Дополнительные построения при решении сложных геометрических задач.
учебно-методический материал по геометрии (9 класс)

Один мудрец сказал: “ Высшее проявление духа – это разум.

Высшее проявление разума – это геометрия.

Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем,

 как и Вселенная. Окружность – душа геометрии.

Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии,

но и возвысите душу свою”.

Дополнительные построения при решении

сложных геометрических задач.

Введение

В структуру выпускного экзамена ЕГЭ по математике профильного уровня входит геометрическая задача на доказательство повышенной сложности, требующая от обучающихся всестороннего знания планиметрии. Важнейшей особенностью является отсутствие единых алгоритмов решения таких задач, успех во многом зависит от накопленного учащимися опыта решения комбинированных планиметрических задач. Тем не менее, практика решения позволила выделить некоторые геометрические структуры, являющиеся вспомогательными ключами к поиску правильного решения. Метод вспомогательной окружности является одним из ключей к поиску правильного решения геометрических задач.  Сформулируем теоретические аспекты, лежащие в основе применения метода вспомогательной окружности, и покажем, как он используется для решения различных геометрических задач.  

Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств окружности.  

Теоремы и следствия, изучаемые в курсе 8-9 класса

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Вспомогательная окружность - одно из наиболее эстетичных дополнительных построений. Суть метода вспомогательной окружности заключается в том, что на чертежи к задаче вводится окружность, которую можно вписать или описать около треугольника, четырёхугольника или многоугольника. После этого связи между данными и искомыми величинами становятся очевидными. Использование вспомогательной окружности связано с характерными признаками фигуры, рассматриваемой в задаче. В процессе изучения метода вспомогательной окружности необходимо научиться выделять и использовать

эти признаки, наличие которых в задаче приводит к построению вспомогательной окружности. Они основаны на теоремах и их следствиях, изучаемых в курсе геометрии 8, 9 классов.

Углы, связанные с окружностью.

1. Градусная мера дуги окружности равна величине центрального угла:  

2.Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:  

3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой: α = 90°

4. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: α =  β 

5. Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых между его сторонами, а другая между их продолжениями :  

6.Угол с вершиной вне круга измеряется полуразностью дуг, заключённых между её сторонами:  

6. Угол, составленный касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.  

Вписанные и описанные окружности.

1. Около любого треугольника можно описать единственную окружность, центр - точка

пересечения серединных перпендикуляров.

2. В треугольник можно вписать окружность и притом единственную. Центр окружности - точка пересечения

                                                    биссектрис.                

3. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Центр - точка пересечения диагоналей.

4.Только около равнобедренной трапеции  

                                        Можно описать окружность.                                                               

4. Если в четырехугольнике сумма длин его противоположных сторон равны, то в четырёхугольник можно вписать окружность.  AB + DC = AD + BC 

5. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180, то около него можно

описать окружность.  

Свойства окружности, пересекающихся хорд, секущих и касательных.

1. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.  

AD2 = AC·AB

2. Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть, равно произведению другой секущей на ее внешнюю часть. 

AB · АС = AE · AD

3. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды 

AE · EB = CE · ED

 Признаки вспомогательной окружности

Метод вспомогательной окружности заключается в том, что если геометрическая   фигура (многоугольник, треугольник, квадрат и т.п.) имеет ряд конкретных признаков, то вокруг неё можно описать окружность. 

Если около геометрической фигуры можно описать вспомогательную окружность, то в некоторых случаях это облегчит решение некоторых геометрических задач.  Связь между данными и искомыми величинами становятся более ощутимыми или

 даже очевидными. К построению вспомогательной окружности приводит наличие

некоторых признаков.

 То есть критерием применимости метода вспомогательной окружности служит возможность использования в задаче следующих утверждений.

        Первый признак

Если можно указать точку, равноудалённую от             рассматриваемых четырех точек, то эти четыре точки

будут лежать на одной окружности.

BO = CO = DO = AO

    Второй  признак

Если точки A и B лежат на одной стороне неразвернутого угла с вершиной O, точки C и D на другой, и при этом OA · OB = OC · OD, то четыре точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Третий признак

    а)Если в четырехугольнике сумма        противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.

