системы счисления (двоичную, десятичную, восьмеричную, шестнадцатеричную) и алгоритмы перевода из одной системы счисления в другую. Вы узнали 5 основных правил, вспомним их.

• Чтобы перевести целое десятичное число в любую другую позиционную систему счисления, необходимо воспользоваться методом последовательного деления этого числа на основание новой системы счисления.

Дробная часть переводится путем умножения на основание новой системы счисления. (см. урок 2)

• Чтобы перевести любое число из любой позиционной системы счисления в десятичную, необходимо воспользоваться следующей формулой:

       Np=an*pn + an-1*pn-1 + … + a0*p0 + a-1*p-1 + … + a-m*p-m (см. урок 1)

• Чтобы перевести восьмеричное или шестнадцатеричное число в двоичное, необходимо каждую цифру записать в виде двоичной  триады или тетрады.
• чтобы перевести двоичное число в восьмеричное или шестнадцатеричное, необходимо разделить (условно) число на триады или тетрады и перевести каждую из них отдельно (в недостающие триады или тетрады записываются нули).
• Чтобы перевести шестнадцатеричное число в восьмеричное, необходимо перевести число в двоичное, пользуясь известным вам правилом, затем, разделив число на триады, перевести в восьмеричное (перевод восьмеричных чисел в шестнадцатеричные осуществляется подобным образом).

Упражнения  

1. позиционная система счисления с основанием, равным 2, называется ___________________ системой счисления;
2. двоичные числа 0 и 1 называют _____________________;
3. записать формулу разложения любого двоичного числа N;
4. большинство людей в своей практической деятельности использует десятичную систему счисления, а цифровая ЭВМ использует _____________ систему счисления;
5.  число 1710 является десятичным числом, а число 101002 - __________ числом;
6. Выполните следующие преобразования

          6.1) 9910  = ?2                                                          6.3) 1101102 = ?10

          6.2) 2.6510 =?2 (до 4-х знаков после точки)

Ответы: 1) двоичной; 2)битами;

              3) N2 = an*2n + an-1*2n-1+…+ a0*20+a-1*2-1+…+ a-m*2-m       

                4) двоичную; 5) двоичным; 6.1) 11000112;

                 6.2) 10.10102; 6.3) 54

Задание на дом

Знать: алгоритмы перевода из одной позиционной системы счисления в другую (10, 2, 8, 16-я системы счисления).

Выполнить следующие преобразования:

Выполнить следующие преобразования и проверить результат по формуле разложения:

Повторить пройденный материал по теме «Системы счисления

Урок 4

Тема:  Практическая работа с программой по контролю знаний.

Цель:   Проверить знания, умения и навыки учащихся по теме «Системы счисления».

Требования к знаниям и умениям

Если вы не располагаете необходимой контролирующей программой по данной теме, то можно провести контрольную работу, состоящую из нескольких вариантов. Задания для них вы можете подобрать из предлагаемых ниже упражнений.

1. Выполнить преобразования и проверить полученный результат по формуле разложения:

Ответы:

        20 = 101002

        101002 = 1*24 + 1*22 = 16 + 4 = 20

2. Выполнить следующие преобразования:

Ответы:

Включите в контрольную работу 1-2 теоретических вопроса. Их вы можете выбрать из тех вопросов, которые были предложены в упражнениях к урокам, например, урок 2 вопросы 1) - 8) и урок 3 вопросы 1), 2), 4), 5).

Представление чисел. Системы счисления

1. Системы счисления принципиально делятся на ...

1. Позиционные и непозиционные
2. Алфавитные и цифровые
3. Римские и арабские
4. Однозначные и многозначные

2. В позиционных системах счисления значение цифры ...

1. Не зависит от ее позиции в записи числа
2. Является постоянным в записи числа
3. Зависит от ее позиции в записи числа
4. Постоянно и всегда равно 10

3. Какой числовой эквивалент (значение) имеет цифра 6 в числе 3650?

1. 1000
2. 100
3. 10
4. 1

4. Основание системы счисления определяется как ...

1. Количество цифр, используемых для записи чисел
2. Количество цифр, не используемых для записи чисел
3. Цифры, чаще других используемые при записи чисел
4. Количество арифметических операций, выполняемых над числами

5. В семеричной системе счисления используется алфавит: ...

1. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
2. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
3. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
4. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

6. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111?

1. 1
2. 2
3. 7
4. 8

7. Какое наибольшее число можно записать четырьмя цифрами в троичной системе счисления?

1. 1111
2. 2222
3. 3333
4. 4444

8. Выберите систему счисления с минимально возможным основанием, в которой число 10В8 записано правильно

1. Восьмеричная
2. Десятичная
3. Двенадцатеричная
4. Шестнадцатеричная

9. Какие целые числа принадлежат промежутку [1; 10] в пятеричной системе?

1. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
2. 1, 2, 3, 4, 10
3. 1, 2, 3, 4, 5, 10
4. 1, 5, 10

10. Может ли такое быть: 2х2=100?

1. Нет, никогда
2. Да, ответ записан в двоичной системе счисления
3. Да, ответ записан в троичной системе счисления
4. Да, ответ записан в десятичной системе счисления

Представление чисел. Системы счисления

1. Системы счисления принципиально делятся на ...

1. Позиционные и непозиционные
2. Алфавитные и цифровые
3. Римские и арабские
4. Однозначные и многозначные

2. В позиционных системах счисления значение цифры ...

1. Не зависит от ее позиции в записи числа
2. Является постоянным в записи числа
3. Зависит от ее позиции в записи числа
4. Постоянно и всегда равно 10

3. Какой числовой эквивалент (значение) имеет цифра 6 в числе 3650?

1. 1000
2. 100
3. 10
4. 1

4. Основание системы счисления определяется как ...

1. Количество цифр, используемых для записи чисел
2. Количество цифр, не используемых для записи чисел
3. Цифры, чаще других используемые при записи чисел
4. Количество арифметических операций, выполняемых над числами

5. В семеричной системе счисления используется алфавит: ...

1. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
2. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
3. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
4. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

6. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111?

1. 1
2. 2
3. 7
4. 8

7. Какое наибольшее число можно записать четырьмя цифрами в троичной системе счисления?

1. 1111
2. 2222
3. 3333
4. 4444

8. Выберите систему счисления с минимально возможным основанием, в которой число 10В8 записано правильно

1. Восьмеричная
2. Десятичная
3. Двенадцатеричная
4. Шестнадцатеричная

9. Какие целые числа принадлежат промежутку [1; 10] в пятеричной системе?

1. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
2. 1, 2, 3, 4, 10
3. 1, 2, 3, 4, 5, 10
4. 1, 5, 10

10. Может ли такое быть: 2х2=100?

1. Нет, никогда
2. Да, ответ записан в двоичной системе счисления
3. Да, ответ записан в троичной системе счисления
4. Да, ответ записан в десятичной системе счисления