"Полезные советы при решении геометрических задач"
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9, 10, 11 класс)

Слайд 1

Геометрические задачи Научить решать учащихся геометрические задачи - это значит не только подготовить их к хорошей сдаче экзамена, но и научить их логически мыслить, доказательно отстаивать свою точку зрения, уметь творчески подходить к любому делу.

Слайд 2

Трудности решения геометрических задач Не существует единых алгоритмов решения. Необходимость выбора метода решения задачи и теоремы для решения конкретной задачи (нескольких теорем) из большого набора известных фактов. Нужно решить довольно много задач, чтобы научиться их решать.

Слайд 3

Причины ошибок в решении геометрических задач Незнание и/или непонимание аксиом, определений, теорем. Неумение их применять. Невнимательное чтение условия и вопроса задания. Вычислительные ошибки. Нарушения логики в рассуждениях. Принятие ошибочных гипотез. Недостатки в работе с рисунком.

Слайд 4

Необходимые условия успеха при решении задач по геометрии Уверенное владение основными понятиями и их свойствами (определения, аксиомы, теоремы, базовые задачи). Знание основных методов и приёмов решения задач. Умение комбинировать методы и приёмы решения задач. Наличие опыта решения задач.

Слайд 5

Специфические особенности методов решения геометрических задач Большое разнообразие. Взаимозаменяемость. Трудность формального описания. Отсутствие чётких границ применения (в отличие от алгебры). Использование комбинаций методов и приёмов.

Слайд 6

Высоты треугольника Точка пересечения высот треугольника называется – ортоцентром. Если Н – ортоцентр треугольника, то точки А, В и С – точки пересечения высот треугольников АВН, ВСН, АСН .

Слайд 7

Высоты треугольника Если Н – ортоцентр треугольника, то радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АВН , ВСН, АСН , равны между собой. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника (треугольник, образованный основаниями высот).

Слайд 8

Отношение отрезков и площадей в треугольнике • Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному. • Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. • Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольника. • Параллельные прямые отсекают на сторонах угла (на двух прямых) пропорциональные отрезки (обобщенная теорема Фалеса).

Слайд 9

Отношение отрезков и площадей в треугольнике • Отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведению сторон этого угла. • Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания . • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. • Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Слайд 10

Опорные задачи • Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. • Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. • Площади треугольников, имеющих равные основания и равные высоты, равны. • Отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты, равно отношению их оснований.

Слайд 11

Окружность. • Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. • Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними. • Отрезки касательных прямых к окружности равны.

Слайд 12

Взаимное расположение окружностей • При любом способе касания точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой. • При внешнем касании центры окружностей расположены на линии центров по разные стороны от точки касания, при внутреннем – по одну сторону. • Расстояние между центрами касающихся окружностей радиусов R и r ( R ≥ r ) равно (R + r ) при внешнем касании и (R – r ) при внутреннем.

Слайд 13

Окружность, касательные, секущие и хорды • Радиус ( диаметр), перпендикулярный хорде, делит хорду пополам. • Пересекающиеся окружности в точках А и A ₁ имеют общую хорду АА₁. • Общая хорда двух пересекающихся окружностей, перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.

Слайд 14

Окружность, касательные, секущие и хорды • Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. •Пусть через точку А проведена касательная АВ к окружности( В –точка касания) и секущая, пересекающая окружность в двух точках D и C . Тогда АВ ² = А C ⋅ A D . • Пусть через точку А проведены секущие к окружности, пересекающие её в точках первая В и С , а другая – D и E . Тогда АВ ⋅ АС = А D ⋅ А E .

Слайд 15

Окружность и треугольник Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис. Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной окружности.

Слайд 16

Взаимное расположение окружности и четырехугольника Трапеция вписана в некую окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам трапеции. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны

Слайд 17

Углы на клетках

Слайд 18

Найти тангенс угла, изображенного на рисунке. Решение . Выделим на этом рисунке узлы сетки – точки А и С. Рассмотрим треугольник АВС. Заметим, что он является прямоугольным, к тому же катет ВС в 2 раза больше катета АС. Отсюда следует, что тангенс угла В равен 1:2 = 0,5.

Слайд 19

Найти угол АВС на рисунке . Решение. Проведем вспомогательное построение. Заметим, что дуга AC составляет ровно четверть окружности, следовательно, она равна 360°/4 = 90°. Угол ABC — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается, значит, он равен половине дуги AC : 90°/2 = 45°.

Слайд 20

Полезные факты Площадь треугольника DСЕ в 4 раза меньше площади треугольника АВС Диагональ квадрата в √2 раз больше его Площадь треугольника DСЕ в 4 раза меньше площади треугольника АВС. Диагональ квадрата в √2 раз больше его стороны Площадь треугольника ВСЕ в 4 раза меньше площади параллелограмма АВСD.

Слайд 21

Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке. Sкв = 6*6 =36 36 – 0,5 – 15 = 20,5 Найдём площадь данной фигуры по формуле Пика: S = В + Г/2 − 1 где В – число узлов сетки внутри фигуры, Г – число узлов сетки на границе фигуры, включая вершины. Получаем: S = 15 + 13/2 − 1 = 20,5 . S = 15 + 13/2 − 1 = 20,5.

Слайд 22

«Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение» Вячеслав Викторович Произволов .