Методическая разработка урока - соревнования "Окружность", геометрия 8 класс
методическая разработка по геометрии (8 класс)

Геометрия 8 класс, учитель Санышева Л.Н.

Номера уроков №№15, 16 в теме

Тема урока «Окружность. Решение задач»

Урок – соревнование.

Для участия в соревновании класс заранее, разбивается на три команды. Две команды – участницы игры и третья команда – организаторы игры (совет мудрейших). Командам сообщается тема игры: «Окружность».

Командам – участницам даются следующие задания:

• придумать вопрос для гейма «Ты – мне, я – тебе», связанный с историей геометрии или биографией великих математиков, подготовиться к геймам «Заморочки из бочки», где они будут доказываться изученные теоремы;
• повторить основные термины и определения;
• придумать и организовать по одной музыкальной паузе.

Команде – организаторов даются задания:

• сдать доказательство всех изученных теорем учителю устно или в виде презентаций в МРР;
• решить и сдать учитель все задачи гейма «Я и моя команда»;
• пройти компьютерное тестирование геймов №№ 1, 5
• прописать сценарий проведения игры;
• определить количество баллов за каждое задание;
• провести игру.

Исключительное значение при проведении игры имеет объективность оценки уровня знаний и чёткости ответа. Для этого преподаватель должен перед игрой провести консультации с «советом мудрейших», в который входят ученики, имеющие пятерки по предмету. В случае правильного ответа команды получают определённое количество баллов, соответствующее трудности вопроса. При подсказках, нарушении правил игры и дисциплины, определённое количество баллов снимается. Это предупреждает нарушения и облегчает организацию и проведение игры в целом.

Цель урока - соревнования.

Учащийся в конце урока должен

1. (образовательный аспект)

Уметь самостоятельно применять знания по теме «Окружность», осуществлять их перенос в новые условия игры:

2. (воспитательный аспект)

Воспитание коммуникативных умений: работы в команде; культуры речи и общения (умение слушать и вести беседу).

воспитание уважительного отношение к партнеру по команде.

3. УУД

Развить логическое мышление, умение чётко и лаконично излагать свои мысли, умение самостоятельно работать с учебно-познавательной и научной литературой, средствами ИКТ, умение задавать вопросы и отвечать на них, оценивать.

Тип урока и применение педагогической технологии. Комплексное применение знаний. Игровые технологии

Вид контроля: тестовый, взаимооценка, экспертная оценка

1 этап Оргмомент, 5 мин

Сообщение цели и задач всего урока, и предъявление плана урока

2. этап. Актуализация знаний (Гейм № 1, тест – викторина),

                                                   (Гейм № 2, заморочки из бочки, теоремы) 25 мин

3. этап. Комплексное применение знаний при решении задач (Гейм № 3 «Ты – мне, я – тебе») 10 мин

                                                                                                          (Гейм № 4, «Я и моя команда» 30 мин

                                                                                                          (Гейм № 5, гонка за лидером, тест – викторина) 5 мин

4. этап Подведение итогов урока - соревнования, 5 мин

1 этап Оргмомент, 5 мин

Цель 1 этапа. Предъявление целей и задач команд на игру, представление хода игры

Деятельность учителя и «Совета мудрейших»

Формы деятельности учащихся

Инструментарий (ТМ, тесты, Средства ИКТ )

Рефлексивная деятельность ученика

Эмоционально настроить учеников, мотивировать класс на игру.

«Совет мудрейших» в костюмах мудрецов предлагает командам представиться и сформулировать цели команд на игру.

Команды приветствуют друг друга и озвучивают свои цели на игру

МРР презентация - слайд 1

Задача, конечно, не слишком простая:

Играя учить и учиться играя.

Но если с учебой сложить развлеченье,

То праздником станет любое ученье!

Капитаны команд озвучивают цели, которые они себе поставили.

Представление хода игры.

