Теорема Пифагора
план-конспект урока по геометрии (8 класс)

Слайд 1

Теорема Пифагора Учитель ГБОУ СОШ №536 Московского района г. Санкт -Петербурга Морозова Т.А.

Слайд 2

Содержание 1. Немного истории 2. Теорема Пифагора I способ (классический); II способ (доказательство Бхаскары); III способ (доказательство Анариция); 4. Задачи 3. Доказательства теоремы: повторяем

Слайд 3

Знаменитый древнегреческий ученый Пифагор жил в VI в. до н.э.(около 570-500 г.г.).Он родился на острове Самос в Эгейском море. В молодые годы много странствовал; долго жил в Египте, затем в Вавилоне.Последний период своей жизни (примерно с 530 г. до н.э.) Пифагор прожил в городе Кротон–греческой колонии на юге Италии. Здесь он создал знаменитую Пифагорейскую школу. Исследования Пифагора охватывали астрономию, музыку, арифметику и геометрию. Пифагор был убит, а его школа разгромлена когда к власти пришли сторонники рабовладельческой демократии. Немного истории

Слайд 4

История теоремы начинается задолго до Пифагора. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно тогда ещё не знали её доказательства, а соотношение было установлено опытным путём. За 2000 лет до н. э. египтяне пользовались этим отношением для построения прямых углов. Эта теорема была известна в Китае и древней Индии. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий историк Плутарх, греческий учёный III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие. Пифагор же нашел доказательство этого соотношения и поэтому теорема стала называться его именем.

Слайд 5

У арабских математиков теорема Пифагора называлась «теоремой невесты», так как чертеж к ней напоминает пчелу или крылатого муравья. Древние греки так называли молодых женщин, невест, а арабы сделали соответствующий перевод. Доказательство теоремы Пифагора среди учащихся средних веков считалось очень трудным и поэтому теорема называлась Pons asinorum - «Мост ослов». Слабые ученики, заучивавшие теорему наизусть без понимания и прозванные поэтому «ослами» не были в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непроходимого моста.

Слайд 6

Вернемся к рассмотрению непосредственно теоремы Пифагора. В настоящее время её формулировка выглядит так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». a b c c 2 = a 2 + b 2 На протяжении веков были найдены различные доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывают более ста. Рассмотрим некоторые из них.

Слайд 7

I способ (классический) a b c Рассмотрим прямоугольный треугольник c катетами а , b и гипотенузой с . Докажем, что с 2 = а 2 + b 2 . Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b . Площадь S этого квадрата равна ( а + b ) 2 . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна , и квадрата со стороной с , площадь которого равна с 2 , поэтому Таким образом, ( а + b ) 2 = 2 а b + с 2 , а 2 + 2 а b + b 2 = 2 ab + c 2 , откуда с 2 = a 2 + b 2 . Что и требовалось доказать. а b b a b a b a c c c c

Слайд 8

II способ (доказательство Бхаскары – Индия) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (АВ= с , ВС= а , АС= b ). Докажем, что с 2 = а 2 + b 2 . Пусть АВ DE – квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВС. Пусть D К ВС, она равна а; EL DK, AM EL ; тогда равны треугольники АВС, BDK, DEL и AME. Далее, KL=LM=CM=CK= a – b . Площадь квадрата ABDE равна с 2 . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна , и квадрата со стороной ( а – b ) , площадь которого равна ( a – b) 2 , поэтому с 2 = + ( а – b) 2 , с 2 = 2а b + b 2 – 2ab + a 2 , откуда с 2 = a 2 + b 2 . Что и требовалось доказать. А В D E K L C M A C B c a b

Слайд 9

Площадь квадрата АВКМ равна с 2 . Тогда, с 2 = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 +S 5 . Площадь квадрата СВЕ F равна а 2 . а 2 = S 3 + S 4 +S 5 , а площадь квадрата АС RH равна b 2 . b 2 = S 1 + S 2 . Имеем, а 2 + b 2 = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 +S 5 , то есть с 2 = а 2 + b 2 . Что и требовалось доказать. III способ (доказательство Анариция) 5 5 4 4 1 1 2 2 3 3 А С В М К E F R H , В А С с b a Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, где АВ= с , ВС= а , АС= b . Докажем, что с 2 = а 2 + b 2 . Построим квадраты на катетах и гипотенузе этого треугольника. Эти квадраты разобьем на многоугольники так, что каждому многоугольнику из квадрата на гипотенузе соответствует равный многоугольник одного из квадратов на катетах.

Слайд 10

4 см 3 см с 1. 7 см 2. 5 см 3. 25 см Проверь себя Найдите неизвестную сторону прямоугольного треугольника и выберите вариант ответа

Слайд 11

10 дм 8 дм b 1. 6 дм 2 2. 12 д м 3. 6 д м

Слайд 12

с 2 ед 1 ед 1. 5 ед 2. ед 3. 25 ед

Слайд 13

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. a b c c 2 = a 2 + b 2 С B A AB 2 = BC 2 +AC 2

Слайд 14

Разбираемся в решении С помощью рассмотренной теоремы решается очень большое количество задач. Рассмотрим некоторые из них. Задача: Найдите высоты треугольника, зная, что его стороны равны 7см, 8см, 9 см. А В С D х Рассмотрим АВС, где АВ=9см, ВС=8см,АС=7см. Требуется найти его высоты h АВ , h ВС , h АС . Пусть AD - искомая высота. Тогда CD = 8 – х . АВ 2 = AD 2 +BD 2 и АС 2 = AD 2 +CD 2 (по т.Пифагора), тогда AD 2 = AB 2 – BD 2 и AD 2 = AC 2 – CD 2 . Получим: AB 2 – BD 2 = AC 2 – CD 2 81 – х 2 = 49 – (8 – х ) 2 . Решая уравнение, получим х = 6. Так как BD =6, то AD 2 = 81 – 36 = 45, то есть AD =3 5см. Две другие высоты этого треугольника найдите самостоятельно. Обозначим через х отрезок В D .

Слайд 15

Обратная теорема Пифагора Теорема Пифагора выражает свойство прямоугольного треугольника. Обратное ей утверждение является признаком прямоугольного треугольника. «Если в треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других его сторон, то такой треугольник прямоугольный» С А В АС 2 +ВС 2 = АВ 2 АВС - прямоугольный

Слайд 16

Задача : На местности с помощью веревки построить прямой угол. Теорему Пифагора и обратную ей теорему можно применять и в практических целях. связывают концы и растягивают на Земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами 3 и 4 оказывается прямым. 3 4 5 Применяя обратную теорему Пифагора можно увидеть, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным,так как 5 2 = 3 2 +4 2 . Поэтому поступают так: на веревке делают метки, делящие её на 12 равных частей (3+4+5=12);

Слайд 17

4 2 А В С D E F 6 3 Найдите площади прямоугольных треугольников

Слайд 18

8 4 3 3 8 6 N S T C K M R T F

Слайд 19

1 2 3  1 +  3 =  2  2 – ?

Слайд 20

30 ед 2 16 ед 2 А B C D E S ABCDE - ?

Слайд 21

Неверно !

Слайд 22

Молодец !