Презентация к уроку "Описанная окружность"
презентация к уроку по геометрии (8 класс) по теме

Слайд 1

Слайд 2

Определение: окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. На каком рисунке окружность описана около треугольника: 1) 2) 3) 4) 5) Если окружность описана около треугольника, то треугольник вписан в окружность.

Слайд 3

Теорема. Около треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. А В С Дано: АВС Доказать: существует Окр.(О; r) , описанная около АВС. Доказательство: Проведём серединные перпендикуляры p, k,n к сторонам АВ, ВС, АС По свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ( замечательная точка треугольника): они пересекаются в одной точке – О, для которой ОА = ОВ = ОС. Т. е. все вершины треугольника равноудалены от точки О, значит, они лежат на окружности с центром О. Значит, окружность описана около треугольника АВС. О n p k

Слайд 4

Важное свойство: Если окружность описана около прямоугольного треугольника, то её центр – середина гипотенузы. O R R C A B R = ½ AB Задача: найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 см и 4 см. Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника.

Слайд 5

a b c R R = Формулы для радиуса описанной около треугольника окружности Задача: найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, сторона которого равна 4 см. Решение: R = R = , Ответ: см (см)

Слайд 6

Задача: в окружность, радиус которой 10 см, вписан равнобедренный треугольник. Высота, проведённая к его основанию равна 16 см. Найти боковую сторону и площадь треугольника. А В С О Н Решение: Т. к. окружность описана около равнобедренного треугольника АВС, то центр окружности лежит на высоте ВН. АО = ВО = СО = 10 см, ОН = ВН – ВО = = 16 – 10 = 6 (см) АОН – прямоугольный, АО 2 = АН 2 + АН 2 , АН 2 = 10 2 – 6 2 = 64, АН = 8 см АВН – прямоугольный, АВ 2 = АН 2 + ВН 2 = 8 2 + 16 2 = 64 + 256= 320, АВ = (см) АС = 2АН = 2 · 8 = 16 (см), S АВС = ½ АС · ВН = ½ · 16 · 16 = 128 (см 2 ) Ответ: АВ = см S = 128 см 2 , Найти: АВ, S АВС Дано: АВС- р/б, ВН АС, ВН = 16 см Окр.(О; 10 см) описана около АВС

Слайд 7

Определение: окружность называется описанной около четырёхугольника, если все вершины четырёхугольника лежат на окружности. Теорема. Если около четырёхугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 0 . Доказательство: Т. к. окружность описана около АВС D , то А, В, С, D – вписанные, значит, А + C = ½ BCD + ½ BAD = ½ ( BCD + BAD) = ½ · 360 0 = 180 0 B+ D = ½ ADC + ½ ABC = ½ ( ADC+ ABC) = ½ · 360 0 = 180 0 A + C = B + D = 180 0 Дано: Окр.(О; R) описана около АВС D Доказать: Значит, A + C = B + D = 180 0 Другая формулировка теоремы: во вписанном в окружность четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 . A B C D О

Слайд 8

Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность. Дано: АВС D, A + C = 180 0 A B C D О Доказать: Окр.(О; R) описана около АВС D Доказательство: № 729 (учебник) Вокруг какого четырёхугольника нельзя описать окружность?

Слайд 9

Следствие 1: около любого прямоугольника можно описать окружность, её центр – точка пересечения диагоналей. Следствие 2: около равнобедренной трапеции можно описать окружность. А В С К

Слайд 10

Реши задачи 80 0 120 0 ? ? А В С М К Н О Р Е 70 0 Найти углы четырёхугольника РКЕН: 80 0