Проект "Геометрия и искусство"
проект по геометрии (11 класс)

“Иногда, когда я рисую, мне кажется, будто я медиум, находящийся во власти существ, порожденных моим же воображением, — сказал как-то раз Эшер — Они словно сами избирают, в каком виде им появиться...

С этим высказываним великого голландского художника я познакомилась в процессе работы над проектом «Геометрические исследования мозаик Морица Эшера».

После просмотра его работ возникло очень много вопросов:

• Что привело художника к таким сюжетам его работ;
• Кто он по происхождению и откуда берет истоки его искусство.

Итак, я познакомилась с работами Морица Эшера. В художественной школе изучали мозаичное искусство и в работах Эшера нашла большое количество мозаик. Познакомила с этими работами своих одноклассников и в результате получились две копии работ «Бабочки » и «День и ночь», а еще одна работа «» оказалась незаконченной. Именно она и натолкнула на гипотезу и идею исследования.

Объект исследования: творчество Мориса Эшера.

Предмет исследования: мозаики.

Цель проекта: рассмотреть мозаики Мориса Эшера  как результат геометрических преобразований и расширить свой кругозор.

Гипотеза: мозаики Эшера тесно связаны с геометрическими преобразованиями, которые придают его работам фантастичность и необычность.

Задачи исследования:

Изучить творчество М. К. Эшера и определить связь  его творчества с математикой. Подготовить презентацию в программе PowerPoint в виде виртуальной экскурсии, усовершенствуя навыки в работе с информационно-коммуникационными технологиями. Осуществить межпредметные связи: истории, математики, изобразительного искусства, информатики.

Методы исследования: поиск информации, анализ, сравнение, обобщение.

Возможности Интернета помогли исследованию и   показали, что творчество Эшера интересует многих.

План

1. Вступление.
2. Биография Морица  Корнелиуса Эшера.
3. Геометрия и мозаика.

1. Мозаика.
2. «Вы называете это математикой»

4. История мозаичного искусства.
5. Источники информации.

1. Биография  Морица Корнелиуса Эшера

Мориц Корнелиус Эшер  родился 17 июня 1898 года в Ливердене (Нидерланды), младший сын в семье инженера-гидравлика Г.А.Эшера и Сары Гличман. С 1907 года Морис учится плотницкому делу и игре на пианино, обучается в средней школе. Оценки по всем предметам у Мориса были плохими за исключением рисования. Учитель рисования заметил талант у мальчика и научил его делать гравюры по дереву. В 1916 году Эшер выполняет свою первую графическую работу, гравюру на фиолетовом линолеуме - портрет своего отца Г. А. Эшера. Он посещает мастерскую художника Герта Стигемана, имевшего печатный станок. На этом станке были отпечатаны первые гравюры Эшера.  В 1918-1919 годах Эшер посещает Технический колледж в голландском городке Дельфт. Он получает отсрочку от службы в армии для продолжения учебы, но из-за плохого здоровья Морис не справился с учебным планом, и был отчислен. В результате, он так и не получил высшего образования. Он учится в Школе архитектуры и орнамента в городе Гаарлеме. Там он берет уроки рисования у Самюэля Джесерена де Месквита, который оказал влияние на жизнь и творчество Эшера. В 1921 году семья Эшера посетила Ривьеру и Италию. Очарованный растительностью и цветами средиземноморского климата, Морис сделал детальные рисунки кактусов и оливковых деревьев. Появилась первая публикация в журнале "Пасхальные цветы" (гравюра на дереве). Эшер заканчивает школу искусств и отправляется путешествовать по центральной Италии; делает много набросков. В сентябре посещает в Испании Альгамбру (дворцовый комплекс, в настоящее время музей исламской архитектуры), считая ее наиболее интересной, особенно ее огромные мозаики "колоссальной сложности и математическо - художественного смысла". Внутренние дворики, переходы, фонтаны и водоёмы прекрасно сочетаются друг с другом. Керамические изразцы, резьба по камню и дереву, причудливые растительные орнаменты и арабская вязь образуют пышное декоративное убранство арок, сводов, изящных столбиков, стройных колонн и резных узорчатых окон. Многие считают Альгамбру высшим достижением мавританского искусства в Западной Европе.