Рассказ об этапах игры и их оценки:

Слушают и осмысливают информацию о возможности проявить себя в командном зачете и в индивидуальной работе:

Гейм № 1, тест – викторина

Каждому игроку команды компьютер предлагаются по «чёртовой» дюжине вопросов с вариантами ответов. Каждый правильный ответ оценивается в одно очко. Ошибка отбрасывает участника в начало теста и все повторяется сначала. До звука гонга.

Индивидуальная оценка за тест – викторину, оценивает компьютер.

12-13 баллов – «5»

10-11 баллов – «4»

7-9 баллов – «3»

Командный балл – это средний балл по результатам теста – викторины всех участников команды

МРР презентация

Гейм 1 (команда 1)

Гейм 1 (команда 2)

Актуализация основных понятий и определений темы, самоанализ и самоосмысление компьютерного тестирования

Гейм № 2

«Заморочки из бочки»

В бочке 10 бочонков с числами от 1 до 10. Игроки команд по очереди достают бочонки. Вы должны будете по чертежу и краткой записи условия узнать теорему и доказать её.

Каждый ответ дает команде от 0 до 2 баллов

Индивидуальная оценка

«5» - четкий и логически выстроенный ответ без помощи команды;

«3» - ответ с помощью команды;

«2» - ответа нет;

ставит «Совет мудрейших» и команда соперников, учитель вмешивается лишь в спорных случаях

Командный балл – это сумма баллов, набранных  участниками команды за данный конкурс

Заготовленные на Smart Board чертежи и условия теорем

Актуализация основных теорем данной темы, самоанализ и самооценка

Гейм № 3

«Ты – мне, я – тебе»

Команды обмениваются заранее приготовленным вопросом.

Командный балл – от 0 до 2 баллов

CD  «Открытая математика. Планиметрия»; Интерактивные модели

6.1 Углы, вписанные в окружность,

4.2 Высоты, медианы, биссектрисы,

6.2 Хорды окружности.

Озвучивание интерактивных моделей

Комплексное применение знаний

Гейм № 4, «Я и моя команда»

Индивидуальная оценка

«5» - четкий и логически выстроенный ответ без помощи команды;

«3» - ответ с помощью команды

«0» - ответа нет;

ставит «Совет мудрейших» и команда соперников, учитель вмешивается лишь в спорных случаях

Командный балл – это сумма баллов, набранных  участниками команды за данный конкурс

Заготовленные на Smart Board чертежи задач

Листы с условиями задач для каждого участника команды

Комплексное применение знаний

Получив условие задачи, и решив ее раньше участника, отвечающего у доски, можно набрать баллы для индивидуальной отметки.

Решение сдается в совет мудрейших до окончания ответа у Smart Board

Гейм № 5,

«Гонка за лидером»

Индивидуальная оценка за тест – викторину, оценивает компьютер.

21-22 баллов – «5»

18-20 баллов – «4»

13-17 баллов – «3»

Командный балл – это средний балл по результатам теста – викторины всех участников

МРР презентация

 Гонка за лидером  (команда 1)

 Гонка за лидером  (команда 2)

Комплексное применение знаний

2 этап актуализация, 25 мин

Цель. Систематизация теоретического материала и подготовка класса к комплексному применению знаний по теме «Окружность»,

Задачи. Проверка готовности класса по вопросам теории, коррекция знаний.

План этапа

1. Тест – викторина, 3 мин. Подведение итогов гейма № 1, 2 мин

2. Доказательство теорем. Рефлексия по поводу ошибок Подведение итогов гейм № 2, 20 мин

Деятельность учителя и «Совета мудрейших»

Формы деятельности учащихся

Инструментарий (ТМ, тесты, Средства ИКТ )

Рефлексивная деятельность ученика

1 мудрец следит за одной командой и фиксирует ее результаты как индивидуальные, так и командные.

2 мудрец следит за другой командой и фиксирует ее результаты как индивидуальные, так и командные.

3 мудрец следит за хронометром и объявляет и фиксирует результаты гейма № 1

Учитель помогает по необходи-мости и объявляет индивидуаль-ную оценку за тест-викторину

Участвуют в Гейме № 1.

