Презентация "Вписанные и описанные окружности"
презентация к уроку по геометрии (8 класс)

Слайд 1

§ 10. Вписанная и описанная окружности четырехугольника Решение задач

Слайд 2

Окружность называют описанной около четырехугольника, если она проходит через все его вершины

Слайд 3

Теорема 10.1. Если четырехугольник является вписанным в четырехугольник, то сумма его противолежащих углов равна 180°.

Слайд 4

Теорема 10.2. Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180°, то около него можно описать окружность. В А С D

Слайд 5

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность Около ромба нельзя описать окружность

Слайд 7

Окружность называют в писанной в четырехугольник, если она касается всех его сторон

Слайд 10

Теорема 10.3. Если четырехугольник является описанным около четырехугольника, то суммы его противолежащих сторон равны.

Слайд 11

Теорема 10.4. Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. А В С D

Слайд 12

В прямоугольник нельзя вписать окружность Если в прямоугольник вписана окружность, то он является квадратом.

Слайд 13

В ромб можно вписать окружность

Слайд 14

1) Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Дано: окружность описана около четырехугольника АВС D . ˪ =82, ˪ =58° Найти: ˪С, ˪ D A B Решение: ˪А+ ˪ С = ˪ D+ ˪ B =180° по теореме 10.1 Это не противолежащие углы, т.к. в описанном четырехугольнике их сумма равнялась бы 180 градусов. ˪С= 180-82=98° ˪ D = 180- 58 = 122 ° Ответ: 122°

Слайд 15

2 ) В четырехугольник АВС D вписана окружность. Найдите сторону CD , если АВ=5 см, ВС=9 см, А D =6 см. Дано: окружность вписана в четырехугольник АВС D . АВ=5 см, ВС=9 см, А D =6 см Найти: CD Решение: BC+AD=9+6=15 см АВ+С D =15 см по Т.10.3. С D =15-АВ=15-5=10 см Ответ: С D =10 см

Слайд 16

2 ) Один из углов трапеции, вписанной в окружность, равен 42°. Найдите остальные углы трапеции. Дано: окружность описана около трапеции ABCD , ˪А=42° Найти: ˪В, ˪С, ˪ D Решение: Окружность можно описать только около равнобедренной трапеции В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. ˪А= ˪В = 42° Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. ˪С=˪ D= 180°-42°=138° Ответ:˪В = 42°, ˪С=˪ D =138°

Слайд 17

3 ) Четырехугольник АВС D вписан в окружность. Угол А на 58° больше угла В и в 4 раза больше угла С. Найдите углы четырехугольника. Дано: окружность описана около четырехугольника АВС D . ˪ А =˪В+58°, ˪ А=4·˪С Найти: ˪А, ˪В, ˪С, ˪ D Решение: ˪С=х, ˪А=4х, ˪В=4х-58° х =36° х+4х= 180° ˪ D = 180-86=94° Ответ: 144°,86°, 36°, 94° 5х=180 - ˪А=4·36=144° ˪В= ˪А-58=144-58=86°

Слайд 18

6) Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 6 см, а большая боковая сторона этой трапеции равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции. Найти: MN Дано: окружность вписана в п/ уг трапецию ABCD , R= 6 см, CD =20см. MN -средняя линия. А В С D M N Решение: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований : MN= Поскольку окружность вписана в трапецию, то суммы противолежащих сторон равны. BC+AD=AB+CD. AB=2R=2·6=12 см BC+AD= 12+20=32 см . MN = = Ответ: MN= 16 см

Слайд 19

4) В четырехугольнике АВС D известно, что ˪АВС=68°, ˪ ADC=112 ° , ˪ BAC=23 ° , ˪ DAC=52 ° . Найдите угол между диагоналями четырехугольника, противолежащий стороне AD . Дано: четырехугольник АВС D , ˪АВС=68°, ˪ ADC=112 ° , ˪ BAC=23 ° , ˪ DAC=52 ° А В С D О Найти: ˪ AOD Решение: ˪АВС+˪ ADC =68+112=180° Значит, около четырехугольника можно описать окружность. ˪ BAC и ˪В DC вписанные и опираются на одну дугу, ˪ BAC = ˪В DC =23 ° ˪А D В = ˪ ADC-˪BD С=112-23=89° Рассмотрим ∆АО D : ˪АО D= 180-˪ AD В -˪D АС=180-52-89=39° Ответ: ˪АО D= 39°