на тему «Применение площадей в изложении теорем о пропорциональных отрезках»
статья по геометрии (8, 9, 10, 11 класс)

«Применение площадей в изложении теорем о пропорциональных отрезках»

Данная работа будет посвящена применению площадей в доказательствах некоторых теорем о пропорциональных отрезках.

Преимущество такого способа доказательства. Если рассматривать структуру некоторых учебников геометрии, то можно заметить, что прежде чем сформулировать и доказать теоремы о пропорциональных отрезках, авторы знакомят читателя с материалом, который понадобится для доказательства теорем. И часто этот материал достаточно сложный для восприятия, например, такие темы как соизмеримость или несоизмеримость отрезков, предел числовой последовательности или тригонометрия. Я же в данной работе покажу альтернативный подход к доказательству теорем о пропорциональных отрезках, с помощью следующих теорем.

Теорема 1. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.

Теорема 1'.Если углы двух треугольников дополняют друг друга до , то их площади относятся как произведение сторон, заключающих эти углы.

Как видно из формулировки, школьникам из багажа их знаний потребуется только сведения о равенстве углов, которые они изучили ещё в седьмом классе, и формула для площади треугольника. Но отрицать важность доказательств, которые приведены в учебниках мы не будем, а наоборот, можно указать на связь между различными разделами геометрии, с помощью различных подходов к доказательствам теорем.

Площади фигур имеют огромное значение в геометрии, как в науке. Ведь площадь это одна из важнейших величин в геометрии. То, что у каждого многоугольника есть площадь, принимается в школьном изложении без всяких оговорок, как нечто само собой разумеющееся.Без знания площадей невозможно решить множество геометрических задач, доказать теоремы, обосновать аксиомы, не говоря уже о значении площадей в повседневной жизни. Все знают, что такое площадь комнаты  или земельного участка. Если земельный участок состоит из нескольких участков, то его площадь слагается из их площадей. Так же ясно, что у одинаковых участков одинаковая площадь. Это представление о площади является основой определения площади многоугольных фигур. Но так как мы оставляем это без доказательства, то формулируем это утверждение в виде аксиомы.

Аксиома площади. Для многоугольных фигур площадью называется положительная величина с такими свойствами:

1. Если фигура составлена из нескольких многоугольных фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.
2. Равные фигуры имеют одну и ту же площадь.

Фигуры, имеющие одну и ту же площадь, называются равновеликими. Тут важно понимать, что не все равновеликие фигуры, являются равными.

Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью фигуры, принятой за единицу измерения. В результате сравнения получается некоторое число – численное значение площади данной фигуры. За единицу измерения площади принимают площадь подходящего квадрата.  Когда единица измерения площади не выбрана, будем считать, что выбран некоторый квадрат и длина его стороны принята за единицу. Площадь этого квадрата называют квадратной единицей площади, а его самого – единичным квадратом.

Данный параграф будет посвящён некоторым теоремам о пропорциональных отрезках, которые, так или иначе, изучаются в школе. Здесь  я покажу, как можно применить площади к доказательству теорем.

Теорема 2.1 (теорема Фалеса). Параллельные прямые пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть дан угол . Точки – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла, –соответствующие точки пересечения параллельных прямых  на другой стороне угла.Проведем прямую , паралелльную прямой . Рассмотрим два треугольника и .

, как соответственные углы при параллельных прямых ии секущей, как соответственные углы при параллельных прямых ии секущей.  Отсюда следует, что .

Применим теорему 1:

С другой стороны,

Приравняем правые части равенств(2.1.2)и (2.1.3), получим

Заметим, что . Получим,

Аналогичным образом докажем, что

Откуда получим то, что хотели доказать.

Следствие.

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Доказательство:

Рассмотрим . Отложим последовательно точки так, что

. Проведем через их концы параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла в точках  соответственно.Необходимо доказать, что .

Проведем прямую параллельный прямой .

Рассмотрим треугольники и.

как соответственные углы при параллельных прямых исекущей .  Тогда по теореме 1:

как соответственные углы при параллельных прямых исекущей . А как соответственные углы при параллельных прямых исекущей Отсюда следует, что . По теореме 1:

Получим:

Из того, , следует, что .

Рассмотрим четырехугольник . Унегопараллельнапо условию, а  параллельна по построению. Значит, четырехугольник  является параллелограммом.  по свойству сторон параллелограмма.

Получили, что , что требовалось доказать.

Теорема 2.2 (о свойстве биссектрисы).        

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . Проведём из вершины  биссектрису . Рассмотрим треугольники  и . По условию теоремы необходимо доказать:

Тогда по теореме 1 имеем:

С другой стороны,  смежные, поэтому их сумма равна . Воспользуемся теоремой 1´:

Приравняем правые части равенств (2.2.2) и (2.2.3) , получим, что хотели доказать:

Теорема 2.3 (основное свойство биссектрисы).

Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла.

Доказательство:

Рассмотрим угол. Проведем биссектрису . Проведем перпендикуляры  и  на стороны угла . Рассмотрим треугольники  и .

Угол  равен углу . Воспользуемся теоремой 1:

Углы равны  и , так как они прямые. По теореме 1:

Приравняем правые части равенств (2.3.2) и (2.3.3), получим:

Откуда следует, что .

Теорема 2.4 (свойство биссектрисы внешнего угла треугольника).Биссектриса внешнего угла треугольника делит продолжение противоположной стороны на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . Проведем биссектрису  внешнего угла . Проведем прямую , параллельную биссектрисе  . Рассмотрим треугольники . По условию теоремы необходимо доказать, что

Углы  и   равны, так как соответственные при параллельных прямых и секущей . Углы  равны, так как соответственные при параллельных прямых  и секущей . Применим теорему 1:

Заметим, что , а .

Подставим эти выражения в предыдущее равенство(2.4.3):

Заметим, что  можно заменить на.

Рассмотрим треугольник . Углы  равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей . А углы  равны как соответственные при параллельных прямых и  и секущей . А из условия известно, что  - это биссектриса внешнего угла треугольника. Значит углы  равны, откуда следует, что треугольник  равнобедренный.

что требовалось доказать.

Теорема 2.5 (о медианах).

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении , считая от вершины.

Доказательство:

Рассмотрим . Проведём из вершин  медианы . Пусть они пересекутся в точке . Соединим отрезком точки , тогда  – это средняя линия , откуда следует, что  параллельна  и .

Рассмотрим  и . Из того, чтопараллельна следует, что , .  равны как вертикальные. Применим теорему 1.

С одной стороны,

С другой стороны,

И, наконец,

Приравняем правые части(2.5.1) и(2.5.2):

Приравняем правые части(2.5.2)и(2.5.3):

В итоге получим:

Воспользуемся условием, что:

что и требовалось доказать.