окружность теория и практика
тренажёр по геометрии (8 класс)

Основные свойства окружности

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

1. Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хордуAC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD= 1 см, а радиус окружности равен 5 см.

2. Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.

3. Найдите хорду, на которую опирается угол 30°, вписанный в окружность радиуса 3.

Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

Хорды окружности, удалённые от центра на равные расстояния, равны.

Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.

Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.

Диаметр есть наибольшая хорда окружности.

Замечательные свойства окружности

Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под прямым углом (∟АМВ = 90°), естьокружностьсдиаметромАВбезточекАиВ.

Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под острым углом (∟АМВ< 90°), есть внешность круга с диаметром АВ без точек прямой АВ.

Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под тупым углом (∟АМВ> 90°), есть внутренность круга с диаметром АВ без точек отрезка АВ.

Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей (без концов этих дуг).

Касательная к окружности

Касательная перпендикулярна радиусу, Касательная перпендикулярна радиусу,проведенному в точку касания.

1.Хорда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

2. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, дуга АВ — равна 64°. Ответ дайте в градусах.

3. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.

Признак касательной.

Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Касающиеся окружности

1…

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры.Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.

 1. Окружность радиуса  вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN.

2. На стороне прямого угла с вершиной A взята точка O, причём AO = 7. С центром в точке O проведена окружность S радиуса 1. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.

3. Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1 = 30°.

4. Окружность радиуса  вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 16. Найдите MN.

5. Расстояния от общей хорды двух пересекающихся окружностей до их центров относятся как 2 : 5. Общая хорда имеет длину  а радиус одной из окружностей в два раза больше радиуса другой окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.

5

…

Углы, связанные с окружностью

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

1. Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

2. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет  окружности. Ответ дайте в градусах.

3. Дуга окружности , не содержащая точки , составляет . А дуга окружности , не содержащая точки , составляет . Найдите вписанный угол . Ответ дайте в градусах.

4. В окружности с центром   и  – диаметры. Вписанный угол  равен . Найдите центральный угол . Ответ дайте в градусах.

5. Найдите величину угла . Ответ дайте в градусах..

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

…6

…

Вписанные и описанные окружности

Центры…

1.Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны  и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

2. Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника.

3. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

7. В треугольнике  , , угол  равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.

8. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

2. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

3. Сторона ромба равна 1, острый угол равен 30. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

5. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 1.

6. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон.

8. Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

9. Найдите радиус  окружности, вписанной в четырехугольник . Считайте, что стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите .

1. Точки , , , расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как . Найдите больший угол треугольника . Ответ дайте в градусах.

2. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

5. В треугольнике  , угол  равен 90°. Радиус описанной окружности этого треугольника равен 5. Найдите .

6. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен . Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

11. Пусть тупым является угол C, тогда сторона ABтупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

3. Точки , , , , расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги , ,  и , градусные величины которых относятся соответственно как . Найдите угол  четырехугольника . Ответ дайте в градусах.

4. Четырехугольник  вписан в окружность. Угол  равен , угол  равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

0. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса .

11. Меньшая сторона прямоугольника равна 6. Угол между диагоналями равен . Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

13.