 б) частным случаем является ситуация, в которой два противоположных угла

равны 90°.                   

Четвертый признак

А) Если отрезок CD из точек E и F  виден под равными углами, то четыре точки E, F, C и D лежат на одной окружности (рис.2а).

Б) частным случаем является ситуация, когда концы отрезка видны под прямым углом(рис.2б).

  Заметим, что рассмотренные частные случаи можно объединить в конструкцию с общим названием: «прямоугольные треугольники с общей гипотенузой». В данных условиях явно определяется положение центра вспомогательной окружности – он лежит в середине гипотенузы, а радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе этого треугольника.

Обобщим.

   Если для четырех точек плоскости А, В, М, К выполняется одно из следующих условий:

а) точки М и К расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом <АМВ = <АКВ;

б) точки М и К расположены по разные стороны от прямой АВ и при этом <АМВ+<АКВ = 180 ,

то точки А, В, М, К лежат на одной окружности

Пятый признак

Если отрезки AB и CD пересекаются в точке О и при этом OA·OB=OC·OD, TO четыре точки A, B,

C и D лежат на одной окружности.

Шестой признак

В задачах, условие которых подразумевает построение серединных перпендикуляров, часто сводится к построению окружности.

Седьмой признак

Если дан квадрат, прямоугольник, правильный n-угольник, равнобедренная трапеция, то вокруг них описывается окружность

Этапы решения задач методом вспомогательной окружности.

1.  Анализ условия («первый взгляд на задачу»).  Ещё при анализе условия  

  можно задуматься о возможности применить метод вспомогательной окружности. В качестве «сигналов» могут выступать следующие фразы:

«опущены перпендикуляры...», «проведены высоты...», «стороны (или прямые)

перпендикулярны...». Как правило, в задачах идёт речь о двух перпендикулярностях. В контексте условия речь также может идти о двух углах, сумма заданных градусных мер которых равна 180°.

2.  Построение чертежа («конкретизация»). На данном этапе выполняется построение в соответствии с условием, одновременно конкретизируя и подводя под чертеж свои догадки относительно применения метода вспомогательной окружности. Отыскать удачное вспомогательное построение часто бывает нелегко.

 Чертёж, как  модель,  является  ключевым  элементом  на  пути  решения  задачи и, следовательно, его незаменимой частью, поэтому качество выполнения чертежа играет значимую роль.

3.  Анализ чертежа и выбор метода. На данном этапе происходит выявление

соответствующей ситуации (общей или частной из описанных выше), позво-

ляющей   обоснованно применить метод вспомогательной окружности.  

4.  Обоснование метода. После выбора конкретного случая проводится его теоре-

тическое обоснование, опираясь на  общую  возможность  построения  окружности  

по двум вписанным равным углам или же по вписанному в неё четырёхугольнику.

5.  Дополнительное построение. Здесь непосредственно строят вспомогательную окружность.

6.  Цепочка следствий. Окружность, как новый элемент позволяет расширить

область возможных умозаключений, привнося видимость новых особенностей

чертежа.  Работая далее с углами в окружности в связи со всем чертежом зада-

чи, выполняя  поиск  новых  отношений,  приходим  к  истинности  

доказываемого суждения.

                       Применение вспомогательной окружности.  

Рассмотрим  применение  данного  метода  при  решении  задач  ЕГЭ  на  доказательство, предлагаемых в открытом банке заданий, а также сборниках типовых задач.  К  каждой  задаче  мы  предложим  два  чертежа:  первый,  который  строит сам обучающийся  – после первичного понимания условия задачи, и второй, который получается из первого чертежа  – после применения метода вспомогательной окружности.

Задача 1. В треугольнике АВС проведена высота BК. Найти длину отрезка, соединяющего точку К с серединой АB, если АB = 10см.

