Урок по теме "Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике"
методическая разработка по геометрии (8 класс)

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   Приветствие учащихся.

Фиксация отсутствующих на уроке.

   Проверка подготовленности к уроку: наличие учебника, тетради, письменных принадлежностей.

   Приветствие учителя.

Дежурные называют отсутствующих

в классе ребят.

   Проверяют наличие учебных

принадлежностей.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   Прежде чем перейти к решению задач, давайте вспомним, чем мы занимались на прошлом уроке?

   Что обычно называют средним пропорциональным отрезком?

   Верно.

   А теперь определите:

Есть ли среди отрезков m, n, p отрезок, являющийся средним пропорциональным для двух других, если m=9, n=4, p=6.

Назовите этот отрезок.

   Верно.

   Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:

   Для каких отрезков прямоугольного треугольника высота CH, проведенная из вершины прямого угла, будет являться средним пропорциональным?

   Для каких отрезков прямоугольного треугольника катеты AC и CB будут являться средними пропорциональными?

   По какой формуле можно найти длину стороны ?

   Верно. А как с помощью теоремы Пифагора определить длину стороны ?

   А можно ли с помощью теоремы Пифагора определить длины сторон a и b через их проекции?

   На прошлом уроке мы рассматривали пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике и решали задачи на нахождения среднего пропорционального.

   Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков AB и CH, если

   Решают задание с помощью определения среднего пропорционального:

Для m: 

              неверно.

Для n: 4

            4  неверно.

Для p: 6

            6

            6 = 6, верно.

Следовательно, среди данных отрезков p –  отрезок, являющийся средним пропорциональным для двух других.

   Высота прямоугольного треугольника CH, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой: CH, т.е

   Катет прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла:

ACт.е .

 CB  т.е .

  – проекции этих сторон.

   Длину стороны  можно найти:

.

  По теореме Пифагора длину стороны  находим следующим образом: .

   Можно.

;

.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   Так мы с вами повторили основные формулы и понятия прошлого урока. Сегодня продолжим решать задачи на нахождение средних пропорциональных отрезков. Данный навык нам потребуется для дальнейшего изучения темы «Применение подобия к доказательству

теорем и решению задач».

   Откройте тетради, запишите дату, классная работа и тему сегодняшнего урока: «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике».

   У каждого из вас на столе лежит карточка с заданиями по данной теме.

   Давайте выполним первое задание:

№ 1. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла C проведена высота СH. AH = 16, HB = 9. Найти AC, AB, CB и CH.

         Назовите и запишите, что дано и что нужно доказать. Сделайте чертеж к задаче.

   Чем мы будем пользоваться для решения данной задачи?

   Верно. Какой формулой будем пользоваться для нахождения высоты треугольника CH?

   Чему в нашем случае равны  и ?

   Подставим известные значения в формулу, что получится?

   Верно. Что нам еще необходимо найти?

   Прежде чем найти длины сторон AC и CB, давайте определим длину стороны AB. Чему она будет равна?

   Верно. Теперь можем определить длины сторон AC и CB. Какими формулами будем пользоваться для этого?

   Подставим в данные формулы известные нам значения и найдем длины сторон AC и CB. Что у нас получится?

   Верно. Что запишем в ответ?

№2. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза BC = 20 см. Найти длину высоты AH, если CH = 15 см.

         Назовите и запишите, что дано и что нужно доказать. Сделайте чертеж к задаче.

   Чем мы будем пользоваться для решения данной задачи?

   Что нам необходимо знать для того, чтобы найти высоту AH?

   Хорошо. Как будем находить длину отрезка BH?

   Верно. Мы нашли длину отрезка BH, сможем ли теперь найти высоты AH?

   Что запишем в ответ?

   В чем сложность решения данной задачи? Чем она отличается от предыдущей?

   А теперь откройте учебник на странице 152, выполним упражнение 575.

      Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведенной из вершины прямого угла.

    Назовите и запишите, что дано и что нужно доказать. Сделайте чертеж к задаче.

   Что нам необходимо найти по условию задачи?

