Продвинутый материал для детей, увлекающихся геометрией
олимпиадные задания по геометрии (8 класс)

Равнобедренные треугольники и ГМТ

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Рассмотрим несколько свойств и признаков равнобедренного треугольника.

Свойство. Если треугольник равнобедренный, то его углы при основании равны.

Признак. Если в треугольнике равны два угла, то он равнобедренный.

Свойство. В равнобедренном треугольнике совпадают медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию треугольника.

Признак. Если в треугольнике совпадают высота и медиана, проведённые из одной и той же вершины, то этот треугольник является равнобедренным.

Признак. Если в треугольнике совпадают высота и биссектриса, проведённые из одной и той же вершины, то этот треугольник является равнобедренным.

Признак. Если в треугольнике совпадают медиана и биссектриса, проведённые из одной и той же вершины, то этот треугольник является равнобедренным.

Это наиболее известные свойства и признаки равнобедренного треугольника, но есть и другие. Не все свойства равнобедренного треугольника, однако, оказываются его признаками.

Закрепление 

1. Выберите все свойства равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=AC (то есть выберите все утверждения, которые верны для любого равнобедренного треугольника ABC).

А) Равны углы B и C треугольника

Б ) Равны высоты, проведённые из вершин B и C

В) Равны медианы, проведённые из вершин B и C

Г) Равны биссектрисы, проведённые из вершин B и C

Д) Медиана и биссектриса, проведённые из вершины A, совпадают

Е) Медиана и высота, проведённые из вершины B, совпадают

2. Выберите все признаки того, что треугольник ABC равнобедренный (то есть все утверждения, из которых следует, что треугольник ABC равнобедренный).

А) Равны углы B и C треугольника

Б) Равны высоты, проведённые из вершин B и C

В) Медиана и биссектриса, проведённые из вершины A, совпадают

Г) Медиана и высота, проведённые из вершины A, совпадают

Д) Равны медиана из вершины B и высота из вершины C

Е) Равны медианы, проведённые из вершин B и C

Ж) Равны биссектрисы, проведённые из вершин B и C

3. Медиана AM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе BK. Найдите AB, если  BC=12 .

4. Длины сторон треугольника — последовательные натуральные числа. Найдите периметр треугольника, если известно, что одна из медиан треугольника перпендикулярна одной из его биссектрис.

5. Два равных треугольника ABC и DEB (AB=DE, AC=DB) удалось расположить так, как показано на рисунке. Выберите все гарантированно верные утверждения.

А) Треугольник BCE равнобедренный

Б) Треугольник BCE равносторонний

В) ∠ABC=90∘

Г) Треугольник ECD равнобедренный

Д) AE=BC

Е) AE=CD

Ж) ∠ABE=∠CDE

З) ∠ABE=∠CED

Углы равнобедренного треугольника

Пусть ABC — равнобедренный треугольник, AB=AC.

Тогда из любого данного угла треугольника можно выразить два других, пользуясь соотношениями ∠B=∠C и ∠A=180∘−2∠B.

В частности, если про равнобедренный треугольник известно, что один из его углов равен 60∘, то он равносторонний.

Задача. Известно, что треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, и на стороне AC отметили точку M такую, что треугольник BMC равнобедренный с основанием MC и треугольник AMB тоже равнобедренным с основанием AB. Найдите углы треугольника ABC.

Закрепление

1. В треугольнике ABC угол A равен 105∘. На стороне BC нашлась такая точка M, что AM=MC и BA=BM. Найдите угол B треугольника.

2. Дан треугольник ABC, в котором ∠B=60∘ и AB

Серединный перпендикуляр и биссектриса

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему.

Серединный перпендикуляр является множеством всех точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка. Биссектриса угла является множеством всех точек внутри угла, равноудалённых от его сторон.

Серединный перпендикуляр является осью симметрии отрезка, а биссектриса является осью симметрии угла.

Закрепление

1. ABCD — выпуклый четырёхугольник. AB=8, BC=10, CD=12, AD=14. Чему равна длина отрезка EF?

2.В треугольнике ABC биссектриса из вершины A, высота из вершины B и серединный перпендикуляр к стороне AB пересекаются в одной точке. Найдите величину угла B, если ∠C=70∘.

Задачи с видеобзором

Задача 1. Сторону треугольника поделили на три равные части. Может ли оказаться, что три получившихся отрезка видны из противоположной вершины треугольника под одинаковыми углами?