 В 1929 году выходит первая литография и становится членом ассоциации художников-графиков, пользуется большим уважением как "терпеливый, спокойный холодный чертежник", а его работы критикуют за их "излишнюю интеллектуальность".В 1950 году Морис Эшер обретает популярность как лектор. Тогда же в 1950 году проходит его первая персональная выставка в Соединенных Штатах и начинают покупаться его работы. В1954 году в Амстердаме состоялась большая выставка Эшера, приуроченная к Международному математическому конгрессу. Математики сразу признали художника «своим»; с этого времени его рисунки – неизменный атрибут физико-математических изданий.

 27 апреля 1955 года Мориса Эшера посвящают в рыцари и он становится дворянином.В августе 1960-го Эшер прочитал лекцию по кристаллографии в Кембридже. Математические и кристаллографические аспекты творчества Эшера становятся очень популярными.

Вывод: на основании изученного делаю вывод, что необычные существа в работах  Эшера навеяны  путешествиями по Италии и мозаичными орнаментами Альгамбры. Особенностью Альгамбры является резьба по штукатурке, в которой арабские мастера высекли ажурный орнамент в виде бесконечно повторяющейся арабской узорной вязи. Математические начала мозаичных работ – Эшер член ассоциации художников – графиков, выставка Эшера, приуроченная к Международному математическому конгрессу.

2. Геометрия и мозаика.

1. Мозаика.

Мозаика - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Различают мозаики регулярные и нерегулярные. Нерегулярные мозаики образуют неповторяющиеся узоры. Математически доказано, что регулярное замощение плоскости возможно только тремя правильными многоугольниками: треугольником, квадратом и шестиугольником. Этим вопросом интересовались ученики известной школы Пифагора на острове Крит в Греции. Занимаясь вопросом о покрытии плоскости правильными одноименными многоугольниками, пифагорейцы нашли, что возможны только три случая таких покрытий: вокруг одной точки плоскости можно плотно уложить или шесть правильных треугольников, или четыре правильных четырехугольника (квадрата), или же три правильных шестиугольника.

Если обратим внимание на числа правильных многоугольников в этих трех случаях, то увидим, что их отношение равно отношению 6:4:3, если же возьмем отношение числа сторон этих многоугольников, то найдем, что оно равно отношению чисел 3:4:6.

Можно доказать, что другими равными правильными многоугольниками заполнить плоскость нельзя. Сумма углов многоугольников, сходящихся в одной вершине паркета, должна быть равна 360º.

Рассмотрим правильные пятиугольники. Углы правильного пятиугольника равны 108˚; 10801080 4=4320. В одной вершине не может сходиться три правильных пятиугольника, так как сумма углов  3240<3600. Если же число правильных пятиугольников больше или равно 4, то сумма углов  4320>3600, поэтому нельзя заполнить плоскость пятиугольниками. Аналогично, для правильных семиугольников, восьмиугольников и т. д., так как их углы больше 1200 и в сумме они будут составлять величину, большую 3600.

Таблица возможных наборов углов разных паркетов

2.2 «Вы называете это математикой»

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании пространственных фигур на плоскость. Об этом факте рассказывают черновики художника. (  Приложение. Слайд);

     В гравюре "Рептилии" маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры.

Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера.

      Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными  - а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость. Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал: «В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились».Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.

На слайдах показаны преобразования плоскости:

• параллельный перенос   (Приложение. Слайд );
• поворот   (Приложение. Слайд );
• центральная симметрия  (Приложение. Слайд );
• преобразование подобия – гомотетия (Приложение. Слайд );

“Оживающие орнаменты” Эшера дают полное представление о замысле художника: орнамент  постепенно нарушает свою строгую упорядоченность, превращаясь в живые существа.