   Как мы сможем их найти? Чем будем пользоваться для нахождения их длин?

   Выразим из данных формул , что у нас получится?

   Все ли нам известно, для нахождения отрезков AD и BD?

  Рассмотрим треугольник ABC, в котором AC и BC – катеты. Что нам известно про данный треугольник?

  Так как треугольник ABC – прямоугольный, то какой отсюда можно сделать вывод?

  Как с помощью теоремы Пифагора можно найти длину стороны ?

   Что нам известно про стороны AC и BC?

   Тогда чему равны длины катетов AC и BC?

   Подставим все известные нам значения в  что у нас получится?

  Верно. Мы нашли значение еще мы можем найти?

   Чему они будут равны?

   Правильно. А теперь давайте вернемся к началу решения задачи и выясним, все ли неизвестные элементы мы нашли?

   Хорошо. Давайте подставим найденные значения в ранее записанные формулы и определим длины отрезков AD и BD. Что получится?

   Что запишем в ответ?

   Следующий №577, выполняем письменно в тетрадях.

   В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.

     Назовите и запишите, что дано и что нужно доказать. Сделайте чертеж к задаче.

   Как мы сможем найти AH и HB? Чем будем пользоваться для их нахождения?

   Искать отрезки гипотенузы AH и HB, по ранее изученным формулам, мы можем только в том случае, когда исходный треугольник является прямоугольным.

   Как нам поступить в данном случае?

   Как будем проверять данный факт?

   Верно. Пользуясь теоремой докажите, что треугольник ABC – прямоугольный.

   Сможем ли мы теперь отыскать отрезки гипотенузы опираясь на понятие средней пропорциональной? Что у нас получится?

   Верно. Что запишем в ответ?

   В чем сложность решения данной задачи? Чем она отличается от предыдущей?

   Открывают тетради, записывают дату, классная работа и тему урока.

   Внимательно читают условие задачи. Отвечают на поставленные учителем вопросы, затем приступают к самостоятельному выполнению задания. Один ученик выполняет задание около доски.

 Дано: Треугольник ABC – прямоугольный; ;

CH  AB; AH = 16 см, HB = 9 см.

Найти: CH, AB, AC и CB.

   Для решения данной задачи воспользуемся формулами, изученными на прошлом уроке, понятием среднего пропорционального.

   Для нахождения высоты треугольника воспользуемся следующей формулой:

   В данной задаче  см, .

    см.

Следовательно, CH = 12 см.

   Необходимо найти длины сторон AB, AC и CB.

   Для нахождения длины стороны AB воспользуемся формулой:

.

AB = 16 + 9 = 25 см.

   Для этого воспользуемся следующими формулами:

.

   Подставим известные значения и получим:

 см.

 см.

Ответ: 12 см; 25 см;  см и  см

   Внимательно изучают условие данной задачи. Приступают к самостоятельному выполнению после обсуждения, один ученик решает около доски.

 Дано: Треугольник ABC – прямоугольный; BC = 20 см, BC – гипотенуза; CH = 15 см; AH – высота.

Найти: AH.

   Для решения данной задачи также воспользуемся формулами, изученными на прошлом уроке, понятием среднего пропорционального.

   Для нахождения высоты прямоугольного треугольника воспользуемся формулой

 где  см.

 – неизвестно. Значит необходимо найти длину отрезка BH.

   Для нахождения длины отрезка BH, выразим  из следующей формулы и получим:

.

   Сможем. Подставим в формулу известные данные и получим:

 см.

Следовательно, AH =  см.

Ответ:  см.

   Отвечают на поставленные учителем вопросы.

   Открывают учебник на указанной странице и внимательно читают условие задачи.

   Дано: Треугольник ABC – прямоугольный; ; AC:BC =3:4; AB = 50 мм; CD  AB.

Найти: AD и BD.

   Необходимо найти отрезки AD и BD.

   Для нахождения отрезков AD и BD воспользуемся следующими формулами:

.

   Выразим из данных формул , получим:

        ;    

   Нет, не все. Неизвестны длины сторон AC и BC.

