Разработка урока геометрии в 8 классе по теме "Средняя линия треугольника"
методическая разработка по геометрии (8 класс)

Цель деятельности учителя

Создать условия для доказательства теоремы о средней линии треугольника и свойства медиан треугольника; для применения этих свойств в процессе решения задач

Термины и понятия

Пропорциональные отрезки, отношение, пропорции, сходственные стороны, коэффициент подобия, средняя линия треугольника

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации; устанавливают причинно-следственные связи, строят логическое рассуждение, делают умозаключения и выводы.

Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве; умеют ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.

Личностные: проявляют познавательные интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные
ресурсы

•  Учебник.

• Задания для индивидуальной и групповой работы

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Выявить трудности, возникшие при решении задач в контрольной работе

(Ф/И)

Прежде чем перейти к изучению новой темы, давайте вспомним, о чем мы говорили на предыдущих уроках?

   А какие треугольники называются подобными?

   Верно. Сколько существует признаков подобия треугольников?

   Давайте вспомним каждый из них.

Два треугольника являются подобными, если … .

   по первому признаку подобия: 

   по второму признаку подобия:

   по третьему признаку подобия:

   А теперь предлагаю решить вам следующую задачу: (карточка с задачей лежит у каждого ученика на парте)

   Откройте тетради, запишите дату, классная работа.

Задача 1:

Обратите внимание на доску, что Вы можете сказать о треугольниках АВС и МВN?

Каков коэффициент сходственных сторон?

Что соединяет отрезок  МN?

II этап. Мотивация к деятельности

Цель деятельности

Постановка учебной задачи

Подготовить учащихся к введению понятия средняя линия треугольника

Посмотрите на рисунок к задаче. В данной задаче мы с вами рассматривали отрезок MN, который имеет свое собственное «ИМЯ» и обладает определенными свойствами.

  Как бы вы назвали отрезок MN?

  Как вы думаете, чем мы будем заниматься сегодня на уроке?

III этап. Учебно-познавательная деятельность

Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие средней линии треугольника и доказать теорему о средней линии треугольника

(Ф/И)

И так, мы определили цель сегодняшнего урока.

А темой сегодняшнего урока будет «Средняя линия треугольника».

Запишите тему сегодняшнего урока.

  Итак, рассматриваемый нами отрезок MN называется средней линией треугольника.

  Как вы думаете ребята, что же такое средняя линия треугольника?

  Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

  Как вы думаете, а сколько средних линий можно провести в одном треугольнике?

  Верно, а теперь нам предстоит выяснить, какими свойствами обладает средняя линия треугольника  

Поиск доказательства теоремы:

 -Скажите, что мы можем сказать о подобных треугольниках?

 Что же точно будет одинаковым у подобных треугольников?

 Назовите равные углы у подобных треугольников AВC   и МBN.

 Как можно назвать ∠ВАС и ∠BMN и ∠ACB и ∠MNB?

 Если соответственные углы равны при пересечении двух прямых секущей, что можно сказать про эти прямые?

 Т. е. что же будет параллельно в треугольнике ACВ?

 Сформулируйте еще раз, что такое средняя линия треугольника и ее свойство, которое Вы доказали.

 Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

 Как Вы думаете, где может быть использованы  Вами  знания о средней линии треугольника?

 Доказанные нами свойства мы можем применять при решении различных задач.

 У каждого на столе лежит карточка с заданиями.

Задача 1:

   Укажите номера чертежей, на которых указана средняя линия треугольника:

Задача 2:

   Чему равна средняя линия треугольника, параллельная стороне a?

1 клетка = 1 см.

   Чем отличаются эти задания друг от друга? В чем сложность их выполнения?

Устно решить задачи

   Откройте учебник на странице 152, выполним следующие упражнения письменно.

IV этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения задач на применение знаний о подобных треугольниках

№ 564

   Назовите и запишите, что дано и что нужно найти. Сделайте чертеж к задаче.

   Чем мы будем пользоваться для решения данной задачи?

   Чему у нас получится равна сторона DE?

   Чему равна сторона DF?

   Чему равна сторона EF?

   Как найти периметр треугольника?

   Чему равен периметр треугольника?

   Что запишем в ответ?

№ 567.

   Назовите и запишите, что дано и что нужно найти. Сделайте чертеж к задаче.

   Чем мы будем пользоваться для решения данной задачи?

   Для того, чтобы доказать, что четырехугольник является параллелограммом, чем мы будем пользоваться?

   Чем отличаются друг от друга и что общего у двух последних задач? В чем состоит трудность решения данных задач?

№ 570.

Дано: ABC, DEF– треугольники; AB = 5 см, BC = 8 см, AC = 7 см,

AD = BD, AE = EC, BF = FC.

Найти: .

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами средней линии треугольника.

Решение:

   1. DE – средняя линия треугольника ABC, т.к. D – середина AB, E–середина AC;

      Следовательно, DE = BC. DE =  см.

  2.  DF – средняя линия треугольника ABC, т.к. D – середина AB, F–середина BC;

      Следовательно, DF = AC. DF =  = 3,5 см.

 3.  EF – средняя линия треугольника ABC, т.к. E–середина AC, F–середина BC;

      Следовательно, EF = AB. EF =  = 2,5 см.

4. = DE + DF + EF;

 = 4 + 3,5 + 2,5 = 10 (см).

Ответ: 10 см.

Дано: ABCD - четырехугольник, M, N, K, E -середины сторон.

Доказать: MNKE - параллелограмм.

Доказательство:

1) Рассмотрим ∆АВС и ∆MBN: ∠B - общий,  (по условию), следовательно, ∆ABC ~ ∆MBN (по двум сторонам и углу между ними), следовательно, MN = 1/2AC и MN ⊥ АС.

2) Рассмотрим ∆АВС. КЕ - средняя линия ∆ ADC(по определению), значит, КЕ = 1/2АО и КЕ || АС.

3) Вывод: MN = КЕ = 1/2АС.

КЕ || MN || АС => MNKE - параллелограмм по признаку, что и требовалось доказать.

Дано: ABCD - параллелограмм, АС = 18 см, M є AB, AM = MB, MD ∩ AC = О.

Найти: АО, ОС.

Решение:

1) Рассмотрим ∆ABD. DM, АЕ - медианы и АЕ ∩DM = О, по свойству медиан АО : ОЕ = 2 : 1.

2) Так как (свойство диагонали параллелограмма) АЕ = 9 см, тогда АО = 6 см, ОЕ = 3 см, отсюда ОС = ОЕ + ЕС = 3 + 9 = 12 см.

Ответ: 6 см, 12 см.

V этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

- Составьте синквейн к уроку.

- Оцените свою работу

(И) Домашнее задание: вопросы 8, 9, с. 159; № 565, 566, 571