Дидактические материалы по геометрии для подготовки учащихся 9 классов к государственной итоговой аттестации
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс)

Тренировочные упражнения по теме «Векторы»

1. Сторона ромба KMNP  равна 4 см, ∠М=120º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ: –8
2. Сторона ромба PMNK  равна 8 см, ∠M=60º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ:  –32
3. Сторона ромба LMNP  равна 6 см, ∠N=60º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ: 18
4. Сторона ромба PMNK  равна 9 см, ∠M=60º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ:  –40,5
5. Сторона ромба LMNP  равна 7 см, ∠N=60º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ: 24,5
6. Сторона ромба MLNP  равна 6 см, ∠L=120º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ:  –18
7. Сторона ромба LNKP  равна 8 см, ∠N=120º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ:  –32
8. Сторона ромба PKLM  равна 10 см, ∠K=120º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ:  –50
9. В треугольнике PRS стороны RP и RS равны 8 см и 6 см, а угол между ними 60º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ: 24
10. В треугольнике PRS стороны RP и RS равны 6 см и 7 см, а угол между ними 60º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ: 21
11. В равностороннем треугольнике NPO стороной 4 проведена медиана NF. Найдите скалярное произведение векторов   и . Ответ: 12
12. В равностороннем треугольнике PRS стороной 6 проведена медиана SH. Найдите скалярное произведение векторов   и . Ответ: 27
13. В равностороннем треугольнике KLN стороной 12 проведена медиана КЕ. Найдите скалярное произведение векторов   и . Ответ: 108
14. В равностороннем треугольнике MLN стороной 14 проведена медиана NC. Найдите скалярное произведение векторов   и . Ответ: 147
15. В равностороннем треугольнике NPO стороной 20 проведена медиана NF. Найдите скалярное произведение векторов   и . Ответ: 300
16. В равностороннем треугольнике PRS стороной 40 проведена медиана SH. Найдите скалярное произведение векторов   и . Ответ: 1200

Практико-ориентированные задания по теме «Площадь»

Упражнения по теме «Параллелограмм»

Задачи по теме «Параллелограмм»

Задача №1

Вершина  С параллелограмма АВСD соединена с точкой К на стороне AD.

Отрезок  СК  пересекает диагональ  BD  в точке  N. Площадь треугольника CDN=12, а площадь треугольника DKN=9. Найдите площадь параллелограмма АВСD. 

Подсказка

Используйте свойство пропорциональности площадей треугольников: если треугольники подобны, то их площади относятся, как квадраты соответствующих сторон; если два треугольника имеют общее основание (или равные основания), то их площади относятся, как высоты, проведенные к этому основанию, а если у них одна и та же высота (или равные высоты), то отношение площадей равно отношению оснований.

Решение:

Задача №2  Вершина D параллелограмма АВСD соединена с точкой M на стороне AB. Отрезок DM пересекает диагональ AC в точке L. Площадь треугольника ALM=12, а площадь треугольника ADL=18. Найдите площадь параллелограмма  АВСD.

Ответ: 90.

Задача №3  Вершина B параллелограмма АВСD соединена с точкой K на стороне AD. Отрезок BK пересекает диагональ AC в точке M. Площадь треугольника AMK=18, а площадь треугольника ABM=30. Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Ответ: 160.

Задача №4  Вершина D параллелограмма АВСD соединена с точкой L на стороне BC. Отрезок DL пересекает диагональ AC в точке M. Площадь треугольника CLM=9, а площадь треугольника CDM=15. Найдите площадь параллелограмма  АВСD.

Ответ: 80.

Задача №5  Вершина A параллелограмма АВСD соединена с точкой P на стороне BC. Отрезок AP пересекает диагональ BD в точке M. Площадь треугольника ABM=20, а площадь треугольника BMP=16. Найдите площадь параллелограмма  АВСD.

Ответ: 90.

Задача №6  Вершина B параллелограмма АВСD соединена с точкой M на стороне CD. Отрезок BM пересекает диагональ AC в точке K. Площадь треугольника BCK=6, а площадь треугольника CMK=4. Найдите площадь параллелограмма  АВСD.

Ответ: 30.