Решение:

Проведем высоту АМ, тогда углы АКВ и АМВ равны по 900 , значит точки А, К, М, В лежат на одной окружности и АВ – диаметр.(На рисунке окружность изображена штриховой линией, хотя ее можно и вообще не изображать, а “представлять               в уме”).  Точка О – середина АВ по условию.  Следовательно, АО = ОВ = КО = =r = 5 см. (рис. 3)

Ответ: 5см

Задача 2 (2017 г.). В трапеции АВСD боковая сторона AB перпендикулярна осонованиям. Из точки А на сторону СD опустили перпендикуляр АН. Точка Е принадлежит стороне АВ, прямые CD и CE перпендикулярны. Докажите, что прямая ВН параллельна прямой ED.

Доказательство.

 1) В четырёхугольнике ABCH два противолежащих угла – прямые, ∠ABC + +∠AHC = 180°, значит, четырёхугольник – вписанный, точки A, B, C, H лежат на одной окружности. Построим эту вспомогательную окружность. Её центр – середина АС.

2) ∠ABH = ∠ACH как вписанные, опирающиеся на дугу AH.

3) Аналогично, четырёхуг-к AECD – вписанный. Центр окружности – середина ED.

4) ∠AED = ∠ACD как вписанные, опирающиеся на дугу AD.

5) Из пунктов 2 и 4 следует равенство: ∠AED = ∠ABH. Значит, равны соответственные углы при прямых BH, ED и секущей AB. Следовательно, BH || ED, что и требовалось доказать.

Задача 3 (2018 г.) В равнобедренном треугольнике АВС, где угол В – тупой, на

продолжение ВС опущена высота АН. Из точки Н на стороны АВ и АС опущены

перпендикуляры НК и НМ, соответственно. Докажите, что АМ = МК.

Доказательство. 

1) ∆AMH, ∆AKH – прямоугольные, с общей гипотенузой AH. Значит, точки A, M, K, H – лежат на одной окружности, центр которой – середина AH.                   2) ∠KAM = ∠KHM = α как вписанные, опирающиеся на дугу MK.                                                  3) ∠BAC = ∠BCA = α по свойству углов при основании р/б ∆ ABC.

4) ∠HBA = ∠BAC + ∠BCA = α + α = 2α как внешний угол ∆ABC.

5) Из прямоугольного ∆ABH имеем:  ∠HAB = 90° – 2α.

 6) Из прямоугольного ∆AKH имеем: ∠AHK = 2α.

7) ∠AHM = ∠AHK – ∠KHM = 2α – α = α.

8) ∠AHM = ∠AKM = α как вписанные, опирающиеся на дугу AM.

9) Из пунктов 2 и 8 имеем: ∠KAM = ∠AKM = α, следовательно, ∆AMK – равнобедренный (по признаку), т. е. AM = MK (по определению), что и требовалось доказать.

Заключение.

В статье рассмотрен один из интересных приёмов решения геометрических задач, который состоит в том, что в чертёж вводится вспомогательная окружность. Построение вспомогательной окружности позволяет увеличить число теорем, которыми можно пользоваться при решении задач, и благодаря этому отыскивать зависимость между элементами фигуры. В статье выделены наиболее типичные ситуации, в которых можно применить вспомогательную окружность, рассмотрены задачи различных уровней сложности.

Данная статья помогает "увидеть" окружность там, где ее нет. Помогает описать окружность там, где это возможно, что значительно облегчает решение задач. Вспомогательная окружность- ключ к решению ряда геометрических задач.

Статья может быть использована для практических занятий и элективных курсов в 9-11 классах при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ, успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах.

Список литературы

1. Гордин Р.К. «ЕГЭ 2011. Математика. Задача С4» под редакцией А.Л.

Семёнова и И.В. Ященко.- М.: МЦНМО, 2011 г.

2. Мерзляк А.Г. «Учимся решать задачи по геометрии».

3. Погорелов А.В.  «Геометрия: учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений».- М.: Просвещение, 2018 г.

4. Ященко И. В.  ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые

     экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. М.:

Издательство «Национальное образование», 2021.

 5.   Казаков Н. А., Кузнецова Т. И. Метод вспомогательной окружности в       планиметрических задачах ЕГЭ // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2019. № 1