        Эшер — один из самых интересных художников XX века. Его почитатели: математики, логики, философы. Каждая картина требует непрерывной расшифровки. Интерес математиков к Эшеру вызван переплетением искусства графики и геометрических принципов симметрии. Парадоксально, но сам Эшер всегда был далек от изучения математических конструкций: «Забавно, что я неожиданно оказался связан с этой наукой, потому что в школе так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Знаете, я был плохим учеником. И вот теперь математики используют мои книги для иллюстраций своих книг! Представьте себе, эти ученые люди принимают меня в свою компанию, как потерянного и вновь обретенного брата! Они, кажется, не подозревают, что математически я абсолютно безграмотен». Однажды известный геометр Г. Кокстер пригласил Эшера на свою лекцию, посвященную математическому содержанию его гравюр и литографий. Но Эшер не понял ни одного слова.

Вывод: многочисленные мозаичные работы Эшера построены с помощью разнообразных преобразований плоскости, с которыми я познакомилась благодаря рассмотренным работам, и подтверждается опубликованными черновиками. (Приложение. Слайд );

3.История мозаичного искусства.

В своей работе конечно же не возможно было не познакомиться с историей мозаично искусства.

Мозаика – одно из древнейших и самых красивых видов монументально-декоративного и декоративно-прикладного искусства.

Его истоки восходят ко временам древних шумерских династий Ближнего Востока в III тысячелетии до н.э. Шумеры украшали деревянные и глиняные изделия ракушками, слоновой костью, приклеивая их смолой.

Первая мозаика выкладывалась на полу и имела практическое предназначение, делая поверхность пола гладкой и ровной. Позднее ею стали украшать музыкальные инструменты, мебель, посуду и даже стены храмов.

Тематика мозаичных работ древних шумеров была разнообразной – от военных сюжетов до мифологических и фантастических сцен. Среди сохранившихся произведений мозаичного искусства того времени (2,5 тыс. лет до н.э.): шкатулка «Штандарт Ура» (Лондон, Британский музей) и арфа царицы Шубад из погребения в Уре (Багдад, Иракский музей), украшенные перламутром, ляпис-лазурью и золотом.

Чуть позднее, во времена Нового царства (1540 – 1000 г. до н.э.), когда Египет вел завоевательные походы в Азии, Нубии и Ливии, в стране каменное строительство: огромные, взмывающие к небу храмы, гробницы, красивейшие дворцы представителей высшей касты, стены и полы которых украшались драгоценной мозаикой.

Но наибольшего расцвета мозаика достигла в Древней Греции в эпоху эллинизма (323 – 27 г. до н.э.). Строительство новых городов, развитие мореплавания, военной техники способствовали подъему наук, развитию новых отраслей знаний, религиозный уклон философии. Все это способствовало расцвету мозаичного искусства: в столицах эллинистических государств возводятся дворцовые постройки, в которых широко используются мозаичные покрытия интерьеров и полов внутренних двориков.

Византийцы «подняли» мозаику с пола на потолок, и открыли особый сплав непрозрачного и очень плотного цветного  стекла, которое получило название «смальта».

Использование мозаики быстро распространилось по всей Римской империи. Наиболее популярными материалами были смальта и мрамор, иногда в ход шли также галька и мелкие камушки. Золотые кусочки смальты таинственно переливались и давали необыкновенную игру света на сводах и стенах храмов, передавая «Божественное сияние».

В I - IV вв. н.э. в Древнем Риме мозаика изготавливалась из различных пород мрамора и отражала разнообразие бытовых, исторических, мифологических и пейзажных мотивов. Наиболее известные: мозаики «Битва Александра с Дарием» и «Уличные музыканты» (Неаполь), колоссальная работа «Пол из Пренесты» Палестрины с изображением долины реки Нил и «Голуби на чаше» (Рим). Сегодня крупнейшая в мире коллекция римских мозаик I - III вв. н.э. находится в Тунисе (музей Бардо, музей Сусса).