Выполняют компьютерное тестировании.

Индивидуальные ответы на 13 вопросов теста – викторины

Неверный ответ отбрасывает участника в начало теста, сообщив ему набранное количество баллов с первой попытки.

Авторские тесты – викторины для РС «Определения понятий»

см. Приложение 1

Хронометр на Smart Board

Учитывая ограниченность времени на данный конкурс (3 минуты) участнику надо принять решение остановиться ли при неверном ответе или вернуться к началу тестирования и успеть набрать большее количество баллов для своей команды и для себя лично

Мудрецы

подносят т бочку с бочонками, по вытянутому номеру бочонка выбирают нужную страницу на Smart Board,

фиксируют и оценивают ответ,

объясняют доказательство теоремы, если ни одна из команд не может дать правильный ответ,

объявляют командный балл, набранный данным участником, и его индивидуальную оценку,

подводят итоги гейма № 2.

Учитель вмешивается при необходимости и подводит итог первого этапа урока: «Теоретические знания актуализированы, коррекция знаний проведена, а значит, вы готовы к применению теории к решению задач». Цель первого этапа игры достигнута.

Участвуют в Гейме № 2.

По очереди вынимают бочонки их бочки. Каждый участник должен доказать одну из доставшихся ему теорем.

Индивидуальный ответ при доказательстве теоремы – 2 балла

Помощь команды своему участнику при затруднении в течении 30 секунд – 1 балл

Если же команда не может дать верный ответ, вопрос передается команде соперников, которая при верном ответе получает одно очко.

Заготовленные на Smart Board чертежи и краткие записи условия теоремы

см. Приложение 3

Хронометр на Smart Board

Если ни одна из команд не дает верного ответа, то «Совет мудрейших» демонстрирует мультимедийную авторскую презентацию доказательства данной теоремы.

см. Приложение 2

Взаимооценка, экспертная оценка

При анализе ответов «Советом мудрейших» или учителем выявляются допущенные ошибки, происходит  коррекция знаний

Гейм № 1 Тест – викторина. Вопросы 1 команде

Гейм № 1 Тест – викторина. Вопросы 2 команде

1. Утверждения, содержащие основные свойства простейших геометрических фигур и не требующие доказательства.

(Аксиомы)

1. Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

(Планиметрия)

2. Часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки.

(Полупрямая или луч)

2. Угол, стороны которого являются дополнительными полупрямыми одной прямой.

(Развёрнутый)

3. Как называются две непересекающиеся прямые на плоскости.

(Параллельные)

3. Часть теоремы, в которой говорится о том, что дано.

 (Условие)

4. Часть теоремы, в которой говорится о том, что должно быть доказано.

(Заключение)

4. Как называются углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

(Смежные)

5. Как называются углы, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

(Вертикальные)

5. Прямые, пересекающиеся под прямым углом называются …

(Перпендикулярные)

6. Треугольник, две стороны которого равны, называется …

(Равнобедренный)

6. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется ...

(Медиана)

7. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется …

(Высота)

7. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности, называется …

(Радиус)

8. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется …

(Хорда)

8. Хорда, проходящая через центр, называется …

(Диаметр)

9. Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется …

(Касательная)

9. Прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют …

(Серединный перпендикуляр)

10. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла называется …                                                           (Гипотенуза)

10. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол называются …

(Катеты)

11. Центр окружности, описанной вокруг треугольника, лежит на пересечении его …

(Серединных перпендикуляров)

11. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его …

(Биссектрис)

12. Чему равно отношение длины окружности к её диаметру

(Число π≈3,14…)

12. Автор учебника, по которому вы изучаете геометрию

(Погорелов)

13. Сумма длин всех сторон многоугольника

(Периметр)

13. Часть окружности

(Дуга)

Гейм № 2, «Заморочки из бочки»

№ 1

Свойство касательной.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания..