Промежуточная аттестация по геометрии в 7-8 классах

Введение ЕГЭ по математике в 11-х классах и новой формы государственной (итоговой) аттестации по алгебре и геометрии в 9-х классах показало необходимость перемен в традиционных педагогических технологиях, во всех формах обучения метаматематическим дисциплинам в школьном курсе математики и в осуществлении контроля  уровня подготовки учащихся.

На промежуточном контроле по геометрии проверяется соответствие знаний обучающихся требованиям государственных образовательных программ, глубина и прочность полученных знаний, их практическое применение.

Преодолевая за счет определенной системы упражнений психологическую интерференцию, учитывая преемственность в обучении, нужно искать и новые формы промежуточной аттестации по математике.

Одна из особенностей новых форм аттестации заключается в использовании тестовых технологий, которые позволяют увеличить число вопросов, выносимых на экзамен, разнообразить виды заданий, проверяя тем самым более широкий круг знаний и умений учащихся. Поэтому одной из задач учителей математики является внедрение тестовых технологий в учебный процесс. Следовательно,  переводной экзамен по геометрии в 7 – 8 классах должен проводиться по модели, которая готовила бы учащихся к итоговой аттестации в независимой форме за курс основной школы. Экзамен предусматривает проверку знаний  учащихся по основным разделам программы в каждой параллели, причем как на базовом, так и на повышенном, и высоком уровнях. Система заданий должна быть адаптирована для каждой возрастной категории.

 Содержание переводной экзаменационной работы определяется на основе следующих документов:  

1. Приказ МО РФ № 1089 от  05.03.2004г. «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования».

2.Программы основного и среднего (полного) общего образования по математике./Сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев.- М.: Дрофа, 2007.

Характеристика структуры и содержания экзаменационной работы по геометрии (промежуточная аттестация)

Структура экзаменационной работы по геометрии отвечает построению в современной школе системы дифференцированного обучения, основными задачами которого являются:

• формирование у всех учащихся базовой математической подготовки;
• создание для части школьников условий, способствующих получению математических знаний повышенного уровня при дальнейшем профильном обучении.

В соответствии с этим работа состоит из трех частей.

Часть1 содержит задания базового уровня, обеспечивающие достаточную полноту проверки овладения соответствующим материалом. При выполнении этих заданий от учащегося требуется распознать ранее изученную ситуацию и сделать вывод на основании известного теоретического факта.

Количество заданий в первой части экзаменационной работы в 7 – 8-х  классах– не  более 8 заданий. За каждое верно выполненное задание – 1 балл.

Часть 2 включает задания повышенного уровня, при решении которых от учащегося требуется применить свои знания в измененной ситуации для описанных в условии геометрических фигур, используя при этом методы, известные ему из школьного курса. Выполнение этих заданий оценивается по 2 балла. Одна из задач носит практический характер. Для её решения учащимся необходимо самостоятельно составить математическую модель реальной ситуации. В другой задаче необходимо установить, какими из перечисленных свойств обладает указанная геометрическая фигура. Следует отметить, что это задание на знание и понимание изученных геометрических фактов позволяет в то же время проверить умение проводить рассуждения при решении задачи, обнаруживая возможности для их использования. Поэтому его выполнение и оценивается 2 баллами, если указаны все 3 верных ответа и при этом не указаны неверные ответы; 1 баллом – если правильно указаны 2 верных ответа и при этом указано не более одного неверного ответа; 0 баллов – во всех остальных случаях.

Количество заданий во второй части экзаменационной работы в 7 – 8-х  классах– не более 5 заданий.

 Часть3 включает самые сложные задачи, при решении которых учащимся надо применять свои знания в новой ситуации. Эти задачи проверяют, в том числе, и умения учащихся проводить доказательные рассуждения при решении задач, ссылаясь на известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования. Поэтому от учащихся потребуется проанализировать условие, самостоятельно разработать способ решения, привести обоснования, доказательства выполненных действий и математически грамотно записать полученное решение.

Количество заданий в третьей части экзаменационной работы в 7 – 8-х  классах– не более 2 заданий.

Время выполнения работы и условия её проведения

На проведение экзамена отводится:

• 7 – 8-е  классы – 120 минут (3урока).

