Применение производной при решении стереометрических задач
статья по геометрии (10, 11 класс)

Калинина Евгения Александровна

учитель математики УСВУ, к.ф.-м.н., доцент

Применение производной при решении стереометрических задач

Геометрические задачи решаются разными способами, одним из которых является применение производной. Используя данный способ решение задач сводится к  исследованию функции. В данной статье будет представлено решение геометрических задач с использованием производной. Материалы статьи хорошо использовать для проведения занятий со школьниками старших классов и студентами первого курса.

Задача 1. Даны прямоугольные параллелепипеды, в основании которых лежат квадраты. Объем каждого параллелепипеда равен . Найти параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани и вычислить его периметр.

Решение.

Так как в основании параллелепипеда лежит квадрат, то его сторона равна  Боковое ребро.

 Известно, что объем этих параллелепипедов . Надо найти параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани. Периметр боковой грани равен . Этот периметр должен быть наименьшим:  .

Таким образом,  нужно минимизировать функцию, зависящую от двух переменных . Эти переменные связаны формулой объема . Выразим , тогда   .

Найдем производную:

отсюда критические точки.

точка минимума. На всем промежутке  значение функции в точке  является наименьшим, так как на промежутке  функция убывает, а на промежутке  – возрастает. Точка экстремума на промежутке  – единственная.

Найдем . И, наконец, найдем .

Ответ: Параллелепипед имеет измерения . Наименьшее значение периметра боковой грани равно 6.

Задача 2.

Вычислите приближённо объём сферического слоя, если известно, что радиус внутренней поверхности R = 0,5 м, а толщина равна 0,1 м .

Решение  

Объём шара  .  Объём сферического слоя есть приращение объёма шара, вызванное изменением радиуса от 0,5 до 0,6 м.

Приращение объёма шара заменяем дифференциалом:

Подставим числовые значения R=0,5, dR=0,1.  Имеем

Ответ:  0,314 м3.

Задача 3.  Площадь поверхности сферы, вписанной в конус, равна 100π . Длина окружности, по которой сфера касается поверхности конуса, равна 6π . Найдите радиус основания конуса.

Решение
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле S = 4π R2. По условию S=100π,  отсюда следует, что R = 5.

Так как длина окружности, по которой сфера касается поверхности конуса, равна 6π, то   R1 = 3.

Выберем систему координат так, как показано на рисунке. Известно, что CO = R = 5, CL = R1=3.
Используя теорему Пифагора,
найдём OL. Имеем следовательно, точка L имеет координаты

L(− 4,0).  Необходимо найти ординату точки B , так как BP - это радиус основания конуса.

Заметим, что точка B лежит на прямой AB, которая является касательной к окружности в точке C(−4,3). Уравнение окружности радиуса R = 5 имеет вид   Нас интересует часть окружности, расположенная выше оси абсцисс:  

Найдём уравнение касательной к этой кривой и вычислим значение
функции в точке x = 5.

Воспользуемся формулой  Найдём y(x0), y′(x0):

Т.к.  то

Таким образом, уравнение касательной имеет вид

отсюда 

Следовательно, радиус основания конуса равен 15.

Ответ:  15.

Задача 4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с ребрами CD = 24, AD= 6 и DD1 =4 проведена плоскость через центр симметрии грани A1B1C1D1 , вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка P ребро DC в этом случае?

Решение

Проведем плоскость и построим сечение (см. рис).  АО ∈ АA1C1С - линия, принадлежащая данной плоскости. Продолжим АО до пересечения с CC1 в точке S. Тогда SP - линия пересечения грани DD1C1C и данной плоскости, а сечение ANMP - параллелограмм. Sсеч =  SAMNP = SK*AP/2 , потому что - высота параллелограмма ANMP. Это видно из следующего рассуждения.

В ΔASC  ОC1 - средняя линия (значит SC1 = 4), в ΔPSC также средняя линия МC1, а плоскость  A1B1C1D1 делит пополам любую линию между S и плоскостью ABCD, а значит и SK.

Пусть PC = x; ΔCLP подобен ΔDAP,

,;

Из ΔCLP:;

Из ΔSCK:;

Из ΔADP:;

Sсеч =;

Если = 0, то 18x+16*2(24—x)*(-1) = 0;

50x—32*24 = 0,

x = 32*= 32*=  (это точка min);

Sсеч = 312;

DP = 24-16*= ;

Ответ: 312 кв. ед.; ;  .

Задача 5. Высота пирамиды TABC с основанием ABC проходит через середину ребра AC. Выберите на AC точку М так, чтобы площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку M, середину ребра TC и вершину B, была наименьшей, если AB=BC=AC=TC=2.

Решение.

HF=FC=;

S∆BME = BM*EK* ; Из ∆TCH => TH = =;

EF =  =;

Пусть MC = x. 

Из ∆BMC по теореме косинусов MB2= x2+4-2*2*x*;

MB =;

S∆BMC = 0,5*MC*BC*sinC=;

S∆BMC = 0,5*BM*PC,

,

PC =;

 ∆KMF подобен ∆PMC(по двум углам): =

;

Из ∆KEF =>KE=;

S∆BME =;

Если = 0, то

6(x-)+(2x-2)* = 0;

15x—9 = 0;

x =;    

S() = кв.ед.

Ответ: кв.ед.

Задача 6. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, высота которой в 1,5 раза меньше высоты основания. Между боковой гранью пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма, одно из оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найти этот объем.

Дано:

SABC – правильная треугольная пирамида (рис), вписанная в сферу радиусом R,

SO*1,5 = AD,

LMN – правильная четырехугольная призма.

Найти: Vпр = f(LM).

Решение:

Пусть SO = H, тогда AD = 1,5H;  SO1 = R – радиус сферы;  LM = x –высота призмы.

∆SKO1 подобен ∆SOD =>  => OK1 = OD*.

Из ∆AO1O: R2 = AO2 + O1O2 = ,

R2 = 4* + 4* –AD*R*,

8*= AD*R*=> AD =.

Отсюда OD = ; AO1 = R и SO1 = R;     SD ==R,

OK1 =2*R*=R;

O1K = R.

Из ∆O1FN => R2 = (O1K + x)2 + NF2,

NF =,

Sосн = 2NF2.                                

Vпр = Sосн*x = 2(R2 – – 2x - x2)*x;

Vпр = 2(4R2 – 2x2- x3);

V’пр(x) = 2(4 – 2x- 3x2) = 0;          

x 1,2 = (2R+ + 12)*() =(2R+4)*();

x = 2           

Vпр.max = 2(4R2*2– 2R*4 - 40)=

 16R3 (1 – – )* = 16.

Ответ: 16м3 при H = 2.

Список литературы

1. Апанасов П.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием. – М.: Просвещение, 1987.
2. 2. Зайцев И.А. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1991.
3.  Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлова В.И., Яковлева Т.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Наука, 1982.
4. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г. Производная и интеграл .– М.: Просвещение, 1976.
5. Каченовский М.И., Колягин Ю.М. Математика для техникумов.
   Алгебра и начала анализа. – М.: Наука, 1987.
6. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и
   математический анализ. – М.: Просвещение, 1998.
7. Супрун В. П. Избранные задачи повышенной сложности по математике. – Минск: Полымя, 1998.