Роль чертежа в решении геометрических задач
статья по геометрии (7, 8, 9, 10, 11 класс)

 Д.А.Сафронов, учитель математики

Роль чертежа в решении геометрических задач.

В решении геометрических задач,безусловно, важную роль  играет чертёж.  О роли чертежа в решении задач написаны масса статей и диссертаций.  Так, в работе (1) раскрывается, что правильно составленный чертёж может подсказать идею решения задачи. Полностью согласен с утверждением авторов, что крайности, как-то: отсутствие чертежа, как такового, или небрежное его исполнение, негативно сказываются на ход решения большинства задач, впрочем, как и обоснование каких-либо неверных фактов, сделанных на основе выполненного чертежа.  В некоторых работах, например, (2), рекомендуется делать очень точные чертежи, чуть ли не в масштабе и разными цветами. Такой чертёж, дескать, помогает анализировать задачу, выдвигать гипотезы ее решения и проверять ее решения. В идеале, конечно, так  решать задачи можно.  Однако, во-первых, на хороший чертёж всегда тратится масса времени, которое не всегда есть. Во-вторых, часто  для решения задачи достаточно небольшого эскиза.  Если исходить из принципа «достаточности», то не совсем понятно, каким образом сделать чертёж так, чтобы, с одной стороны, он помог решению задачи, а с другой, не перегружать его излишней, и, тем более, неверной информацией.

   Разумную попытку ответить на этой вопрос я встретил лишь в работе (3), не претендующей на научные изыскания, а написанную, я так понял, на основе обобщения опыта автора. Все чертежи автор условно разбивает на «ужасные», где имеются факты (свойства фигур), противоречащих условию задачи; «плохие», где, наоборот, помимо заданных в задаче условий, есть и другие, не заданные в условии факты, использование которых может привести к ошибке и «хорошие», в которых, кроме всех заданных в условии фактов, нет ничего лишнего. Так как же сделать такой вот «хороший» чертёж?

 Покажем вначале это на примерах.

Выделяем объект (геометрическую фигуру) задачи: параллелограмм.  Производим чертёж параллелограмма. Не ромба, с равными сторонами, не прямоугольника, с прямыми углами, а именно параллелограмма.  Обозначаем вершины. Согласно правилам, обозначать многоугольники можно как по часовой стрелке, так и против неё, однако порядок букв при этом необходимо сохранять. Согласно условию задачи, проводим из точки N к стороне MQ перпендикуляр NH и смотрим, выполняется ли условие задачи, что точка Н лежит на стороне MQ. Если лежит, обозначаем квадратиком прямой угол MHN, угол MNH, равный 30°, и подписываем длины известных отрезков, MH и HQ. Чертёж готов. Ни одно из условий задачи не пропущено, никаких дополнительных фактов в чертёж не внесено. Получилось примерно следующее:

На чертеже сразу виден прямоугольный треугольник с катетом  3 см, лежащий напротив угла 30°.Вспоминаем, что в этом случае гипотенуза равна удвоенному катету, т.е. 6 см. Смежная сторона MQ параллелограмма легко находится, как сумма отрезков MH и HQ, т.е. 8 см. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому NP=8см, PQ=6см. Со сторонами разобрались.

Угол NMH ищется  из того же прямоугольного треугольника MNH, по свойству прямоугольных треугольников:  90°-30° = 60°. Угол MNP находится, как сумма углов MNH и HNP, из которых он состоит, как видно из чертежа.  ∠MNP = 30°+90° = 120°. Противоположные найденным углы параллелограмма равны соответственно также  120° и 60°.  Задача решена.

    Теперь давайте посмотрим, не поменяется ли решение задачи, если чертёж будет немного другим. Для начала проверим, что изменится, если обозначать вершины параллелограмма мы будем не по часовой, а против часовой стрелки.  Последовательно отмечая аналогичным описанному выше способом все элементы чертежа, получаем примерно следующее:

Как видно из чертежа, практически ничего не поменялось, отчётливо виден всё тот же прямоугольный треугольник, на свойствах которого и основывалось решение задачи.

Какие есть ещё варианты изображения чертежа? А что будет, если обозначения будут начинаться не с острого, а с тупого угла параллелограмма?  Понять это поможет следующий чертёж:

На данном рисунке нанесена не вся информация задачи, так как проведя из вершины N перпендикуляр, мы уже видим, что он попадает не на сторону MQ параллелограмма, а на её продолжение, что противоречит условию задачи. Значит, это- неверный вариант чертежа, и такой случай рассматривать не нужно.  Таким образом, задача имеет единственное решение, приведённое к рисунку N1.

