Из опыта обучения решению геометрических задач
статья по геометрии (9, 10, 11 класс)

Из опыта обучения решению геометрических задач

Работая в гумунитарном или просто не сильном классе, учитель математики часто стапкивается с большими проблемами при обучении решению геометрических задач. Учащиеся, даже добросовестно изучившие теоретический материал, не легко справляются с решеним задач. Мотивировка «это нам в жизни не пригодится» встречается довольно часто. Какие же существуют пути увлечь ребенка геометрической задачей? Один из них широко разрекламирован последнее время, представлен в ОГЭ. Это задачи с практическим содержанием. Ничуть не умаляя роли этих задач, я хотела бы остановиться на другом аспекте. Мне кажется, что интеллектуальное удовольствие от совершенного открытия, одно из самых ярких и радостных ощущений. Удовольствие и радость от жизни — естественные и желанные для нас эмоции. Но как часто мы забываем пополнять свои источники удвольствия и радости, свои ресурсы.

Приведу цитату из психологического исследования

Из книги «Поток. Психология оптимального переживания»

Михай Чиксентмихайи 

«В результате наших исследований было выделено восемь основных компонентов переживаний радости. Когда люди размышляют о своих чувствах в особенно позитивные моменты, они как правило, упоминают не менее одного из них, а чаще все восемь.

Во-первых, задача, которую ставит себе человек, должна быть для него посильной.

Во-вторых, он должен иметь возможность сосредоточиться.

В-третьих и в –четвертых, концентрация, как правило, становится возможной потому, что задача позволяет четко сформулировать цели и немедленно получить обратную связь.

В-пятых, в процессе деятельности увлеченность субъекта настолько высока, что он забывает о повседневных тревогах и проблемах.

В-шестых, занятия, приносящие радость, позволяют человеку ощущать контроль над своими действиями.

Седьмая особенность этого состояния заключается в том, что осознание своего Я в момент совершения действия как-будто исчезает, зато после окончания потокового эпизода оно становится сильнее, чем раньше.

Наконец, изменяется восприятие течения времени: часы превращаются в минуты, а минуты могут растягиваться в часы.

Сочетание всех этих составляющих порождает чувство настолько глубокой радости, что люди не жалеют сил, чтобы снова и снова испытывать ее»

Все это отлично достигается на удачном уроке. Геометрия-предмет, на котором это удовольствие, эту радость может испытать любой ученик, на каком бы уровне интеллектуального развития он не находился. Обратим внимание на первый пункт. Работа должна быть посильной.

Приведу примеры работы с некоторыми задачами и ЕГЭ.

Тип 16 № 514717

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что  В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

Сосредоточимся на работе с пунктом а). Пункт б) требует серьезной математической подготовки.

Первые трудности появляются при построении чертежа. Необходимо, на мой взгляд, уделить достаточно времени, чтобы учащиеся смогли совершить несколько попыток и получить одобрение учителя, добившись успеха в построении чертежа. Указаниия, которые должны помочь учащимся продвигаться к успеху в решении задачи, могут заключаться в следующем:

• Вспомнить свойства равнобедренного треугольника
• Ввести обозначения для угла
• Вспомнить свойство внешнего угла треугольника
• Выбрать какой из внешних улов (угол АСВ) нам пригодится

Разумеется, все советы должны быть направлены только тем, кто в них нуждается. Но, желательно, чтобы в результате проделанной работы победителем ошутил себя каждый.

Тип 16 № 516277

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.

а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .

б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.

Вначале обсудим ход поиска решения в пункте а)

• Несомненно немало сложностей вызовет построение чертежа, соответствующего тексту задачи. Можно посоветовать начать с равнобедренного треугольника АВD.
• Следующий этап-поиск информации, которую предоставляет нам трапеция, в данном случае параллельные прямые и накрест лежащие углы.
• Последний этап-поиск еще одного равнобедренного треугольника (треугольник АВС), который приводит к решению задачи.

Для этой задачи работа над пунетом б) представляется возможной дахе в не очень сильном  классе. Если дети впервые с зтим встпечаются, то необходимо рассказать им о возможности использовать окружность, как инструмент. Далее обозначение известных отрезков, поиск вписанных углов и применение теоремы Пифагора для треугольника АСЕ скорее всего пройдет без особых затруднений и прмнесет радость победы .

Тип 16 № 507262

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

Если вопрос о применении окружности как инструмента для решения задачи рассмотрен, то есть немало задач, позволяющих это применить.

Ход обсуждения;

• Найти какие-нибудь углы, исползуя данный нам угол 300.
• Заметить интересную особенность (сумма углов СОВ и СЕВ равна 1800).
• Вспомнить,что это признак того, что вокруг четырехугольника можно описать окружность.
• Использовать свойства углов, опирающихся на одну и ту же дугу.

Тип 16 № 505389

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD.

а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.

Первоначальный чертеж в этой задаче очень прост.Необходимо навести учащихся на мысль наоборот как-то его усложнить. После получения необходимого чертежа:

• Обдумать вид и свойства получившегося четырехугольника NKLM
• Сделать вывод

В заключение надо сказать, что описанная на этих нескольких примерах работа, совсем не обязательно приведет к тому, что уащиеся сумеют решить сложную геометрическую задачу на экзамене, даже в какой-то ее части. Но она обязательно поможет сформировать положительный эмоциональный настрой на изучение математики и испытать радость озарения, радость открытия.