Система оценивания выполнения отдельных заданий и работы в целом

Для оценивания результатов выполнения работ учащимися применяются два количественных показателя: традиционная отметка («2», «3», «4», «5») и рейтинг: от 0 до 20 баллов (7 – 8-е  классы); назначение рейтинга – расширение диапазона традиционной отметки.

Рейтинг формируется путем подсчета общего количества баллов, полученных учащимися за выполнение всех частей работы. За каждое верно выполненное задание первой части учащемуся начисляется 1 балл. За каждое верно выполненное задание второй части до 2 баллов. За задания третьей части до 3 баллов, которые засчитываются в рейтинговую оценку ученика при верном выполнении этого задания и характеризуют относительную сложность этого задания в работе.

Примерные задания

 для промежуточной (итоговой) аттестации по геометрии

7  класс

Часть I

1.Точка С принадлежит отрезку АВ. Чему равна длина отрезка АВ, если АС=3,6 см,  ВС =2,5 см.

1) 1,1                2) 7,2                3) 6,1         4) 5

2.Один из смежных углов острый. Каким является другой угол?

1) нельзя определить        2) острый        3) тупой        4) прямой

3.Сколько отрезков, равных данному можно отложить на луче от его начала?

1) 0                2) 1                3) 2                4) бесконечно много

4.На сколько частей делят плоскость две пересекающиеся прямые?

1) 2                2) 4                3) 6                4) 8

5.Сколько прямых можно провести через одну точку?

1) 1                2) 2                3) 3                4) бесконечно много

6.Какие элементы треугольника могут проходит вне его

1) диагональ        2) высота        3) биссектриса        4) медиана

7. Известны стороны равнобедренного треугольника:  2 см и 5 см. Чему равен его периметр?

1) 9                2) 6                3) 12                4) 15

8 .В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 25°. Чему равен второй острый угол?

1) 65°                2) 25°                3) 155°        4) 90°

Часть II

3.Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1) Медиана всегда делит пополам один из углов треугольника.

2) Точка пересечения медиан всегда лежит внутри треугольника.

3) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна её половине.

4) Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.

5) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Ответ: ________________________

Часть III

1.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены две биссектрисы АР и СК. Докажите, что треугольники АКС и СРА равны.

8  класс

Часть I

1.Площадь прямоугольника АВСD равна 15. Найдите  сторону ВС прямоугольника, если известно, что АВ = 5.

1) 10                        2) 2,5                        3) 3                        4) 5

2.Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 12.

1) 6π                        2) 12π                3) 36π                4) 144π

3.Найдите координаты вектора , если известно, что  .

1) (-7; 10)                 2) (3; 4)                 3) (-3; -4)                 4) (-3; 4)

5.         В ромбе АВСD проведена диагональ АС. Найдите  ∠АВС, если известно, что ∠АСD = 35°.

1) 70°                        2) 110°                3) 145°                4) 125°

6.Найдите абсолютную величину (модуль) вектора .

1) 4                        2) 8                        3)                 4)

Часть II

3.Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке Р. Найдите основание АD, если  ВР = 3,  PD = 15, ВС = 3,2.

Ответ:___________________

4 .Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1) Высота всегда образует с прямой, содержащей одну из сторон треугольника, равные углы.

2) В прямоугольном треугольнике высота может совпадать с одной из его сторон.

3) Точка пересечения высот произвольного треугольника – центр окружности, описанной около этого треугольника.

4) Высота всегда делит треугольник на два треугольника равной площади.

5) Высота может лежать и вне треугольника.

Ответ: ________________________

Часть III

1.Внутри треугольника ABC взята точка D, такая,                                                             что ABD = ACD = 45°. Докажите, что отрезки AD и ВС перпендикулярны и равны, если угол ВАС равен 45°.

2.В трапеции проведена диагональ. Площади полученных при этом треугольников относятся как 2:3. найдите площадь трапеции, если ее высота равно 6 см, а большее основание равно 9 см.

Шкала пересчета первичного балла за выполнение

экзаменационной работы в отметку по пятибалльной шкале

 (к представленным примерным вариантам для промежуточной (итоговой) аттестации по геометрии в 7-8-х классах)