№ 2

Теорема о вписанном угле.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается..

№ 3

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды .равно произведению отрезков другой хорды.

№ 4

Теорема обратная свойству биссектрисы угла..

Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе..

№ 5

Свойство серединного перпендикуляра.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

№ 6

Свойство биссектрисы угла.

Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.

№ 7

Свойство отрезков касательных.

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности..

№ 8

Окружность, описанная около треугольника.

Около любого треугольника можно описать окружность.

№ 9

Окружность, вписанная в треугольник.

В любой треугольник можно вписать окружность.

№ 10

Теорема обратная свойству серединного перпендикуляра.

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

3 этап Комплексное применение знаний при решении задач

Цель. Совершенствовать навыки решения задач по теме «Окружность»

Задачи. Применение теоретических знаний при решении задач, коррекция знаний.

План этапа

1. Гейм № 3 «Ты – мне, я – тебе» 8 мин. Подведение итогов гейма № , 2 мин

2. Гейм № 4, «Я и моя команда» Рефлексия по поводу ошибок Подведение итогов гейм 30 мин

3. Гейм № 5, «Гонка за лидером, тест – викторина 5 мин

Деятельность учителя и «Совета мудрейших»

Формы деятельности учащихся

Инструментарий (ТМ, тесты, Средства ИКТ )

Рефлексивная деятельность ученика

Совет мудрейших запускает интерактивные модели из CD «Открытая математика. Планиметрия» в режиме «Демонстрация» и оценивают озвучивание баллами от 0 до 2.

Подводят итоги гейма и промежуточного этапа игры.

Объявляют общий счет.

Учитель вмешивается в ход игры лишь в спорных случаях.

Участвуют в Гейме № 3,

озвучивая интерактивные модели, стараясь в точности успеть за демонстрацией.

CD «Открытая математика. Планиметрия»; Интерактивные модели

6.1 Углы, вписанные в окружность,

4.2 Высоты, медианы, биссектрисы,

6.2 Хорды окружности.

Взаимооценка. Экспертная оценка.

Мудрецы

Помогают выбрать билетик с условием задачи, выбирают нужную страницу на Smart Board, раздают листы с условием данной задачи каждому участнику игры,

фиксируют и оценивают ответ,

объясняют решение задачи, если ни одна из команд не может дать правильный ответ,

объявляют командный балл, набранный данным участником, и его индивидуальную оценку

Учитель проверяет решения задач, тех учеников, кто решил задачу раньше, чем появилось решение на Smart Board и выставляет индивидуальную оценку.

Учитель объявляет результаты индивидуального решения задач, и подводят итоги гейма № 4.

Участвуют в Гейм № 4

Каждый участник должен решить одну из доставшихся ему задачу, вытянув билетик с условием у Smart Board. Участники команд выходят поочередно.

Индивидуальный ответ при верном решении задачи– 5 баллов

Получив условие задачи, и решив ее раньше участника, отвечающего у доски, можно набрать баллы для индивидуальной отметки. Сдать решение в «Совет мудрейших» до окончания ответа у Smart Board

Помощь команды своему участнику при затруднении в течении 30 секунд – 3 балла

Если же команда не может дать верный ответ, задача передается команде соперников, которая при верном ответе получает одно очко.

Условия задач подготовлены на Smart Board, где участники и приводят решение.

см. Приложение 4

Листы с условиями задач для каждого участника команды

Взаимооценка. Экспертная оценка. Анализ решения задачи и коррекция знаний

Гейм № 5, тест – викторина

Каждому игроку команды компьютер предлагаются по 22 вопроса с вариантами ответов. Каждый правильный ответ оценивается в одно очко. Ошибка отбрасывает участника в начало теста и все повторяется сначала. До звука гонга.

1 мудрец следит за одной командой и фиксирует ее результаты как индивидуальные, так и командные.

2 мудрец следит за другой командой и фиксирует ее результаты как индивидуальные, так и командные.