Задача 2. Медианой пятиугольника ABCDE назовём отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (A — с серединой CD, B — с серединой DE и т.д.). Докажите, что если четыре медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то таким же свойством обладает и пятая медиана.

Задача 3. Дан равнобедренный треугольник ABC с углом A, равным 120∘. Медиану AM этого треугольника продлили на свою длину за точку M, получили точку X. Точки Y и Z — середины сторон AB и AC. Докажите, что треугольник XYZ равносторонний.

Окружности,связанные с треугольниками

Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от трёх вершин треугольника и является центром его описанной окружности, то есть окружности, проходящей через три вершины треугольника.

Три биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от трёх сторон треугольника и является центром его вписанной окружности, то есть окружности, касающейся трёх сторон треугольника.

Две внешние биссектрисы (биссектрисы внешних углов в различных вершинах треугольника) пересекаются в точке, через которую также проходит биссектриса угла при третьей вершине треугольника. Эта точка равноудалена от трёх прямых, содержащих стороны треугольника, и является центром его вневписанной окружности, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон. У треугольника существуют три различные вневписанные окружности.

Вписанные углы

Определение. Угол ABC называется вписанным в окружность, если точки A, B, C лежат на этой окружности. При этом говорят, что угол опирается на дугу AC.

Утверждение. Величина вписанного угла ABC равна половине величины центрального угла AOC (центральный угол означает, что точка O является центром окружности).

Следствие. Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Закрепление

1. Точки A, B, C делят окружность на 3 дуги, причём длины дуг AB, BC, CA относятся как 2:3:7. Найдите градусную меру угла BAC.
2. Дан равнобедренный треугольник ABC. Радиус OA его описанной окружности лежит внутри треугольника и образует с основанием AC угол OAC, равный 20∘. Найдите угол BAC.
3. Дан равнобедренный треугольник ABC. Радиус OA его описанной окружности лежит вне треугольника и образует с основанием AC угол OAC, равный 20∘. Найдите угол BAC.

Вписанные четырехугольники

Четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности, называется вписанным.

Из предыдущей лекции ясно, что если четырёхугольник ABCD вписан, то углы ABD и ACD равны.

Оказывается, верно и обратное: если в четырёхугольнике ABCD равны углы ABD и ACD (или другая аналогичная пара углов), то четырёхугольник вписан.

Кроме этого, противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180∘. Это условие также можно обратить.

Задача. Даны две окружности, пересекающиеся в точках X и Y. Прямая, проходящая через X, пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке C. Другая прямая, проходящая через Y, первую окружность пересекает в точке B, а вторую — в точке D. Докажите, что AB∥CD.

Если вписанный четырёхугольник является трапецией, то эта трапеция равнобокая. И наоборот, любая равнобокая трапеция вписана в окружность.

Закрепление 

1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Найдите угол ACB, если ∠ABD=74∘, ∠CBD=38∘,  ∠BDC=65∘ .
2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Известно, что∠ABC=102∘, ∠COD=90∘. Чему равен угол ADO?
3. Дана полуокружность с диаметром AB. Окружность с центром в точке A пересекает полуокружность в точке D, а прямую AB — в точке C (C лежит вне отрезка AB). Прямая CD вторично пересекает полуокружность в точке E. Известно, что ∠CEB=110∘. Чему равен угол ECB?

4.Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD — в точке Q. Оказалось, что четырёхугольник PBDQ является вписанным. Найдите угол PQA, если ∠BAD=60∘, ∠BAC=18∘.

Задачи с видеобзором

Задача 1. В окружность вписан шестиугольник. Найдите сумму углов при трёх его несоседних вершинах.

Задача 2. Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Луч O2A пересекает первую окружность в точке C. Докажите, что точки O1, O2, B, C лежат на одной окружности.

Задача 3. Докажите, что в равнобокой трапеции вершины боковой стороны, точка пересечения диагоналей и центр описанной окружности лежат на одной окружности.

Задача 4. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Рассмотрим точки пересечения биссектрис его углов A и B, B и C, C и D, D и A. Докажите, что эти четыре точки являются вершинами вписанного четырёхугольника.

Задача 5. На хорде AB окружности с центром в точке O выбрана точка C. Описанная окружность треугольника AOC пересекает исходную окружность в точке D. Докажите, что BC=CD.

Задача 6. Про выпуклый четырёхугольник ABCD известно, что AB=BC=CD. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке M, K — точка пересечения биссектрис углов A и D. Докажите, что точки A, M, K, D лежат на одной окружности.