Ещё одна задача.

Речь снова идёт о параллелограмме. В условии задачи нет обозначений вершин, поэтому от порядка обозначений решение задачи меняться точно не будет. Но всё же на чертеже вершины стоит обозначать буквами, так удобнее записывать решение задачи. Чертим параллелограмм (с разными смежными сторонами), проводим биссектрису, дугами обозначаем равные углы, подписываем известные длины отрезков. Получаем рис.№4.

Чтобы найти периметр, нам достаточно вычислить длину стороны АВ.  Рисунок подсказывает нам, что так как прямые АD и ВС параллельны, то ∠ ВКА = ∠ DАК (накрест лежащие).  Обозначив его такой же дугой, видим равнобедренный треугольник АВК с боковыми сторонами АВ и ВК. Отметим это на чертеже, рис.№5:

Значит, АВ=14 см. и периметр параллелограмма будет равен 14*2+(14+7)*2=70(см).

Задача решена? Чтобы удостовериться в этом, проверим, изменится ли решение задачи, если биссектриса будет выходить не из острого, а из тупого угла.  Получим чертёж, как на рис.№6.

Алгоритм решения задачи при этом не меняется, как не поменялись и исходные данные. Сторона АВ по-прежнему равна стороне АК равнобедренного треугольника. Получается АВ=14см. а периметр равен 70 см.

Какие могут ещё варианты чертежа? А что, если поменять местами длины отрезков? Такой вариант чертежа показан на рис.№7.

Чтобы соблюсти пропорции, сделаем стороны АD и ВС чуть длиннее. По уже найденному алгоритму видим равнобедренный треугольник, но с боковыми сторонами, равными АВ=ВК=7см !  Периметр параллелограмма с новыми длинами сторон будет равен 7*2+(14+7)*2=56(см.).  Получаем второй ответ к задаче.

       На основе приведённых примеров и личного опыта попробуем дать опредёлённые рекомендации к построению чертежей к геометрическим задачам.

1.  Чётко идентифицировать объект ( геометрическую фигуру ), о котором идёт речь в задаче. Не наделять этот объект дополнительными характеристиками, которых нет в условии задачи   ( Например, если речь идёт о треугольнике - не нужно чертить ни равнобедренный, ни прямоугольный треугольники)

2. Точный масштаб на чертеже соблюдать не обязательно, однако основные пропорции соблюдать желательно. Если в процессе выполнения чертежа  какое-либо условие не может быть отражено, либо исказилось - чертёж следует переделать.

3.  Обозначать буквами: вершины многоугольников, центры окружностей, точки пересечения прямых, отрезков и лучей, в том числе, если используются дополнительные построения.  Если в условии задачи есть обозначения – использовать прежде всего их.  Многоугольники   обозначают «по кругу».

4.  На чертеже также  стоит обозначить все условия, данные в задаче: равные отрезки обозначить одинаковыми штрихами,  равные углы - одинаковыми дугами, прямые углы - квадратиками. Подписывать длины известных отрезков.

5.  Рассмотреть возможные альтернативные варианты выполнения чертежа. Проверить, не изменится ли условие, а, значит, и решение задачи, если чертёж будет соответствовать условию, но будет немного другим.

      Если перечисленные рекомендации будут выполнены, чертёж действительно станет очень хорошим подспорьем в решении задачи и подскажет возможные пути её решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г. Дорофеев, Н. Розов, «Чертеж в геометрической задаче»,

Квант, 2020, номер 11-12, с.25–30

http://www.mathnet.ru/links/358d0017f644ec7a86faa8c8b738e26a/kvant1286.pdf

2. Фалилеева  М.В. «ТОЧНЫЕ ЧЕРТЕЖИ В ОБУЧЕНИИ ПЛАНИМЕТРИИ»// Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 2. – с. 250-250;

https://science-education.ru/ru/article/view?id=8653

3. Стив Май «Хорошие чертежи в геометрии»

https://zen.yandex.ru/media/id/5cc82b9524de2d00b2ddcec7/horoshie-cherteji-v-geometrii-5dc37ec6c7e50c00adfc3ef5