3 мудрец следит за хронометром и объявляет и фиксирует результаты гейма № 5

Учитель помогает по необходимости

Участвуют в Гейм № 5

Выполняют компьютерное тестировании.

Индивидуальные ответы на 22 вопроса теста – викторины

Неверный ответ отбрасывает участника в начало теста, сообщив ему набранное количество баллов с первой попытки.

Авторские тесты – викторины для РС «Определения понятий»

см. Приложение 5

Хронометр на Smart Board

Учитывая ограниченность времени на данный конкурс (5 минут) участнику надо принять решение остановиться ли при неверном ответе или вернуться к началу тестирования и успеть набрать большее количество баллов для своей команды и для себя лично

Вопросы 1 команде

Вопросы 2 команде

1. Часть круга, ограниченная двумя радиусами

(Сектор)

1. Прибор для измерения углов

(Транспортир)

2. Если два угла треугольника равны, то он является

(Равнобедренным)

2. Кратчайшее расстояние от точки до прямой

(Перпендикуляр)

3. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и

(Биссектрисой)

3. Сумму длин трех сторон треугольника называют его

(Периметром)

4. Две геометрические фигуры, совпадающие при наложении, называют …

(Равными)

4. Отрезки, соединяющие попарно три точки, не лежащие на одной прямой образуют …

(Треугольник)

5. Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит …

(на середине гипотенузы)

5. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и …

(Медианой)

6. Геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки, называется …

(Углом)

6. Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам, называется …

(Биссектрисой)

7. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называют …

(Тупоугольным)

7. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называют …

(Остроугольный)

8. Длину перпендикуляра, проведенного из точки к прямой называют …

(Расстоянием от точки до прямой)

8. Геометрическая фигура, состоящая из отрезков, так, что конец одного, является началом следующего

(Ломаная)

9. Если периметр равностороннего треугольника равен 36 см, то его сторона равна …

(12 см)

9. Сторона квадрата равна 5 см, чему равен его периметр

(20 см)

10. Сколько различных биссектрис можно провести в треугольнике?

(Три)

10. Угол, на который поворачивается солдат по команде «Кругом».

(Развёрнутый, 180 градусов)

11. Сколько останется углов у квадрата, если один из них отрезать?

(Пять)

11. Сколько общих точек имеют две пересекающиеся прямые?

(Одну)

12. Если при пересечении двух прямых образовались четыре равных угла, то эти прямые …

(Перпендикулярны)

12. Если один из смежных углов тупой, то другой …

(Острый)

13. Угол, градусная мера которого больше 90, но меньше 180 градусов называется…

(Тупым)

13. Сколько градусов содержит угол, если он составляет половину развёрнутого угла?

(90 градусов)

14. Как называется утверждение, требующее доказательства.

(Теорема)

14. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины четырехугольника.

(Диагональ)

15. В каком треугольнике высоты пересекаются в его вершине.

(Прямоугольном)

15. В каком треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника.

(В тупоугольном)

16. Прибор для построения окружностей и дуг.

(Циркуль)

16. Сумма углов треугольника равна …

(180 градусам)

17. Точка,  равноудалённая от всех точек данной окружности.

(Центр окружности)

17. Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки.                                  (Окружность)

18. Точки, равноудалённые от концов отрезка находятся на ...

(Серединном  перпендикуляре к этому отрезку)

18. Точки, равноудалённые от сторон угла находятся на …

(Биссектрисе этого угла)

19. Могут ли две различные прямые иметь две общие точки.                                                                      (Нет)

19. Может ли длина отрезка равняться нулю?

(Нет)

20. Как можно назвать равнобедренный треугольник, у которого основание равно боковой стороне?

(Равносторонний. Правильный)

20. Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным?

(Да)

21. Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется…

(Описанной)

21. Окружность, касающаяся всех сторон треугольника, называется…

(Вписанной)

22. Какой угол опишет минутная стрелка за 5 минут?

(30 градусов)

22. Какой угол опишет минутная стрелка за 10 минут?

