Решение геометрических задач на построение с помощью одного циркуля
учебно-методический материал по геометрии (8 класс)

Решение геометрических задач на построение

с помощью одного циркуля

Геометрические построения являются существенным фактором в математике; они представляют собой мощное орудие геометрических исследований. Традиционное ограничение орудий геометрических построений только циркулем и линейкой восходит к глубокой древности. Знаменитая геометрия Евклида (III век до нашей эры) была основана на геометрических построениях, выполняемых циркулем и линейкой; при этом было совершенно безразлично, как выполнялись отдельные построения: с помощью циркуля и линейки, или  с помощью одного циркуля, или одной линейки.

Уже давно было замечено, что циркуль является более точным, более совершенным инструментом, чем линейка. В школьном курсе математики этому вопросу не уделено внимания, и все задачи на построение решаются совместно линейкой и циркулем. Изучая задачи на построение в 7-8 классах, у меня возник  вопрос: а можно ли решать задачи на построение только одним циркулем или же это невозможно? Передо мной встала проблема в разрешении противоречий между решением задач на построение циркулем и линейкой и решением этих же задач только одним циркулем. Считаю, что эта тема актуальна для любого школьника, интересующегося задачами на построение.

В чем же особенность этих задач? Задачи на построение не просты.  Не существует единого алгоритма для решения всех таких задач.  Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения.  Именно поэтому научиться  решать задачи на построение чрезвычайно трудно, а, порой, практически невозможно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска путей решения с помощью своей интуиции и подсознания. Задачи на построение увеличивают интерес учащихся к предмету геометрии, способствуют развитию творческих способностей, воображения, что им пригодиться в дальнейшем на уроках стереометрии в старших классах. В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики. Теория геометрических построений составляет теоретическую основу практической графики: многие чертежные приемы опираются на решение геометрических задач на построение.

Будем рассматривать задачи по признаку постепенного усложнения построений и обоснования новых построений предыдущими.

Задача №1  Построить угол, равный данному.

Дано: угол, который  определяется вершиной А и точками В и С, взятыми где-либо на его сторонах.

Построить: .

Построение.

1. Строим отрезок ЕК=АС, то есть отмечаем циркулем две точки, расстояние между которыми равно АС.

2.

3.

4.

5. (Рис.1)

Доказательство. 

по трем сторонам (АС=ЕК, АВ=ЕМ, ВС=МК по построению как радиусы).

Задача №2. Из данной точки С провести прямую, параллельную данной прямой АВ.

Дано: прямая АВ, заданная двумя точками А и В; точка С, не лежащая на прямой АВ.

Построить: СЕ||АВ.

Построение.

1. Строим (задача №1).

2. СЕ - искомая прямая. (Рис.2)

Доказательство.

 – а это накрест лежащие углы при прямых АВ и СЕ и секущей ВС

Задача №3. Построить точку, симметричную данной точке А относительно данной прямой ВС.

Дано: прямая ВС, заданная двумя точками В и С, точка А, не лежащая на прямой ВС.

Построить: точку Е, симметричную А относительно ВС.

Построение.

1.  

2.  

3.  

4. Точка Е - искомая. (Рис.3)

Доказательство.

по трем сторонам (АС=ЕС, ВА=ВЕ, по построению как радиусы, ВС - общая сторона) при перегибе чертежа по линии ВС  точка А совместится с точкой Еточка А симметрична точке Е относительно прямой ВС.

Задача №4. Из данной точки А провести прямую, перпендикулярную к данной линии прямой ВС.

Дано: прямая ВС, заданная двумя точками В и С, точка А, не лежащая на прямой ВС.

Построить: .

Решение. Выполним построение как в задаче №3. Так как точки А и Е симметричны относительно прямой ВС, то . Таким образом точки А и Е определяют искомую прямую. (Рис.4)

Задача №5. Определить лежат ли три данные точки А, В, и С на одной прямой линии.

Дано: точки А, В и С.

Найти: лежат ли А, В и С на одной прямой.

Решение.  1. Возьмем точку .

2. Построим точку Е, симметричную точке К относительно прямой АВ по задаче №3.

3. Сравним отрезки КС и ЕС.

4. Если КС=ЕС, то , а если , то . (Рис.5)

Задача №6. Даны две точки А и В. Построить точку, лежащую на прямой АВ.

Дано: точки А и В.

Построить:

Построение. 

1. Возьмем произвольную точку С, не лежащую на АВ.

2. Строим точку К, симметричную С относительно прямой АВ по задаче №3.

3. , где R – произвольный радиус.

4. .

5.  (Рис.6)

6. Точка Е – искомая.

Доказательство. По задаче №5 так как мы строим окружности  одинаковыми радиусами R, то есть СЕ=КЕ=R, то точка , и так как этот радиус произвольный, то можно построить бесконечно много точек, лежащих на данной прямой.

Задача №7. Найти точки пересечения данной прямой АВ с окружностью данного радиуса с центром в данной точке О.

Дано: прямая АВ, заданная двумя точками А и В, .

Построить: точки пересечения АВ и  .

Построение.

1. Строим точку С, симметричную точке О относительно прямой АВ по задаче №3.

2. .

3..

4. Точки Е и К – искомые. (Рис.7)

Доказательство. По задаче №5 так как окружности  имеют одинаковые радиусы R, то есть СЕ=ОЕ=R, то точка , СК=КО=R, то точка , а значит они являются общими для данной прямой АВ и окружности  .