Решение геометрических задач на ЕГЭ
статья по геометрии (11 класс) на тему

Опубликовано 12.03.2013 - 16:07 - Карпенко Алла Петровна

Методика решения задач типа В9 на ЕГЭ

Скачать:

Вложение	Размер
neobhodimost_povysheniya_doli_geometrii_v_soderzhanii_edinogo_gosudarstvennogo_ekzamena_obuslovlena_toy_rolyu.docx	69.56 КБ
prezentaciya1.pptx	616.23 КБ

Предварительный просмотр:

Методика решения задач типа В9 на ЕГЭ

Необходимость повышения доли геометрии в содержании Единого государственного экзамена обусловлена той ролью, которую играет геометрия в науке и образовании в современном обществе.

На протяжении всей истории человечества геометрия служила источником развития не только математики, но и многих других наук. Именно в ней появились первые теоремы и доказательства. Сами законы математического мышления формировались с помощью геометрии.

Многие геометрические задачи способствовали появлению новых научных направлений. Наоборот, решение многих научных проблем получено с использованием геометрических методов. В частности:

- задача об измерении длины отрезков привела к открытию Пифагором несоизмеримых отрезков и в дальнейшем к построению действительных чисел;

- задачи об измерении длины окружности, площади круга, объемов шара и пирамиды привели древнегреческих ученых к понятию предела и заложили основы интегрального исчисления;

- задачи нахождения уравнения касательной к кривой и вычисления площади криволинейной трапеции привели Г. Лейбница и И. Ньютона к созданию дифференциального и интегрального исчисления;

- геометрические методы изображения пространственных фигур стали фундаментом живописи, изобразительного искусства;

- задача о нахождении орбит космических тел оказалась связанной и была решена с помощью конических сечений;

- современные представления о Вселенной описываются на языке геометрии с помощью понятия многообразия.

- задача Эйлера о кенигсбергских мостах положила начало нового направления геометрии – теории графов;

- функциональный анализ, один из современных разделов математического анализа, опирается на понятие бесконечномерного линейного пространства, обобщающего понятие евклидова пространства;

- одно из основных понятий современной алгебры – понятие группы, возникло на основе геометрических понятий симметрии и движения. Группы симметрий играют важную роль не только в математике, но и физике, химии, биологии, кристаллографии и других науках;

- разработка методов решения задач оптимального управления стала возможной благодаря развитию геометрических методов, в том числе теории многогранников;

- в последние десятилетия активно развивается алгебраическая геометрия – раздел математики, изучающий алгебраические структуры геометрическими методами. В частности, решение проблемы Ферма было недавно получено с использованием глубоких геометрических методов;

- в последние годы, в связи с развитием компьютерной техники, возникло и успешно развивается новое направление геометрии – компьютерная геометрия, применения которой охватывают все большее число сфер человеческой деятельности: архитектура, машиностроение, медицина, геология, космос и др .

Вообще современная наука немыслимы без геометрии и ее разделов, таких как топология, дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, компьютерная геометрия и др.

Неоценим вклад геометрии в образование подрастающего поколения, развитие мышления, воображения, исследовательских способностей школьников.

Об этом говорили многие видные ученые – педагоги и математики. Так, Н.Ф. Четверухин подчеркивал важность развития пространственных представлений для всех учащихся вне зависимости от направления их дальнейшего образования и выбора будущей профессии. «Хорошее пространственное воображение нужно конструктору, создающему новые машины, геологу, разведывающему недра земли, архитектору, сооружающему здания современных городов, хирургу, производящему тончайшие операции среди кровеносных сосудов и нервных волокон, скульптору, художнику и т.д.». (Геометрические характеристики причины трудности узнавания фигур на чертеже //Математика в школе. – 1965. - № 4. – С.13).

А.Д. Александров, говоря о целях преподавания геометрии, указывал, что «особенность геометрии, выделяющая ее среди других наук вообще, состоит в том, что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением. Геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и строгой логики, в котором они взаимодействуют и дополняют друг друга». (О геометрии //Математика в школе. – 1980. - № 3. – С.56).