(60 градусов)

4 этап. Подведение итогов, 5 мин

План этапа

1. Задание на дом

2. Подведение итогов урока и выставление оценок

Деятельность учителя и «Совета мудрейших»

Формы деятельности учащихся

Инструментарий (ТМ, тесты, Средства ИКТ )

Рефлексивная деятельность ученика

Мудрецы объявляют итоги игры. Учитель объявляет личные оценки каждого участника и подводит итог урока:

Каждый из вас доказал, что умеет самостоятельно применять теоретические знания по теме «Окружность» к решению задач:

Вы показали свое умение: работать в команде; грамотно озвучили интерактивные модели, внимательно слушали и помогали партнерам по команде. Справедливо оценивали ответы товарищей, уважительно относились к замечаниям «Совета мудрейших».

При доказательстве теорем и при решении задач вы логически выстраивали свои рассуждения, чётко и лаконично излагали свои мысли. Цели нашего урока – соревнования достигнуты.

Особая благодарность «Совету мудрейших», который самостоятельно подготовил презентации по доказательствам теорем, и перевели вопросы Гейма 1 и Гейма 2 в тесто – тренинг для РС, умело задавали вопросы и отвечали на них, грамотно и справедливо оценивали команды.

Учитель объявляет домашнее задание – решить подготовительный вариант контрольной работы, выбрав уровень приемлемый для ученика.

Отвечает на вопросы учеников по содержанию ПКР и благодарит всех за работу.

Каждая команда подводит итог своей работы, сообщая учителю и «Совету мудрейших» достигли ли они поставленных целей.

Выставляют оценки в дневник и записывают домашнее задание.

Находят и знакомятся с условиями задач домашнего задания в технологической карте (подготовительный вариант контрольной работы)

Выясняют вопросы, связанные с выполнением домашнего задания и выбирают тот уровень с которым они могут справиться.

Задают вопросы по содержанию ПКР

Технологическая карта и теоретический модуль

см. Приложение 6

Самоанализ и составления плана своих действий по ликвидации пробелов, выявленных в ходе урока- соревнования. Выбор уровня выполнения ПКР

Геометрия 8 класс

Окружность

Теоретический модуль

Касательная к окружности

Центральные и вписанные углы

Биссектриса угла

Определение. Касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

окр (О; r)b =

Центральный угол – это угол с вершиной в центре круга

Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её

Свойство. Если точка лежит на биссектрисе неразвернутого угла, то она равноудалена от его сторон этого угла

Признак. Если точка расположена внутри  угла и равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе угла

Свойство. Если прямая – касательная к окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания

Дано: b – касательная, окр(О; r)b =

Доказать:

Серединный перпендикуляр

Определение. Серединный перпендикуляр – это прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно к этому отрезку

Признак. Если прямая 1) перпенди-кулярна радиусу и 2) проходит через его конец, то она является касательной

Дано:  окр(О; r)b =

Доказать:

b – касательная

Теорема о градусной мере вписанного угла

Если угол вписан в окружность, то его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается

Свойство. Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от его концов.

Признак. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему

Свойство отрезков касательных

 - вписанный

Четыре замечательные точки треугольника -

это точки пересечения биссектрис, высот, медиан и серединных перпендикуляров треугольника.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, эта точка – центр вписанной в данный треугольник окружности

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, эта точка – центр описанной около треугольника окружности.

Высоты треугольника (или их продолжения)  пересекаются в одной точке

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

АВ и АС – отрезки касательных

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки 1) равны и 2) составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности

Свойство отрезков пересекающихся хорд

Следствия из теоремы о вписанном угле

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Вписанные углы, опира-ющиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанные углы, опира-ющиеся на полуокружность - прямые

Вписанная и описанная окружности

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис всех  внутренних углов многоугольника

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Центр описанной окружности лежит на пересечении всех серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, если сумма длин его противоположных сторон равны.

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну

Около четырехугольника можно описать окружность, если сумма его противоположных углов равна 1800.