Со времен правления императора Юстиниана (482 – 565 г.), когда искусство Византии достигло наивысшего расцвета, сохранился выдающий памятник архитектуры – усыпальница византийской принцессы, дочери императора Феодосия. Верхняя часть стен усыпальницы сверкает мозаиками с пышным растительным орнаментом. Над входом – мозаика с изображением Христа в образе пастуха среди овец на фоне пейзажа. В середине V в. мозаика становится излюбленной техникой стенной живописи Византии. Художники используют все богатство красочного спектра, в их палитре нежно-голубые, зеленые и ярко-синие цвета, лиловые, розовые и красные разных оттенков. Наибольшей силы мозаика достигает благодаря слиянию цветовых пятен смальты с золотым фоном. При этом золото имело двойное значение, расцениваясь как символ богатства, и являясь самым ярким из всех цветов.

. значимым историческим и архитектурным памятником мозаичного искусства V–VII веков, сохранившимся до наших дней, является мозаичный ансамбль Равенны, которая с 402 по 476 гг. была столицей Западной империи. Равенским мозаикам посвящены слова писателя VI в. Венанция Фортуната: «Они движутся, идут и возвращаются по прихоти блуждающих солнечных лучей и вся поверхность пребывает в волнении подобно водам морским».

Искусствоведы считают, что самые возвышенные из всех известных созданий ранневизантийской живописи –мозаики храма Софии в Константинополе и фреска «Никейские ангелы» в Никее. Своей жизненностью «Никейские ангелы» не уступают лучшим античным портретам: нежный овал лица, открытый лоб, свободно откинутые волосы, большие глаза, удлиненные нос и маленькие губы. Все это претворено в образ одухотворенной красоты.

В  Византии VIII – IX вв. запрет иконописи изменило сюжеты живописных и мозаичных картин: в храмовых росписях изображаются птицы, животные, архитектурные мотивы, в светских зданиях мозаичные росписи прославляют победы императоров или придворные церемонии.

Высокого расцвета достигло искусство мозаики в Италии, Грузии (мозаики Гелатского монастыря, XII в.).

На Руси мозаика появилась после принятия христианства (X в.), но не получила большого распространения  из-за дороговизны материала: смальту делать не умели и ее приходилось привозить из-за моря.

Сегодня великолепные мозаики того периода можно увидеть в церкви Святой Софии (XI в.) и в Михайло-Златоверхом монастыре (1113 г.) в Киеве.

После монголо-татарского нашествия мозаики на Руси не создавались, и постепенно технология их изготовления была утрачена вплоть до XVIII в.

XII век в истории мозаики был ознаменован возникновением техники флорентийской мозаики – самой сложной из всех мозаичных техник. Мастера из Флоренции первые стали использовать природный, естественный рисунок поделочного камня (обычно мрамора и яшмы) для создания готовых картин. К концу XVI в. эта уникальная техника была выработана окончательно и не претерпела изменений до наших дней. С XIII-XIV вв. в странах ислама, а также в средневековой Испании и Португалии развивается майоликовая мозаика в которой изготовленные по шаблону частицы составляют сложные арабески.Лучшие образцы среднеазиатской мозаики — созданная в XIV-XV вв. облицовка порталов зданий в Самарканде и Бухаре, а также купола мавзолея Тюрабек-ханым близ Куня-Ургенча.