В.Г. Болтянский в статье «Математическая культура и эстетика» (Мате¬матика в школе. - 1982. - № 2. - С.40.) говорил о том, что природа геометрии предоставляет богатые возможности для воспитания у школьников эстетического чувства красоты в самом широком значении этого слова. Красота геометрии заключается в ее проявлениях в живой природе, архитектуре, живописи, декоративно-прикладном искусстве, строительстве и т.д., а также в смелых, оригинальных, нестандартных доказательствах, выводах и решениях.

Отечественной школой накоплен уникальный опыт преподавания геометрии. Несмотря на то, что в последние годы в преподавании геометрии в школе стали накапливаться отрицательные тенденции, тем не менее, общий уровень нашего школьного геометрического образования все еще остается выше, чем во многих других странах. Это дает несомненное преимущество нашим школьникам, участвующим в международных математических олимпиадах, сказывается на качестве математического образования студентов и аспирантов, позволяет нашим ученым успешно конкурировать с зарубежными коллегами. Неслучайно, что последние яркие достижения в области математики связаны с именами российских ученых-геометров – Г. Перельманом, решившим проблему Пуанкаре, М. Громовым, получившим Абелевскую премию и др.

Сегодня важнейшей задачей школьного математического образования является привлечение внимания школьников и учителей к геометрии, понимание необходимости систематических занятий геометрией, развивающих мышление и пространственные представления. Только такие занятия могут дать необходимое качество математического образования школьников, позволят им не только подготовиться к успешной сдаче экзамена, но и заложат основу для дальнейшей творческой жизни.

Типы задач, рекомендуемыеВ.А.Смирновым в подготовке к ЕГЭ:Задание В9

Для ее решения требуются знания основных формул для нахождения значений геометрических величин пространственных фигур; умения проводить дополнительные построения на изображениях пространственных фигур, работать с формулами, выполнять преобразования и производить действия с числовыми выражениями в процессе решения задачи.

Например:

Диагональ куба равна 1. Найдите его объем

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба.
. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60о. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60о и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

4.Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

5.Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

6. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Слайд 1

Решения задач типа в9

Слайд 2

Типичные ошибки ЕГЭ : перепутать площадь поверхности с объемом; при изменении радиуса некоторых тел в несколько раз, объем меняем ошибочно в это же количество раз, а надо смотреть на формулу, радиус может быть в квадрате (а значит надо изменять объем дважды в это количество раз) или в кубе (значит надо изменять объем трижды в это количество раз).

Слайд 3

Основные формулы

Слайд 4

К задачам типа В9

Слайд 6

Стереометрия на ЕГЭ по математике — это задачи В9 и С2. Сначала расскажем, как решать задачи В9. Они простые. Вам понадобится лишь знание формул и элементарная логика. Все формулы есть в наших таблицах. 1.Куб, параллелепипед, призма, пирамида. Объем и площадь поверхности 2.Цилиндр, конус, шар. Объем и площадь поверхности Часто в задачах ЕГЭ, посвященных стереометрии, требуется посчитать объем тела или площадь его поверхности. Или как-то использовать эти данные. Поэтому заглянем в толковый словарь русского языка и уточним понятия. Объем — величина чего-нибудь в длину, ширину и высоту, измеряемая в кубических единицах. Другими словами, чем больше объем, тем больше места тело занимает в трехмерном пространстве. Площадь — величина чего-нибудь в длину и ширину, измеряемая в кубических единицах. Представьте себе, что вам нужно оклеить всю поверхность объемного тела. Сколько квадратных сантиметров (или метров) вы бы обклеили? Это и есть его площадь поверхности.

