Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда с использованием GeoGebra
методическая разработка по геометрии (10 класс)

Урок по теме "Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда"

Цели урока:

• научить строить сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью;
• формировать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
• развивать навыки самостоятельной деятельности у обучающихся, умения работать в группе.

Оборудование: проектор, интерактивная доска, раздаточный материал.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы и приемы, используемые на уроке: наглядный, практический, проблемно-поисковый, групповой, элементы исследовательской деятельности.

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель сообщает тему и цель урока.

Тема: ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ тетраэдра и параллелепипеда

Цель урока: научиться строить сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью.

II. Актуализация знаний.

Проверка домашнего задания.

Учитель: Чтобы перейти к изучению новой темы, давайте повторим теоретический материал, ответив на вопросы:

1. Что называется секущей плоскостью? (https://www.geogebra.org/classic/k8gfurvn)

 (Обучающиеся дают определение.)

2. Что называется сечением многогранника? (https://www.geogebra.org/classic/jkd8vgje)  (Формулируется определение.)
3. Что необходимо сделать для того, чтобы построить сечение многогранника плоскостью?
   (Построение сечения сводится к построению линий пересечения секущей плоскости и плоскостей граней многогранника.)
4. Обязательно ли секущая плоскость должна пересечь плоскости всех граней многогранника?

Учитель: Давайте проведем небольшое исследование и ответим на вопрос: «Какая фигура может получиться в сечении тетраэдра или параллелепипеда плоскостью?» (https://www.geogebra.org/classic/xj7azrkf)  (https://www.geogebra.org/classic/zzhcm8rh)   Но перед этим повторим правила, о которых необходимо помнить при построении сечений многогранника (обучающиеся вспоминают и формулируют нужные аксиомы, теоремы, свойства):

• Если две точки принадлежат секущей плоскости и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через данные точки, будет являться следом секущей плоскости на плоскости грани.
• Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой.
• При пересечении двух параллельных плоскостей секущей плоскостью получаются параллельные прямые.
• Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекают третью плоскость по прямым, параллельным между собой.
• Если у секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней есть общая точка, то она лежит на прямой, содержащей общее ребро данных граней.

Учитель: Итак, ребята, мы подготовили теоретическую базу, чтобы научиться строить сечения многогранников плоскостью, в частности сечения тетраэдра и параллелепипеда. Большую часть заданий вы будете выполнять самостоятельно, работая в парах. При необходимости, вы можете обращаться за консультацией к учителю.

Итак, вашему вниманию предлагается первое задание: (https://www.geogebra.org/classic/qdpdt3f4) постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки G, E, F.  (В сечении получается треугольник, проверка- https://www.geogebra.org/classic/bpd2hdtu)

Учитель: Рассмотрим вторую задачу: Дан тетраэдр DABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью GFE, если E∈DB, G∈AD, F∈CB. (https://www.geogebra.org/classic/rdmhg8nq)

(https://www.geogebra.org/classic/m8c8gumc)

(Провести решение задачи вместе с классом, комментируя построение.)

Задача 3: Постройте сечение тетраэдра плоскостью GFE, где G и F – середины ребер AB и BC (https://www.geogebra.org/classic/upexvvyj).

(https://www.geogebra.org/classic/cj6mt3r7)

Учитель: Переходим к следующей части урока. Рассмотрим задачи на построение сечений параллелепипеда плоскостью. Мы выяснили, что в сечении параллелепипеда плоскостью может получиться треугольник, четырехугольник, пятиугольник или шестиугольник. Правила построения сечений те же. Предлагаю перейти к следующей задаче, которую вы решите самостоятельно.

(https://www.geogebra.org/classic/wwwvn2nc)

Задача 4

Постройте сечение параллелепипеда ABCDHEFG плоскостью IJK, если I∈AE, J∈DH, K∈CG. (https://www.geogebra.org/classic/napzpvfm).

Задача 5: ( https://www.geogebra.org/classic/ratcb3hd) Постройте сечение параллелепипеда ABCDHEFG плоскостью IJK, если I, G,K принадлежат соответственно ребрам АE, DH, СG.

(Решение обсуждается (https://www.geogebra.org/classic/dj9uv93e).)

Задача 6: (https://www.geogebra.org/classic/efygjxxz) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью IJK, если K ∈ EH, I ∈AB , J ∈ BC.

 (https://www.geogebra.org/classic/uq4zhj5p)

Творческие задания (карточки по вариантам):

1. В правильной треугольной пирамиде SАВС через вершину С и середину ребра SА проведите сечение пирамиды, параллельное SB. На ребре АВ взята точка F так, что АF:FВ=3:1. Через точку F и середину ребра SС проведена прямая. Будет ли эта прямая параллельна плоскости сечения?
2. АB1С - сечение прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1. Через точки Е, F, К, которые являются соответственно серединами ребер DD1, A1D1, D1C1 проведено второе сечение. Докажите, что треугольники ЕFК и АB1C подобны, и установите какие углы этих треугольников равны между собой.

III. Итог урока.

Итак, мы познакомились с правилами построения сечений тетраэдра и параллелепипеда, рассмотрели виды сечений, решали простейшие задачи на построение сечений. На следующем уроке мы продолжим изучение темы, рассмотрим более сложные задачи.

А теперь подведем итог урока, ответив на наши традиционные вопросы «Мне понравился (не понравился) урок, потому что….»

• «Сегодня на уроке я научился….»
• «Мне хочется, чтобы….»
• «В этот урок я добавил(а) бы …»

(Выставление оценок за урок.)

IV. Задание на дом.

 (Закончить выполнение творческого задания.)