В России  возрождение мозаичного искусства,  в начале 1750-х гг., связано с работами,великого русского ученого М.В. Ломоносова.  К началу 1760-х гг. на специально построенной фабрике под Санкт-Петербургом Ломоносов создал более 100 основных тонов цветных смальт и свыше тысячи их оттенков. В XVIII в. это было единственное в России художественно-промышленное предприятие. Ученый разработал собственную технику мозаичного набора в стиле академической живописи. За первые 15 лет работы мозаичной мастерской Ломоносова были созданы портреты Петра I, Елизаветы Петровны, Александра Невского и др. выдающихся людей России. Особый художественный интерес представляет набранный самим ученым образ Христа. Ломоносовым был разработан грандиозный проект: памятник-надгробие великому преобразователю России Петру I, для которого была создана картина «Полтавская баталия». Последняя работа Ломоносова и единственная монументальная мозаика XVIII в. в России. Украшает парадную лестницу в здании Академии наук в Санкт-Петербурге. Смерть Ломоносова прервала развитие мозаичного дела в России почти на целое столетие.

В середине XIX в. для перевода живописных икон Исаакиевского собора в мозаику была основана мозаичная мастерская Императорской Академии художеств. Первые художники мастерской учились мозаичному искусству в Италии.

В 1890 г. частной мастерской Фроловых. было создано почти все внутреннее и наружное (впервые!)мозаичное убранство храма Спаса на Крови, мозаики многих других церквей Санкт-Петербурга, России и стран Европы. Мастерская сотрудничала с крупнейшими художниками и архитекторами России: В.М. Васнецовым, Н. Рерихом, Л.Н. Бенуа, В.А. Косяковым, А.В. Щусевым и многими другими.

В первые послереволюционные годы главной темой мозаичных полотен является революция. В 1930-е гг. возобновленная мастерская Фроловых  выполняет мозаики для театра им. В.Э. Мейерхольда, осуществляет консервацию мозаик Михайловского Златоверхого монастыря (Киев), создает герб для павильона СССР на всемирной выставке в Париже, начинает работать над созданием мозаик для метрополитена Москвы (станции «Маяковская», «Павелецкая», «Новокузнецкая»).

После войны к созданию эскизов для мозаики были привлечены художники А.А. Дейнека, И.Э. Грабарь и др. В 1950-60-х гг. создаются первые мозаики для Ленинградского метрополитена.

Большую роль в развитии монументальной живописи в СССР (в т.ч. мозаики) сыграл руководитель мастерской монументальной живописи Института им. И.Е. Репина Академии художеств СССР, профессор А.А. Мыльников. В 1990-е гг. после долгого перерыва начинают создаваться мозаики для церквей и часовен. Авторами ряда иконописных образов становятся выпускники Института им. И.Е. Репина.

Начало XXI в. свидетельствует о растущем интересе к искусству мозаики в России. Спрос, как известно, рождает предложение, и сегодня в стране существует целый ряд мозаичных мастерских, выполняющих частные и государственные заказы в разных стилях на самом высоком профессиональном и художественном уровне.

Заключение.

В процессе работы с помощью одноклассников создали копии работ Мориса Эшера, на примере одной из них практически нашли принцип построения мозаики; с помощью графического редактора Gimp  и анимации PowerPoint показали возможные преобразования с помощью которых создавались работы; много интересного узнала о жизни и деятельности художника; по его высказываниям попыталась представить себе Морица Эшера как вечного выдумщика и человека, который смог бы сделать еще более грандиозные работы с помощью современных графических редакторов; передо мной ожила геометрия как наука творящая прекрасное; знакомство с историей мозаичного искусства обогатило мои знания по истории; мое путешествие провело меня к флорентийской мозаике и к современным  работам этого направления.

Источники информации

1. http://valeriya.in/maurits-escher- художник искал вдохновение в математических принципах, воплощая их на бумаге. Из его черновиков видно, что рисунку предшествуют математические расчеты и детальное построение. 
2. http://www.oh-wie-scha.de/homepage_whocares017.jpg- работы художника
3. http://artelectronics.ru/posts/matematicheskie-illyuzii-moritsa-eshera- биография и математические начала работ
4. http://graphic.org.ru/esher.html биография
5. http://www.liveinternet.ru/users/3874862/post172684308- мозаики
6. http://obiskusstve.com/111975022197737912/ispaniya-algambra-zemnoj-raj/- путешествие в Италию