Слайд 7

Объемные тела — это многогранники (куб, параллелепипед, призма, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар). Если в задаче по стереометрии речь идет о многограннике, вам встретятся термины «вершины» «грани» и «ребра». Вот они, на картинке. Чтобы найти площадь поверхности многогранника, сложите площади всех его граней. Вам могут также встретиться понятия «прямая призма, правильная призма, правильная пирамида». Прямой называется призма , боковые ребра которой перпендикулярны основанию. Если призма — прямая и в ее основании лежит правильный многоугольник, призма будет называться правильной . Правильная пирамида — такая, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Слайд 8

Перейдем к практике. 1. Одна из самых распространенных задач В9 — такая, где надо посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана. Например, такого: Что тут нарисовано? Очевидно, это большой параллелепипед, из которого вырезан «кирпичик», так что получилась «полочка». Если вы увидели на рисунке что-то другое — обратите внимание на сплошные и штриховые линии. Сплошные линии — видимы. Штриховыми линиями показываются те ребра, которые мы не видим, потому что они находятся сзади. Объем найти просто. Из объема большого «кирпича» вычитаем объем маленького. Получаем: 75-4 =71.

Слайд 9

А как быть с площадью поверхности? Почему-то многие школьники пытаются посчитать ее по аналогии с объемом, как разность площадей большого и малого «кирпичей». В ответ на такое «решение» можно предложить детскую задачу — если у четырехугольного стола отпилить один угол, сколько углов у него останется? На самом деле нам нужно посчитать сумму площадей всех граней — верхней, нижней, передней, задней, правой, левой, а также сумму площадей трех маленьких прямоугольников, которые образуют «полочку». Можно сделать это «в лоб», напрямую. Но есть и способ попроще. Прежде всего, если бы из большого параллелепипеда ничего не вырезали, его площадь поверхности была бы равна 110. А как повлияет на него вырезанная «полочка»?

Слайд 10

Давайте посчитаем сначала площадь всех горизонтальных участков, то есть «дна», «крыши» и нижней поверхности «полочки». С дном — все понятно, оно прямоугольное, его площадь равна 5*5 = 25. А вот сумма площадей «крыши» и горизонтальной грани «полочки» ?...Посмотрите на них сверху. …В этот момент и наступает понимание. Кому-то проще нарисовать вид сверху. Кому-то — представить, что мы передвигаем дно и стенки полочки и получаем целый большой параллелепипед, площадь поверхности которого равна 110. Каким бы способом вы ни решали, результат один — площадь поверхности будет такой же, как и у целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали. Ответ: 110.

Слайд 11

2.Здесь тоже надо найти площадь поверхности многогранника: S= 2 * 12 + 2 * 15 + 2 * 20 - 2 = 72. Из площади поверхности «целого кирпича» вычитаем площади двух квадратиков со стороной 1 — на верхней и нижней гранях.

Слайд 12

3 . Найти площадь поверхности. Сначала посчитайте сумму площадей всех граней. Представьте, что вы дизайнер, а эта штучка — украшение. И вам надо оклеить эту штуку чем-то ценным, например, бриллиантами Сваровски . И вы их покупаете на свои деньги. (Я не знаю почему, но эта фраза мгновенно повышает вероятность правильного ответа!) Оклеивайте все грани плитки. Но только из площадей передней и задней граней вычтите площадь «окошка». А затем — само «окошко». Оклеивайте всю его «раму». О твет: 96.

Слайд 13

4.Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда . Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда. Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник. Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник — на самом деле квадрат, а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности. Итак, площадь основания параллелепипеда равна 4, высота равна 1, объем равен 4.

Слайд 14

5.В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны 4. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите V/π. Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть 4. Осталось найти радиус его основания. Рисуем вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Где будет находиться радиус этой окружности? Правильно, посередине гипотенузы. Гипотенузу находим по теореме Пифагора,она равна 10. Тогда радиус основания цилиндра равен пяти. Находим объем цилиндра по формуле и записываем ответ: 100.

Слайд 15

6.В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 1. Найдите объем параллелепипеда. Нарисуйте вид сверху, сбоку или спереди. В любом случае вы увидите одно и то же — круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего не рисовать, а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара. Ответ: 8.

Слайд 16

Следующий тип задач — такие, в которых увеличили или уменьшили какой-либо линейный размер (или размеры) объемного тела. А узнать нужно, как изменится объем или площадь поверхности. 7. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах. Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании — правильный треугольник, у которого все стороны в два раза больше, чем у первого. Мы уже говорили о том, что площадь этого треугольника будет больше в 4 раза. Объем воды остался неизменным. Следовательно, в 4 раза уменьшится высота. Ответ: 3.