   Треугольник ABC – прямоугольный;

   Раз он прямоугольный, то можем воспользоваться теоремой Пифагора.

   По теореме Пифагора длину стороны  можно найти:

;

   Стороны AC:BC =3:4.

  AC = 3х; BC = 4x.

   Подставим известные нам значения в ранее записанное выражение и получим:

    ;

    ;

    ;

    ;

    .

   Теперь мы можем найти длины катетов AC и BC:

AC = мм.

BC =  мм.

   Мы нашли длины всех неизвестных для расчетов сторон.

   Подставим известные значения в ранее записанные формулы и получим:

 мм;

 мм.

   Ответ: 18 мм; 32 мм.

   Внимательно читают условие задачи, отвечают на поставленные учителем вопросы. Затем приступают к самостоятельному выполнению. Один человек решает около доски.

   Дано: ABC - треугольник; AB = 13 см; AC = 12 см; CB = 5 см;

CH  AB.

Найти: AH и HB.

   Ранее определяли длины отрезков гипотенузы AH и HB, помощью понятия средней пропорциональной, полученных ранее формул.

   Сначала необходимо проверить, будет ли данный треугольник прямоугольным.

   Воспользуемся теоремой Пифагора.

 ;

 ;

 ;

  верно.

   Сможем. Для этого воспользуемся формулами

.

   Выразим из данных формул , получим:

        ;        

   Подставим известные значения и получим:

  см;

  см;

Ответ: см;  см.

   Отвечают на поставленные учителем вопросы.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   Чем мы занимались сегодня на уроке?

   Как отрезок называется средним пропорциональным?

   Правильно. Для каких отрезков прямоугольного треугольника высота, проведенная из вершины прямого угла, будет являться средним пропорциональным?

   Для каких отрезков прямоугольного треугольника катет будет являться средними пропорциональными?

    Как с помощью теоремы Пифагора через проекции   определить длины сторон a и b?

   Верно. Полученные знания помогут нам в дальнейшем для изучения новой темы и решения задач.

   Сегодня на уроке мы рассматривали задачи на нахождение среднего пропорционального.

      Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков AB и CH, если

      Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой:

   Катет прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла:   .

  – проекции этих сторон.

  По теореме Пифагора длины сторон a и b находим следующим образом: ;.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   У каждого на столе лежат карточки с заданиями для самостоятельной работы.

   Всего 2 варианта, каждая карточка включает в себя одну задачу по изучаемой теме.

   Выполняем работу письменно в тетрадях. На выполнение этого задания у вас 5 минут.

Самостоятельная работа

Вариант 1

   На рисунке BD = 16 см, CD = 12 см. Найдите AC, AB, BC и AD.

Вариант 2

   На рисунке AC = 3 см, CD =  см. Найдите AB, BC, AD и BD.

   Приступают к выполнению самостоятельной работы письменно в тетрадях.

Вариант 1

Дано: Треугольник ABC – прямоугольный; ; BD = 16 см, CD = 12 см; CD  AB.

Найти: AC, AB, BC и AD.

Решение:

   1. Треугольник CDB – прямоугольный, то .

Т.е.

        см.

   2. Треугольник ABC – прямоугольный, то  т.е.  ;

;

 см;

     3.  следовательно

  см.

     4. Треугольник ACD – прямоугольный, то

Т.е.

         см.

Ответ: 15 см; 25 см; 20 см и 9 см.

Вариант 2

Дано: Треугольник ABC – прямоугольный; ;

AC = 3 см, CD =  см; CD  AB.

Найти: AB, BC, AD и BD.

Решение:

   1. Треугольник CDA – прямоугольный, то .

Т.е.

         см.

   2. Треугольник ABC – прямоугольный, то  т.е.  ;

;

 см;

     3.  следовательно

  см.

     4. Треугольник BCD – прямоугольный, то

Т.е.

        B см.

Ответ: 9 см;  см; 1 см и 8 см.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   Откройте дневники и запишите домашнее задание.

   С. 159. Вопросы 10, 11.

   № 572 (г, д),
  № 578.

   Открывают дневники и записывают домашнее задание на следующий урок.