Слайд 17

8.Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой. Давайте вспомним, как мы решали стандартные задачи В12, на движение и работу. Мы рисовали таблицу.И здесь тоже нарисуем таблицу Мы помним, что V= πR 2 h. Высота Радиус Объем Первая кружка h R πR 2 h Вторая кружка 1 /2h 2R π(2R) 2 h/2 Считаем объем второй кружки. Он равен π(2R) 2 h/2 = 2 πR 2 h. Получается, что он в два раза больше, чем объем первой.

Слайд 18

9. Следующая задача тоже решается без формул. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы. Высота меньшей призмы высота такая же, как и у большой. А какой же будет ее площадь основания? Очевидно, в 4 раза меньше. Вспомните свойство средней линии треугольника — она равна половине основания. Значит, объем отсеченной призмы равен 8.

Слайд 19

10. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза? Только не надо обмирать от ужаса при слове «октаэдр». Тем более — он здесь нарисован и представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды. А мы уже говорили — если все ребра многогранника увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз, поскольку 3 2 = 9. Ответ: 9.

Слайд 20

11. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π. Изображен не целый цилиндр, а его часть. Из него, как из круглого сыра, вырезали кусок. Надо найти объем оставшегося «сыра». Какая же часть цилиндра изображена? Вырезан кусок с углом 60 градусов, а 60° — это одна шестая часть полного круга. Значит, от всего объема цилиндра осталось пять шестых. Находим объем всего цилиндра, умножаем на пять шестых, делим на π, записываем ответ: 937,5.

Слайд 21

12. Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды АВDА 1 . Мы помним, что V парал = S осн h. А объем пирамиды равен V=1 / 3 * S осн h Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда. Ответ: 1,5.

Слайд 22

13. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба. Если бы пирамида и куб имели одинаковые высоты, объем пирамиды был бы в 3 раза меньше объема куба (поскольку площади основания у них одинаковые). А у нашей пирамиды высота в два раза меньше, чем у куба. Значит, ее объем будет в 6 раз меньше, чем у куба. Ответ: 2.

Слайд 23

13.Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов. На самом деле это задача по алгебре, причем элементарная. Объем шара равен 4\3πR 3 . Осталось решить уравнение: 4\3π6 3 +4\3 π8 3 +4\3 π10 3 = 4\3 π R 3 6 3 + 8 3 + 10 3 = R 3 R 3 =1728 Как извлечь кубический корень из этого числа? Очень просто — разложите его на множители. 1728 = 2 3 *6 3 R = 2*6 = 12 Ответ: 12.

Слайд 24

14.Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. В ответе укажите V/π. Если вы вдруг забыли, что такое образующая, — смотрите нашу таблицу с формулами. А что значит «наклонена к плоскости основания»? Вспомним, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть угол OАS. Из прямоугольного треугольника AOS находим, что OS = h =1, АО= R= . Объем конуса найдем по известной формуле и поделим на π. Ответ: 1.

Слайд 25

15. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. Эта задача В9 уже поинтереснее — ей и до С2 недалеко. Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении 1 : 2,считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых х и 2х. Плоскость АВМ делит пирамиду АВСS на две. У пирамид АВСM и ABCS общее основание АВС. Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот. Проведем перпендикуляры SO и MH к плоскости основания пирамиды. SO — высота пирамиды АВСS, МН — высота пирамиды АВСМ. Очевидно, что отрезок SО параллелен отрезку МН, поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки S, М, С, О и Н лежат в одной плоскости, Треугольники SOC и МНС подобны, МС : SС= МН : SO =2 : 3. Значит, МН=2/3 SO. Объем пирамиды АВСM равен2/3 объема пирамиды ABCS. Ответ: 10.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Использование различных методов при решении геометрических задач на нахождение углов и расстояний между плоскостями и прямыми в пространстве.

Приведу необходимые теоретические знания, позволяющие успешно решать геометрические задачи группы С(С2) ЕГЭ – 2011, 2012гг. Теоретические положения упорядочены и акцентированы именно на решение ...